北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x2+y＝1B．9y＝3y﹣1C．﹣2x2＝8D．2x2＝12．如图，在△ABC中，已知∠ADE＝∠B，则下列等式成立的是（

）A．B．C．D．3．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．若转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，则某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是（

）A．0.3B．0.7C．0.4D．0.24．如图，与位似，位似中心为O且与在原点O的两侧，若与的周长之比为1：2，点的坐标为，则点的对应点的坐标为A．B．C．D．5．在六张卡片上分别写有6，，3.1415，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（

）A．B．C．D．6．若关于x的方程x2＋2x－3＝0与有一个解相同，则a的值为（）A．1B．1或－3C．－1D．－1或37．如图，在中，，的角平分线交AC于点D，过点D分别作BC和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点H，连接EH交BD于点G，在AE上截取，连接DF．下列说法中正确的是（）①；②；③四边形EBHD是菱形；④A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（

）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）A．B．C．D．10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（）A．120°B．130°C．140°D．150°二、填空题11．已知，则的值是_____．12．关于x的方程的一个根是−1，则m的值为______．13．如图，在平行四边形中，交于，试添加一个条件使四边形成为矩形．你添加的条件是__．（只填一个即可）14．关于x的方程有实数根，则a的取值范围是_______．15．如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，AD，CD，BC的中点，若AB＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积为_____．16．已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程x2﹣8x+12＝0的根，该等腰三角形的周长为____．17．如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF影长GE为1.2米，此时，小红测得一棵被风吹斜的杨树与地面成角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6米，则树长AB等于________米．18．如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为________．三、解答题19．解方程：（1）（2）20．如图，在菱形ABCD中，CE＝CF.求证：AE＝AF.21．如图，AF，AG分别是和的高，．（1）求证：；（2）若，，求BC的长．22．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件25.6元，求每次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，若每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？23．如图，在矩形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连接OE，过点C作交线段OE的延长线于点F，连接DF．（1）求证：；（2）求证：四边形ODFC是菱形．24．如图，A、B在一直线上，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，4秒后走到点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续沿AB方向以同样的速度匀速前进4秒后到点F，此时他（EF）的影长为2米，然后他再沿AB方向以同样的速度匀速前进2秒后达点H，此时他（GH）处于灯光正下方．（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；（2）求小明沿AB方向匀速前进的速度．25．如图，△ABC在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为A（0，3）、B（3、4）、C（2，2）（网格中每个正方形的边长是1个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A′BC′，使△A′BC′与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C′的坐标是______；（2）△A′BC′的面积是_______平方单位；（3）在x轴上找出点P，使得点P到B与点A距离之和最小，请直接写出P点的坐标．26．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC＝AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．参考答案1．D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A．含有二个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数最高是2的整式方程，叫一元二次方程．2．B【解析】【详解】∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△AED∽△ACB，∴，故选B．3．A【解析】【分析】用频率估计概率即可得到答案．【详解】某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是．故选：A．【点睛】本题考查用频率估计概率，掌握大量的重复试验时频率可视为事件发生概率的估计值．4．B【解析】【分析】根据位似变换的概念得到△A1OB1∽△A2OB2，△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：∵△A1OB1与△A2OB2位似，∴△A1OB1∽△A2OB2，∵△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，∴△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，∵A1的坐标为（-1，2），△A1OB1与△A2OB2在原点O的两侧，∴点A1的对应点A2的坐标为（2，-4），故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．5．C【解析】【分析】首先根据无理数定义确定哪些是无理数，再根据概率的公式计算即可．【详解】解：在6，，3.1415，，0，六个数中，是无理数的有，共2个，∴从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是，故选：C．【点睛】此题考查概率的计算公式，正确掌握无理数的定义会判断无理数是解题的关键．6．C【解析】【分析】解出一元二次方程，将根代入分式方程即可求出a的值.【详解】解：解方程，得：x1=1，x2=﹣3，∵x=﹣3是方程的增根，∴当x=1时，代入方程，得：，解得a=﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．7．C【解析】【分析】①由题意可证四边形是平行四边形，可得，，由三角形中位线定理可得，，可得；②通过证明，可得，可证；③由菱形的判定可证四边形是菱形；④条件不足，无法证明．【详解】，，四边形是平行四边形，，，，，，，即，故①正确；平分，，，，，，，，，，即，故②正确；，平行四边形是菱形，故③正确；条件不足，无法证明，故④错误．故选：C．8．D【解析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题.【详解】解：如图延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9．A【解析】【详解】解：设AB=a,根据题意知AD=2a，由四边形BMDN是菱形知BM=MD，设AM=b,则BM=MD=2a-b.在Rt△ABM中，由勾股定理即可求值.试题解析：∵四边形MBND是菱形，∴MD=MB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．设AB=a，AM=b，则MB=2a-b，（a、b均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即a2+b2=（2a-b）2，解得a=，∴MD=MB=2a-b=，∴.故选A．10．C【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠ADC的度数．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC，∵DH⊥AB，∴OH＝OB＝BD，∵∠DHO＝20°，∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝70°，∴∠ABD＝∠OHB＝70°，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠ABD＝140°，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，证得△OBH是等腰三角形是关键．11．【解析】【分析】根据比例的性质求解即可．【详解】解：由，得，，，故答案为．【点睛】本题考查了比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质进行变形求解．12．1【解析】【分析】把代入方程，即可求出m的值．【详解】的一个根是，把代入方程得：，．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解,了解方程解的含义是解题的关键.13．AC=BD或∠ABC=90°（答案不唯一）【解析】【分析】根据矩形的判定即可得出答案．【详解】解：根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可得∠ABC=90°，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可得AC=BD，故答案为：AC=BD或∠ABC=90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握平行四边形和矩形的区别和联系是解决本题的关键．14．【解析】【分析】分情况讨论当二次项系数为零时：原式为一元一次方程有实数根；当二次项系数不为零时：根据一元二次方程根的情况结合根的判别式列出不等式，求解即可．【详解】解：∵关于x的方程有实数根，当时，即时，原方程为有实数根；当时，即时，则，即，解得：，综上，a的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根与根的判别式的关系是解题的关键．15．24【解析】【分析】连接AC，根据三角形中位线定理得到EH∥AC，EH=AC，得到△BEH∽△BAC，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：连接AC，∵E、H分别为边AB、BC的中点，∴EH∥AC，EH＝AC，∴△BEH∽△BAC，∴S△BEH＝S△BAC＝S矩形ABCD，同理可得，图中阴影部分的面积＝×6×8＝24，故答案为：24．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的性质，掌握三角形中位线定理、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16．12，16，17【解析】【分析】先求出一元二次方程的根，再讨论5是等腰三角形的底还是腰，求出三角形周长．【详解】解：，解得，，若5是等腰三角形的底，则等腰三角形的腰只能是6，因为2不能构成三角形，此时周长是17，若5是等腰三角形的腰，则等腰三角形的底可以是2或6，那么周长是12或16．故答案是：12，16，17．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰长和底长，需要注意构成三角形的条件．17．12【解析】【分析】先利用△BDC∽△FGE得到=，可计算出BC=6，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长．【详解】解：如图，CD=3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴=，即=，∴BC=6，在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∴AB=2BC=12，即树长AB是12米．故答案为12．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．18．【解析】【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解:如图,作OK⊥BC，垂足为点K，∵正方形边长为4，∴OK=2，KC=2，∴KC=CE，∴CH是△OKE的中位线∴，作GM⊥CD，垂足为点M，∵G点为EF中点，∴GM是△FCE的中位线，∴，，∴，在Rt△MHG中，，故答案为：．【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等．19．（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1），，，，，或；（2），，，或，或．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法和因式分解法解方程是解题的关键．20．证明见解析【解析】【分析】由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又因为CE=CF，所以CD-CE=CB-CF，即DE=BF．可证△ADE≌△ABF，所以AE=AF．【详解】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又∵CE=CF，∴CD-CE=CB-CF，即DE=BF．在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF（SAS）．∴AE=AF．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．21．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明；（2）由相似三角形的性质可得到答案．【详解】（1），分别是和的高，，，，，，，，；（2），，，，，．22．（1）两次下降的百分率为；（2）每件应降价3元【解析】（1）设每次降价的百分率为，根据两次降价，从40降至25.6列方程求解即可；（2）根据总利润＝单件利润×销售量列方程求解即可．【详解】（1）设两次下降的百分率为，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：两次下降的百分率为；（2）设每件应降价元，由题意得：，整理得：y2－4y＋3＝0，解得：，,因为要尽快减少库存，所以，答：每件应降价3元．23．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE=∠FCE，根据线段中点的定义可得CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】解：证明：（1）∵CF∥BD，∴∠ODE=∠FCE，∵E是CD中点，∴CE=DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD=FC，∵CF∥BD，∴四边形ODFC是平行四边形，在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形ODFC是菱形．24．(1)答案见解析；(2)1.5米/秒【解析】(1)利用影长为AD，进而得出延长AC，HG得到O点，进而求出答案；(2)首先设速度为x米/秒，然后利用△COG和△OAH相似，△EOG和△OMH相似得出答案．【详解】解：(1)如图(2)设速度为x米/秒根据题意得CG//AH∴△COG∽△OAH∴即：又∵CG//AH，∴△EOG∽△OMH∴即：∴答：小明沿AB方向匀速前进的速度为米/秒．【点睛】本题考查了相似三角形的应用以及中心投影，注意从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似比计算相应线段的长是解题关键．25．（1）（1，0）；（2）10；（3）（，0）．【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，即可得出答案；（2）利用勾股定理逆定理可得△A′BC′是直角三角形，利用三角形面积公式求出△A′BC′面积即可；（3）作A关于y轴的对称点A″，连接A″B，交x轴于点P，根据对称性质可得A″B即为PA+PB的最小值，根据A″和B点坐标可得直线A″B的解析式，令y=0即可得P点坐标.【详解】（1）如图所示：C′（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）∵A′B2=62+22=40，A′C′2=42+22=20，C′B2=42+22=20，∴A′B2=A′C′2+C′B2，∴△A′BC′是直角三角形