第二节常用逻辑用语答案

第二节常用逻辑用语课程目标课程目标1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系.2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.基础知识基础知识1.充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题推出关系p⇒qpqp⇔q条件关系p是q的充分条件，q是p的必要条件p不是q的充分条件，q不是p的必要条件p是q的充分必要条件，简称充要条件提醒（1）A是B的充分不必要条件⇔A⇒B且BA；（2）A的充分不必要条件是B⇔B⇒A且AB.2.全称量词和存在量词类别全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题叫做全称量词命题含有存在量词的命题叫做存在量词命题类别全称量词存在量词命题形式“对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p（x）”“存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p（x）”3.全称量词命题和存在量词命题的否定名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立简记∀x∈M，p（x）∃x∈M，p（x）否定∃x∈M，p（x）∀x∈M，p（x）提醒对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.基础知识基础知识1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（√）（2）写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.（√）（3）“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题.（×）（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.（√）2.已知命题p：∀x∈R，x＞sinx，则p的否定为（）A.∀x∈R，x＜sinx B.∀x∈R，x≤sinxC.∃x∈R，x≤sinx D.∃x∈R，x＜sinx解析：C对全称量词命题的否定既要否定量词又要否定结论，p：∀x∈R，x＞sinx，则p的否定为：∃x∈R，x≤sinx.故选C.3.(概念辨析)(多选)下列结论正确的是().A.“x2>1”是“x>1”的充分不必要条件B.设M⫋N,则“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件C.“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件D.“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充要条件解析对于选项A,x2>1⇒/x>1,x>1⇒x2>1,所以“x2>1”是“x>1”的必要不充分条件,故A错误;对于选项B,由M⫋N得∁RN⫋∁RM,则x∉N⇒x∉M,x∉M⇒/x∉N,所以“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件,故B正确;对于选项C,由“a,b都是偶数”可以得到“a+b是偶数”,但是当a+b是偶数时,a,b可能都是奇数,所以“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件,故C正确;对于选项D,“a>1且b>1”⇒“a+b>2且ab>1”,而由“a+b>2且ab>1”⇒/“a>1且b>1”,比如a=3,b=12,所以“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充分不必要条件,故D错误4.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形.解析：全称量词命题的否定是存在量词命题.故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形.5.若“x＞m”是“x＞2”的充分不必要条件，则m的取值范围是（2，＋∞）.解析：因为“x＞m”是“x＞2”的充分不必要条件，所以（m，＋∞）是（2，＋∞）的真子集，由图可知m＞2.常用结论1.充分（必要、充要）条件与集合间的包含关系设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；（3）若A＝B，则p是q的充要条件.2.命题p和p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.结论运用1.(多选)下列说法正确的是()A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件B．“eq\f(1,a)>eq\f(1,b)”是“a<b”的既不充分也不必要条件C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆BD．“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件解析：c＝0时，由ac＝bc不能得出a＝b，A错；eq\f(1,a)>eq\f(1,b)与a<b相互不能推导，如a＝2，b＝－1时，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，但不满足a<b，反之，若a＝－1，b＝2，满足a<b，但不满足eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，∴“eq\f(1,a)>eq\f(1,b)”是“a<b”的既不充分也不必要条件，B正确；由充分必要条件与集合之间的包含关系可知，C正确；a>b>0能得出an>bn，当a＝－4，b＝－2时，a2>b2，但a<b，D错．故选B.C2.若“∀x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是（－∞，－8]∪[0，＋∞）.解析：由结论2得∃x∈R，x2－ax－2a≤0为真命题，所以Δ＝a2＋8a≥0，解得a∈（－∞，－8]∪[0，＋∞）.聚焦考点课堂演练聚焦考点课堂演练考点1全称量词命题和存在量词命题考点1全称量词命题和存在量词命题考向1含量词命题的否定及真假判定【例1】（1）已知命题p：∃x∈R，x＝－1或x＝2，则（）A.p：∀x∈R，x＝－1且x＝2B.p：∀x∈R，x≠－1且x≠2C.p：∀x∉R，x≠－1或x≠2D.p：∃x∉R，x＝－1或x＝2（2）(多选)下列命题中是存在量词命题且为真命题的有().A.中国所有的江河都流入太平洋B.有的四边形既是矩形,又是菱形C.存在x∈R,使得x2+x+1=0D.有的数比它的倒数小答案：（1）B（2）BD解析：（1）注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命题p的否定是“∀x∈R，x≠－1且x≠2”.(2)对于A,中国所有的江河都流入太平洋是全称量词命题,故A错误;对于B,有的四边形既是矩形,又是菱形是存在量词命题且为真命题,比如正方形,故B正确;对于C,存在x∈R,有x2+x+1=0是存在量词命题且为假命题,因为x2+x+1=x+122+34>0恒成立,故C错误;对于D,有的数比它的倒数小是存在量词命题且为真命题,比如1方法技巧1.对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法（1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；（2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法（1）全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可.（2）存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题.考向2含量词的命题的应用【例2】已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A.（－14，0） B.（0，1C.（14，＋∞） D.（1，＋解析：C因为命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，ax2－x＋1＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜1，不符合题意；当a≠0时，得a>0，Δ=1－4a<0方法技巧由命题的真假求参数的方法（1）全称量词命题可转化为恒成立问题；（2）存在量词命题可转化为存在性问题；（3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真.跟踪训练1.(多选）若“x<k或x>k+3”是“4<x<1”的必要不充分条件,则实数k的值可以是().A.8 B.5 C.1 D.4解析若“x<k或x>k+3”是“4<x<1”的必要不充分条件,则{x|x<k或x>k+3}⊇{x|4<x<1},所以k≥1或k+3≤4,解得k≤7或k≥1.结合选项知,实数k的值可以为8,1,4.2.若命题“∃x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（）A.－1 B.1C.0 D.2解析：A由题意，∃x∈（－1，3），a≥x2－2x，令h（x）＝x2－2x，因为函数h（x）＝x2－2x在（－1，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以实数a可取的最小整数值是－1.考点2充要条件、必要条件的判定考点2充要条件、必要条件的判定【例3】（1）设x∈R，则“｜x－1｜＜1”是“x2－5x＜0”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件（2）（多选)对任意实数a,b,c,下列命题为真命题的是().A.“a<5”是“a<3”的必要条件B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C.“a=b”是“ac=bc”的充要条件D.“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要条件答案：（1）B（2）ABD解析：（1）不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件，故选B.（2）)对于A,因为a<5表示的范围包含a<3表示的范围,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,故A正确.对于B,a+5是无理数,则a是无理数,反之也成立,所以“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,故B正确.对于C,若a=b,则ac=bc,正确;取c=0,a=1,b=2,则ac=bc=0,但是a≠b,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故C错误.对于D,若a≥2且b≥2,由不等式的性质可知a2≥4,b2≥4,则a2+b2≥8≥4成立;取a=2,b=1,a2+b2=5≥4成立,显然a≥2不成立,b≥2也不成立,所以“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要条件,故D正确.方法技巧充分条件、必要条件的两种判定方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.跟踪训练1.已知a，b都是实数，那么“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆”是“a＞2”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析：B方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆⇔方程（x－1）2＋（y－b）2＝a＋1表示圆⇔a＋1＞0⇔a＞－1.由a＞2能推出a＞－1，但是a＞－1推不出a＞2，故“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆”的充分不必要条件.2.(多选)若p:x2+x6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件,则实数a的值为().A.2 B.12 C.13 解析：由x2+x6=0,可得x=2或x=3.对于方程ax+1=0,当a=0时,方程ax+1=0无解;当a≠0时,解方程ax+1=0,可得x=1a.由题意知p⇒/q,q⇒p,则可得a≠0,此时应有1a=2或1a=3,解得a=12或a=13.综上可得,a=12考点3充分、必要条件的探究与应用考点3充分、必要条件的探究与应用【例4】已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为[0，3].解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴1－m≥－2，1+m≤10，1－m≤1+m，解得0≤m≤3，故0≤m≤3变式本例中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.解：由例题知P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充分不必要条件，∴P⫋S.∴[－2，10]⫋[1－m，1＋m].∴1－m≤－2，1+m>10或1－m＜－2，1+m≥10，∴m≥9方法技巧应用充分、必要