6.2.1向量的加法运算（分层作业）（必做题选做题）高一数学（人教A版2019）

向量的加法运算（分层作业）（必做题+选做题）【必做题】一、单选题1．（2022秋·广东揭阳·高一校考阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的加法法则求解【详解】故选：A2．（2022·高一课时练习）若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（）A．正三角形 B．锐角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】直接求出，即可判断.【详解】由于，|，，所以△ABC为等腰直角三角形．故选：D.3．（2022·高一课时练习）在四边形中，若，则（

）A．四边形是矩形 B．四边形是菱形C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形【答案】D【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；【详解】解：，，，且，四边形是平行四边形．故选：D．4．（2022·全国·高一假期作业）向量化简后等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的加法运算即可得到结果.【详解】故选：D5．（2022·全国·高一专题练习）在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是（

）A．梯形 B．矩形C．正方形 D．平行四边形【答案】D【分析】利用向量的加法平行四边形法则求解出答案.【详解】由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形.故选：D.6．（2022秋·广东清远·高一校考阶段练习）向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（

）A． B．为实数0 C．与方向相同 D．【答案】D【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项.【详解】向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.故选：D.7．（2022·高一课时练习）在矩形中，，则向量的长度等于（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】A【分析】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长.【详解】在矩形中，由可得,又因为,故，故，故选:A8．（2022·高一课前预习）正方形的边长为1，则为（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】利用向量加法运算及向量的摸的定义，结合勾股定理即可求解.【详解】在正方形中，如图所示,根据向量加法的平行四边形法则，,又因为正方形的边长为1，所以，故选：B.9．（2022秋·重庆江北·高一字水中学校考阶段练习）点P在内部，满足，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别取、的中点、，连接，根据平面向量的线性运算确定点的位置，由此可求得的值.【详解】分别取、的中点、，连接，因为，，所以，，同理可得，因为，所以，，所以，，所以，点为线段上靠近点的三等分点，故，，，因此，.故选：C.二、多选题10．（2022·高一课时练习）（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（

）A．10 B． C．2 D．22【答案】BC【分析】设，过点作于点，得到，过点作于点，得到，进而求得的长.【详解】设．则,过点作于点，则，所以，可得，过点作于点，则,又由，所以，即.故选：BC.11．（2022春·辽宁大连·高一统考期末）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（

）A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上C． D．【答案】BC【分析】根据平面向量线性运算化简得到，即可判断ABC选项；根据点为线段靠近点的三等分点得到，，，然后得到，即可判断D选项.【详解】因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确；设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错.故选：BC.三、填空题12．（2022秋·江西·高一校联考阶段练习）化简：________．【答案】【分析】依据向量加法法则去求解即可.【详解】故答案为：.13．（2022秋·上海长宁·高一校考期中）在边长为2的正方形ABCD中，______.【答案】2【分析】由向量运算可求解.【详解】.故答案为：2.14．（2022秋·北京·高一北京市第二十五中学校考期中）在平行四边形ABCD中，______．【答案】【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得；【详解】解：故答案为：15．（2022秋·浙江嘉兴·高一校考期中）的化简结果是______．【答案】【分析】根据向量加法法则计算即可【详解】=.故答案为：16．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD//BC，则＋＋＝________.【答案】【分析】利用向量的加法运算即得.【详解】＋＋.故答案为：.17．（2022·高一课时练习）如图，在平行四边形中，O是和的交点.（1）____________；（2）________；（3）_______；（4）_________.【答案】

【分析】根据向量加法法则计算．【详解】（1）由平行四边形法则，；（2）由向量加法的三角形法则，；（3）由向量加法法则得，；（4）由向量加法法则得，．故答案为：；；；．18．（2022·全国·高一专题练习）若C是线段AB的中点，则＋＝________.【答案】【分析】根据相反向量的加法可求解.【详解】∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB.∴与方向相反，模相等．∴.故答案为：四、解答题19．（2022·高一课时练习）化简(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）按照向量加法的运算律直接计算即可.【详解】（1）=（2）==.20．（2022·高一课时练习）如图，请在图中直接标出：(1)＋．(2)＋＋＋．【答案】(1)(2)【分析】根据向量加法法则进行计算.【详解】（1），如图所示：（2）＋＋＋，如图所示：21．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.【答案】【分析】根据向量加法法则的几何意义，即可得到答案；【详解】如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由向量加法的平行四边形法则知由，∠AOB＝120°，知∠BOD＝60°，，又∠COB＝120°，且，，.22．（2022·高一课时练习）如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝，＝，＝．证明：＝．【答案】证明见解析【分析】由题图，根据向量的加减法则有，，，再将进行化简，即可证结论.【详解】由题图有：，，，所以，得证.23．（2022·高一课时练习）在中，求．【答案】【分析】由平面向量的相等向量与相反向量的定义化简可得.【详解】记，则所以24．（2022·高一课时练习）如图，已知，求作.(1)；(2)【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】根据向量加法的三角形法则即可求解.【详解】（1）在平面内任取一点，如图所示作则.（2）在平面内任取一点，如图所示作则.【选做题】一、单选题1．（2022秋·新疆伊犁·高一统考期末）在正六边形ABCDEF中，点G是线段DE的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量加法的三角形法则可得答案.【详解】作出图形如下所示，由已知得，，所以.故选：D.2．（2022·全国·高一专题练习）为非零向量，且，则（

）A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反C． D．无论什么关系均可【答案】A【分析】根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案.【详解】当两个非零向量不共线时，的方向与的方向都不相同，且；当两个非零向量同向时，的方向与的方向都相同，且；当两个非零向量反向时且，的方向与的方向相同，且，所以对于非零向量，且，则，且与方向相同.故选：A.3．（2022秋·高一课时练习）下列说法中正确的是（

）A．；B．若、非零向量且，则；C．若且，则；D．若，则有且只有一个实数，使得.【答案】B【分析】注意到零向量的符号应当是，可知A错误；对于B：利用向量的模的性质和数量积运算可以证明，可得B正确；考虑到的情况，得到C错误；考虑到，，可知D错误.【详解】左边是向量的加法，结果是零向量，用表示，故A错误；由、非零向量且，两边平方可得，即，所以，故B正确；当时也有且，故C错误；若，，不存在实数，使得，故D错误．故选：B．4．（2022秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】在在上取一点，使得，根据C点的位置，从而求得，找到与的关系即可求得参数.【详解】连接，，且，在上取一点，使得，则四边形为平行四边形，.设，则，由图可知，故.故选：D.【点睛】方法点睛：利用向量相等及平行四边形法则，将向量的和转化为三角形中的长度关系，从而求得参数值.5．（2021秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若是垂心，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值.【详解】在中，，由，得，连接并延长交于，因为是的垂心，所以，，所以同乘以得，因为，所以由正弦定理可得又，所以有，而，所以，所以得到，而，所以得到，故选：D.【点睛】本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．二、多选题6．（2022·高一单元测试）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解.【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，因为，故A错误；由,故B错误；因为,故C正确；因为,故D正确.故选：CD7．（2022·高一单元测试）设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】作出图示，根据向量的平行四边形法则逐项进行判断即可.【详解】对于A：如下图所示，可知在内部，故成立；对于B：如下图所示，可知在外部，故不成立；对于C：因为，如下图所示，可知在内部，故成立；对于D：因为，如下图所示，可知在外部，故不成立；故选：AC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用图示结合向量的平行四边形法则进行说明，其中CD选项中的向量关系式要根据进行化简.三、填空题8．（2022·全国·高一专题练习）已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若，则实数______.【答案】4【分析】先由G为正方形的中心，可知G为、的中点，再利用向量的加法，进而可求出结果.【详解】因为G为正方形的中心，所以G为正方形、的中点，又点为正方形所在平面外一点，利用向量的加法法则知，，因此，即.故答案为：49．（2022·全国·高一专题练习）是正三角形，给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的有__________．(写出所有正确等式的序号)【答案】①③④【分析】作出图形，结合平面向量加法法则可判断①②③④的正误.【详解】对于①，，，，①正确；对于②，，如下图所示，以、为邻边作平行四边形，由平面向量加法的平行四边形法则可得，显然，②错误；对于③，以、为邻边作平行四边形，则，以、为邻边作平行四边形，则.由图可知，，即，③正确；对于④，，，因为，④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键就是化简平面向量的运算结果，并作出图形，结合图形的几何特征进行判断.10．（2022·高一课时练习）在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．若，则的值为______．【答案】【分析】本题首先可根据题意得出、，然后将转化为，再然后根据列出算式，最后通过计算即可得出结果.【详解】如图，结合题意绘出图像：因为，，所以，，则，，故，因为，所以，解得，，，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.11．（2022·高一课时练习）如图，已知的面积为，分别为边，上的点，且，交于点，则的面积为_____.【答案】4【分析】以，建立一组基底向量，再利用点与点分别共线的性质表示出，建立二元一次方程，再采用间接法，根据求出答案，属于难题【详解】设，以，为一组基底，则.∵点与点分别共线，∴存在实数和，使.又∵，∴解得∴，∴.【点睛】复杂的三角形线段关系问题，借鉴向量法进行求解时，还是需要根据向量基底进行基础运算，如本题中面积问题最终转化成线段比例问题，在处理正面入手不好解决的问题时，可从对立面入手，采用间接法来进行求解12．（2022·高一课时练习）如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为______【答案】【分析】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）,求出端点G,H对应的即可求解.【详解】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图：则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，加法平行四边形法则，三点共线，数形结合的思想方法，属于难题.13．（2021秋·江西宜春·高一江西省铜鼓中学校考阶段练习）如图，，为内的两点，且，，则与的面积之比为_______.【答案】【分析】设，，则，根据考查向量加法的平行四边