第2节解一元二次不等式（知识点精讲）

第2节解一元二次不等式考点一一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)有两相等实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))x≠－\f(b,2a)))R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅

考点二恒成立问题由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b2－4ac＜0.))2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b2－4ac＜0.))重难点题型1、等式与不等式例1.（2024高二下·湖南娄底·学业考试）若，则下列各式一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据不等式的性质以及反例即可求解.【详解】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，所以，故A正确；对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个小于的整式，不等号方向改变，所以，故B错误；对于C，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，所以，故C错误；对于D，若，，此时，故D错误.故选：A.例2.（2324高一上·湖南益阳·期末）（多选题）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据不等式的性质进行判断可得结论.【详解】因为，，根据不等式的性质，则，故A正确；同理：，故BC正确.如，，但不成立，故D错误.故选：ABC【变式训练1】、（2324高二下·安徽芜湖·阶段练习）下列命题中真命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可.【详解】对于A，若，显然不能得出，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则，故C错误；对于D，若，则，故D正确.故选：D【变式训练2】、（2324高一上·云南昭通·期末）（多选题）已知，，则下列不等式中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用不等式性质一一判定即可.【详解】因为，所以，所以，则A错误；由可得，，则B错误；由，可得，则C正确；由可知，，故，则D正确．故选：AB．重难点题型2、一次二次不等式（不含参数）例3.（2324高一上·北京·期中）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.【详解】不等式，即，解得，所以不等式的解集为.故选：A例4．（2324高一上·北京·期中）解关于的不等式.(1);(2)(3).【答案】(1)(2)(3)答案见解析【分析】由公式解不含参数的一元二次不等式，分类讨论解含参数的一元二次不等式.【详解】（1）不等式，即，解得，所以不等式的解集为；（2）不等式，即，解得或，所以不等式的解集为；（3）不等式，当时，解集为或，当时，解集为或，当时，解集为.【变式训练3】、（2324高一上·湖南娄底·期末）不等式的解集是．【答案】【分析】直接根据因式分解的方法求解即可.【详解】由题意，解得或，所以不等式的解集是.故答案为：.【变式训练4】、（2324高一上·北京东城·期中）求不等式的解集.(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】把一元二次不等式的左边分解因式，结合二次函数的图象即得其解集.【详解】（1）由可得，则得或，故不等式的解集为；（2）由可得，则得,故不等式的解集为.重难点题型3、一次二次不等式（含有参数）例5.（2324高一上·广东珠海·期中）（多选题）已知关于的不等式的解集为，，，则（）A．B．C．的解集是D．的解集是或【答案】CD【分析】由题意可得1和5是方程的两根，且，利用韦达定理可得与的关系，然后逐项判断可得答案.【详解】由题意可得和5是方程的两根，且，由韦达定理可得，得，对于A，因为，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，不等式，即，即，得，∴不等式的解集是，故C正确；对于D，由不等式，得，即，则，得或，即解集为或，故D正确.故选：CD.例6.（2223高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，直接求解不等式即可.【详解】由，得，解不等式，得，所以不等式的解集是.故选：A例7.（2324高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分类讨论，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.【详解】由题意可知恒成立，当时，恒成立，当时需满足，即，求得，所以实数的取值范围是故选：C【变式训练5】、（2324高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示）．【答案】【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．【详解】不等式的解集为，∴，且1，2是方程的两个实数根，∴，解得，，其中；∴不等式化为，即，解得，因此所求不等式的解集为.故答案为：．【变式训练6】、（2324高一上·山东滨州·期末）一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为.【答案】【分析】利用二次不等式恒成立的条件得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】因为是一元二次不等式，所以，又对一切实数成立，所以，解得，则的取值范围是.故答案为：.【变式训练7】、（2324高一下·河北张家口·开学考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定一元二次不等式的解集求出，再代入解不等式即可.【详解】不等式的解集为，则是方程的两个根，且，于是，解得，则不等式为，解得或，所以不等式的解集为或.故选：D重难点题型4、分式不等式例8.（2324高一下·安徽·阶段练习）不等式的解集为（

）A．或 B． C．或 D．【答案】A【分析】移项、通分，再转化为等价的一元二次不等式，解得即可.【详解】不等式，即，等价于，解得或，所以原不等式的解集为或.故选：A例9.（2324高一上·新疆喀什·期末）不等式的解集是.【答案】【分析】利用分式不等式的解法做即可.【详解】……①……②由①②可得的解集为：.故答案为：.【变式训练8】、（2324高一下·湖南株洲·阶段练习）关于的不等式：的解集为（

）A． B．C