2025年高考数学一轮复习：三角函数【含解析】

2025年高考数学一轮复习-三角函数

一、单选题

1.定义在（。,+⑹上的函数“X）的导函数为（⑴，且（Y+1）广⑺〈卜-若ejo,a=tane,

Z?=sin9+cose,则下列不等式一定成立的是（）

2妙修)

A.f(l)<f(o)B./(1)>

2+sin26

D•%)(2+sin20)<"6)岛++)

C./(l)>/(a)sin26»

2.若/（口=卜苗》+6cosx|+|百sinx-cosx1,则下列说法正确的是（）

A.〃尤）的最小正周期是兀

B.〃x）的对称轴方程为x=g—专（ZeZ）

C.存在实数“，使得对任意的xeR,都存在匹、x2e-1^,0且/马,满足尤）丁-4（尤）/5）+1=0

（k-1,2）

「25兀-

D.若函数g（x）=2/（x）+Z?,xe0,笠（万是实常数），有奇数个零点西，9，…，％”，%“+i（zieN）,

则玉+2（%+W+…+无2”）+%“+1=~^-

2

3.已知正实数C满足：对于任意0,均存在z,jeZ,0<z<7<255,使得cos6-二VC,记C的最小值为2,

J

则（）

1。1B.-^―<2<^—

A.------<2<-------

200010001000500

D.」—</!<二—

C.-----<A<-----

500200200100

b—n_

4.已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且cosC=^「，贝1Jsin3+sinA的取值范围是

2a

)

B.(1典

5.在锐角，ABC中，角A,B,。的对边分别为〃，b,c,_ABC的面积为S,若sin(A+C)=0~~则

b-a

tan"而"的取值范围为()

o/?2-4-r2

6.在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,S为一ABC的面积，且2s=〃一0一。9了,贝!£

be

的取值范围为()

A，[Wil]B-2也/C-2"H)D.[2也问

jr

7.已知函数/(x)=/.sinx各项均不相等的数列｛%｝满足|x,|V](i=l,2,3,令

F(n)=(Xj+x2+L+x„)-[f(Xj)+/(x2)+L+/(%)](〃eN*).给出下列三个命题：(1)存在不少于3项的数列

｛%｝,使得尸(")=0；(2)若数列｛五｝的通项公式为x“=(一?"(weN*),贝1]尸(2口＞。对左©N*恒成立；(3)

若数列｛/｝是等差数列，则2力20对恒成立，其中真命题的序号是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

二、多选题

8.勒洛FranzReuleaux(1829~1905),德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》

对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面

体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四

面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所

示，设正四面体ABCD的棱长为2,则下列说法正确的是()

A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-包

2

B.勒洛四面体被平面A5C截得的截面面积是2（兀-君）

C.勒洛四面体表面上交线AC的长度为三

D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2

9.若〃x）=binx+GcosxH石sinx-cos.q,则下列说法正确的是（）

A.〃尤）的最小正周期是1

B.的对称轴方程为尤=与吱，（ZeZ）

57r7

C.存在实数。，使得对任意的xeR,都存在国出6--,0且x产3,满足［〃切-无）“4）+1=。，

（左=1,2）

「25,

D.若函数g（x）=2/（x）+6,xe。,三-，"是实常数），有奇数个零点石,马,…,电”,々用eN）,则

&+2（%+W+…+/"）+X2n+\=

10.已知函数/（%）=5皿0%+0乂。＞0,0€2在区间有下列结

论正确的有（）

B.若/［不-xj=〃x）,则函数〃x）的最小正周期为万；

C.关于尤的方程=1在区间［0,27）上最多有4个不相等的实数解

D.若函数“X）在区间与，等）上恰有5个零点，则。的取值范围为（IW

11.由倍角公式COS2X=2COS2x-1,可知cos2尤可以表示为cosx的二次多项式.一般地,存在一个〃（”eN*）

次多项式只⑺=。（/'+01尸+外广2+…+%（小,%,生，…%,©R），使得cosnr=月（cosx）,这些多项式匕（。

称为切比雪夫（P.L.AMebysM助）多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）

A,3fB.B（f）=8/一8/+1

「-1oo如-1n,o6+1

C.sin18=--------u.cosl8Q=--------

44

12.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbewz）

的/og。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是，ABC内的一点，BOC、J1OC、AOB

的面积分别为枭、SB、Sc，则5屋。4+5-03+510。=0.若。是锐角ABC内的一点，ZBAC.ZABC.

/ACB是一ABC的三个内角，且点。满足。4.O3=QB-OC=OC-OA,则（）

A.。为」1BC的垂心

B.ZAOB^^-ZACB

C.|OA|:|OB|:|OC|=sinABAC:sinZABC:sinZACB

D.tanZBACOA+tanZABC-OB+tanZACB-OC=0

三、填空题

13.1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角

形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120。时，所求的点为三角形的正等

角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120。）,该点称为费马点.已知一ABC中，其中NA=60。,

BC=1,尸为费马点，则PB+PC-R4的取值范围是.

14.△ABC内接于半径为2的圆，三个内角A,B,C的平分线延长后分别交此圆于4，4，C-则

ABC

AAcos—FBB[cos—FCC,cos—弗/士

f2।2।2的值为

sinA+sinB+sinC

15.已知函数/(c)=z/cosa+gy+sin2a-Jcos?tz+(sina-；)2,若集合{ae2m}w0,则实数优

的取值范围为.

四、解答题

16.设函数/(x)=3sin2x+2sin3xcosx+ar,oeR.

⑴若〃x)在(0,〃0))处切线的倾斜角为:，求。；

⑵若在(f”)单调递增，求。的取值范围；

(3)证明：对任意〃eN*,cos2x+cos4x++cos22"^2x+cos22"-1x+zz>0.

17.定义4(cos6)=cos延(〃eN*)

⑴证明：Tn(cos6)=2小(cos9)cos0-Tn_2(cos6))

⑵解方程：8X5+10X3-X2-12X-2=0(XGC)

18.若点(%%)在函数外尤)的图象上，且满足为则称与是〃尤)的，点.函数“X)的所有♦点

构成的集合称为“X)的，集.

⑴判断『是否是函数/(x)=tanx的，点，并说明理由；

⑵若函数〃x)=sin3x+°)3>0)的？集为R,求。的最大值；

(3)若定义域为R的连续函数八%)的？集。满足。UR,求证：卜，(尤)=0}*0.

19.在锐角AABC中，cosA=^，点。为AABC的外心.

2

(1)^AO=xAB+yAC9求％+丁的最大值；

(2)右a=y/2，

(i)求证：OA+sin2BOB-cos2BOC=0;

(ii)求|3OA+2O3+04的取值范围.

20.英国数学家泰勒发现了如下公式：siiix=—+—-—+，其中〃!=1X2X3X4XLx几，此公式有广

3!5!7!

泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当xe0,1时，sinx<%,sin%>x-—,sinx<%--+—,.

I2)3!3!5!

⑴证明：当时，皿〉(；

I2)x2

(2)设/(力=侬皿,若区间可满足当〃力定义域为［a,可时，值域也为k力］,则称为〃x)的“和谐区间

(i)租=1时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出了(X)的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；

(ii)加=-2时，”力是否存在“和谐区间”？若存在，求出〃尤)的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理

由.

21.己知函数/(X)的定义域为£),若恰好存在〃个不同的实数%,eD,使得/(f)=-f(w)(其中

i=1,2,…,Z"eN*),则称函数/(•«)为“〃级J函数”.

⑴若函数=试判断函数/(x)是否为“"级J函数”，如果是，求出〃的值，如果不是，请说明理

由；

⑵若函数〃x)=2cosox+1,尤e［-2兀,2同是“2022级J函数”，求正实数。的取值范围；

加2

⑶若函数〃%)=4:(加+2)2+丁是定义在R上的“4级/函数”，求实数机的取值范围.

4

22.已知sina+cosa=3求sir?a+cos，°的值.

23.现给出三个条件：①函数Ax）的图象关于直线x=f对称；②函数f（x）的图象关于点（-J,。）对称；③函

36

数/（X）的图象上相邻两个最高点的距离为兀.从中选出两个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问

题.

已知函数/■（无）=V^sin（3x+（p）（0>0,|。|<弓），_____，_____.求函数f（x）在区间［-£/］上的最大值和最

22O

小直

参考答案与解析

一、单选题

1.定义在(0,+8)上的函数/(到的导函数为((力，且(/+1)尸(同<卜-曰“尤)，若夕」0,：；0=12讲,

b=sin，+cos，，则下列不等式一定成立的是()

2妙修)

A./(l)</(a)B./(1)>

2+sin26

c./(l)>/(«)sin26>D./(a)(2+sin20)</(&)[^-+-^-

Isin"cos"

【答案】B

(/W

【分析】构造函数g⑴一二了，求导得出函数g(x)在(o,+8)上单调递减，得出g(a)>g(l)>g(b),代入

X

a=tan^,Z?=sin^+cos^,得出相应的不等关系，逐一进行判断选项即可.

【详解】由已知得(年+1)广(司-；ag⑴一1,则

XH----

X

g'(x)=-----0,

尤+11

XIX+一

所以g(x)在(0，+8)上单调递减，因为。［o，：］,〃=tane,所以“£(0,1),

b=sin6+cos6=V2sin^+^-je(1,忘)，

则g(a)>g(l)>g(b),即黑学t

因为tan2e+l=金为，所以，北；[)=/(a)sinecose,所以/⑴</(a)sin28,

因为。e1o,£|,0<sin29<l,/(a)的符号不确定，所以/⑴<〃。)不一定成立，故A,C不正确；

因为〃+l=2+sin2e,所以〃1)>2.」),故B正确；

\'2+sin28

由坐回>驾”得/⑷sm-(sine+cos.9),即小)(2+sin2。)>“扉上+'],故

tanW+lb-+l''2+sin2<9(sindcos6J

D错误；

故选：B.

2.若〃％)=卜•%+石cosx|+2sinx-cosx1,则下列说法正确的是()

A.的最小正周期是兀

B.的对称轴方程为尤若**eZ)

SJTQ

C.存在实数。，使得对任意的xeR,都存在网、々©-万，。且西片々，满足［〃切一-少(无)”4)+1=。

(k=l,2)

「25兀1

D.若函数g(x)=2/(x)+b,xe0,——(6是实常数)，有奇数个零点不，%，…，/“，x2n+l(zieN),

则X［+2(尤2+尤3+…+尤20)+%2,+1=^-

【答案】B

【分析】A选项，平方后利用辅助角公式化简得到/(x)=2卜sin12x+，j,得到|■为函数的周期，A错

误；

利用整体法求解函数的对称轴方程，B正确;

首先求出〃x)e［2,2@,/(x)+y^je,画出xe-Q,0上的y=")的函数图象，问题等

价于4(x)=〃x)+看有两个解,

数形结合得到«2a,与卜［(石+l)a,2缶)，无解，C错误;

D选项，g(x)=0的根转化为“*)与了=-］交点横坐标，画出图象，结合对称性求解.

【详解】〃x)=2sin

/(x)>0,.-./(x)=2

对于A,小+升2J1+sin2x+7i+—7i=2J1+sin2%+—兀=/(x),

■为/■(%)的周期，A错误；

，2\QITTT

对于B,y=sinlI的对称轴方程为2X+1兀=万.

ku11(左+1)兀71k,7t7t,,［、,r-工舄

/.x=--------(ZeZ)jpx=~L------=-!-----(《eZ)..1B正确.

4343412

对于C,对VreR,有〃尤)—［2,2虚］,

*.*y=x-\—在(1,+℃)上单调递增,

[〃切2一的(“(4)+1=0(%=i,2),等价于4(x)=〃x)+"看有两个解,

1

当a=0时，，(x)+〃x)=0显然无解,

不妨设。＞0，画出y=b(x)在xe--j1-7C.O的的图象，如图所示:

—>2a

2

.无解.故C错误;

14

b

对于D,g(x)=o的根为y(x)与y=-］交点横坐标.

有奇数个交点，

XV3+1,

2

且占+尤2_71x2+x3_5兀x3+x4_8兀x4+x5_1171x5+x6_14K

26212，212212212

1771毛+/_20Kx+%9_23K

%+3二8,玉+2(%+七1-+/)+%=~~~

2一~12~2~~V22一五

，D错误.

JJ+1b

.严一2

oXKKKKXKX；’257rt

12

3.已知正实数。满足：对于任意6，均存在Z,jeZ,0<z<j<255，使得cos26-上WC，记。的最小值为A,

]

则()

—B.」一</<」—

A.

200010001000500

—

c.D.—<2<—

500200200100

【答案】B

【分析】将问题转化为对于任意无目。』，均存在力wZ,0<i</<255,使得丁，结合数轴求得当x

在相邻的两个点0,上或粤」中点时，L=与，则有

【详解】题设等价于对于任意光目0』，均存在U£Z,0<zWj<255,使得x--<C,将一在数轴上表示

J

如下:

I2254

02552541

255

当X与上述数轴上的点重合时，易得存在"eZ,0WKX255使得尤」=0,又C为正实数，则<C

J

成立;

1i

当X与上述数轴上的点不重合时，假设在相邻的两个点人，包之间，则X——-<—c2.包，当且仅当X在相

Jih2hJi

邻的两个点乙，区中点时取等,

Jih

则有T/人

要使对于任意1目0』，均存在仃WZ,OVW255,使得x—WC,4

j

125411254

又数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为双-。=1-忘=而此时X在相邻的两个点。，发或发」

11

中占，plljC>—x-----=------

-2255510

1kk

以下说明数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为存，易得数轴上曝，宗(％eZ,0<^<254)两点之间

乙JJJ乙DD

的距离为不,

17541kk

当』或S4,。石和赤」为相邻的两点，之间的距离为后当"S3时，则云〈西〈击

即存,存之间必存在点兀，可得相邻的两点之间的距离小于京，综上可得数轴上所有相邻的两个点

之间距离最大为短.

故a=」—，故」一

5101000500

故选：B.

h—Z7

4.已知锐角的内角A,B,C的对边分别为〃，b,C,且cosC==「，贝!JsinB+sinA的取值范围是

2a

B.(1,V3]

D.

【答案】D

【分析】根据正弦定理把边化成角，找出AC之间关系，结合锐角三角形推出A的范围，然后把sinB+sinA

全部转化到关于A的函数即可求出范围.

b-a-sinB-sinA...「•4c―

【详解】由cosC=------=>cosC=-----------------n2sinAcosC=sm3—smAn2smAcosC

2a2sinA

=sin(A+C)-sinAsinAcosC=cosAsinC-sinAsinA=sin(C-A),所以A=C-A,解得

717171兀71

C=2Ae0,',所以又A+C=3Ae,解得Ae.综上，Ae，所以

46,36,4

sinAG"近1

2’2

7

所以sin3+sinA=sin(A+C)+sinA=sin3A+sinA=sinAcos2A+cosAsin2A+sinA

=sinA(1-2sin2A)+2sinAcos2A+sinA

=sinA^l-2sin2A^+2sinA(l-sin2A)+sinA=4sinA-4sin3A

<x<#,令r(x)<o,解得

令4了)=4%-4%3,xe则r(x)=4—12f,令03>0,解得J_

，，7J2

g<x<g,故“X）在心书上单调递增，在忤制上单调递减，

所以十心"图=等,又W，了电弓故〃尤”（在明,

（o/?■

BPsinB+sinAG^2,—.

故选：D.

2S

5.在锐角-ABC中，角A,B,。的对边分别为〃，b,c,_ABC的面积为S,若sin（A+C）=0—则

b-a

3A+而匕的取值范围为（）

【答案】C

【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出A8关系后求解

【详解】在ABC中，sin（A+C）=sinB,S=^acsinB,

故题干条件可化为由余弦定理得〃=〃+°2—2〃CCOS5,

故c=2acos5+〃，又由正弦定理化简得：

sinC=2sinAcosB+sinA=sinAcosB+cosAsinB,

整理得sin(B-A)=sinA,故6—A=A或B—A=n—A(舍去)，得6=2A

„.7T

0<A<—

2

..ABC为锐角三角形，故〈0<2A<—,解得—<A<—,故<tanA<1

2643

兀

0<九一3A<—

2

tanA+---------------=tanA+—-—e

3tan(B—A)3tanA

故选：C

6.在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,S为一ABC的面积，且2S=/―仅一y，则经三

be

的取值范围为（）

43592不

A.B.C.D.[2后口

155152T

【答案】C

【分析】根据余弦定理和ABC的面积公式，结合题意求出sinA、cosA的值，再用C表示B,求出？=2丝

csmC

,2Z?2+c1

的取值范围，即可求出的取值范围.

be

【详解】解：在中，由余弦定理得a?=从+/一2〃ccosA,

且的面积S=-Z?csinA,

2

由2s="-(人-0/，besinA=2bc—2Z?ccosA,化简得sinA+2cosA=2,

JI、、、

又A£（0,1）,sin2A+cos2A=1,联立得5sin2A_4sinA=0,

2

4

解得sinA=1或sinA=O（舍去）,

二匚2bsin5sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC43

所忆k-------------;-----------------=----------'—，

sinCsinC5tanC5

因为"C为锐角三角形，所以0<C或，B=iC《,所以

1_3由N1所以2b

所以tanC>tan%-N益入=W'所以就G

C

（

h35LLIr2Z?2+c2_bc_1_

设g=f,其中“所以一^=2》+万=2'+7=2r+2

C513

\7

由对勾函数单调性知y=2/+1!在||,

上单调递减，在上单调递增,

t

当,=时，y-2^/2；当％=1时，y-—；当,=§时，y=—

lb2+c2

所以"2应即的取值范围是2A/2,1|J,

be

故选：C.

jr

7.己知函数/(x)=Fsinx各项均不相等的数列区｝满足|七区]《=1,2,3,，江令

F(«)=(X1+X2+L+%)."(占)+/(%)+L+/(x,,)]SeN*).给出下列三个命题：(1)存在不少于3项的数列

｛Z｝,使得网")=0；(2)若数列｛%｝的通项公式为斗=(-｝"(〃eN*),则尸(2Q>0对左eN*恒成立；⑶

若数列｛%｝是等差数列，则对〃©N*恒成立，其中真命题的序号是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

【答案】D

77

【解析】由题意，函数"x)=/-sinx是奇函数，只需考查函数在xe0,—的性质，此时y=f,y=sinx

TT

都是增函数，所以/(尤)=/-sin尤在xe0,—上也是增函数，即玉+超片。时，(占+々)(再)+/。2)]>。，

对于(1),--<xt=-x3<^,x2=0,即可判断；对于(2),运用等比数列求和公式和和三角函数的性质,

即可判断；对于(3),运用等差数列求和公式，及不等式的性质，结合函数/(x)的单调性，即可判断；

【详解】f(-x)=(-X)2-sin(-x)=-x2-sinx=-f(x),所以/(尤)=V-sinx是奇函数，只需考查函数

JTJT

在xe0,—的性质，此时y=f,y=sinx都是增函数，所以/(x)=炉.sinx在xe0,—上也是增函数，即

TTITTTTT

函数/Oh/-sin尤在尤e上也是增函数，设无1，尤26

若占+无2<0,则不<_/,.•./(&)</(—即/(西)+/(尤2)<0

若无]+%>0,则X]>-无2，二/(玉)>/(一9)=一/(9)，即/(%)+/(%)>0

所以3+彳2二。时,(国+^2)，"(占)+/(八)]>0,

TTJT

对于(1),=-x3<—,x2=0,F(3)=(xx+x2+x3)-[/(x,)+/(x2)+/(x3)]=0,故(1)正确；

对于(2),Qx.=(-w)0(〃eN*),

Y+X+L+L£BI一[JM<。

•.X+W+L+X〃一[]]_3'zjj<U

V々、〜」1产).(1丫-11丫山.11丫"

又了(%2"1)+/(%)=Dsml--1+l

I2j

nr1.⑴21c.c仆丫¥("I.

一「JSinld+UJSmN=[)尸sin[

令3,则yiin,「+s支丫“

-=-4sin2。+sina

d

=-8sinacosa+sina=sina(l-8cosa)

又左cN*,知0<aW,，贝Usina>0,cos』Wcosa<l,则-7<1-8cosaWl-8cos」,

444

八71(n7T^\n兀.n.71A/24V61

Qcos——=cos-----=cos—cos——Fsin—sin—=----->,

12(34)343448

又丁=85尤在(0,口上单减，「.85；>以)5奈,BPCOS-

—>一,/.1—8cos—<0

484

.•.sin^(l-8cos«)<0,即-4sin?]+sin?]<0

则/(%2I)+/(%2左)<°，

由左的任意性可知，/(xJ+/(X2)+L+/(均)<。，

又占+%+L+x21t<0,所以歹(2%)=(%+9+1+8)・"(%)+/(X2)+L+/(右)]>。，故(2)正确;

对于(3),数列｛斗｝是等差数列,

若玉+%++xn=0,贝!|尸(")=0；

若占+%>0,即玉>T“，又/⑺是奇函数也是增函数有/(再)>/(-%)=-/(%),可得/■(%)+/(%)>0；

同理：

若马+%」>0,可得/(%)+/(%」)>0；

若无3+尤"一2>0，可得/(尤3)+/(无.一2)>。；

相加可得：若玉+Z+L+%>。，可得/(玉)+/(X2)+L+/(斗)>0,即F⑺>0；

同理若%+%+L+%<。，可得/(%)+/■(尤2)+L+/(斗)<0,即尸(〃)>0,故(3)正确;

故选：D.

二、多选题

8.勒洛FranzReuleaux(1829~1905),德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》

对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面

体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四

面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所

示，设正四面体A5CD的棱长为2,则下列说法正确的是()

A

'勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-9

B.勒洛四面体被平面ABC截得的截面面积是2(无-道)

C.勒洛四面体表面上交线AC的长度为年

D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2

【答案】ABD

【分析】A选项：求出正四面体ABCZ)的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B选

项，作出截面图形，求出截面面积；C选项，根据对称性得到交线AC所在圆的圆心和半径，求出长度；D

选项，作出正四面体对棱中点连线，在C选项的基础上求出长度.

【详解】A选项，先求解出正四面体"CD的外接球，如图所示：

取CO的中点G,连接BG,AG,过点A作AFL3G于点尸，则E为等边.4BC的中心,

外接球球心为。，连接。3,则0408为外接球半径，设（M=O8=R,

由正四面体的棱长为2,则CG=OG=1,BG=AG=6

_1_也22币

FG——BG—----,BRrP=—BG=------

3333

AF=dAG-FG。=孚,OF=AF-R=^--R,

由勾股定理得：0尸+8尸=0。2,即［亚一尺］+（空］=片，

13JI3J

解得：R=显,

2

此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：

图中取正四面体ABC。中心为0,连接8。交平面ACE）于点E,交AD于点尸，其中人。与△ABD共面,

其中3。即为正四面体外接球半径R=旦,

2

设勒洛四面体内切球半径为厂，贝l|r=O歹=2尸-20=2-必，故A正确；

2

B选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示:

面积为3x^-x^x22-^-x22+^-x22=2^7T-A/3j

B正确;

C选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC所在圆的圆心为的中点M,

故MA=MC=5又AC=2,

人才+加。2—人。2

3+3-4_1

由余弦定理得:cosZAMC=

2AMMC-2x^x-x/3-3

故NAMC=arccos；,且半径为由，故交线AC的长度等于6arccosg,C错误；

D选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：

连接GH,交48于中点S,交C。于中点T,连接AT,则ST=，-〃—胡］=,3-1=夜,

则由C选项的分析知：TG=SH=布,

故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2,D正确.

故选：ABD

9.若〃引=卜抽彳+石cos1+|V^sinx-cos.q,则下列说法正确的是（）

A.的最小正周期是5

B.的对称轴方程为A与后，（ZeZ）

2

C.存在实数a,使得对任意的xeR,都存在4七€——,0且%满足［〃尤）丁-4（同〃4）+1=0,

（左=1,2）

D.若函数g(x)=2/(x)+6,尤e0,不-,(匕是实常数)，有奇数个零点占,孙…,均，马用(〃©N),则

_/、50»

%+2(%2+退+…+%2〃)+%2计1-

【答案】AD

【分析】由题设得/5)=2/1+|3(2工+,)1，根据三角形函数＞=32》与y=|cos2x|的周期、对称轴变化

57r

性质判断，(X)最小正周期和对称轴，根据方程恒能成立有m