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文档简介
福建省清流一中2024-2025学年高三第一次模拟考试试题数学试题
请考生注意:
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答
案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦
九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入x的
值为2,则输出的v值为()
A.9x2"-2B.9x2")+2C.9x2n+2D.9x2u-2
2.命题0:Vxe(-l,2],x2-12x+a>0(o6R)的否定为
2
A.Bx06(-1,2],Xg—2x0+a>0(«wR)B.Vxe(-1,2],x—2x+a<0(aeR)
2
C.3x0e(-1,2],x:—2x0+a<0(«eR)D.Vxg(—l,2],x-2x+a<0(oeR)
111、2v111、
3.已知无穷等比数列{4}的公比为2,且则年+%+…+-)--=--~9贝!|hm(—+—+.••+—)=()
a
2n-l32a2a4a2n
124
A.B.-C.1D.
333
4.若a=0.5°-6,Q0.6°-5,C=2°5,则下列结论正确的是()
A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a
5.关于函数/(%)=-sin|x—晟
在区间I,%的单调性,下列叙述正确的是()
A.单调递增B.单调递减C.先递减后递增D.先递增后递减
6.对于任意xeR,函数/(x)满足/(2—x)=—/(x),且当x..l时,函数/(x)=JE.若
a===g],则”,仇c大小关系是()
A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a
—JC*+/?X<1
7.已知函数/(%)=alnx若曲线y=/(x)上始终存在两点A,B,使得且A5的中点在丁
----------,x>1
x(x+l)
轴上,则正实数〃的取值范围为()
A.(0,+oo)B.I0,-C.-,+<x>ID.[e,+oo)
004
8.设a=logoo80,04,b=log030.2,c=o,3,则〃、b、c的大小关系为()
A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c
9.如图,在棱长为4的正方体ABC。—A4GA中,E,F,G分别为棱AB,BC,CQ的中点,M为棱AD的中点,
设P,。为底面ABC。内的两个动点,满足。P//平面E尸G,〃Q=J万,则PM+P。的最小值为()
A.372-1B.30-2C.2逐-1D.2e-2
10.如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的
a,分分别为176,320,则输出的。为()
A.16B.18C.20D.15
11.设点AX。),尸为曲线丁=产上动点,若点A,P间距离的最小值为疵,则实数f的值为()
「5cIn2cIn3
A.A/5B.—C.2H-------D.2H-------
222
12.已知〃>0,A>0,a+b=1,若—,/?=b+—,则a+/?的最小值是()
ab
A.3B.4C.5D.6
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知下列命题:
①命题叼xoGR,X;+1>3%”的否定是“VxGR,x2+l<3x,5;
②已知p,q为两个命题,若“pVq”为假命题,则”为真命题;
③%>2"是“>5”的充分不必要条件;
④“若盯=0,则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.
其中所有真命题的序号是.
77JT
14.在△ABC中,AB=2,B=—,C=-,点P是边的中点,则AC=,APBC=.
46
15.在平面直角坐标系中,已知圆。:必+(丁—1尸=1,圆。:(X+24)2+/=6.直线/:y=kx+3与圆C相切,
且与圆C'相交于A,B两点,则弦A5的长为
16.AB,C三所学校举行高三联考,三所学校参加联考的人数分别为160,240,400,为调查联考数学学科的成绩,
现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本,若在3学校抽取的数学成绩的份数为30,则抽取的样本容量为
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数/'(x)=^|x2+cosx(«eR),f(x)是/(尤)的导数.
(1)当。=1时,令〃(%)=/'(%)—x+lnx,"(x)为/i(x)的导数.证明:“(X)在区间存在唯一的极小值点;
2
(2)已知函数y=/(2x)—―/在0,-上单调递减,求。的取值范围.
3LN_
18.(12分)已知a>0,b>0,函数/(%)=|2》+同+上一4的最小值为g.
(1)求证:a+2b=l;
(2)若2a+b之幻力恒成立,求实数/的最大值.
19.(12分)设函数/(%)=6cos?x—Gsin2x.
77
(1)求八方)的值;
7C
(2)若xe-.71,求函数f(x)的单调递减区间.
20.(12分)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远
镜.使用三年来,已发现132颗优质的脉冲星候选体,其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星,脉冲星是上世纪60年
代天文学的四大发现之一,脉冲星就是正在快速自转的中子星,每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)
是一定的,最小小到0.0014秒,最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉
冲星的自转周期,绘制了如图的频率分布直方图.
(1)在93颗新发现的脉冲星中,自转周期在2至10秒的大约有多少颗?
(2)根据频率分布直方图,求新发现脉冲星自转周期的平均值.
21.(12分)选修4-4:坐标系与参数方程
%=2cos0L
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为「.(a为参数).以直角坐标系原点O为极点,x轴的
y=sma
正半轴为极轴建立极坐标系,直线I的极坐标方程为夕cos(8-2)=2五,点P为曲线C上的动点,求点P到直线1
距离的最大值.
22.(10分)已知函数y=/(x).若在定义域内存在与,使得/(—%)=—/(%)成立,则称/为函数y=/(x)的局
部对称点.
(1)若a,AwH且。邦,证明:函数/(芯)=/+法-〃有局部对称点;
(2)若函数g(尤)=2*+c在定义域[-1,1]内有局部对称点,求实数c的取值范围;
(3)若函数/z(x)=4'—巾2团+/—3在R上有局部对称点,求实数机的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的左,v的值,当k=-1时,不满足条件左..0,跳出循环,输出v的
值.
【详解】
解:初始值v=10,x=2,程序运行过程如下表所示:
k=9,
v=10x2+9,左=8,
v=10x22+9x2+8,左=7,
v=10x23+9x2~+8x2+7,k=6,
v=10x24+9x23+8x22+7x2+6,k=5,
v=10x25+9x24+8x23+7x22+6x2+5,k=4,
v=10x26+9x25+8x24+7x23+6x22+5x2+4,k=3,
v=10x27+9x26+8x25+7x24+6x23+5x22+4x2+3,k=2,
v=10x28+9x27+8x26+7x25+6x24+5x23+4x22+3x2+2,k=T,
v=10x29+9x28+8x27+7x26+6x25+5x24+4x23+3x22+2x2+1,k=0,
v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x2s+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0,k=-l,
跳出循环,输出v的值为
^43v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x26+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0®
2V=10X2"+9X210+8X29+7X28+6X27+5X26+4X25+3X24+2X23+1X22+0®
①一②得
-V=-10X211+1X210+1X29+1X28+1X27+1X26+1X25+1X24+1X23+1X22+1X2
2(1-210)
-v=-10x2n+—^-----
1-2
v=9x2"+2.
故选:C.
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到左,V的值是解题的关键,属于基础题.
2.C
【解析】
命题0为全称命题,它的否定为特称命题,将全称量词改为存在量词,并将结论否定,可知命题。的否定为
玉o—2%+a<O(awR),故选C.
3.A
【解析】
依据无穷等比数列求和公式,先求出首项4,再求出出,利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。
【详解】
,1,1
因为无穷等比数列{为}的公比为2,则无穷等比数歹1){一}的公比为一。
an2
£
1112Z72
由hm(一+—+---+----)=二有,一!—=->解得4=2,所以劣=4,
…4%a2n_}313
1--
4
lim(—+—+••■+-)=-^―=-,故选A。
f«2«41_A3
4
本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。
4.D
【解析】
根据指数函数的性质,取得”,仇c的取值范围,即可求解,得到答案.
【详解】
由指数函数的性质,可得1>0.6°5>0.5°5>0.506>0,即
又由C=2°'5>1,所以c>b>a.
故选:D.
本题主要考查了指数累的比较大小,其中解答中熟记指数函数的性质,求得”,仇。的取值范围是解答的关键,着重考
查了计算能力,属于基础题.
5.C
【解析】
先用诱导公式得/(x)=-sin=cosx+g,再根据函数图像平移的方法求解即可.
【详解】
函数/(X)=-SinX-W=cosx+。的图象可由y=cos%向左平移?个单位得到,如图所示,/(%)在g加上先
本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.
6.A
【解析】
由已知可得口,”)的单调性,再由7(2-%)=-/(幻可得/(X)对称性,可求出/(X)在(-8,1)单调性,即可求出结论.
【详解】
对于任意xeR,函数/(X)满足f(2-x)=-/(%),
因为函数/(尤)关于点(1,0)对称,
当xNl时,/(x)=GT是单调增函数,
所以f(x)在定义域R上是单调增函数.
因为—<—<一,所以/
232
b<c<a.
故选:A.
本题考查利用函数性质比较函数值的大小,解题的关键要掌握函数对称性的代数形式,属于中档题..
7.D
【解析】
根据中点在y轴上,设出A,B两点的坐标A(T,r+/2),C>0).对f分成=三类,利用
Q4LC归则殖.砺=0,列方程,化简后求得a=-L,利用导数求得」;的值域,由此求得。的取值范围.
]ntInr
【详解】
根据条件可知A,B两点的横坐标互为相反数,不妨设A(fr+巧,B(tJ⑴),(/>0),若/<1,则于(t)=-t3+/,
由。所以次•赤=0,即—r+(/+/2)(—73+/2)=0,方程无解;若显然不满足Q4,06;若/>1,
”、aIn%_»2/32a]nt八t「,ln?-lt
则/⑺=/«+D,由。4k.03=0,即一厂+(厂+厂~~=。,即4=---,因为~~所以函数一
t(t+1)In%(in?)Inf
在(O,e)上递减,在(e,M)上递增,故在/=e处取得极小值也即是最小值*=e,所以函数y=±在(1+8)上的
值域为[e,+oo),故ae[e,+8).故选D.
本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示,考查化归与转化的数学思想方法,考查利用导数研究函数的最
小值,考查分析与运算能力,属于较难的题目.
8.D
【解析】
因为a=log0080.04=2log0080.2=log师0.2>log至1=0,b=log030.2>log031=0,
所以工=log02A/O08,-=log0,0.3且y=log02x在(0,+“)上单调递减,且血质<0.3
ab
所以所以匕>a,
ab
又因为a=log的丽0.2>log向丽=1,c=O,3004<0.3°=1>所以
所以Z?>a>c.
故选:D.
本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小,难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小,还可以根据中间
值“0,1”比较大小.
9.C
【解析】
把截面EFG画完整,可得P在AC上,由。]。=,万知。在以。为圆心1为半径的四分之一圆上,利用对称性可得
PM+PQ的最小值.
【详解】
如图,分别取G,,24,AA的中点连接GH,HI」J,JE,易证瓦£G,J共面,即平面ERG为截面
EFGHIJ,连接A2,£>C,AC,由中位线定理可得AC//E产,平面ERG,EFu平面EFG,贝UAC//平
面EFG,同理可得AQ//平面EPG,由ACIAR=A可得平面A。。//平面ERG,又2。//平面跖G,P在
平面ABCD上,PeAC.
r
正方体中DD,1平面ABCD,从而有DDX1DQ,,DQ=而5二=1,Q在以。为圆心1为半径的四分
之一圆(圆在正方形ABC。内的部分)上,
显然M关于直线AC的对称点为E,
PM+PQ=PE+PQ>PE+PD-DQ>ED-DQ=A/42+22-1=2际—1,当且仅当E,P,Q,O共线时取等号,
•,.所求最小值为2出-1.
故选:C.
本题考查空间距离的最小值问题,解题时作出正方体的完整截面求出P点轨迹是第一个难点,第二个难点是求出。点
轨迹,第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值.
10.A
【解析】
根据题意可知最后计算的结果为a,b的最大公约数.
【详解】
输入的。,6分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a,6的最大公约数,按流程图计算
320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16176和320的最大公约
数为16,
故选:A.
本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.
11.c
【解析】
设尸(x,/),求|AP『,作为X的函数,其最小值是6,利用导数知识求|AP『的最小值.
【详解】
设P(x,e*),贝可A/f=(x—t)2+e2”,记g(x)=6?工+(x-y,
g'(x)=2e2x+2(x-t),易知g'(x)=2e?x+2(x-f)是增函数,且g'(x)的值域是R,
的唯一解质,且时,〉/时,即
g'(x)=OTV5g'(x)<0,Xg'(x)>0,g(x)1nhi=g(x()),
由题意。而—e"x°,
g(x())=e"'°+(X—f)2=6,g'(Xo)=2e-'°+2(%—f)=0,x0—/=
In2
/.e2x°+e4x°=6,解得e2,°=2,5~T
2"cIn2
e°+xo=2+^-•
故选:C.
本题考查导数的应用,考查用导数求最值.解题时对天和/的关系的处理是解题关键.
12.C
【解析】
根据题意,将纵b代入a+/,利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】
Vci>0,b>0,a+b=l,
c1,1,1,1u
a+/3=a+—+b+—=l+—>1+---------二=5
abab(a+b\
2
当且仅当a=b=工时取"=”号.
2
答案:C
本题考查基本不等式的应用,“1”的应用,利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的
内涵:一正是首先要判断参数是否为正;二定是其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是最
后一定要验证等号能否成立,属于基础题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.②
【解析】
命题FxGR,x?+l>3x”的否定是"VxGR,X2+1W3X”,故①错误;"pVq"为假命题说明p假q假,则(~'pl/V-'q)为
真命题,故②正确;a>5今a>2,但a>2今/a>5,故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件,故③错误;因为“若xy=O,
则x=0或y=0",所以原命题为假命题,故其逆否命题也为假命题,故④错误.
14.262
【解析】
根据正弦定理直接求出AC,利用三角形的边表示向量然后利用向量的数量积求解而•前即可.
【详解】
7171
•.•△ABC中,AB=2,B=-,C=-,
46
.AC_AB
sinBsinC
可得AC=2&
因为点尸是边BC的中点,
所以Q.瓦」(丽+恁〉〃」(砺
2222
=-x(2^)2--x22=2
22
故答案为:2虎;2.
本题主要考查了三角形的解法,向量的数量积的应用,考查计算能力,属于中档题.
15.V15
【解析】
利用直线与圆相切求出斜率左,得到直线的方程,几何法求出|A6|
【详解】
解:直线/:>=履+3与圆。相切,C圆心为(0,1)
|-1+3|,广广
由“2+]=1'得k=或—>
当y=—gx+3时,C到直线的距离d=6节=3>q6,不成立,
当>=耳+3时,/与圆C相交于A,B两点,C到直线的距离1=株*=m,1421=2/6-■|=后
故答案为JI?.
考查直线与圆的位置关系,相切和相交问题,属于中档题.
16.100
【解析】
某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.
【详解】
y
设抽取的样本容量为X,由已知,30=240X--------------,解得x=100.
160+240+400
故答案为:100
本题考查随机抽样中的分层抽样,考查学生基本的运算能力,是一道容易题.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(1)见解析;(2)a<\
【解析】
⑴设g(x)=/z'(x)=L—cosx,g'(x)=」+sinx,注意到g'(x)在(0=]上单增,再利用零点存在性定理即可解
%xI
决;
2JiJI4乃
(2)函数y=/(2x)——/在0,—上单调递减,则y<0在0,—恒成立,即2ox-sin2x——/<0在0,—上
3_2__2_3_2_
一
恒成立,构造函数根(%)=2〃%一3山2%一§4Xa3,求导讨论皿%)的最值即可.
【详解】
(1)由已知,f\x)=x-sinx,所以/z(x)=ln%—sinx,
,1-1
设g(x)=h(x)=——cosx,g(x)=—+sinx,
xx
当时,g'(x)单调递增,而g'⑴<0,g'O,且g'(x)在上图象连续
不断.所以g'(x)在[o,|^上有唯一零点々,
当xe(0,tz)时,g"(x)<0;当时,g'(x)>0;
•••g(x)在(0,tz)单调递减,在[a,单调递增,故g(x)在区间[o,(J上存在唯一的极小
值点,即"(x)在区间10,上存在唯一的极小值点;
(2)设左(x)=x-sin%,xe[0,+oo),=l-cosx>0,
/.k(x)在[0,+GO)单调递增,k(x)>k(0)=0,
即%Nsinx,从而sin2%<2i,
27C
因为函数y=/(2x)—qx4在0,-上单调递减,
3乙
4T7C1
m(x)=2ax-sm2x--x<Olt0,—上恒成立,
2
令加(%)=2a-2cos2%一412=p(x),
sin2x<2x,
p(%)=4sin2x-8x<0,
冗,,
加(x)在0,—上单调递减,m(x)max=m(0)=2tz-2,
当aWl时,〃z(x)<0,贝打”(无)在0,-上单调递减,m(x)<m(0)=0,符合题意.
,71
当。>1时,wi(x)在0,—上单调递减,
m(0)=2a-2>0所以一定存在x0ef0,—
当0<兀</时,〃/(x)〉0,巩尤)在[0,%)上单调递增,m(xo)>m(O)=O
与题意不符,舍去.
综上,。的取值范围是aWl
本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题,在处理恒成立问题时,通常是构造函数,转化成函数的最
值来处理,本题是一道较难的题.
18.(1)见解析;(2)最大值为9.
【解析】
(1)将函数y=/(可表示为分段函数,利用函数的单调性求出该函数的最小值,进而可证得结论成立;
171212
(2)由2a+b»幻5可得出fW—+/,并将代数式一+,与a+2)相乘,展开后利用基本不等式可求得一+二的最小
ababab
值,进而可得出实数♦的最大值.
【详解】
C7a
—5x—〃+仇x<—
2
ia/7
(1)v/(x)=2x+(2+x-/?=<x+a+b,——<x<b.
2
3x+a-b,x>b
当x<—]时,函数y=/(x)单调递减,则/(£)〉/[一"IJ;
当—时,函数y=/(x)单调递增,则/[一"l]</(%)</㈤;
当x>b时,函数y=/(x)单调递增,则/(%)>/0).
综上所述,/(x)之/,■!■]=£+6=g,所以a+2b=l;
(2)因为2。+/?2幻〃恒成立,且a>0,b>0,所以/《世也恒成立,即/<?.
ab\ba)mia
因为2+4=[2+工](。+24=5+竺+2之5+2J亚•2=9,当且仅当a=人=」时等号成立,
ba\baJab\ab3
所以/49,实数/的最大值为9.
本题考查含绝对值函数最值的求解,同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数,考查推理能力与计算能力,属于中
等题.
19.(1)/I-I=3+V3(2)/(%)的递减区间为—和
【解析】
71
(1)化简函数/(%),代入%=一,计算即可;
12
n
(2)先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间,再结合工£飞兀即可求出.
【详解】
(1),//(x)=6cos2X-A/3sin2x=3(1+cos2x)-百sin2x
=-v3sin2x+3cos2x+3
兀兀兀
(2)令----F2k7i<2x-----<—F2k兀,k&Z,
2132
兀57r
解得-----FkjiWxW-----Fk/c,k&Z.
1212
JI57r
即函数/(x)的所有减区间为一:+k兀,+k兀,左eZ,
nn5万11〃
考虑到xe—,n取左=0,1,可得xe——,万
12
„乃5乃11万
故/(x)的递减区间为石'和~\2'71'
本题主要考查了三角函数的恒等变形,正弦函数的图象与性质,属于中档题.
20.(1)79颗;(2)5.5秒.
【解析】
(1)利用各小矩形的面积和为1可得“,进而得到脉冲星自转周期在2至10秒的频率,从而得到频数;
(2)平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到.
【详解】
(1)第一到第六组的频率依次为
0.1,0.2,0.3,0.2,2a,0.05,其和为1
所以2a=1-(0.1+0.2+0.3+0.2+0.05),a=0,075,
所以,自转周期在2至10秒的大约有93x(1—0.15)=79.05。79(颗).
(2)新发现的脉冲星自转周期平均值为
0.1x1+0.2x3+0.3x5+0.2x7+0.15x9+0.05x11=5.5(秒).
故新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5秒.
本题考查频率分布直方图的应用,涉及到平均数的估计值等知识,是一道容易题.
2
21.(1)^-+y=1,x+y=4(2)Jmax=272+^-
【解析】
试题分析:利用夕0«6=羽夕5111。=丁将极坐标方程化为直角坐标方程:夕cos(
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