重庆市某中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学自测模拟试题（解析版）

重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试自测模拟

试卷

一.选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.四个有理数一1,2,0,一3,其中最小的是（）

A.-1B.2C.0D.-3

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了有理数的大小比较.根据“正数大于0,0大于负数比较，两个负数比较大小，绝对值

越大其值越小”即可判断.

【详解】解：|-3|=3,|-1|=1，3>1,

-3<-1<0<2,

最小的数是—3,

故选：D.

2.随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强,以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志,

其中是中心对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.

【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D^不是中心对称图形，不符合题意；

故选B.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义.

3.下列调查中，最适合抽样调查的是（）

A.调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况

B.调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯

C.调查某种面包的合格率

D.调查某校足球队员的身高

【答案】C

【解析】

【分析】根据调查对象的范围选取合适的调查方法.

【详解】解：A、七年级一班学生人数较少，适用于全面调查，不符合题意；

B、某班学生人数较少，适用于全面调查，不符合题意；

C、某种面包的合格率，宜用抽样调查，符合题意；

D、某校足球队员的身高，宜用全面调查，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了抽样调查、全面调查的应用，遵循定义和适用范围是解决本题的关键.

4.估计（2后+6卜夜的值应在（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

【答案】C

【解析】

【分析】先进行二次根式的计算，再根据逐的取值范围确定结果的取值范围.

【详解】V（2V2+V3）xV2=4+V6

V4<6<9,

2<V6<3

6<4+A/6<7,

/.（2应+6）x0的值应在6和7之间，

故选：C

【点睛】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

5.如图，一ABC与ADEF位似,点。为位似中心，已知AO:OD=2:1,一ABC周长为8,则ADEF

的周长是（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】利用位似的性质得AC:DF=AO:OD=2A,然后根据相似三角形的性质

即可解答.

【详解】解：：ABC与4DEF位似，点0为位似中心，

:.AABCsaDEF,AC:DF=AO:OD=2:1,

:一ABC周长为8,

，ABC周长：△DEF的周长=2:1,

△/）£口的周长为4，

故选：C.

【点睛】题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互

相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.位似图形必须是相似形，对应点的连

线都经过同一点；对应边平行或共线.

6.若点4（1,%）,3（—2,%），。（一3,%）都在反比例函数>的图象上，则%,为，%的大小关

X

系为（）

A.%<%<%B.%<%<%C.%<%<必D.%<%<为

【答案】B

【解析】

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出%,为，%的

值，然后比较大小即可.

【详解】解：•••点4(1，X),5(—2,%)，c(—3,%)都在反比例函数y=£的图象上，

%=6,%=一3，%=一2，

•'­%<%<%•

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，理解题意，求出％,为，内的值是解题关键，本题

也可以利用反比例函数的性质求解.

7.流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了

x人，可列出的方程是()

A.(x+l)2=100B.1+(%+1)2=100

C.x+x(l+x)=100D.1+%+%2=100

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用(传播问题)，先设每轮传染中平均一人传染了x人，再根据

“经过两轮传染后共有100人患病”，进行列式(x+1)?=100,即可作答.

【详解】解：•••设每轮传染中平均一人传染了尤人，经过两轮传染后共有100人患病，

.,.(x+1)2=100,

故选：A.

8.用一样长的小木棒按下图的方式搭建图形，图①需要6根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根

小木棒，……，按照这个规律，图8需要小木棒的根数是()

【答案】B

【解析】

【分析】根据图中规律，后面一个图形都比前面一个图形多5根小棒，即可求解,

【详解】解：由规律可知，后面一个图形都比前面一个图形多5根小棒，

因为图①一共6根小棒,

所以图⑧需要小木棒的根数是6+5义（8—1）=41（根），

故选B.

【点睛】本题考查了图形规律题，解题关键是发现图形变化规律.

9.如图，在正方形ABCD中，点E为AD边的中点，尸为AD上一点，连接BE,BF,

DF+CD=BF,若NABE=a,则NAB尸的大小为（）

A.2a-15°B.a—10°C.3a—45°D.90°-2tz

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，延长AD到

使得DH=AD,连接BH交CD与G.,根据正方形的性质得到CD=AD=BC,

ZADC=ZHDC=ZC=90°,根据BCG，HDGABE2,CBG全等三角形的判定和性质定理得出

ZABE=ZCBG,结合已知条件进一步得出M=，再根据等腰三角形的性质可得出

ZABE=ZCBG=ZFBH=a,然后根据角得和差关系得出结论.

【详解】解：延长AD到“，使得=连接5H交CD与G.

..•四边形A3CD是正方形.

CD=AD=BC,

ZADC=ZHDC=ZC=90°,

在，BCG和△HOG中，

ZBCG=ZHDG

<ZBGC=ZHGD

BC=HD

/.BCG^HDG（AAS）,

：.DG=CG=-CD,

2

:点£为AD边的中点

/.AE=-AD,

2

：.AE=CG,

在，ABE和<CBG中，

AB=CB

<ZA=ZC,

AE=CG

：.ABE咨CBG（SAS）,

ZABE=ZCBG,

VDF+CD=BF,FH=DF+DH=DF+CD

:•BF=FH，

ZFBH=ZH=CBG,

：.ZABE=ZCBG=ZFBH=a,

：.ZABF=ZABC-ZFBH-ZCBG=90°-2a,

故选：D.

10.a-b,a+b,a-b,a+b,,是由a—+b交替排列的〃个多项式，其中a#。，将这几个多项式中的

任意加个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第1次操作（l<m<w,且772，"均为整数）；在

第1次操作的基础之上再将任意m个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第2次操作；按此方

式操作下去.…例如：当"=3,m=2时，第1次操作后可能得到：—a+b,—a—4a—b或

—a+b,a+b,—a+b或ci—b,—ci—b,—ci+b.

下列说法：

①当及为奇数时，无论进行多少次操作，都不可能使得到的〃个多项式的和为0；

②当〃=6,m=5时，至少需要进行3次操作，才能使得到的6个多项式的和中不合。；

③当“=6,m=3时，3次操作后得到的6个多项式求和，共有8种可能出现的结果.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了多项式的加减和添去括号性质等知识点，依据题意，读懂题目然后根据添去括号法则进

行化简判定即可得解，解题时注意结合分类讨论是关键.

【详解】①〃为奇数时，无论经过多少次操作后，得到的〃个多项式中。的个数与一。的个数不会相同，

①正确，符合题意；

②3次操作后，只需6个多项式中有3个含。，3个含一。，不用考虑6：

原多项式：aaaaaa

第一*次操作：-CL_a_ci_a-cia

第二次操作：aaaa-a-a

第三次操作：-a—a—aaaa,此时它们的和为零，

故②正确，符合题意；

③〃=6,机=3时

如果对6个。进行3次操作，其结果可能出现：1负5正或3负3正或5负1正.

因为是从6个多项式中任意选出3个添加负号，由任意性可知：6个多项式进行3次操作后可能出现的结

果：其中1个或3个或5个多项式整体添加了负号：

1.若其中1个添加了负号：整体添加负号，其余不变，则和为4a-2）;a-Z?整体添加负号，其余不

变，贝U和为4a+2Z?；

2.若其中3个添加了负号：3个整体添加负号，其余不变，则和为-6b；3个a—〃整体添加负号，

其余不变，则和为6Z?;2个。一〃和1个整体添加负号，其余不变，则和为26；2个和1个

a—〃整体添加负号，其余不变，则和为-2。；

3.若其中5个添加了负号：若不变，其余均整体添加了负号，则和为-4a+2Z?；a—〃不变其余均

整体添加了负号，则和为-4a—2》；

所以有8种可能出现的结果，

故③正确，符合题意；

故选：D.

二.填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

11.计算：-（71-3.14）°=.

【答案】3

【解析】

【分析】此题考查了负整数指数嘉和零指数幕，

首先计算负整数指数幕和零指数幕，然后计算加减.

【详解】-(71-3.14)°

=4-1

=3.

故答案为：3.

12.已知关于龙的一元二次方程机/-4X+2=0有两个不相等的实数根，则根的取值范围是.

【答案】m<2且*0

【解析】

【分析】由二次项系数非零结合根的判别式A〉。，即可得出关于根的一元一次不等式组，解之即可得出

结论.

【详解】解：：关于x的一元二次方程32一4尤+2=0有两个不相等的实数根，

m^Q

A=16-8/M>0

解得：nz<2且〃/0

故答案为：m<2且”用0.

【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程依2+6x+c=0(存0)的根与A=y-4ac有如下关系：

①当△>()时，方程有两个不相等两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△<()时，方程无实数根.

13.不透明的盒子中有四个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标着数字1,2,3,4,将四个小

球放入盒中摇匀，从盒中随机取出一个小球，记下数字后放回，摇匀后再从盒中随机取出一个，则两次抽

取的小球上的数字之积为奇数的概率为.

【答案】：

【解析】

【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.列表可

得出所有等可能的结果数以及两次抽取的小球上的数字之积为奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案.

【详解】解：列表如下：

1234

1(1.1)(1，2)(1.3)(1，4)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)

共有16种等可能的结果，其中两次抽取的小球上的数字之积为奇数的结果有(1,1),(1,3),(3,1),(3,

3),共4种，

41

两次抽取的小球上的数字之积为奇数的概率为—

164

故答案为：—.

4

14.如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=月图像在第一象限的一点，连结0A并延长使

x

AB=OA,过点8作轴，交反比例函数图像交于点。，连结AD,且5AA^=3,则左的值为.

【答案】4

【解析】

【分析】画出辅助线，根据反比例函数网的几何定义以及中位线定义即可求解.

【详解】连接0。，作AE〃0C.

OA=AB,

一S/^OAD=S&ABD=3,

S^ODC=-OCDC=-DD=-\k\,

ZAC/ZJC22%x丁v2।।

反比例函数图像在第一象限,

\kX),

一^AODC=5左，

AE〃O。且Q4=AB,

.•.4e是^。3。的中位线，

:.OC=2AE,BC=2EC,

S.nRr=2-OC2BC=--2AE-2E1C=y2AA=2k,

9

*•*SAOBC~^AABD+S4OAD/\ODC

3+3H—k2k，

2

解得：左=4,

故答案为：k=4.

【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义、三角形面积、中位线定义等，解题的关键是添加辅助

线，本题也可通过证明AABE-△O5C求解.

15.如图，已知正方形ABCD边长为4,以C£＞为直径作半圆，点E是半圆的中点，则图中阴影部分面

积为

【答案】2+兀

【解析】

【分析】本题考查了不规则图形面积的计算，圆的基本性质，注意割补思想的应用.连接班，设半圆圆心

为。，连接石。并延长交于B由对称性知，阴影部分面积等于正方形面积与半圆面积和减去ABE面

积的差的一半，由此即可求解.

【详解】解：连接班，设半圆圆心为。，连接并延长交于尸，如图;

则OELCD,

..•四边形A3CD是正方形，

AAB=4,ABCD,

/.EF±AB,

：.EF=OF+OE=6-,

由对称性知，阴影部分面积=314*4+3兀*22_3义4义6)=2+兀，

故答案为：2+兀

16.若关于x的一元一次不等式组〈的解集为无<a,且关于y的分式方程

3x-l

<x+2

2

4a—3

=1有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为

2y-ll-2y

【答案】8

【解析】

【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解以及解分式方程.

由关于x的一元一次不等式组的解集为xKa,可得a<5,由关于y的分式方程有非负数解，可得a2-2

且aw-1,从而满足条件的所有整数。，再求它们的和即可得出答案.

【详解】《

3x-l

<x+2②

2

解不等式①，得

解不等式②，得x<5,

%-—（4tz-2）<—

°t2的解集为小

11,关于尤的一元一次不等式组〈

3x-l-

------<x+2

2

••a<5,

4a—31

解分式方程^一7一丁丁=1，得y=—，+1,

2y-ll-2y2

・・,该分式方程有非负数解，

.•.当y=；a+l时，2y—1/0且ga+120

aN-2且a工一1,

—2<a<5JELa丰—1,

满足条件的所有整数。为：—2,0，1,2,3,4，

它们的和为：-2+O+l+2+3+4=8.

故答案为：8

17.如图，在等腰直角VA3C中，AC=2,“为边3c上任意一点，连接40,将沿40翻折

得到△ACM,连接5C'并延长交AC于点N,若点N为AC的中点，则CM的长为.

【答案】-

3

【解析】

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，翻折变换，解一元二次方程，

过C作于。，作。，七人AC于E,利用勾股定理和相似三角形，即可得到C'M的长，进而得

出C0的长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】如图所示，过C'作C'QLBC于。，作。艺人4。于E,

A

又：ZC=90°,

，四边形DCEC'是矩形，

设C'D=x,则CE=x,AE=2-x,

•/CD//CN,

,BDCs、BCN,

CD=2—2x=C'E,

R3ACE中，AE2+CE2=，§P（2-x）2+（2-2x）2=22,

2

解得玉=2（不合题意），x2=j,

/.C'D=~,C'E=-,

55

VZDC'E=ZMC'A=90°,

：.ZDC'M=ZEC'A,

又ZCDM=ZCEA=90°,

DCMs△EC'A,

2

,CDCM5_；CM

"C'EC'A'62

5

CM=-,

3

由折叠可得，CM=C'M=-,

3

2

故答案为：一.

3

18.若一个四位自然数加的千位数字与个位数字之和恰好是"的百位数字与十位数字之和的2倍，则称

这个四位数"为“好数”.一个“好数”〃的千位数字为〃，百位数字为6,十位数字为。，个位数字为

Q—4b+4c—dP(M)

d,记P(M)=a+b+c+d,G(M)=f---------若一^为整数，G(M)是4的倍数，贝ij

2c-515

b+c=;所有满足条件的”的最大值和最小值的差为

【答案】①.5②.8082

【解析】

【分析】根据定义得到尸(M)=33+c),进一步得到b+c=5；a+d=lQ,

G(M)=^^+4,则2a—10是4的倍数，a=1,59,进一步即可得到答案，此题考查了数字类规

2c-5

律、分式的运算等知识，读懂题意，求出8+c=5；a+d=10是解题的关键.

【详解】a+d=2(b+c),

尸(A/)=a+Z?+c+d=3(b+c),

P(M)hA-c

为整数

15

..Z?+c=5；ct~\~d—10f

a-4b+4c-d_a-4(5-c)+4c-(10-6z)_8c-30+2a_4(2c-5)+2a-10

2c-52c-52c-52c-5

2a-10

+4,

2c—5

.•.2a—10是4的倍数,

a=1,5或9

a=l时，M取到最小值，d=9,2a—10=—8

2c-5=±l,c=3或2,

的最小值为1239

a=9时，"取到最大值，d=l,2a—10=8

2c—5=+1,c=3或2,

的最大值为9321；

差为8082,

故答案：5,8082

三.解答题(共8小题，满分78分)

19.计算:

(1)4a(a+-(a+.

m2、2m2+4m

(2)m----------------2--------------------

Im-2)m—4m+4

【答案】(1)3a2.4/

m+2

【解析】

【分析】本题考查了单项式乘以多项式，完全平方公式，分式的化简.熟练掌握单项式乘以多项式，完全平

方公式，分式的化简是解题的关键.

(1)先分别计算单项式乘以多项式，完全平方公式，然后合并同类项即可；

(2)先通分，进行因式分解，然后进行除法运算即可.

【小问1详解】

解：4a(a+A)-(a+2A)2

=4a2+4-ab-a2-4ab-4b2

=3a2-Arb1;

【小问2详解】

2m+4m

m—2.m2-4-m+4

m-2)-m22m(m+2)

m-2(〃z-2)2

_-2m(m-2)2

m-22〃z(nz+2)

m-2

m+2

20.在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究.她发现在直角梯形中，如果两内角(非直角内角)

的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度.她的解决思路是：将问题

转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作

图与填空：

用直尺和圆规，过点E作AD的垂线，垂足为点尸(只保留作图痕迹).

己知：在四边形ABCD中，AB//CD,?B90?,AE平分/BAD，DE平分/ADC.

求证：AB+CD=AD.

•/EF，AD，

：.ZAFE=9Q°,

：.?B90?,

/.ZB=ZAFE,

在，ABE和AAFE中，

ZB=ZAFE,ZBAE=ZFAE,

：.^ABE^AFE(AAS),

同理可得：CD=DF,

：.AB+CD=AF+DF=AD.

小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有

此结论.请你依照题意完成下面命题：

如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么.

【答案】ZBAE=ZFAE,AE，AE，AB=AF-,两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度.

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，作图一基本作图，直角梯形，角平分线的定义，利用尺规

作石产1AO，即可完成作图，由AAS证明，ABE空.AFE,得到A3=A尸，同理可得CD=£)/，即

可证明问题，根据证明可得如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一

点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形.

【详解】证明：如图，过点后作4。的垂线，垂足为点尸，

：AE平分-540，

/.ZBAE=ZFAE,

•/EF±AD，

：.ZAFE=90°,

：.?B90?)

/.ZB=ZAFE,

在，ABE和AAFE中，

ZB=ZAFE,ZBAE=ZFAE,AE=AE,

ABE注AFE(AAS),

AB=AF,

同理可得：CD=DF,

：.AB+CD=AF+DF=AD；

如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等

于这两内角夹边的长度；

故答案为：ZBAE=ZFAE，AE，AE,AB=AF-,两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度.

21.学校在七、八年级开展了主题为“以艺润心，向暖而行”的艺术节文艺汇演，为了解两个年级学生对

文艺汇演的喜欢程度，学生处发放问卷并让学生评分，现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的

评分进行整理和分析（评分均为整数，满分为12分，9分以上为非常喜欢），相关数据统计、整理如下：

抽取的七年级学生的评分：5,5,6,7,1,8,8,8,9,9,9,9,9,10,10,10,11,11,12,12.

抽取的八年级学生的评分扇形统计图

A:7分以下

B:7分和8分

C:9分

D:10分

E:10分以上

抽取的七、八年级学生的评分统计表

七年八年

年级

级级

平均

8.758.75

数

中位

9a

数

众数9b

满分

C%15%

率

根据以上信息，解答下列问题：

(1)直接写出上述表中。、b、c值：

(2)根据以上数据，你认为哪个年级的学生更喜欢此次文艺汇演?请说明理由.

(3)该校七年级有1500名学生参加评分，八年级有1800名学生参加评分，请估计两个年级本次评分为非

常喜欢的学生共有多少人？

【答案】(1)。=9.5,&=10,c=10

(2)八年级更喜欢此次文艺汇演，理由见解析

(3)估计两个年级非常喜欢的学生人数为1425人

【解析】

【分析】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图，统

计表中得到必要的信息是解决问题的关键.

(1)根据扇形统计图以及中位数的定义可知，八年级的中间两个数为9和10,众数在。组，根据七年级的

成绩数据，9分以上有7人，进而即可求得优秀率；

(2)根据众数与优秀率进行判断即可求解；

(3)根据两个年级的优秀率乘以人数即可求解.

【小问1详解】

解：根据扇形统计图以可得E和。两组人数和20x(20%+30%)=10人，八年级的中间两数为9和10,

9+10…

a=--------=9.5,

2

八年级的众数在。组,

/?=10,

七年级的成绩数据，9分以上有7人，

7

%=—xl00%=35%,

c20

故答案为：9.5,10,35

【小问2详解】

八年级更喜欢此次文艺汇演，理由如下：

八年级评分中位数9.5大于七年级评分中位数9.

【小问3详解】

7

样本中七年级学生非常喜欢的占比为一，

20

样本中八年级学生非常喜欢的占比为1.

2

710

1500x—+1800x—=1425（人），

2020

答：估计两个年级非常喜欢学生人数为1425人.

22.如图1,在中，ZACB=9Q°,AC=4,BC=8,。为AB中点，动点P以每秒1个单位

长度的速度沿折线AfC-5方向运动，当点尸运动到点3时停止运动.设运动时间为x秒，的

面积为力.

（1）请直接写出%关于%的函数表达式并注明自变量x的取值范围；

（2）在给出的平面直角坐标系中画出》的图象，并写出力的一条性质；

（3）如图2,%=9（》〉0）的图象如图所示，结合函数图象，直接写出口»为时，%的取值范围.（结

X

果保留一位小数，误差不超过0.2)

2%,0<%<4

【答案】⑴乂=<

-尤+12,4<x<12

(2)见解析；(3)1.7<x<11.5.

【解析】

【分析】本题考查三角形的面积，一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，

(1)分两种情况，当点P在线段AC上时和点尸在线段3C上，分别过点尸作AC边和5c边上的垂

线，根据相似三角形的判定与性质求出的长，运用三角形的面积公式即可解答;

(2)根据函数解析式画图，结合图象写出一条性质即可；

(3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围..

【小问1详解】

解：过点。作■工AC于点〃，如图1,

则DM//BC,

：.^ADMsABC,

.DMAD

AB'

•••。为A6的中点，

.AD_1

AB-2

.DM_1

/.DM=-BC=4,

2

当0<xW4时，AP=x,DM=4,

S=—AP'DM=—xx4=2x；

APpDn22

当4〈尤〈12时，过点。作。N_L3C于点N,如图2,

同理可得，DN=2,

又CP=x—4,BP=12—%,

•・•2qAPD=SABC-SACP-SPDB

=^x4x8-^x4x(x-4)-^-x2x(12-x)

=12—x；

2x,0<x<4

・・・切关于x的函数表达式为:<

-x+12,4<%<12

【小问2详解】

解：如图所示：

性质：当0<xW4时，y随X的增大而增大；当4<x<12时，y随X的增大而减小

【小问3详解】

解：当%2%时，X的取值范围为：L7WXWH.5

23.“卖花担上，买得一枝春欲放”，用鲜花装点生活，既能在装饰家居时收获审美体验，也能在观赏养

护中熨帖心灵，是一种避入日常又跳出日常的美好.某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香

共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元.

(1)若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫

瑰多少支？

(2)花店在第二次购进玫瑰和郁金香时，两种花的进价不变.由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和郁金

香共360支，其中玫瑰的进货量在(1)的最多进货量的基础上增加10根支，售价比第一次提高加元，郁

金香售价不变，但郁金香在运输过程中有10%己经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利

润为1800元，求机的值.

【答案】(1)100支

(2)2

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之

间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.

(1)设花店购进玫瑰工支，则购进郁金香(300-X)支，利用总利润=每支玫瑰的销售利润x购进玫瑰的

支数+每支郁金香的销售利润x购进郁金香的支数，结合总利润不低于1500元，可列出关于1的一元一次

不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；

(2)利用总利润=销售单价x销售数量-进货单价x进货数量，可列出关于m的一元二次方程，解之取其

符合题意的值，即可得出结论.

【小问1详解】

解：设花店购进玫瑰》支，则购进郁金香(300-X)支，

根据题意得：(5-2)x+(10-4)(300-x)>1500,

解得：x<100，

••・X的最大值为100.

答：花店最多购进玫瑰100支；

【小问2详解】

根据题意得：

(5+机)(100+10/n)-2(100+10附+10[360-(100+10/7?)]x(1-10%)-4[360-(100+10/7?)]=1800,

整理得：m2+8m—20=0>

解得：叫=2,/%=-10(不符合题意，舍去).

答：机的值为2.

24.金秋十一月，阳光大草坪A3CD正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图.经勘测，入口8在

入口A的正西方向，入口C在入口2的正北方向，入口。在入口C的北偏东60°方向400m处，入口。

在入口A的北偏西45。方向1000m处.(参考数据点士1.41,百1.73)

北

西4*东

：60°南

457

BMA\

(1)求AB的长度；(结果精确到1米)

(2)小明从入口。处进入前往M处赏花，点M在AB上，距离入口8的500m处.小明可以选择鹅卵石

步道①D—C—5—",步行速度为50m/min,也可以选择人工步道②D—A—M,步行速度为

60m/min,请计算说明他选择哪一条步道时间更快？(结果精确到Qlmin)

【答案】(1)1051

(2)选择人工步道时间更快

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形的应用一方向角问题；

(1)过点。作DESAB于点E,过点。作后于点尸，在RtZXCDE中，根据CE=CD-sin60°

可求出CE的长，进而可得助的长，在Rt_AZ汨中，根据AE=AZ>cos45。可求出AE的长，最后由

AB=AE+5E可得答案.

(2)分别求出两种步道的路程，进而可得求出所需时间，即可得出答案.

【小问1详解】

过点。作。ESAB于点E，过点C作后于点尸，

则CF=BE,ZCDF=60°,ZZME=45°,CD=400,AD=1000,

在RtACDF中，CF=CD-sin60°=400x二=20073X346，

2

.-.BE=346,

L

在RtADE中，AE^ADcos45°=lOOOx—=50072工705，

2

AB=AE+BE=1051m.

的长度为1051m.

【小问2详解】

由(1)知，AB=1051,

BM=500,

:.AM^AB-BM=551,

在Rt_ADE中，DE=AE=705,

在RtACDF中，DF=CDcos60°=400x-=200,

2

EF=BC=DE-DF=505.

鹅卵石步道的路程为DC+CB+=400+505+500=1405,

所需时间为1405+50=28.l(min).

人工步道的路程为DA+AM=1000+551=1551,

所需时间为1551+60=25.85a25.9(min).

28.1>25.9,

他选择人工步道时间更快.

25.如图1,在平面直角坐标系中，直线经过点A(66,4),与x轴交于点8(2石,0),点C为AB中

点，反比例函数y=与刚好经过点C将直线绕点A沿顺时针方向旋转60。得直线AD，

直线AD与天

X

(1)求反比例函数解析式；

(2)如图2,点Q为射线以上一动点，当。。取最小值时，求DCQ的面积;

2

（3）将沿射线AB方向进行平移，得到△D'C'A且C'刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数

y=&上一点，点N为y轴上一点，若以M,N,B,为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满

X

足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.

【答案】（1）反比例函数解析式为丁=述

（2）一DCQ的面积为8囱

（3）N点坐标为（0,—5）,（0,6）或（0,—6）,过程见解析

【解析】

【分析】（1）过点A作于点E,过点C作CFLBD于点F,根据平行线分线段定理可得

—=—=—=2,从而求得C卜百,2）,再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；

CFBFBC'）

（2）由锐角三角函数求得NASD=30。，再由三角形内角和求得/BAD=120。，从而求得NAD5=30。，

根据等腰三角形的性质可得3E=DE=46，从而求得。（106,0）,作直线「：y=氐-6,可得

Z1=30°,过点。作Q"■!/'于点H,则。。+18。=。。+,可得当£>,Q,H三点共线时，。。+工8。

22

取最小值，此时。与A重合，再利用Seo=SADCA=-S-求解即可；

（3）由平移的性质可知玖6"-4）,设“附等）N（o,"）,分类讨论：当为对角线、BM为

对角线或5N为对角线时，利用中点坐标公式求解即可.

【小问1详解】

解：过点A作于点E,过点C作B，JBr）于点F,

ZAEF=Z.CFB=90°,

AEBE_AB

2,点C为AB中点,

CF~BF~BC

VA（6A/3,4）,网2后0）

:.CF=2,BF=20，

•••。（4五2卜

•k=xy=8A/3,

反比例函数解析式为y二店;

X

k

【小问2详解】

'WBTTD^

图i

解：•.•4(6百,4卜B(2V3,0),

ZABD=30°,

1/将直线AB顺时针旋转60°得到直线AD,

ZfiAZ)=180o-60o=120%

/.ZADB=30°,

BE=DE=46，

。。=2用8G=106，

.1.D(IOAO),

作直线I':y=y/3x-6,

Z1=30°,

过点。作QH±/'于点H,

；•DQ+^BQ=DQ+QH,

...当O,Q,X三点共线时，取最小值，

2

此时。与A重合，

5=55XX10

•1•ADC2ADCA=1AABD=||(^-2A/3)X4=8A/3,

.•.,DCQ的面积为8囱；

【小问3详解】

解：N点坐标为（0,—5）,（0,6）或（0,—6）,理由如下:

6A/3+2乖）=m+0

当ZXB为对角线时，＜/n8A/3

-4+0=-------Fn

、m

m=8^/3

解得：＜

n=-5

.•.N（0,—5）,

当9为对角线时，如图,

0+6y/3-m-\-2y/3

3上

n-4A=-------F0n

m

m=4^/3

解得《

n=6

.-.TV（0,6）,

当5N为对角线时，如图,

加+6/=2百+0

述—4=0+〃

m

m=-4A/3

解得《

n=-6

：.N（0,-6）,

综上，N点坐标为（0,-5）,（0,6）或（0,-6）.

【点睛】本题考查平行线分线段定理、用待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的判

定与性质、平行四边形的性质、旋转的性质及平移的性质、中点坐标公式，熟练掌握相关的

性质是解题的关键.

(1)如图1,若点。在点3的左侧，连接C£>,过点A作AE_LCD交5c于点E.若点E是5c的中

点，求证：AC=2BD-,

(2)如图2,若点。在点3的右侧，连接AD，点厂是AD的中点，连接班1并延长交AC于点G,连

接CF.过点f作5G交于点M,CN平分NACB交BG于氐N,求证：

AM=CN+显BD；

2

(3)若点。在点3的右侧，连接AD,点尸是AD的中点，且”=AC.点尸是直线AC上一动点，

连接抄，将EP绕点F逆时针旋转60。得到EQ,连接3Q,点R是直线AO上一动点，连接班，

QR.在点尸的运动过程中，当3Q取得最小值时，在平面内将/5QR沿直线QR翻折得到△TQR,连

接尸T.在点R的运动过程中，直接写出£工的最大值.

CP

【答案】(1)见解析(2)见解析

(3)++2^/^

2

【解析】

【分析】(1)证明.ACE也;CB£>(ASA)得到班>=以，再由点E是5c的中点，得到

BC=2CE=2BD,即可证明AC=25£)；

⑵如图所示，过点G作GHLA5于H,连接班1,先证明一AG尸乌DfiP(AAS),得到

AG=BD,BF=GF,再证明AHG是等腰直角三角形，得到AH=Y^AG=也3。；由直角三角

22

形斜边上的中线的性质可得===则NFBH=NFHB,NFBC=NFCB,进而可

2

证明NHFC=2NABC=90°,则N“™=NCRV；设NCBG=x,贝U

NABG=45°—x,ZCGB=90°-x,可得/印吠=/5口W+NEB朋r=135°—x由角平分线的定义

可得NGCN=g/ACB=45。，则可证明=,进而证明一印加丝一CFW(AAS),得至U

HM=CN,即可证明AM=Y^3D+CN;

2

(3)如图所示，过点。作。AC交AC延长线与X,连接FH，则四边形3cH。是矩形，可得

BC=DH=AC,证明归r是等边三角形，得到NDFH=NFDH=60°,进而得到

NBDA=NDAH=30。,ZFHA=ZFAH=30°；由旋转的性质可得

FQ=FP,ZPFQ=60°=ZDFH,证明DFQWHFP（SAS）,得到/田Q=NEffi5=30。，则

点。在直线。。上运动，设直线。。交EH于K,则

DK±FH,FK=-FH,ZFDK=-ZFDH=30°,可得/BOQ=60。，由垂线段最短可知，当

22

3。，。。时，3Q有最小值，则N£）3Q=30。