贺兰一中第二学期高二年级第三阶段考试试卷（数学）参考答案

贺兰一中2023~2024学年第二学期高二年级第三阶段考试试卷（数学）命卷人：南江华 审卷人：马应龙参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用存在量词命题的否定求解即可.【详解】命题：是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题：的否定是：.2．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简集合，根据集合交集的概念求解即可.【详解】由题意可得，由，解得或，所以或，所以，3．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可.【详解】当时，满足，但，故充分性不成立，若，当时，必有成立，当时，必有，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件，故B正确.4．某地区5000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1600，则估计成绩在100分以上的学生人数约为（

）A．400 B．900 C．1800 D．2500【答案】B【分析】根据给定条件，求出，再利用正态分布的对称性求出即可求解即得.【详解】由，成绩在的学生人数约为1600，得，因此，所以成绩在100分以上的学生人数约为.5．关于的不等式：的解集为（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可解.【详解】由得，其解集等价于，解得.6．已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（

）A．144 B．288 C．576 D．720【答案】C【分析】利用捆绑法和插空法结合分步乘法计数原理求解即可.【详解】先将教师甲和学生乙捆绑成一个元素，与另外3名学生全排列，则有种方法，再将剩下的两名教师插入除去与教师甲相邻的四个空位中，有种方法，所以由分步乘法计数原理可知共有种不同的排法，7．2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（

）时间x12345销售量y/万只54.543.52.5A．由题中数据可知，变量y与x负相关B．当时，残差为0.2C．可以预测当时销量约为2.1万只D．线性回归方程中【答案】B【分析】对于选项A，利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解；对于选项B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程即可求出预测值，进而可求出残差；对于选项C，利用回归方程即可求出预测值；对于选项D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解.【详解】对于选项A，从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关，故A正确；对于选项B，由表中数据知，，所以样本中心点为，将样本中心点代入中得，所以线性回归方程为，所以，残差，故B错误；对于选项C，当时销量约为（万只），故C正确．对于选项D，由B选项可知，故D正确.8．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.

在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先计算甲赢的概率，再由条件概率的内容求出结果即可.【详解】比三场，甲赢的概率为；比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为；比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为；所以甲赢的概率为，所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为，【点睛】方法点睛：条件概率的公式内容为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若方程的两个根是1和3，则对函数下列正确的是（

）A．在上单调递减B．不等式的解集是C．在上单调递增D．最大值是【答案】AB【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出，得到函数的解析式，利用函数性质，求单调区间和最值，解函数不等式.【详解】若方程的两个根是1和3，则有，解得，所以，二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴方程为，得在上单调递减，在上单调递增，则A选项正确，C选项错误；不等式的解集是，B选项正确；由单调性可知，函数没有最大值，D选项错误.10．关于的展开式，下列判断正确的是（

）A．展开式共有6项B．展开式的各二项式系数的和为64C．展开式的第6项的系数为30D．展开式中二项式系数最大的项是第4项【答案】BD【分析】根据二项式定理逐一判断即可.【详解】解：展开式共有7项，故A错误；展开式的各二项式系数的和为，故B正确；展开式的第6项是，其系数为30，故C错误；展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确.11．已知函数，则下列说法正确的有（

）A．若为单调递减函数，则B．若有一个极值点为e，则C．当时，的图象与x轴相切D．若有且仅有一个零点，则【答案】AC【分析】对A，由为单调递减函数，则导函数恒小于或等于0，求解即可；对B，由极值点导数值为0可解；对C，求出函数的图象在点处的切线为，可判断；对D，令，利用导数研究函数的零点.【详解】对A：函数的定义域为，则，由为单调递减函数，得，即，令，，求导得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则当时，，于是，解得，故A正确；对B：若有一个极值点为e，则，即，解得，显然B错误；对C：当时，，显然，，且，因此函数的图象在点处的切线为，则当时，的图象与x轴相切，C正确；对D：由，得，令，求导得，当时，，函数在上单调递增，而当时，，当时，，因此函数仅有一个零点；当时，若，则，单调递增，若，则，单调递减，则当时，，函数只有一个零点，当且仅当，解得，所以当或时，有且仅有一个零点，D错误．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形．(2)构造新的函数h(x)．(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若，则的值为.【答案】【分析】利用赋值法求解.【详解】根据题意，，令，得，令，得，所以.13．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为.【答案】【分析】由一元二次不等式的解集为，可知二次函数开口向上，判别式小于0，解得即可.【详解】当时，，，不满足题意；当时，,所以，综上，实数的取值范围为.14．已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是．【答案】【分析】确定出两次取球后盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果.【详解】若两次取球后，盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为，第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球，盒装有4个黑球和2个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；此时盒中恰有7个球的概率为；若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为，第一次取球后盒中有3个黑球和2个白球，盒装有3个黑球和3个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；此时盒中恰有7个球的概率为；所以盒中恰有7个球的概率为.【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果.四、解答题：本题共5小题，其共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数.(1)求函数的极值及相应的的值；(2)求曲线在点处切线的方程.【答案】(1)当时，取得极大值为；当时，取得极小值为(2)【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合极值的的概念即可求解；300递增递减递增（2）根据导数的几何意义计算即可求解.【详解】（1）令，得或.则当变化时，与的变化情况如下表函数的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，取得极大值，极大值为；当时，取得极小值，极小值为.（2），，从而，，因此，函数点处的切线方程为：.16．2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：有慢性疾病没有慢性疾病合计未感染支原体肺炎4080感染支原体肺炎40合计120200(1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？(2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．附：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有关.(2)分布列见解析，.【分析】（1）根据已知数据完善列联表，计算卡方值并与临界值比较即可；（2）根据二项分布概率公式写出分布列，再计算其期望和方差即可.【详解】（1）（1）列联表，如图所示：有慢性疾病没有慢性疾病合计未感染支原体肺炎404080感染支原体肺炎8040120合计12080200假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.则，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为，由已知得，，0123，所以随机变量的分布列为：所以,.17．有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元;猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元.每次猜谜的结果相互独立.(1)若张某猜完了这两道谜语，记张某猜对谜语的道数为随机变量，求随机变量的分布列与期望;(2)现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道.如果猜谜顺序由张某选择，为了获得更多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语?【答案】(1)分布列见解析，(2)先猜A【分析】（1）根据题意，由条件可得的可能取值为，然后分别求得其对应概率，结合期望的定义，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分别求得先猜A谜语得到的奖金期望与先猜B谜语得到的奖金期望，比较大小，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，的可能取值为，，，，则分布列为则.（2）设选择先猜A谜语得到的奖金为元，选择先猜B谜语得到的奖金为元，则随机变量的可能取值为：0，10，30，Y01030P0.20.40.4可得，，，所以随机变量的的分布列为：所以期望；Z02030P0.50.10.4又由随机变量的可能取值为：0，20，30，可得，，，随机变量的分布列为：所以期望为，∴，所以小明应该先猜A.18．（1）若，且，求：（i）的最小值；（ii）的最小值.（2）解关于的不等式：.【答案】（1）（i）（ii）；（2）见解析【分析】根据基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘“1”法即可求解（ii），【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得，故，当且仅当，即时等号成立，的最小值为64；（ii），，，，当且仅当且，即，时等号成立，即取得最小值18；（2）19．已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)试讨论函数的单调性；(3)当时，不等式恒成立，求整数a的最大值．【答案】(1)(2)答案见详解(3)4【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值；（2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间；（3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值.【详解】（1）当时，则，可知的定义域为，且，令，解得；令，解得，可知的单调递减区间是，单调递增区间是，所以函数的最小值为.（2）由题意可知的定义域为，且，当时，恒成立，所以的单调递减区间是，无单调递增区间.当时，令解得，令，解得；令，解得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是；综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.（3）当