初中数学九年级复习：圆与圆的位置关系

专题23圆与圆的位置关系

【阅读与思考】

两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆

相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质.

解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有：

i.相交两圆作公共弦或连心线；

2.相切两圆作过切点的公切线或连心线；

3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形

熟悉以下基本图形和以上基本结论.

【例题与求解】

【例1】如图，大圆。0的直径ABacm,分别以。4,05为直径作。0］和。02，并在。。与。。］

和。0。的空隙间作两个等圆。OR和。这些圆互相内切或外切，则四边形oooo的面积为

2341423

cm2（全国初中数学竞赛试题）

解题思路：易证四边形。qq%为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长

【例2】如图，圆心为A,B,C的三个圆彼此相切，且均与直线/相切.若。A,QB,

OC的半径分别为。，b,c（0<c<a<。），则a,b,c一定满足的关系式为（）

A.2b=a+cB.2斑Ja+Jc

111111

C—二一十—D--------+---

cabJcyfaJF

（天津市竞赛试题）

解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本

辅助线.

【例3】如图，已知两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于点C,尸C的延长线交大圆于点D求证：

（1）ZAPD=ZBPD；

（2）PA»PB=PC2+AC»CB.（天津市中考试题）

解题思路：对于（1）,作出相应辅助线；对于（2）,应化简待证式的右边，不妨仄AC•BC=PC•CD

入手.

【例4】如图。。］和。。，相交于点A及8处，CD。］的圆心落在。。，的圆周上，。。］的弦AC与。。,

交于点D求证：OJJLBC.

（全俄中学生九年级竞赛试题）

解题思路：连接。/，Of,显然△。产C为等腰三角形，若证O.LBC,只需证明00平分/

8Of.充分运用与圆相关的角.

【例5】如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB±BC,AD=\,AB=2,DC=2^2,点尸在边BC上

运动(与8,C不重合).设PC=无，四边形的面积为y.

(1)求y关于％的函数关系式，并写出自变量尤的取值范围；

(2)若以。为圆心，；为半径作。以P为圆心，以PC的长为半径作。P,当X为何值时，。。与

。尸相切？并求出这两圆相切时四边形A8P。的面积.(河南省中考题)

解题思路：对于(2),。尸与。。既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆

的性质建立关于X的方程.

【例6】如图，ABC。是边长为。的正方形，以。为圆心，D4为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交

BN

于另一点P,延长AP父于点N,求：的值.(全国初中数学联赛试题)

NC

解题思路：为两圆的公切线，8c为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象,

可生成解题策略与方法.

【能力与训练】

A级

1.如图，OA,。2的圆心A,B在直线/上，两圆的半径都为1c机开始时圆心距AB=4c〃z,现。A,O

B同时沿直线/以每秒2。"的速度相向移动，则当两圆相切时，运动的时间为秒.

（宁波市中考试题）

2.如图，J是。上任意一点，。。1和。外相交于A，B两点,E为优弧上的一点，E。,及延长线

交。%于C，D,交于R且CF=1,EC=2,那么。。，的半径为.

（第1题图）（第2题图）（第3题图）

3.如图，半圆。的直径AB=4,与半圆。内切的动圆0］与切于点跖设。。］的半径为y,AM的长

为X,则y与X的函数关系是.（要求写出自变量X的取值范围）

（昆明市中考试题）

4.已知直径分别为1+J百和3的两个圆，它们的圆心距为'记-1,这两圆的公切线的条数是

5.如图，。。］和。。，相交于点A,B,且。。，的圆心q在圆。。1的圆上，尸是。。，上一点.已知/A。/

=60°,那么44尸方的度数是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

（甘肃省中考试题）

6.如图，两圆相交于A、8两点，过点8的直线与两圆分别交于C,。两点.若。。［半径为《皆，0（9,

的半径为2,则AC：4。为（）

A.3:2、后B.2君:3C.2、疗:1

7.如图，。。］和。O,外切于点T,它们的半径之比为3:2,AB是它们的外公切线,A,B是切点，AB

=4J6,那么。。］和。0。的圆心距是（）

20风

B.10C.10、厉

A.5J6D，13

8.已知两圆的半径分别为R和r(R>r),圆心距为4.若关于x的方程X2-2rx+(R-d”=0有两

相等的实数根，那么这两圆的位置关系是()

A.外切B.内切C.外离D.外切或内切

(连云港市中考试题)

9.如图，与。。，相交于A,8两点，点。］在。。2上，点C为。。］中优弧0上任意一点，直线C8

交。。2于。，连接。产.

(1)证明：DO^AC；

(2)若点C在劣弧R上，(1)中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论.

(大连市中考试题)

10.如图，已知。与。。，外切于点尸，过点P且分别交。O］和。。，于点A,B,切。。。于点8,

交。O］于点C,H.

(1)东证：△BCPsAHAP；

(2)若AP:PB=3：2,且C为的中点，求

(福州市中考试题)

11.如图，已知。8,OC的半径不等，且外切于点A,不过点A的一条公切线切。8于点切。C于

点E,直线且与BC的垂直平分线交于点E求证：BC=2AF.

（英国数学奥林匹克试题）

12.如图，为半圆的直径，C是半圆弧上一点.正方形。EFG的一边。G在直径AB上，另一边DE过

△ABC得内切圆圆心。，且点E在半圆弧上.

（1）若正方形的顶点/也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；

（2）若正方形AE/G的面积为100,且△ABC的内切圆半径厂4,求半圆的直径AB.

（杭州市中考试题）

B级

1.相交两圆的半径分别为5c机和4C〃3公共弦长为6cm,这两圆的圆心距为.

2.如图，。。过M点，0M交。。于A,延长。。的直径A8交。”于C.若A8=8,BC=1,则AM=

（黑龙江省中考试题）

（第2题图）（第3题图）（第4题图）

3.已知圆环内直径为。cm,外直径为bs7,将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，

那么这条锁链拉直后的长度为cm.

4.如图，已知P0=1O,以P。为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点尸.正方形ABC。的顶点A,

B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点。.若AB=m+Jn,其中加，”为整数，则

m+n=.

（美国中学生数学邀请赛试题）

5.如图，正方形A8CL•的对角线AC,BD交于点、M,且分正方形为4个三角形，。。/。。,，QO3,

。。4，分别为ABMC,/XCMD,4DMA的内切圆.已知AB=1.则。。/00,,QOfOC>4

所夹的中心（阴影）部分的面积为（）’‘

(4—兀)(3—2”)

(4-K)(3-272)

（太原市竞赛试题）

（第5题图）（第6题图）

6.如图，。0］与。。，内切于点E,。0］的弦A8过。色的圆心区，交。%于点。，。若AC：CD.BD

=2:4:3,则。q与。°i的半径之比为（）

A.2:3B.2:5C.1:3D.1:4

7.如图，与。。，外切于点A,两圆的一条外公切线与。。］相切于点8,若A8与两圆的另一条外公

切线平行，则。。］与。。2的半径之比为（）

A.2:5B.1:2C.1:3D.2:3

（全国初中数学联赛试题）

8.如图，已知。。］与。。2相交于A,B两点、,过点A作。O］的切线，交。。。于点C,过点8作两圆的

割线分别交。⑷。?于点。，E,DE与AC相交于点P.

（1）求证：PA»PE=PC»PD

（2）当AD与。。，相切且E4=6,PC=2,PO=12时，求AD的长.（黄冈市中考试题）

9.如图，已知。O1和。q外切于A，BC是。O］和。I??的公切线，切点为B，C.连接册并延长交。01

于D,过。点作的平行线交OO,于E,F.

（1）求证：CD是。。1的直径；

（2）试判断线段BC,BE,8歹的大小关系，并证明你的结论.（四川省中考试题）

10.如图，两个同心圆的圆心是。，大圆的半径为13,小圆的半径为5,4。是大圆的直径，大圆的弦

AB,8E分别与小圆相切于点C,F,AD,相交于点G,连接BD.

(1)求8。的长；

(2)求NABE+2N。的度数;

BG

(3)求-7—的值•(淄博市中考试题)

11.如图，点X为△ABC的垂心，以A8为直径的。q与的外接圆。。，相交于点延长交

C8于点P.求证：尸为C8的中点.(”《数学周报杯”至国初中数学竞赛试题)

12.如图，已知A3为半圆。的直径，点尸为直径上的任意一点，以点A为圆心，A尸为半径作。A,

与半圆。相交于点C,以点B为圆心，8P为半径作。8,与半圆。相交于点D且线段C。的

中点为跖求证：MP分别与。A,相切.(”《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题)

专题22与圆相关的比例线段

例1设CE=4k,贝！］DA=DF=3k”=AC=8式,由FA'nFD/C,即（8㈣？=3K10忆得依=:,而

AE^EF2-AF2=V36k2-320=8,又BE^^=^=[6,故A8=AE+8E=24.例2C例31提示：

设EB=x,贝IM£=4X.设CB=y,则由0)2=5.以，DEa=AE.ER,DE2+EC2=DC2,得4=yO+5x),

4x?+(x+y)2=4.例4(1)联结。8,0P,可证明△BDCs△用E,有PE?=P4PE又：oc为AABO

的中位线，，0C〃Ar>,则CE_L0C,知CE为@□的切线，=PA-PF^PE2=Pf2,gpPE=PC.

例6解法一：如图1,过P作尸H，ST于H,则“是"的中点，由勾股定理得

PC2=PH2+CH2=PS2-SH2+CH2=PS2-SH2+CH2=PS2-(SH-CH於H+CH)=PS2-

SC-CT

又由切割线定理和相交弦定理，有

PC2=PA-PB-AC-CB=PA-PB-(PC-PA}(PB-PO=2PAPB-(PA+PB}PC+PC2,

PC=笠鬻，即—信+知・解法二：如图2,联结交ST于。，则P0LST.联结S。作。

PB于E,则E为的中点，于是PE=二一;c,E,0,。四点共圆，•PE=P»•P。：&ASP。

^RtLOPS,J.P^2=PA-PR,：.PCPA-PB,即5=：G+2

A级1..2.76提示：4BDE出ACFE,DE=EF,OF=FE=ED,设OF=x,则OA=OD=3x,AE=5x,

22

由得G/S)2=x・5jtH-l,：.CD=JCE+DE=>/6.3,4cm4.45.D6.B1.A8,C

9.⑴略(2,8=与=12,^AED^AABE,言=.设DENIX,BE=2x,而DE?%RE，=RIP,解

得x=V5DE=夜・«=273.10.(1)略(2)

PA3=PB-PC,PA=PD,PD=DC,(PB+BDY=PB-2(PB+BD).可得PB=BD^PD,：.PB=PD=^DC,

2BP2=BD-CD又'：BD-CD=AD'DE,：.2BP2=ADAE.1L作DELAC于E,则AC^AE,AG^DE.

由切割线定理得AG2=AFAC=AF-^AE,故曰DE'即SDE?=4F•4E.•.•AB=5DE,

AR-ED=芭，于是蔡=£.又NBAP=NAEZ)=90。，AABAF^AAED,于是又NABANEAD

VZEAD+ZDAB=90°,ZABF+ZDAB=90°,故ADJ_BE.

4nF\

12.⑴如图，连接AD,AE.VZDAC=ZDAE,A△ADC^AEAC^>——=—AD•AC=DC•EA.

DCAC

4nAnDCDC

(2)VZCDF=Z1=Z2=ZDEA,.,.tanZCDF=tanZDEA=—.由(1)知一=—,故tan/CDF=—.由圆的

AEAEACAC

切害lj线定理知AC2=DC・EC,而EC=ED+DC,贝!JAC?=£>C(DC+E£>).又AC=nAB,ED=AB,代入上式得

n2AB2=DC(DC+AB),即DC?+AB・DC-n2AB2=0,故"7=-1土”+4n?.显然，上式只能取加号,

2

DCDC^l+4n7-l

于是tanZCDF=-----

ACnAB2n

（第12题图）

B级

LB2・B3,C4.A5,提示：3八四任.设

CDDB2BC

pAAri

AD=x,贝lJCD=2x,DB=4x,AB=5x,由△PACs/\PCB得，一=——=-,.*.PA=5,又PC2=PA・PB,

PCCB2

即102=5(5+5x),解得：x=3,AAD=3,CD=6,DB=12,:・S=-CD^DB=36.

BCD2

6.⑴略.⑵连接FB,证明PF=PE,NBFA=NAFC.

7.⑴能.连接BC,作NACE=NB,CE交AB于E.(2)PB与相切.(3)C是PE的中点.

8,连接OA、OB、0C,则PA2=P。•尸0=P8・PC,于是，B、C、0、D四点共圆，有△PCDS/\POB,

POCSBD

^PC=PO=PO①，又由^得丝②，由①②得竺=£

CDOBOCOCBDBDCD

9.⑴略(2)A(4,3),0A=5.(3)P(3,-).

4

10.⑴延长BA,CD交于点G,由RtACAG^RtABDC,得2£=型，AC»BC=BD»CG,又

BDBC

⑵由RtACDE-RtACAG，得祟?一,即景=^3，

OG=CO=1CG,故式履®©•

2

解得CE=5,从而