2024-2025学年东北三省六校联考高一年级上册第一次月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年东北三省六校联考高一上学期第一次月考数学

检测试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知集合/={刈/一4<0}、集合8={刈尤2-4x+3<0},则/()

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<x<3}

C.{x\l<x<2}D.{x11<x<3}

2.“a+c>6+d”是“a>b且c>d”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.设M=2a(a-2)+7,N=(a—2)(3),则M与N的大小关系是()

A.M>NB.M=NC.M<ND.无法确定

4.不等式|x-l|+|x-2区3的最小整数解为()

A.-2B.-1C.0D.2

5.已知集合/={x||x|<2},8aw4cB,则。的值可以是()

A.3B.-3C.-D.--

33

6.已知|>区1且2尤+了=1,则2/+16x+3y2的最小值为()

2719

A.—B.-C.13D.3

72

7.关于x的不等式办+6>0的解集为(-孙2),那么不等式依+6&+6-0>0的解集为

()

A.(—1,3)B.(―8,—1)d(3,+8)

C.[0,9)D.(1,9)

8.设正实数。、b、。满足力一.+4/-°=0,则当今取得最小值时，二:”的最

ababc

大值为()

A.1B.2C.3D.4

二、多选题（本大题共3小题）

9.下列命题中是真命题的是（）

A.“x>l”是“一>1”的充分不必要条件

B.命题“Vx〉O,都有-/+1之0”的否定是“七o〉O,使得—x；+l<0»

Y—3

C.不等式1r20成立的一个充分不必要条件是x<T或x>4

2x+l

[3x-2y+l=0

D.当。=-3时，方程组2"有无穷多解

[ax-oy=a

10.下列说法中，正确的有()

A.y=x+!的最小值是2

X

11

B.y=yJX+2+五q的最小值是2

C.若b,CGR,贝IJQb+ac+bc

D,若。，b,ce(0,-H»),贝ij(a+6)(6+c)(a+c)28abe

11.已知关于尤的一元二次不等式办2+bx+c>0的解集为M,则下列说法正确的是

()

A.若M=0,贝1|。<0且62一4℃40

B.若三=3=二，则关于x的不等式。父+心+小。的解集也为M

abc

C.若M,贝lj关于％的不等式+i)+6(x—i)+c<2〃x的解集为

N={%[%<0,或x>3}

D.若加="回H%,%为常数},且。<6,则”学竺的最小值为5+2指

b-a

三、填空题(本大题共3小题)

12.命题“若/<6,贝U-振<。<脑”的否定为.(用文字表达)

X+1八

13.若关于x的不等式2/工2、，3>°的解集为(a,T)u(4,+s),则实数。的值

X—\Cl~rClJX十。

为.

X—1

2_>

14.已知)：-%+16%-60>0:4：/==0；r:关于x的不等式

Vx+1

公―3QX+2Q2<0(QER),若〃是夕的必要不充分条件，且〃是0的充分不必要条件，

则。的取值范围为.

四、解答题(本大题共5小题)

15.已知集合4={x|—2Wx—lW5},集合5={%|冽+14x42加一1}(meR).

(1)若Nc8=0,求实数机的取值范围；

⑵设命题。：x&A-,命题4：x&B,若命题。是命题4的必要不充分条件，求实数

m的取值范围.

16.已知命题pHxe{尤16V尤420},x<2a,命题q:VxeR,x2+2x-a>0.

(1)若命题。和命题飞有且只有一个为假命题，求实数。的取值范围；

(2)若命题。和命题4至少有一个为真命题，求实数。的取值范围.

17.已知实数。、6满足.9/+从+4仍=1。

⑴求和3a+b的最大值；

⑵求9a2的最小值和最大值.

18.根据要求完成下列问题：

(1)已知。、6eR,集合/={x|x?-3x+2=0}、集合3={x|/-ax+(a-1)=0}、集合

C={x\x2-bx+2=0},则同时满足BN且CqN的实数。、6是否存在？若存在，求

出。、。的值；若不存在，请说明理由；

(2)已知加、〃eR,命题0：X］和尤2是方程尤2-加x-2=0的两个实根，不等式

1-5〃-32,172|对任意实数加«-15恒成立；命题4：不等式"f+2x-l>0有解；

若命题。是真命题，命题4是假命题，求实数"的取值范围.

19.根据要求完成下列问题：

(1)若0>6>0、c<d<0、|^|>|c|

①求证：b+c>0；

b+ca+d

②求证：

③在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足〈所求式<告土？若

(a-c)(b-a)

能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.

(2)设x、yeR,求证：|x+y|=|x|+|y成立的充要条件是初NO.

答案

1.【正确答案】B

【分析】化简集合42,结合并集运算即可求解.

【详解】V^={x|(x+2)(x-2)<0}={x|-2<x<2},

5={x|(x-l)(x-3)<0}={x|l<x<3},

/.A^JB={x\-2<x<?>}.

故选B.

2.【正确答案】A

【分析】通过特例说明充分性不成立，根据不等式的性质说明必要性是成立的.

【详解】可令。=9,c=6,b=d=1,贝!］满足a+c>b+d,但“a>b且c>4”不成立,

所以“a+c>6+d"不是"a>6且c>〃”的充分条件；

根据不等式的性质：由。>6且c>d,可得.a+c>6+d所以“a+c>b+d”是"a>6且

c>d”的必要条件.

故选A.

3.【正确答案】A

【分析】利用作差法解出M-N的结果，然后与0进行比较，即可得到答案

【详解】因为M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),

2

i=«2+«+i=L12

所以W—N=(2a2_4a+7)_@2_5a+6+

所以M>N.

故选A.

4.【正确答案】C

【分析】分段去绝对值符号求出x的取值范围即可得解.

尤22f1<x<2,\x<l

【详解】原不等式可化为x-l+x-243或jx-l-x+2W3或1-x+l-x+243

解得04x43,所以所求最小整数解是0.

故选C.

5.【正确答案】D

【分析】求得集合48,得到/CB,结合ae/cB和选项，即可求解.

【详解】由题意，集合N={x||x|<2}={x|-2Vx<2},5=，g<“={x|x<0或x>l},

所以/c8={x|-2<x<0或l<x<2},

因为ae/cB,结合选项可得

故选D.

6.【正确答案】D

【分析】由B区1且2x+y=l得04x41,令/(x)=2x?+16x+3(-2尤+1y,根据二次函数

求最值即可.

【详解】因为3Vl且2x+y=l,

所以-14y41,y=-2x+l,

所以一14一2x+141,

所以04x41,

11Q

贝(J令f(x)=2x2+16x+3(-2x+1)2=14(x+-)2+—,

当04x41时，〃x)单调递增，

11Q

所以当x=0时，〃x)取得最小值为14x(0+J+：=3,

即2/+16x+3y2的最小值为3,

当且仅当x=0j=l时取最小值.

故选D.

7.【正确答案】C

【分析】由题可得。<0,-2=2,可得尤-2石-3<0解之即求.

a

【详解】：关于X的不等式办+b>0的解集为(-6,2),

二.〃<0,—=2,

a

**•ax+by[x+6-。>0可化为"-2ay[x-3Q>0,即x-2>/x-3<0

・・・(五+1)(«-3)<0,

**•Vx<3,角军得0Wx<9.

故选C.

8.【正确答案】D

【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出三取最小值时。八。的关系，再利用二

ab

次函数求出最大值.

【详解】依题意，由c=02一油+砧2,得二/一"+4/，+也]名三亚1=3,

ababba\ba

当且仅当£=竺，即。=26时等号成立，贝屋=6〃，

ba

因此2+|•一9=三+|•一占"=一(])2+告=一(1-2)2+444,当且仅当6=1时取等号,

abc2bb6bbbb2

所以当〃时，2+。一9取得最大值4.

22abc

故选D.

9.【正确答案】ACD

【分析】利用充要条件的定义与全称命题的否定结合一元二次不等式和分式不等式

得解法逐项判断即可.

【详解】对A,“x>l”可以推出>1"，而“一>i”推出》>1或者无<_1,所以“无>1”

是>i”的充分不必要条件，故A正确；

对B,命题“VxNO,都有-x2+lZ0”的否定是“王。20,使得一片+1<0"，故B错误；

对C,不等式成立，即X23或尤<-彳，所以不等式£420成立的一个充分

不必要条件是尤<-1或x>4,故C正确；

f3x-2y+l=0f3x-2y+l=0

对D,当。=-3时，方程组2:等价于2,八，即两条直线重合，所

[ax-6y=a—2》+1=。

以方程组有无穷多解，故D正确.

故选ACD.

10.【正确答案】CD

【分析】利用不等式的性质及基本不等式逐项分析即得.

【详解】对于A,当x<0时，y=x+-<0,故A错误；

X

对于B,y=&+2+4-N2,当且仅当jY+2=J,即/=-1时取等号，显

yJx2+2Vx+2

然不可能，故B错误；

a2+b2>2ab

对于C,<b2+c2>2bc,nJ2(^a2+/?2+c2)>2ab+2ac+2bc,即

a2+c2>2ac

a2+b2+c2>ab+ac+bcf故C正确；

对于D,由。，b,cG(0,+oo),可知Q+62+c22A/^,Q+C2,所以

{a+b)(b+c){a+c)>^abc,故D正确.

故选CD.

11.【正确答案】ACD

bc

【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令。=方=丁=泣/0),当

bc

/<0时，不等式优工2+以+/>0的解集不为M,B不正确；C项，根据河求出b=-a,

c=-2a,代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据M得到。>0且

A=/-4"C=0,将4C=£代入"+”+，然后换元利用基本不等式可求出最小值可

ab-a

得.

【详解】A选项，若M=0,即一元二次不等式於2+服+00无解，

则一元二次不等式办2+bx+c40恒成立，

a<0S.b2-4ac<0,故A正确；

3y人abc/、.a.,b.c

B选项，令-7=77=:=%(/。。)，贝UQ=—,b=-,c=-,

abcttt

**•a&2+Hx+d>0可化为？(办?+bx+c)>0,

当看<0时，-(a/+fox+c)>0可化为ax2+bx+c<0,其解集不等于Af,故B错误;

C选项，若M={x[—1<X<2},

则Q<0,且-1和2是一元二次方程ax2+bx+c=o的两根，

—1+2=—,且一1x2=—,/.b=—ci,c=12〃，

aa

关于x的不等式a(x2+l)+6(x-l)+c<2"x可化为a(x2+1)-a(x-l)-2a<2ax,

可化为Q(f—3x)<0,a<0,:.x2-3x>0,解得x<0或x〉3,

即不等式Q，+1)+优X-1)+C<2QX的解集为N={x|%<0,或x>3},故C正确；

D选项，,.・"={X|XWM，毛为常数},

二.。〉0且/—=0,〃+3b+4c_"++〃,

b-ab-a

'：b>a>0,:.b-a>0,令6—〃=，〉0,贝!J6=。+，，

“b2”.(a+4,_____

ci+3bH----士”「旺。企2、三戈265,

_______a

b-attaV/a

当且仅当仁后°,则6=(1+6)a,c=♦+：)”,且“为正数时，等号成立,

空学丝的最小值为5+2行，故D正确.

b-a

故选ACD.

12.【正确答案】若a?<b,贝！Ia4-扬或a2北.

【分析】运用命题的否定的定义(原命题的形式为“若P则4”，则命题的否定的形式

为“若。则/")求解即可.

【详解】由题意知，命题的否定为：若/<6,则三一6或壮血.

故若/<6,贝1JaV—4b或a\\[b.

13.【正确答案】-2

X+1/、

不等式可转化为不等式(》+1)(无-。)。-/)>0,然后结合题中条

.XIaIaIj\tIc/

件可得。<-1,且"=4,解得。即可.

X+1八X+l

【详解】不等式f+即Q笳),。A等价于不等式

X—Iu+ujX~rUIX-Clj\X-dI

(x+l)[%2_(a+/)X+/]〉0,即(x+l)(x-a)(x-q2)〉o,

2

令(X+1)(X—4(X—Q2)=0,解得x=—1,x=a,x=a,

x+1_

因为不等式2_/2、3>。的解集为(4,-1)U(4,+8),

大Ic/।aIjy/Icz

所以a<—1,且a?=4,解得a=—2.

故答案为.-2

【思路导引】本题考查分式不等式的解法，考查逻辑思维能力和计算能力，考查转化思想.

14.【正确答案】[5,6]

首先求出命题。应为真时的x的范围，再分类讨论解不等式--3"+2/<0,同时根

据充分必要条件确定关于。的不等关系，得出。的范围.

V—I

【详解】由—x?+16x—60>0解得：6cx<10,由不T>°解得—>1，

(1)当。>0,由一一3ax+2/<。解得：0<a<x<2a,

若「是。的必要不充分条件，则(6,10)=(a,2a),贝U5VaW6①，

且「是4的充分不必要条件，则(a,2a)=(l,+s),则②，

由①②得：54a46；

(2)当。<0时，由/-3ax+2a2<0解得：2a<x<a<0,若「是。的必要不充分条

件，

(6,10)q(2a,a)不成立，(2a,a)1(l,+oo)也不成立,不存在。值,

(3)当a=0时，由X。-3办+2/<0解得：厂为0,(6,10)不成立，不存在。值,

综上，54a46为所求.

故答案为」5,6]

【方法总结】本题考查由充分必要条件求参数取值范围，解题方法是：利用充分必要条件确

定集合的包含关系，然后得出结论.

15.【正确答案】（1）（一叫2）。（5,+00）；

【分析】（1）分8=0、8x0讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可

求解；

（2）根据充分不必要条件分8=0、2x0讨论，即可求解.

【详解】（1）由题意可知N={X|-2WX-145}={X|-1WX46},

又/c8=0,当8=0时，m+\>2m-1,解得机<2,

当2H。时，m+l<2m-1,加+1>6或2〃zT<T,解得加>5,

综上所述，实数加的取值范围为（f,2）u（5,y）；

（2）因为命题。是命题4的必要不充分条件，所以集合3是集合/的真子集，

当5=0时，m+l>2m-l,解得加<2,

m+1<2m-1

7

当时，+（等号不能同时成立），解得2K加《—,

2

2m-1<6

综上所述，实数机的取值范围为1-叫:.

16.【正确答案】⑴[T3]；

（2）（-8,-1）。（3,+Q0）.

【分析】（I）首先求出命题0、4为真时参数的取值范围，再分类讨论，分别计算

可得；

（2）首先求出命题0和命题q都为假命题时参数的取值范围，再取其补集即可得解.

【详解】（1）若命题。为真命题，即命Hxe{x|6WxW20},x<2a,所以6<2a,所以

a>3,

若命题0为真命题，即VXER,x2+2x-tz>0,所以A=22+4Q<0,解得“<-1,

因为命题夕和命题有且只有一个为假命题，

fa43

当命题尸为假，命题/为真时{,解得-

[a>-l

..>3

当命题?为真，命题P为假时Q<_1,所以。£0;

所以

a<3

⑵若命题。和命题4都为假命题，则,小，即-1Q3；

因为命题。和命题4至少有一个为真命题，所以a>3或.<-1,即ae(-oo,-l)u(3,+oo).

17.【正确答案】⑴1,2心;

(2)最小值为6,最大值为30.

【分析】(1)使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解；

(2)使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解.

【详解】(1)V9a2+b2+4ab=l0,A9a2+b2=10-4ab,

9a2+b2>6ab,10-4ab>6ab,ab<\,

当且仅当"半，b=也或a=[,6=时等号成立，的最大值为1,

9a2+b2+4ab=10,(3«+Z?)2-10=2^6,

・.223a+6”(3〃+6)2

・2ab=—x3axb<—x(------)=---------,

3326

(3a+6)2_]04«a+义,...(3<z+Z)y<12,

：.3a+bW26当且仅当°=3，6=代时等号成立，3a+b的最大值为2A/L

3

lO-Ozy2_A2

(2)V9a2+b2+4ab=10,ab=----------------,

4

9Q2+b2>6ab，9a1+b2>6x——————，BP9a2+b2>6

4

当且仅当a邛、b=C或­6=-6时等号成立，，9/+〃的最小值为6,

10_Q/y2_A2

X9a2+b2>-6ab，,9a2+b2>-6x----------------，BP9a2+b2<30，

4

当且仅当°=姮，b=-岳或a=-叵,b=岳时等号成立，

33

9a2+，的最大值为30.

18.【正确答案】⑴存在，。=2、6=3或a=2、-2^2<b<2^2：

⑵(-叫-1].

【分析】(1)由题意可得：/={1,2},根据真子集关系求实数。的取值范围，根据子

集关系求实数6的取值范围，进而得解；

(2)对于命题。：根据韦达定理求得|占-3二=3,进而结合恒成立问题求实数〃的

取值范围；对于命题4：根据二次不等式分类讨论求解，进而得解.

【详解】（1）因为N={XKX-1）（X-2）=0}={1,2},

因为BA,则3=0或8={1}或8={2},

若8=0,则公=/一4(。-1)=(°-2)2<0,此时。的值不存在;

/一4（。-1）=0

若3={1},解得。=2；

1—〃+（Q—1）=0

/一4（。-1）=0

若8={2}无解;

22-2a+（a-l）=0

综上所述：。=2；

因为Cq/,则C=0或C={1}或C={2}或C={1,2},

若C=0,贝IJA=〃_8<0,解得-2血<6<2血；

若『},则无解;

若,={*则忆/3无解；

若°={1，2}，则[2»+2=0,解得=；

综上所述，6=3或_2也<6<20;

所以存在。，b的值，当。=2、6=3或。=2,一2行<6<2血时，满足BA、C^A

xx+x2=m

(2)因为玉、工2是方程—一冽x—2=0的两个实根，则

Xi,x2=-2，

可得I&-%1=J（X]+%）2-=Vm2+8,

当加£卜1』时，|再一/二=3,

由不等式5~32H-匕|对任意实数冽c[T』恒成立可得："―5〃—323,

即n2一5〃一6=(〃+1)(〃一6)20,解得或〃26,

所以命题)为真命题时，ne(-oo,-l]u[6,+oo),

命题9：不等式〃/+2x—1>0有解，

当〃20时，原不等式一定有解，

当〃<0时，只需4+4〃>0,解得一

不等式nx2+2%—1>0有解时n>-\,

又命题0是假命题，则〃£(-8,-1],

所以命题。是真命题且命题夕是假命题时，实数〃的取值范围为J*-J

19.【正确答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；③能找到，

b+ca+da+d

--------T<-------r<--------丁■

(a-c)2(a-c)2(b-疔'

(2)证明见