山东省烟台市部分校2025届高三年级上册摸底联考数学试题（含答案）

山东省烟台市部分校2025届高三上学期摸底联考

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={%eN|工GZ},B={xeN\X2-3X-4W0},则aCB=()

A.[-1,2]B.[0,2]C.{0,2,3}D.{1,2}

2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得10个班的比赛得分如下：91,

89,90,92,94,87,93,96,91,85,则这组数据的75%分位数为()

A.93B.93.5C.94D.94.5

3.安排4名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公司，每家公司至少安排1名大学生，则大学生

甲、乙到同一家公司实习的概率为()

3

A-1c•击D-7

已知椭圆啮+哙的左、右顶点分别为

4.=l(a>b>0)A2,上顶点为B,离心率为《若可•瓦石

=-1,则。2+房=()

A.5B.7C.21D.25

5.设a=掾，b=9，c=22,3,则c的大小关系为()

A.c>b>aB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

6.若函数f(%)=ax2-2x+blnx(abWO)有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是()

A.a<0,b<0B,a<0,b>0C,ab<-^D.ab>0

7.若sin(a—20°)=贝Ucos(2a+140°)=()

A.JB.-]C.D.]

oooo

8.已知实数a,b,c构成公差为d的等差数列，若abc=2,b<0,则d的取值范围为()

A.(—8,—y3]u+8)B.(-8,—2]U[2,+8)

C.(—°°,—V5]U+°°)D.(—oo,—3]U[3,+co)

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/'(x)=4cos(3久+w)Q4>0,3>0,0<9<兀)的部分图象如图所示,令g(x)=/(x)-cos2x,

则()

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A.g(x)的一个对称中心是(访0)

B.gQ)的对称轴方程为尤=兰+骸keZ)

TT1

c.g。)在［0司上的值域为［-万,1］

TTTT

D.g(%)的单调递减区间为［E:一不,忆兀+§］(左6Z)

10.已知复数z,zi，z2,则下列结论正确的有()

A.\zrz2\=ki||z2|

B.若z满足z2eR,则zeR

C.若zzi=zz2,且ZiHz2,则z=0

D.若z满足|z+5|-|z-5|=6,则z在复平面内所对应点的轨迹是双曲线

11.若函数/(%)=%3-3%2,则()

A./Q)的极大值点为2

B./(%)有且仅有2个零点

C.点(1,-2)是/(%)的对称中心

D"(盛)+"晟)+"£)+…+人摆)+"疆)=—8086

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知△ABC,AB=BC=1,Z.B=120°,点E是BC边上一点，若BE=2CE,则荏•元=.

13.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制(当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束).根据

以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是p(0<p<1),且各局比赛结果相互独立.若甲以3:0获胜的

概率不低于甲以3:1获胜的概率，贝加的取值范围为.

14.如图，。为△ABC的边AC上一点，AD=2DC,乙ABC=90。，AB+2BC=4,贝!|BD的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.(本小题12分)

某项考核，设有一个问题，能正确回答该问题者则考核过关，否则即被淘汰,已知甲、乙、丙三人参与考

核，考核结果互不影响，甲过关的概率为乙过关的概率为■!，丙过关的概率为梳.

Z34-

(1)若三人中有两人过关，求丙过关的概率；

(2)记甲、乙、丙三人中过关的人数为X,求X的分布列与数学期望.

16.(本小题12分)

已知函数f(%)=Inx+ax2+(a+2)x+a.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)证明：当a<0时，/(x)<--2+a.

17.(本小题12分)

如图，矩形ABC。中，AB=2BC=2®E为CD的中点，将△力DE沿4E折起，使平面ADE1平面

ABCE,且点尸满足DF〃CE,且DF=3CE.

(1)求直线CF与平面4DE所成角的正切值；

(2)求几何体4DE-BFC的体积.

18.(本小题12分)

抛物线。久2=4y的焦点为F,准线为斜率分别为好，电(而>电20)的直线八，%均过点匕且分别与C

交于4B和D,E(其中4。在第一象限)，T,S分别为ZB,DE的中点，直线TS与I交于点P,NBFE的角平

分线与I交于点Q.

(1)求直线TS的斜率(用心，%表示)；

(2)证明：4SPQ的面积大于2.

19.(本小题12分)

定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列

的一次“和扩充”，例如：数列1,3,5经过第一次“和扩充”后得到数列1,4,3,8,5;第二次“和扩

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充”后得到数列1,5,4,7,3,11,8,13,5.设数列a,b,c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数

为P.，所有项的和为Sn.

(1)若已知数列3,4,5,求P2,52；

(2)求不等式Pn>2049的解集；

(3)是否存在不全为0的数列a,b,c(a,b,ceR),使得数列｛Sn｝为等差数歹U?请说明理由.

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参考答案

l.c

2.2

3.0

4.B

5.C

6.C

7.C

8.i4

9.4BD

10.AC

11.BCD

12T

2

14芋

15.解：(1)记甲、乙、丙三人过关分别为事件4B,C,

记三人中恰有两人过关为事件。，

贝l」P(D)=P^ABC}+P(XBC)+P(ABC)

121,113,12311

=ixixZ+iX3X^+ixix^=iZ-

又P(CD)=P(ABQ+PQ48C)

123,1133

=2X3X4+2X3X4=i

3

所以P(QD)=隅=廿2,

故若有两人过关，丙过关的概率为

(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,

_______"11-11

则P(x=O)=P0BC)=|x|x|=^

P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

111,121,1131

=2X3X4+2X3X4+2X3X4=4

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P(X=2)=P(D)=芬

P(X=3)=P(A8C)123=i1

所以X的分布列为：

X0123

11111

P

244244

111117,2

故E(X)-0x-+lx-+2x-+3x-=-)

即X的数学期望为裳

16.解：(1)丁/(%)=Inx+ax2+(a+2)%+a,x6(0,+oo)

1

，r(%)=——1~2ax+a+2

%

_(ax+1)(2%+1)n

x

①当aNO时，/(x)>0恒成立，

此时函数f(x)在(0,+8)上单调递增，

②当a<0时，令r(x)=0,解得％=-1,

当xG(0,—》时，r(x)>0,函数f(x)单调递增，

当％G(4+8)时，ro)<o,函数/■(%)单调递减，

综上所述当a20时，函数/(x)在(0,+8)上单调递增，

11

当a<。时，函数/(X)在(0,—今上单调递增，在(―[+8)上单调递减；

(2)证明：由(1)可得，当a<0时，

、

/⑺max=/r(--1)\=ln(--1\)+-1―-a+-2+a

=ln(--)---l+a,

、a，a

7711^

由/(%)式—2+a,得ln(一£)—£—l《一行—2,即ln(—R+/+140恒成立,

令t=-](a<0),g(t)=Int-t+l(t>0),

则d(t)=}T=F，

当te(0,1)时，g'(t)>0,g(t)单调递增，

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当tw(l,+8)时,<0,g(t)单调递减,

所以g«)的最大值为g(l)=0,

即当g(t)40时，ln(—，)+，+1<0怛成立，

7

故当a<0,f(x)<———2+a.

17.解：(1)取4E中点。，AB中点G,连接D。、OG,

由题易得AD=DE=避,

•••DO1AE,DO=AO=1,

•平面ADE_L平面力BCE,平面ADECl平面ABCE=4E,DOu平面4DE,

DO_L平面力BCE,

又•••G为4B中点，.•.在矩形ABC。中，四边形AGED为正方形，

•••GO1AE,

：.OA,OG,。。两两垂直，且。4=OG=。。=1.

以。为坐标原点，以04OG,。。所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

贝14(1,0,0),£(-1,0,0),£>(0,0,1),G(0,l,0),B(—1,2,0),C(—2,1,0),尸(一3,3,1),

CF=(-1,2,1),平面4DE的一个法向量为无=(0,1,0).

■■CF-OG^2,\CF\=yj6,\OG\=1.

设直线CF与平面4DE所成角为0,

sin"Icos(函函|=繇禺=专=东

tan。=

・・・直线CF与平面ZDE所成角的正切值为".

(2)匕4Z)E-BFC=^F-ABCE+F-ADE

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D

11

=-X-+CE）•BC-DO

=*x3^/2xy/2x1=1,

_1

^F-ADE-ADE,3G。

11

=-x-AE-DO.3G。

=7-x2xlx3=l,

6

U/OE-BFC=^F-ABCE+F-ADE=2，

・•・所求几何体的体积为2.

18.解:⑴设。（%1,月）,3（%2卜2），h：y=+1，

联立｛二蜉+1得久2一4姮%—4=0,

故久1+%2=4k1，yi+y2=fci（%i+x2）+2=4好+2,

故N3中点T的坐标为（2七,2烂+1）,

同理可得S（232贻+1）,

故2%声烂耳一.

ZK2一/其1

（2）设直线m%的倾斜角分别为明6,

则有tana=k19tan夕=k2,aE（0,1）,0E[0^）,

”的倾斜角为空（三e（0,刍），斜率为tangg

故FQ-.y=tan^-^x+1,

当y=—1时，x=—嬴|尹，故Q（一商务，—1），

TS'.y=（七+k]）（x-2ki）+2k；+S,即y=（七+k1）x-2klk2+S,

当”=_1而r=23—2_2tanatan£—21____2____

三〉ki+卜2tana+tan0tan（a+py

_2

所以P（—tan（a+0）Ll）

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22

------1----------

\PQ\=Itan(a+F)a+f^\

tanQ

-2

2tan字2

=|tan^±-^+》2,

—aM三十tan审

当且仅当tan中=1,即a+0=^寸取等号.

Z乙

记点S到的勺距离为h,aSPQ的面积S=^h\PQ\,

要证S>2,即证川PQI>4.

当a+S=5时，由于a<去故。>0,故九>2,

故此时h|PQ|>4;

当a+£时，|PQI>2,

又九22,故此时川PQ|>4;

综上所述，ASPQ的面积大于2.

19.解：(1)第一次“和扩充”：3,7,4,9,5;

第二次“和扩充”：3,10,7,11,4,13,9,14,5;

故「2=9,$2=76.

(2)数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，

数列a,b,c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为Pn,

则经第(n+1)次”和扩充”后增加的项数为Pn-l，所以乙+1=P