2.3.2面积问题　课件　2023--2024学年北师大版数学九年级上册

2.3.2用公式法求解一元二次方程会用一元二次方程解决面积问题.学习目标：（1分钟）问题1：解一元二次方程我们学过哪几种方法？直接开平方法

,配方法,公式法.问题2：如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外两条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_____________________.CBDA(30-2x)(20-x)=6×78新课引入问题：在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.16m12m想一想，你会怎么设计这片荒地？看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？利用一元二次方程解决面积问题自学指导1：（5分钟）解：设小路的宽为xm,根据题意，得即x2-14x+24=0.

解得x1=2,x2=12.

将x=12代入方程中不符合题意舍去.答：小路的宽为2m.小明设计：如图所示，其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程,得到小路的宽为2m或12m.16m12m问题：你觉得他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？xx解：设扇形半径为xm.根据题意，得即πx2=96.

解方程得x1=,x2=(舍去),答：扇形半径约为5.5m.小亮设计：如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同.问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？16m12m

小颖设计：如图所示，其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？16m12mxmxm解：设小路的宽为xm.根据题意，得即x2-28x+96=0.

解得x1=4,x2=24,

将x=24代入方程中不符合题意，舍去.答：小路的宽为4m.认真阅读P44的内容,回答课本上的问题：（1）你认为小明的结果对吗？为什么？（2）你能帮助小亮求出图2-6中的x吗？（3）你还有其他设计方案吗？解:设小路宽xm,则花园的长为_______m,宽为________m.则得方程____________________________.解得:x1=2，x2=12而荒地的宽为12m,若小路宽为12m,不符合实际情况,故x2=12m不合题意.所以小路的宽为2m.(16-2x)(12-2x)由题意得：____________________

解得：_________∴_______答:小颖的设计方案中扇形的半径约为____m

（1）主要集中在几何图形的面积问题,这类问题的面积公式是等量关系.如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;

（2）与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程.方法归纳1.某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.问：养鸡场的面积能达到180m2吗?如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.25m180m2解:设养鸡场的长为xm.根据题意，得

即x2-40x+360=0.

解方程,得

x1=x2=

(舍去).

答：鸡场的为（）m满足条件.x自学检测1：（8分钟）完成P45的第2题2.如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米,面积为S米2.(1)求S与x的函数关系式;(2)如果要围成面积为45米2的花圃,AB的长是多少米？变式:如图,若要建一个长方形养鸡场,养鸡场的一边靠墙,墙对面有一个2m宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长33m．

(1)若墙长为18m,要围成养鸡场的面积为150m2,则养鸡场的长和宽各为多少？

(2)围成养鸡场的面积能否达到200m2吗？答：截去正方形的边长为10厘米。3.如图是长60,宽40的长方形铁皮,在四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.

如图,在一块长为92m,宽为60m

的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽？

分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为(92–2x)m,宽(60-x)m.解：设水渠的宽应挖xm.(92-

2x)（60-

x）=6×885.解得x1=105(舍去），x2=1.注意：结果应符合实际意义例自学指导2：（5分钟）我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨1.完成P44随堂练习的内容自学检测2：（6分钟）解:设小路宽xm,则得方程__________________________.解得:x1=4，x2=24而荒地的宽为12m，若小路宽为24m,不符合实际情况,故x2=24m不合题意.所以x=42.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图.如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%.那么金边的宽应是多少？解：设金边的宽为xcm.根据题意，得(90+2x)(40+2x)×72%=90×40.

即

x2+65x-350=0.解方程,得

x1=5,x2=-70(舍去).答:金边的宽应是5cm.3.如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.

解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程,得（20-x)(32-x)=540，整理,得x2-52x+100=0，解得x1=50(舍去），x2=2.答：道路宽为2米.图1图2变式：如图，一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540m2，求道路的宽．利用一元二次方程解决面积问题几何图形常见几何图形面积是等量关系类型花坛面积问题相框宽度问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程课堂总结1.一个矩形的面积是48平方厘米，它的长比宽多8厘米，则矩形的宽x（厘米），根据题意可列方程

。2.用10米长的铁丝围成面积是3平方米的矩形，则其长和宽分别是()A.3米和1米B.2米和1.5米

当堂训练：（15分钟）3.如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE、AF，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长180米，已知墙AE长90米，墙AF长为60米．(1)设BC=x米，则CD为______米，四边形ABCD的面积为______米2；(2)若长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC为多少米？4.