2025中考数学基础知识+公式

2025中考数学基础知识+公式

[»：-1,0,1-.

有理数［分数爱片…注意：分数定为有理数

［开方开不尽的：j5--JZ3/6-

无理数｛产有n■的：277,g

I类似于0.10100100010000…的无限不循环小数

2.负指数累

1=%(-2尸=-：

T

9

零次累a°=1(除0外的任何数的0次方为1)例：=1；(-3)°=1；(71-5)°=1

3.近似数与精确度：近似数1.60万精确到位；1.6x104精确到位；近似数

1.6的取值范围.

4.科学记数法的形式:axl0"(l<|a|<10,〃为整数)

用科学计数法表示：160000000=,0.00000016=L

1.6亿用科学计数法表示：

5,乘法公式：

平方差公式：(〃+/?)(〃-b)=a2-b2完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

变形公式：4+=(〃+42_2ab-(a-Z?)2+2ab

(a-Z?)2=(Q+bf_4ab、(a+/?)2=(a-bf+4ab

(a+Z?+c)2=/+层+c2+lab+2ac+2bc

/++d-ab-ac-be-:[(a-/?)2+(Z?-c)2+(a-c)2]

5.三角函数值

正弦:sinB=sin30o=-sin45o=sin60o=正

977

弦值随角度的增大而增大.

余弦：cosB二cos30o='3cos45o='一cos60o=—余弦值随角度的增大而减小.

AR??7

正切:tan3=ftan30。=tan45。=1tan60o=Ji正切值随角度增大而增大.

BC4

公式：当a+G=90o时©sin（7=cos）6②cos。=sin/3（3）tanOf.tan13=1

对任意锐角a①sir?a+cos?1②tana二sin°③sina+cosa>1

req。

6.平面直角坐标系中两点A（»，M）,33,%），C是线段AB的中点，贝lj

。C点坐标（阳+幻-+必）例如：A（2'3）;B（-3,2）

则:①中点C[,一）

O线段AB的长度=）（一一/2）2+（乂一8）2一一

②48=J（2+3）2+（3-2『=而

7.统计中的特征数：平均数，中位数，众数，方差，标准差.

有一组数据：七,它,七，…,％.共九个数，平均数为方差S?,标准差S.则

①平均拆='&+X,+天+…+X”）

n

②中位数：将这组数据按从小到大顺序排列，取中间的数作为中位数.若中间有2个

数，则取它们的平均数作为中位数.

③众数：这组数据中出现次数最多的数.一组数据众数可以出现多个，也可能没有.

22:2

,52=-[（^1-J）+（JC2-X）+（x3-x）+---+（jcn-x）]

④万差：”

方差反映数据稳定程度，方差越小越稳定.

⑤S=而即标准差=户墓.★连续5个整数的方差为2,标准差为•拉.

如2,3,4,5,6的方差为2.

⑥一组数据X]+l,x2+l,x3+l,...,xn+1的平均巍+1,方差$2,标准差S.

一组数据3匹+2,3电+2,3当+2,...,3x„+2的平均数3x+2,方差9授,标准差3s.

8.特殊四边形的证法

对角线

AH〃CD,I1AIWD

（一级对攻平行且相等）

AD〃CDCD〃BC~

（网粗H边分别平行）、-越领边桁等.一个角为d角八

（两纲时边分别相等）

It角线比宣（AC1BD）

OA=OC,OB=OD-少D平斤四边影C

正方％C

（对角线互相平分）

■>

ft个ABC-W9)

0OSI0^(AB»IKM.DM)A)

#：叁形面枳公如2，“中比0角枕京积的半）

例如：S=2Bl）

此面&公K适合所有解角线看直的的边雷I

9.扇形、圆柱、圆锥

1

扇形圆心角〃°，半径R,弧长/,面积S,则

②S

圆柱高//,底面半径r,母线/

②

Ph=l%=2m③S全面积=2乃+2乃5(DV柱二万h

10.直角三角形相关结论,如图上AC8=90。.

B。勾股定理AC?+BC2=AB2;

2若上A=30。，则8。=1力3;

7

①②③图3若D是AB中点，则8=-AB-AD=BD=CD.

?

C

CD2=ADBD

2

4射影定理：^±ACB=90o,CD±ABMAC=AD-AB

ADRBC2=BDAB

_AC-BC

④⑤图5面积法求IWJ：CD

心AR

qS+S2

St+S3=SjS'+S2M

★一般结论：以RtAABC三边向外做相似图形,则两个小的面积之和等于大的图

形的面积.

变式图当以AB斜边为直径的半圆向上画半圆时，如

'B图得月牙形,则有$+S2=S"

11.度分秒互化：1„=60/；1/=6OS10=3600'

例如：1。42/=1.7O1.320=1019力=1。19/12-

12.三角形面积求法.

①

SA=大矩形面积减去三个小三角形面积

13.黄金分割：若AC2=AB.BC(AC>BC),则点C称为线段AB的黄金分割点;

B

ACV5-1

~0.618箧金比）;

一条线段有2个黄金分割点；注意：一般黄金分割值都带根号，除非他要求精确;

黄金三角形

腰)

底一2

15.全等，相似证法

1全等：SSSSASASAAASHL（只适用RtA）

②相似：两角对应相等；两边对应成比例，夹角相等；三边对应成比例;

★比例中项概念：若@=即/=ac,贝帕叫做ac的比例中项.

17.平行线等积变形.

正方形AECD和正方形BFDG,可得BD//AC

'•S&ABC==^\EAECD

x

18.平面直角坐标系中有2条直线,解析式为必=kX+伉=k2+为；%=%x+b3.

y2=k2x+b2

①当自=履时，两直线平行；反之两直线平行，kx=k2.

yrkix+bt

②当自.自=-1时，两直线垂直；反之两直线垂直，自.七=-1.y^kix+bt

19.平面直角坐标系中，点到直线距离公式.（不熟练的不用）

5

一6±“2

20.①一兀二次方程：加+bx+c=0.求根公式:x=---------

2〃

②韦达定理：设巴々是方程加+bx+C-Q的两个根，贝如+々=-2，%1.工2­—•

an

21.二次函数.

表达式对称轴顶点最值

一般式直线x=__L

y=ax1+bx+cb4ac-b2

7/7()〃,4〃)4ac-b2

4a

顶点式直线x=-mk

y-a(x+m)2+k(-m,k)

交点式直线

y-a{x-x）（x-

xX,+X)4-X,把横坐标、同顶点纵坐

x=-----（2，代入计算

标

其中Xx,X2是抛物

线与X轴交点横坐

标.

二次函数识图-：

\如图卜/A〜川a>0（看开口方向）

\•丫』甲+bx+c（a+0）

\：[6<0（看对称轴：左同右异）

\J/:C<0（看抛物线与y轴交点位置）

一NJyb2-Aac>0（看抛物线与%轴交点个数）

二次函数识图二：

①y=海u抛物线顶点在原点u>6=0,c=0

②y=ax2+bxo抛物线过原点Uc=0

③y=ar+co抛物线顶点在y轴u6=0Q对称轴为y轴

（4）y=ax'+bx+c中"-4ac=0c抛物线顶点在x轴c抛物线与x轴只有1个

交■占八、、

⑤抛物线y=ax1+bx+c与坐标轴三个交点构成直角三角形。ac=-1

⑥抛物线与x轴两个交点及顶点构成等腰直角三角形oA=4

⑦抛物线与x轴两个交点及顶点构成等边三角形。△二12

\/A\b六/.4\B

⑤⑥⑦

★图像平移.口诀：左加右减，上加下减.

例如：y=丘+b向左平移1个单位，向下平移2个单位，得y=L（x+l）+b-2

y=a（x+m）2+k向右平移3个单位，向上平移1个单位，得y=a（x+m-3）2+k+1

★抛物线y=ax2+bx+c在x轴上截得的线段长度为："消。

或者是I%|=J（X]-xj2=J（X]+.0）2

22.函数应用题

（1）利润最值问题（二次函数）：

a.列表分析，关注未知数x表达的意思（销售价还是降价或涨价等）

b.关注自变量的取值范围（注意隐含的取值范围，如整数等）

c.判断对称轴是否在自变量取值范围内：

1）在一一直接取最值（配方法、公式法）

2）不在一一根据对称轴和开口方向判断增减性，在自变量端点值求最值

（2）成本最值问题（一次函数）：求出自变量取值范围，根据增减性在端点处

求最值。

（3）拱形门问题：区分清楚是二次函数问题还是圆弧形问题。

（4）围成面积问题：注意限制条件，注意开门等条件，理解材料总长和要表示的

线段

23.一线三等角构“K”字型相似.

B条件：±B=±AED=±C

结论：4ABEsAECD

★在某些难题中出现直角的条件，可尝试构造“K”字型相似或“K”字型全等.有时

出现一线上有2个等角，可尝试画出第3个等角，构造“K”字型相似.（难题的解决

需要多次尝试）

24.常见的勾股数.3,4,56,8,105,12,138,15,177,24,25

对无理数的估算,乃yl.414•、八ul.73272.236

25.反比例函数基本图形及结论.

④恒等性质AB=CD⑤面积公式SAAOB=S梯形ACDB=--丁

26.中位线.梯形中位线EF.

三角形中位线DE(2)A>~~(如图，梯形ABCD中，AB〃CD.

如图：D,E是^ABC中，/\E,F分别是AD,BC中点.

AB,AC边上中点，y---------V则有：EF〃AB〃CD

则有DE〃BC,DE」BC.

-------------VEF=1(JB+CD)

23

★中点四边形：取四边形的四边中点，连成的四边形叫中点四边形.

。任意四边形ABCD,取四边的中点E,F,G,H,则四边形EFGH是平行四边形.

2四边形ABCD中，AC=BD,取四边中点E,F,G,H,则四边形EFGH是菱形.

3四边形ABCD,AC±BD,则中点四边形EFGH是矩形.

4四边形ABCD,AC=BD,AC±BD,则中点四边形EFGH是正方形.

27.角平分线.

①角平分线+平行线一等腰三角形.②角平分线定理.三角形中（不常用）

③角平分线推广定理

如图，AB〃CD,CE平分NACD,

如图，BE平分上A8C,

则4ACE是等腰三角形.:AD平分上

EF_i_AB,EH_1_BC

：AB//CD:上1=上2ABBD

：EF=EH

:上2=上3:上1=上3AC~DC

又：CE平分上AC。：AC=AE.即△ACE是等腰三角形.

④BD,CD平分NABC,ZACB,BD,CD平分NCBF,NBCE,BD,CD平分NABC,ZACE,

则ND」/A

则ND=90。+-ZA则ND=90。--ZA

277

28.(1)正方形中，ZEAF=45°.⑵三角形中剪出正方形.•；DM//BC

.,.△ADM^AABC

DMAF=［、工口

m用----=----列万程

RCAR

例如：BC=8,AE=6,求边长.

可设边长X,则

x_6-x徂_24

.一6，无一亍

4

0A/=8——x

3

44

S矩=x(8——x)=——x'+8A

当x=-'=3时，S最大=12

2a

结论：当DM为中位线时，矩形最大.S矩形最大=

29.三角形外心，内心，重心.

。外心（外接圆圆心，是^ABC三边中垂线的交点）

结论:△ABC的外心到三个顶点的距离相等.

2内心（内切圆圆心，是^ABC三条角平分线的交点）

结论：4ABC的内心到三边的距离

3重心（ZkABC三条中线的交点）

结论：重心将每条中线分成两段，长度为2:1,

OAOBOC、

R即n：一=——=——=2

OFOGOF.

30.内切圆中的部分结论公式.如图：是4ABC的内切圆，S表示aABC面

积，/表示aABC周长，r表示。O半径：

结论：①AE=AF;BF=BD;CD=CE（切线长定理）

②AF+BCJ,BF+AC=—Z,CE+AB=—Z

22

'=S^AOB+SaBOC+

I111

=—AB.r+—BC.r+—AC

777•（知道三角形周长

I和面积，可求内

与(AB+BC+AC)

I切圆半径.

=-lr

7

★RtAABC内切圆半径为r.

结论:1+BCTC

2-

例如：一个三角形三边为3,4,5；则它是RtA,

内切圆半径为r=3+4~-=1.

2

31.圆中三大定理.

⑴垂径定理：VAB是直径①

AB±CD②|（推论由二推三•）

，CE=DE③｝一|把其中两个做条件

BC=BD④|（可推出其余三个结论

余=m⑤

垂径三角形Rt^COE:半径OC,半径CE,弦心距0E,构成Rt^COE,可用勾股定理求

解长度.

易错：平分弦I不是直径）的直径垂

直弦，平分弦所对的弧.

,/AB=CD①)

I（推论由一推三.）

AZA0B=ZC0D(2)1

—>I把其中一个做条件

AB=CD③|

1（可推出其余三个结论.，

OE=OF④J

易错：在同圆或等圆中，弧相等，则弦相等（V）同弧、等弧概念［度数样

在同圆或等圆中，弦相等，则弧相等（X）.

原因：一条弦对两条弧.••I长度一样

⑶圆周角定理:

①同弧或等弧所对圆周角相等，即NE=NF.

②一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，即NE=!ZAOB.

9

③直径所对圆周角是直角；90°的圆周角所对弦是直径.

VAB是直径ZAFB=90

AZAFB=90°.，AB是直径.

32.（1）圆内接四边形圆:

：四边形ABCD是圆内接四边形

ZA+ZC=180］（圆内接四边形对角互补）

ZD+ZABC=180°/

ND=NABE（圆内接四边形外角等于它的内对角）

（2）四点共圆:

①.p若四边形中，ZA+ZC=180-,若四边形中，

/则在同一个圆上，

A,B,C,DZDAC=ZDBC,

即A,B,C,D四点共圆.

J----------xJc即A,B,C,D四点共圆.

⑶多边形内角和，外角和:

①"边形内角和公式：（〃一2）.180。；②〃边形外角和：360.

③正”边形每个内角度数：180一"或（"DI'。

nn

④正”边形每个外角度数：生

n

33.“12345”定理：（填空、选择可直接用）

如图在“3X3”网格中，△ABC为等腰直角三角形，ZBAC=ZACB=45°.

①Nl+N2=45°

(2)ZACB+Z3=ZMCBA

：tanJzl=—,tan_L2=—.：±ACB=45°,tan±3=-,tan±MCB=2

2?

3

我们用“3,表不上i的度数,

一9则有450+="2”

3

“1”表示上2的度数.

3(3)ZACB+Z4=ZACF

则有，，］_”+，4，，=45。

:上ACS=45°,tanJz4=Ltan上ACF=3

74

2

:ZD=ZCAD则有45°+“！”=

“3”

ZD+ZCAD=ZACB'2

113

tanZD=-,tanZ.CAD=—,tanAACB=-

，？4

⑤：ZD=ZCAD

ZD+ZCAD=ZACB

114

tan/D=—,tanNCZO=—,tan4cB=—

7??

223

34.常见几何模型

㈠双子型（手拉手模型）

条件：aOAB,A0CD均为等边三角形.

结论：①△OAC等②AC=BD；

③NAEB=60。;④0E平分NAED；⑤点E在

△OAB的外接圆上

DD

E

条件：△0AB,40CD均为等腰直角三角形

结论：①△OAC2△OBD；②AC=BD；

③NAEB=90°;④0E平分NAED；⑤点E

在^OAB的外接圆上

条件：aOAB,AOCD均为等腰三角形，

ZA0B=ZC0D.

结论：（DAOAC^AOBD；②AC=BD；

③NAEB=NAOB；④0E平分NAED（或

ZAED的外角）；⑤点E在AOAB的外

接