九年级数学锐角三角函数知识点与典型例题

锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：锐角三角函数定义：在△中，∠900,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：，∠A的余弦可表示为∠A的正切：，它们弦称为∠A的锐角三角函数2、取值范围<<<>】例1．如图所示，在△中，∠C＝90°．第1题图例2.锐角三角函数求值：在△中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝，例3．已知：如图，△中，∠＝90°，⊥于R点，＝4，＝3．求：∠、∠、∠．典型例题：类型一：直角三角形求值1．已知△中，求、和．2．如图，⊙O的半径＝16，⊥于C点，求及的长．3．已知：⊙O中，⊥于C点，＝16，(1)求⊙O的半径的长及弦心距；(2)求∠及∠．已知是锐角，，求，的值对应训练：1．在△中，∠C＝90°，若＝1，，则的值为A．B．C．D．22．在△中，∠90°，，则的值等于（）.A．B.C.D.类型二.利用角度转化求值：1．已知：如图，△中，∠C＝90°．D是边上一点，⊥于E点．∶＝1∶2．求：、、．2．如图，直径为10的⊙A经过点和点，及x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则∠的值为（）A．B．C．D．3.如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则．4.如图，菱形的边长为10，⊥，，则这个菱形的面积=2．5.如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，则的值是（）A．B．C．D．6.如图6，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，8,则的值为()Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．7.如图7，在等腰直角三角形中，，，为上一点，若，则的长为()A．B．C．D．8.如图8，在△中，∠90°，8，∠A的平分线求∠B的度数及边、的长.类型三.化斜三角形为直角三角形例1如图，在△中，∠30°，∠45°，2，求的长．例2．已知：如图，在△中，∠＝120°，＝10，＝5．求：∠的值．对应训练1．如图，在△中，∠90°，点D在边上，且△是等边三角形．若2，求△的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△中，＝9，＝6，△的面积等于9，求．3.中，∠60°，6，4，则△的面积是A.22 .42C.62 D.122类型四：利用网格构造直角三角形例1如图所示，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（）A．B．C．D．对应练习：1．如图，△的顶点都在方格纸的格点上，则A.2．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为A.B.C. D.3．正方形网格中，如图放置，则的值是（）A．\F(\R(,5),5) B.\F(2\R(,5),5)C.\F(1,2)D.2特殊角的三角函数值锐角30°45°60°当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1）.计算：．2）计算：.3）计算：3－1+(2π－1)0－30°－45°4．计算：．5．计算：；例2．求适合下列条件的锐角．(1) (2)(3) (4)（5）已知为锐角，且，求的值（）在中，若，都是锐角，求例3.三角函数的增减性1．已知∠A为锐角，且A<，则∠A的取值范围是A.0°<A<30°B.30°<A＜60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°已知A为锐角，且，则（）A.0°<A<60°B.30°<A<60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°例4.三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形中，⊥于E，＝16，求此菱形的周长．2．已知：如图，△中，∠C＝90°，，作∠＝30°，交于D点，求：(1)∠；(2)∠、∠和∠．、∠、∠．4.如图，在△中，∠90°，，点D在边上，=6，求∠的值．5.如图，△中，∠30°，，．求的长.解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下：在△中，∠C＝90°，＝b，＝a，＝c，①三边之间的等量关系：．②两锐角之间的关系：．③边及角之间的关系：④直角三角形中成比例的线段．在△中，∠C＝90°，⊥于D．2＝；2＝；2＝；·＝．类型一例1．在△中，∠C＝90°．(1)已知：a＝35，，求∠A、∠B，b；(2)已知：，，求∠A、∠B，c；(3)已知：，，求a、b；(4)已知：求a、c；(5)已知：∠A＝60°，△的面积求a、b、c及∠B．例2．已知：如图，△中，∠A＝30°，∠B＝60°，＝10．求及的长．例3．已知：如图，△中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠＝60°．＝10．求的长．例4．已知：如图，△中，∠A＝30°，∠B＝135°，＝10．求及的长．类型二：解直角三角形的实际应用仰角及俯角：例1．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度为100米，点A、D、B在同一直线上，则两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠＝60°，∠＝45°．点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离．例3.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠60°，测得山顶B的仰角∠30°，求风力发电装置的高的长．例4.如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都及地面垂直，且相距米，小聪身高为1.7米，求这棵树的高度.例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳，求山的高度及缆绳的长(答案可带根号)．例6．如图，为测量某物体的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米例7．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：75°≈0.9659，75°≈0.2588，75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）类型四.坡度及坡角例．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡比是1：，堤坝高50m，则应水坡面的长度是（）A．100mB．100mC．150mD．50m类型五.方位角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，及灯塔M之间的最短距离是多少(精确到0.1海里，)综合题：三角函数及四边形：1．如图，四边形中，∠135°，∠90°，2，∠\f(\r(,6),3)．(1)求的长；(2)求的长．2．如图，在平行四边形中，过点A分别作⊥于点E，⊥于点F．（1）求证：∠∠；（2）若4，，，求的长．三角函数及圆：1.已知：在⊙O中是直径，是⊙O的切线，连接及⊙O交于点D,求证：∠2∠C若8，，求⊙O的半径。2.如图，是⊙O的直径，及⊙O相切，E为切点.连接交⊙O于点B，在上取一个点F，使.（1）求证是⊙O的切线;（2）若,9，求的长．1．已知，则锐角A的度数是A．B．C．D．2．在△中，∠C＝90°，若＝1，，则的值为A．B．C．D．23．在△中，∠90°，，则的值等于（）.A．B.C.D.4.若，则锐角＝.5．如图，在△中，∠C＝90°，＝3，2，则的值是A．B．C．D．6．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则α的值是A．B．2C．D．7.△在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是A. B.C. D.8．如图，在直角三角形中，斜边的长为，，则直角边的长是（）A． B． C． D．9．如图，已知P是射线上的任意一点，⊥于M，且:4:5，则α的值等于（）A．B．C．D．10．如图，为⊙O的弦，半径⊥于点D，若长为10，，则的长是A.20B.16C.12D.811.在△中，∠90°，如果，则的值是A．B．C．D．12．如图，在△中，∠∠90°，若，则∠的值为．计算：13．计算.14．计算：．15．已知在△中，∠C＝90°，，.解这个直角三角形16.如图，在△中，∠90°，是∠的平分线，，求的值．17．如图，某同学在楼房的处测得荷塘的一端处的俯角,荷塘另一端处、在同一条直线上，已知米，米，求荷塘宽为多少米？（结果保留根号）18.（6分）如图，在△中，点O在上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交于点D，已知2∠A+∠B=（1）求证：是⊙O的切线；（2）若6，8，求的长19．如图，在△中，∠90°，点D在边上．若6，，∠，求的长和的值．[来源:学|科|网]20．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．21．已知，如图，在△中，，以为直径作半圆，交边于点F，点B在的延长线上，连接，交于点E，．（1）求证：是的切线；DOACBFE（2）若DOACBFE22．如图，为了测量楼的高度，小明在点C处测得楼的顶端A的仰角为30º，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼的顶端A的仰角为60º，求楼的高．23．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，