江苏省南通市联盟2025届高三年级上册模拟演练性联考数学试卷（含答案）

江苏省南通市名校联盟2025届高三上学

期模拟演练性联考数学试卷

2024〜2025学年高三年级模拟考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数Z满足二一=l+i,则|z|=

z-111

A.lB.2C.V2D.4

2.已知3。则tan(a+S=

cosa-sina14)

A,273+1B.2V3-1C-TD」-百

r2厂3

3.设x,y为实数，满足3刍72s8,4<—<9,则一的最大值为

JJ

A.27B.24C.12D.32

4.锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、6、c.若2+@=6COSC,则包•+晒C

abtaih4tanB

的值为

A.2B.4C.6D.8

22

5.在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆/+]-=1的左、右顶点为/、B,右焦点

为日设过点7(9,⑼的直线Z4、窗与此椭圆分别交于点M(xi,州)、N(X2,H)，其中冽>0,

巾>0,H〈0.则直线必过一定点的坐标为

A.(l,0)

0)

C.(0,-1)

D.(0,1)

高三数学考试第1页共6页

6.在平面直角坐标系中，已知尸是函数/尸e*(x>0)的图象上的动点，该图象在点P处

的切线/交y轴于点M,过点P作I的垂线交〉轴于点N设线段的中点的纵坐标为t,

则/的最大值为

A.e

/a

In

a2n

7.由m'n个数排成一个加行几列的数表4=。22称为一个冽x〃矩阵，也

am2otnn)

可简记为N=(%).定义矩阵的乘法如下：设,B=(b.)，则称C=(cJ为

$fl21

矩阵N与3的乘积，记为C=NA其中与也•现有矩阵工=

k=\(T01

f-111

210

B=,贝UAB=

003

、43-1,

'-33、/3—3、

f-3—43)(334、

A.-43B.3-4D.

(334J1-3-43)

\34JJ3,

8.定义：已知数列｛a4SGN*)的首项.=1,前〃项和为设入与人是常数，若对一切正整数

illa

均有黑—"〃成立’则称此数列为“数列.若数列。…是“§&2”

数列，则数列｛a„｝的通项公式a,.=

l(n-1)1(〃=1)

A.3X4〃-2BJ0C.4X3〃-2

3X4"-2(«>2)4x3n-2(«>2)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的

得0分。

9.已知函数/⑺的定义域为R,且/弓卜°，若〃x+y)+/(x)/(y)=4xy,则

c.函数/口-；］是偶函数D.函数/卜+£|是减函数

高三数学考试第2页共6页

10.在棱长为1的正方体WBCD-44GA中，点E在棱4片上运动，点尸在正方体表面上运

动，贝!]

A.存在点E,使

B.当合=△时，经过点4。1的平面将正方体分成体积比为3:1的大小两部分

C.当E4=E8时，点下的轨迹长度为4

D.当H4=2尸2时，点下的轨迹长度为一+3人-

18

11.记/''(X),g'(X)分别为函数/■(X),g(x)的导函数.若存在xodR,满足/(xo)=g(xo)且/1'(xo)=g，(xo),

则称X0为函数/(X)与g(x)的一个“S点”.则下列说法正确的是

A.函数〃x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”

B.若函数小)&T与g(x)=lnx存在“S点”，则喈

be*

C.对于函数f(x)=-x2+a与g(x)=——.对于任意的心0,均不存在b>0,使得函数/(x)与g(x)

x

在区间(0,+s)内存在“S点”

be,

D.对于函数/(x)=一炉+a与8任尸—.对于任意的a>0,存在b>0,使得函数/(x)与g(x)在

x

区间(0,+00)内存在“S点”

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.以maxM表示数集M中最大的数.设0<。<6<0<1,已知b22a或a+bV1,则

max抄一凡c-6,1-c｝的最小值为▲.

13.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M〜数列”.已知数列｛6“｝(〃eN*)的前"项和为

122

Sn,且满足从=1,—=------------.设加为正整数.若存在“M〜数列”｛c〃｝(〃£N*),对任意正

Sb

nn”+1

整数k,当k<m时，都有Ck<bk<Ck+i成立，则m的最大值为▲.

____________Fb_____________

14.设数列｛为｝：1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,(―1)"1"..,(一1)"%,…,即当

器咙时，%=(—l)i左.记S“为数列&｝前〃项和.对于/GN*,

定义集合尸/=｛〃％是斯的整数倍，“GN*,且摩闫｝.则集合尸”中元素的个数为▲；

集合P2000中元素的个数为▲.

高三数学考试第3页共6页

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。

15.如图，在直三棱柱/3C-43C］中，D,E,尸分别为48,BC,用8的中点.

(1)证明：4G〃平面为DE；

(2)若AB=\,AB1AC,ByDLAXF,求点£到平面A.FC,的距离.

16.已知。为坐标原点，抛物线的方程为^=2刀(p>0),/是抛物线的焦点，椭圆的方程

为二+J=l(a>6>0),过尸的直线/与抛物线交于N两点，反向延长OM,ON分

ab

别与椭圆交于尸，。两点.

⑴求kOM•k0N的值；

(2)若叶+|OQ『=5恒成立，求椭圆的方程;

⑶在(2)的条件下，若沁的最小值为1,求抛物线的方程(其中义加，S.0如分别

J△。尸0

是AOMN和△OPQ的面积).

1)

17.已知函数/(x)=xex-cos—其中。为正实数.

x)

⑴若ae信+8),讨论/(x)在(j，d的单调性.

(2)若。=1,方程W(/(X)-7MX)=e?-加在［,+(»)至少有一个根，求实数加的取值范围.

高三数学考试第4页共6页

18.“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后,

实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系.

⑴利用恒等式sin2Q+cos2。=1和tan2。+1=,求函数“=x-8-x2和

cos6

%=2+一应—+tan20-4tan4的最小值.

cos。"cos2。

(2)在△45C中，角4B、。对应的边为〃、b、c.

⑴求证：cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=l.

(ii)已知实数工，＞满足f+行孙二：,求二元函数

4y[2x+9+2/2^+2^2%2+3/-2xy+l+j的最大值,

高三数学考试第5页共6页

19.解二元一次方程组是数学学习的必备技能。设有满足条件°皿22诩12。21的二元一次方程组

o11x1+o12x2=*

02丙+。22》2=b]

(1)用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；

(2)通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中XI,X2的系数。11、。22、。12、。21所唯

一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表由此

^^21^^22

可以看出—。12。21是这个数表中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左

下对角线上两个数的乘积的差，称032—。12。21为该数表的二阶行列式，记为

d2]22

a11ax,+tzx=b.,

当u12知时，二元一次方程组1u11112929।有唯一一组解.同样的，行列式

aX=

。21〃22+222^2

abcabc

Imn称为三阶行列式，且Imn=amz+bnx+cly-cmx-biz-any.

xyzxyz

ax.+tzx=b

I.用二阶行列式表示方程组《u11112929/}的两个A解;

^21^1+^22^2~b?

anxx+anx2+。]3、3-W

11.对于三元一次方程组〈。21、1+。22%2+。23%3=，2，类比二阶行列式，用三阶行列式推

“31”1+“32*2+“33”3=“3

导使得该三元一次方程组有唯一一组解的条件(结论不得使用行列式表达)，并用三阶

行列式表示该方程组的解.

sinx—m

⑶若存在xG[0，M，使得〉sin2x+2,求机的取值范围.

cosxm

高三数学考试第6页共6页

2024〜2025学年高三年级模拟考试

数学试题评分参考

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

l.C2.B3.A4.B

5.A6.C7.D8.B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

9.ABD10.BCD11.ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

1

12.-13.514.51008

5

四、解答题：本题共5小题，共77分。

15.(13分)

(1)因为/8C-481cl为直三棱柱，所以4G〃/C,

又。，E,分别为48,的中点，所以DE//ZC,

所以。E//4G，

又4GCZ平面BQE,DEu平面BXDE,

所以4C"/平面2QE.……5分

(2)因为4BC-481cl为直三棱柱，且

以A为坐标原点，分别以所在直线为x,%z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

设羽="。＞0)，且/3=1，则4(1,0,。),。日,0,01,4(0,0,0

贝u丽=(一3,0,-“，即

----＞----►1772

由尸可得及。.吊/=0,即_；+看=0,且。＞0,解得a=1,

设/C=b伍＞0),则G(o,41),即丽=(1,0,-

/=（0,仇0）,

设平面4尸。的法向量为万=(%//),

**Si

11

n-A,F=x---z=0[z=2x

则2解得，取尤=1

n-/£=如=0

ADB）

所以平面4尸q的一个法向量为万=。,0,2),

高三数学评分参考第1页共8页

又叫刿,即档段T，

所以点E到平面4尸G的距离才_9臼_22_375.

13分

16.(15分)

(1)设直线OM的斜率为左(左＞0),直线ON的斜率为42,

由题可知，直线肱V的斜率不为0,设Ma，%),%%,乃)，

设直线MN：y=kx+^,

7P

y—kxH—_、

则由，2,可得f0_2pkx-p=0,

x1=2py

易知A>0,且xx=-p2,yy2=,

}2x4P4

则也*£=.;

4分

(2)设尸小,%),。。””)，

由题可知，L：y=3,/。内=/，其中左内=一；,

y=k.x-

,,一.2ab-me16a“常

联立方程xy=>毛=-7-----7-y，同理％2=,.J,,

一+^—=1b-+a-k,a-+16b~k;

Mb2

+2

a2-b22♦♦+(32/庶+16/62《

=lb2+

a2a2b2+(a4+16??4+\&t2b2k\

2

,,2/2N、。/+(32//)片+16。26片

=2b+(Q—c?)—;~~z-----------------z------z~~~T•

/〃+(Q4+16b4)6+16612b?k：

因为|。口2+|。。『=5为定值，所以上式与左无关，

所以当32/=^+16/,即以=4/时,此时当+〃=5,所以/=4,/=1,

丫2

所以椭圆的方程为二+必=1.……10分

4-

m因为5=如竺竺吧竺二皿丝L2

'S^OPQ^\OP\\OQ\smZPOQ0尸I卜J

由(2)可知，当/=4,廿=1时,

高三数学评分参考第2页共8页

„24丫2_16%；__2

三一再三--P'

SfoMN=—=8《I=弓小+4|占。三多

,△OPQl3%4"阳।8（|左]]J2

1+4后

故：=lnp=0,当且仅当尢=士；时，等号成立,

此时抛物线方程为无2=2伤.15分

17.（15分）

(-1£1

（1）小）=XQx-COS—=xex-xcos—,

IXX

/'(x)=ex+xex[一点卜°4+“*]-.

-a-11.1-x-a(11.1)

=ex——ex-cos----sin—=ex-------cos—+—sin—,

XXXXXyXXX)

因为x£(一,q],aGf—,+00^,所以一w(_,彳],一£(0,不

<71)\7i)x\a2Ja\2^

所以J.士9<0,-cos—+—sin—<0,

x[XXXJ

所以八x）＜0,所以/'（x）在仁,aj单调递减.

6分

(2)当4=1时，f(x)=xex-cos-,设，=工£(0,三

(xJ%I2,

设例:)，兀e'-TTCOs1—2m2,tE

71-2?

则

加'«)=(兀占+7icos/)(兀一Z)+兀d+兀sinf—2e，|92+2|兀6+Tisifii-2c2|

高三数学评分参考第3页共8页

=(兀e'+7rcos£)(7i-2%),

因为，£，所以(兀e'+兀cosf)(兀-2。>0,即"⑺>0,

所以加)在画[单调递增，

’兀、兀(兀71、(兀兀、

又加(0)二兀一2。2]兀=兀2_2兀e»<0,加(])=2]兀©5―兀一2xgxe»J=2兀e2-e2J=0,

所以当f时，m(?)<0,即〃'(/)<0,

所以咐在(0,3上单调递减，限)=0,当3*,h(t)s,

所以兀e'_ncosf-2忙2：加在/Jo,。)至少有一个根时,me(-<»,0)........15分

71-2?I2J

18.(17分)

(1)设x=cos6,0G[0,TI],则必=cos0-sin0=逝cos(9+,

因为此曲可，所以8+[e，所以cos19+a]e--^-,1,所以“2-1,

艮口必=X—J]—%?的最〃、值为:-1,

当cos。〉0时，%=2+一^7—+tan20-4tan0+4

2cosOVcos20

=J-\——卜」—\——btan20-4tan0+4

Vcos20Vcos20

=V4tan20+4+74tan20-4tan0+7

22

=A/（2tan0-O）+（O-2）+^（2tan0-1J+（O盾,

表示点（2tan0,0）到点（0,2）和（1,-76）的距离之和，

所以%2j+（2+痴『=2逐+6.

当cos0<0时，必=2+J___Htan20-4tan0+4

cosOVcos29

=+tan20-4tan9+4=-"tan?6+4+V4tan26-4tan9+7

Vcos0Vcos9

=-J（2tan0-0）2+（0-2）+^（2tan9-1J+（0-府,

表示点（2tan0,0）到点（0,2）和（1,n）的距离之差，

高三数学评分参考第4页共8页

所以%2_J1+(2-6『=6-26

综上，%的最小值为：V3-2V2.6分

(2)(i)因为cos。=cos[兀一(4+5)]=—cos(4+5)=sin/sinB-cosZcosB,

所以cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC

=cos2A+cos2B+sin2Asin2B+cos2Acos2B-2sinAsinBcosAcosB+2cosAcosBcosC

=cos2A+cos25+(1-cos24)(1-cos?5)+cos24cos2B

-2sinAsinBcosAcosB+2cosAcosBcosC

=1+2(cos2Acos2B-cosAcosBsin4sin8)+2cosAcosBcosC

=1+2cosAcosB(cosAcos8-sin/sin8)+2cosAcosBcosC

=l+2cosZcosBcos(/+5)+2cos%cosBcosC

=1-2cosAcosBcosC+2cosAcosBcosC=1,证毕....11分

(ii)在(i)中，令。=工，则cos?Z+cos?5+亚cosZcosB=工且4+8=包，

424

因为—+/+亚肛=；,设、=354,y=cos5,

所以f(x,y^=yjx2-4y/lx+9+2y/2y+2+2+14-x

可得/(，)=Jcos?4-4逝cos/+9+4sin/+cos4

贝(J/(4)=V2cos2A-4A/2cosA+4+sin2A+4sinA+4+cosA

其表示点(挺COSA,sin到点(2,-2)和(1,0)的距离之差再加上72，

所以〃4)«J(1—2)2+(0—(—2))2+72'y，

।sinA-0sin4+2

当且仅当t~r----=T-----，

V2cos^4-1v2cosA-2

高三数学评分参考第5页共8页

即cos/=4®_"，sin/=+2时等号取得,此时满足丁］....17分

99I4）

19.（17分）

_」-22b2a12

人1-

(1)该方程组的两个解为■%1。22-。12。21……4分

1_均%1_/〃21

〃11〃22一〃12〃21

“al2

b2a22

X1一

a\\an

(2)1.该方程组的两个解为］。2]^-22

.......6分

auW

^21b?

x2=

anan

at2]^^22

H.类比二元一次方程组，将三元一次方程组中XI,X2,X3的系数排成一个数表的1