因式分解介绍课件讲义

3.1多项式的因式分解

请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．（1）-1.2568×(-3)+0.2568×(-3)（2）1012-992

（3）572+2×57×43+432

根据左面算式填空:(1)3x2-3x=_______(2)ma+mb+mc=___(3)a2-b2=__________(4)x2-6x+9=________(5)a3-a=___________3x(x-1)=______,m(a+b+c)=_____,(a+b)(a-b)=_____,(x-3)2=_________,a(a+1)(a-1)=____,3x2-3xma+mb+mca2–b2x2-6x+9a3-a3x(x-1)m(a+b+c)(a+b)(a-b)(x-3)2a(a+1)(a-1)想一想做一做速战速决a2-b2=(a+b)2=m(a+b+c)(a+b)(a-b)(a+b)2m(a+b+c)=a2-b2=a2+2ab+b2

=am+bm+cm整式乘法因式分解整式的积多项式多项式整式的积a2+2ab+b2am+bm+cm联系1：新旧相联整式乘法与因式分解=(a+b)(a-b)互逆变形联系2：新旧相联分解质因数与因式分解1-x24x2-8x1-4x2x2-14x+49=(1+x)(1-x)=4x(x-2)=(1-2x)(1+2x)=(x-7)2因式分解1、结果都是以积的形式出现2、积中的每个因式（数）都不能再分6＝2×318＝2×32分解质因数90＝2×32×5100＝22×52定义

一般地，把一个多项式表示成几个整式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。要求：１.是一种恒等变形

2.变形对象：是

;

3.变形过程：由

变成

的形式

4.变形的结果：是几个

的积

5.分解结果中的每个因式不能再分明确新知多项式和积整式只有多项式才可能进行因式分解判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?

(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2).2x(x-3y)=2x2-6xy(3).(5a-1)2=25a2-10a+1(4).x2+4x+4=(x+2)2(5).(a-3)(a+3)=a2-9(6).m2-42=(m+4)(m-4)(7).2πR+2πr=2π(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解火眼金睛观察与思考(1).1-x2

(2).4x2-8x(3).1-4x2(4).x2-14x+49=(1+x)(1-x)=4x(x-2)=(1-2x)(1+2x)=(x-7)2观察分解前多项式的次数与分解后每个因式的次数，你有什么发现？分解后，每个因式的次数都低于原来的多项式因式分解的作用：降次即：将高次转化为低次实战考场下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？

(1)2m(m－n)=2m2－2mn(2)5x2y－10xy2=5xy(x－2y)(3)4x2－4x+1=(2x－1)2(4)x2+x+1=x(x+1)+1

(6)x2+1=(x-1)(x+1)不是整式两边不相等智力抢答(1)1012－992=(2)872+87×13=(3)512－2×51+1=因式分解的应用:(4)2.5×19.7－44.5×2.5+2.5×25.9如果多项式ax＋B可分解为a(x＋y),则B等于()

A.a

B.ay

C.ax

D.y

B1、已知x-y=2,x2-y2=12,求x+y的值.2、已知a2-4a+9b2+6b+5=0,求a2+b2的值

(1)已知：a=2007，则a2+a能被2008整除吗？

a2+a=a(a+1)=2007（2007+1）=2007×2008(2)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。

a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400(3)若a=89,b=-11,求a2-2ab+b2值a2-2ab+b2=(a-b)2=(89+11)2=10000；(4)已知a-b=2，ab=7，求a2b-ab2的值。a2b-ab2=ab(a-b)=14拓展与提高（1）能分解成则=______,=______.(2)已知关于x的二次三项式2x2+mx+n因式分解的结果是(2x-1)(x+),求m,n的值.1、a2－a

能被a－1整除么？请写出你的理由。2、32002－32001－32000能被5整除吗？为什么？3、993-99能被100整除吗?你是怎样想的？聪明的小明是这样想的:993-99=99×992-99×1=99×(992-1)=99(99+1)(99-1)=99×100×98所以,993-99能被100整除.

解决问题的关键：将数式993-99化成了99、100、98三个数的积的形式！我们的收获……我学会了……我明白了……我认为……我会用……我想……结合本堂课内容，请用下列句式造句。要求：１.是一种恒等变形

2.变形对象：是

;

3.变形过程：由

变成

的形式

4.变形的结果：是几个

的积

5.分解结果中的每个因式不能再分旧知回顾多项式和积整式只有多项式才可能进行因式分解因式分解一个多项式几个整式积整式乘法

下列由左边到右边的变形，哪些是分解因式？1)（a+3)(a–3)=a2–92）x2–y2+1=(x+y)(x-y)+13）6x2y3=3xy·2xy24）a2+

a–1=a(a+1-)5)2∏R-2∏r=2∏(R-r)6)m2–81n2=(m+9n)(m-8n)因式分解3.2因式分解--提取公因式法学习指导：1、自学教材P59页－P60页的知识内容。2、思考并回答：（1）什么是公因式？你能举例吗？（2）如何确定一个多项式的公因式？可以举例说明。（3）什么是提取公因式法？分析下列计算是整式乘法中的哪一种并求出结果:(口答)温故知新(1)(2)(3)(4)1、找出下列多项式中各项中含有的相同因式.探索新知明确新知

公因式：一个多项式中，各项都含有的相同因式，叫这个多项式的公因式。确定方法：系数：取各项系数的最大公约数。字母：取各项都含有的相同字母。相同字母的指数：取各项最低的。例:找

3x2–6x的公因式。系数：最大公约数。3字母：都有的x

指数：最低的1公因式是3x

小试牛刀下列各式有公因式吗？分别是什么？

7x-21

8a3

b2–12ab3+ab4mb2+nb7x3y2–42x2y3a4b–2a2

b2+a2bc⑦7(x–3)–14x(3–x)

2x–3xy–y7ab2b7x2y2a2b7（X-3）用提公因式法因式分解

如果一个多项式含有公因式，那么就可以把__________提到括号外，从而将多项式化成公因式与余项

的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。这个公因式乘积例：ma+mb+mc=m(a+b+c)注意：1）：提公因式后括号内的余项的项数与原多项式的项数相同2）：某项作为公因式整体提出后，括号内的余项用“1”补充挑战自我你能用提取公因式的方法把各式分解吗？

25x-53x3-3x2–9x8a2c+2bc-4a3b3+6a2b-2ab-2x2–12xy2+8xy3

多项式的第一项为负数时，公因式的系数取负数注意：如何确定余项？余项的确定：用原多项式除以公因式课堂练习1、填空:（1）-6x+14y=

(3x-7y)(2)3xy+6xz=3x()(3)7m3-49m2=

(m-7)(4)3x+6xy-12=3()

-2y+2z7m2X+2xy-42、将下列各式分解因式：（1）mx-my-m（2）9x3-6x2-18x（3）-32m5n4-16m3n5+24m2n7

(4)-5a2+15(5)-21m3n+14mn3-7mn(6)-2x2y5

–12xy2

+8xy3拓展与应用1、若4x3-6x2=2x2(2x+k)，则k＝

；2、若a2+a+1=0，则ma2+ma+m-7=

;3、已知：a+b=3,ab=2,求a3b+2a2

b2

+ab3的值。4、已知：a-b-c=16,求a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)的值1、a2－a

能被a－1整除么？请写出你的理由。2、32002－32001－32000能被5整除吗？为什么？3、993-99能被100整除吗?你是怎样想的？聪明的小明是这样想的:993-99=99×992-99×1=99×(992-1)=99(99+1)(99-1)=99×100×98所以,993-99能被100整除.

解决问题的关键：将数式993-99化成了99、100、98三个数的积的形式！9.2提取公因式法(2)课前回顾1、什么是公因式？如何确定？2、什么是提取公因式法进行因式分解？3、如何确定余项？其依据是什么？4、用提取公因式法进行因式分解时需注意哪些问题？（1）余项与原多项式的项数相同；（2）第一项为负时，令公因式为负，保证分解后的多项式第一项为正；（3）公因式要提彻底。学习目标：1、灵活运用提取公因式法进行分解因式2、能将公因式中的多项式作为整体提出来3、掌握“先分组，再分解”的因式分解的方法4、能用提公因式法解决相关问题温故热身1、确定下列各式的公因式，并分解因式(1)－2x+4y-6z(2)8m3n2-12mn3p(3)ax-ay+a(4)yn+2+yn-yn+1再闯难关将下列各式分解因式：3ax+2bx

3a(x+y)+2b(x+y)

3a(2x2+3y)+2b(2x2+3y)(4)3a(x+y)2-2b(y+x)(5)3a(x-y)-2b(y-x)(6)3a(x-y)2-2b(y-x)3想一想！分别有怎样的关系？＝＝＝－超越自我1、将下列各式分解因式a(x+y)+x+ya2+ab－c(a+b)2、利用因式分解计算：

(1)32×0.42+86×0.42-18×0.42(2)9×10100-10101用简便方法计算拓展与应用1、若4x3-6x2=2x2(2x+k)，则k＝

；2、若a2+a+1=0，则ma2+ma+m-7=

;3、已知：a+b=3,ab=2,求a2b+2a2

b2

+ab2的值。4、已知：a-b-c=16,求a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)的值阅读解答题目：分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2

=(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)本题用提公因式法多少次？(2)若将本题改为1+x+x(x+1)+…x(x+1)n

需要用提公因式多少次？结果是多少？我们的收获……我学会了……我明白了……我认为……我会用……我想……结合本堂课内容，请用下列句式造句。9.3运用公式法（1）平方差学习目标：1、掌握平方差公式的特点2、能运用平方差公式进行因式分解3、初步认识因式分解的一般步骤回顾&

思考☞±5x±6a2±0.7b±8xy

填空①25x2

＝(_____)2②36a4

＝(

)2③0.49b2

＝(

)2④64x2y2

＝(____)2⑤＝(_____)2你的依据是？回顾&

思考☞1）（整式乘法）（分解因式）2）3)______1－9a2口算(1)下列多项式中，他们有什么共同特征?(2)能将它们分别写成两个因式的乘积吗？①x2－25②9x2－y2

③a2－b2探索与交流☞a2−b2=(a+b)(a−b)22□－△＝(□＋△)(□－△)22☆－○＝(☆＋○)(☆－○)议一议平方差公式有什么特点？形象地表示为1、是

项式2、每项都可写成

的形式；3、两项符号

。左端：右端：是两个

次

项式的积，一因式为两数

，另一因式为两数

。二平方相反一二和差典型例题例1、把下列各式分解因式：（1）25－16x2（3）－16x2＋81y2解(1)原式=52－(4x)2=(5+4x)(5-4x)□－△22先化为牛刀小试1、填空：(1)9－y2=

;(2)4x2－9y2=

；

－b2=(4)(-2x-y)(

)=4x2-y2(5)若-9m2+4n2=a2-b2，其中

a=2n，则b=

.(3+y)(3-y)(2x+3y)(2x-3y)-2x+y3m2、因式分解：(1)x2-4=(2)-1+16x2=(3)1-25a2b2=(4)x4-y2=(5)0.25a2-b2=挑战自我例2:你能把下列各式分解因式吗？首先提取公因式然后考虑用公式最终必是连乘式(1)1-(x-2)2(2)(x+y)2-(x-y)2(3)9(x+y)2-4(x-y)2(4)(x-1)+b2(1-x)(5)x3-x(6)3ax2-3ay2应如何进行因式分解？想一想：再铸辉煌例3:分解因式，希望你是最棒的！x2-x-y2-y(2)x2-a2-2x+2a(3)x3+3x2-4x-12(4)3x2-3y2+x+y一般情况下，遇到四项式都要考虑分组分解，可能是两两结合；结合后要考虑提公因式或用公式。议一议：分解9m2-6m+2n-n2，你有哪些方法？回顾与小结平方差公式的特点是……进行因式分解的一般步骤是……关于分组分解……关于因式分解……随堂练习(1)x²+y²=(x+y)(x+y)()(2)x²-y²=(x+y)(x-y)()(3)-x²+y²=(-x+y)(-x-y)()(4)-x²-y²=-(x+y)(x-y)()1、判断正误1、分解因式的结果是－（2x－y）（2x＋y）的是（）A、4x2－y2B、4x2＋y2C、－4x2－y2D、－4x2＋y22、小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是□－（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A、2种B、3种C、4种D、5种选择DD4、把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（）(A)(a-2)(m2+m)(B)(a-2)(m2-m)(C)m(a-2)(m-1)(D)m(a-2)(m+1)5、下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）(A)-a2+b2(B)-x2-y2

(C)49x2y2-z2(D)16m4-25n2p26、在多项式x²+y²,x²-y²,-x²+y²,-x²-y²中,能利用平方差公式分解的有()A1个B2个C3个D4个BCB3、把下列各式分解因式：

(1)a2b2－m2（2）16x2－4y2(3)(m－a)2－(n＋b)2（4）16（a－1）2－（a＋2）2（5）m2（x－y）＋n2（y－x）（6）2－8（a－b）2(7)x2－(a＋b－c)24、如图，在一块边长为acm

的正方形的四角，各剪去一个边长为bcm的正方形，求剩余部分的面积。如果a=3.6，b=0.8呢?aba2−4b25、下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确的结果。分解到不能再分解为止2、已知,x+y=7,x-y=5,求x2-y2-2y+2x的值.思维拓展①

x5

－x3②

x6

－4x4③(x－1)＋b2(1－x)④(a2

＋b2)2－(b2＋

c2)23、若x+mx3可分解为x(1+2x)(1-2x)，则m=？结束寄语一个人只要坚持不懈地追求,他就能达到目的.

9.3运用公式法（2）完全平方学习目标：1、掌握完全平方公式的特点2、能运用完全平方公式进行因式分解3、熟悉因式分解的一般步骤回顾&

思考☞（整式乘法）（因式分解）□2±2□△+△2＝(□±△)2议一议完全平方公式有什么特点？形象地表示为1、必须是

项式2、有两个“项”的

；且符号

；3、还有这两“项”的

。左端：右端：是两个“项”的和或差的

。三平方相同积的2倍或－2倍完全平方1、判断下列各式是不是完全平方式是否是是小试牛刀下列各式是不是完全平方式是是是否是否请补上一项，使下列符合完全平方式公式小试牛刀把下列式子分解因式4x2+12xy+9y2=(首±尾)2典型例题请运用完全平方公式把下列各式分解因式：小试牛刀挑战自我请运用完全平方公式把下列各式分解因式：例2、运用完全平方公式分解因式①

解:原式==六、拓展提高1、，求解:原式变形为六、拓展提高2、已知①②求的值解:由(1)+(2),得练习题：1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）A、a2+b2+ab

B、a2+2ab-b2

C、a2-ab+2b2D、-2ab+a2+b22、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（）A、x2+y2-2xy

B、x2+4xy+4y2

C、a2-ab+b2D、-2ab+a2+b2DC3、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）A、x2+2xy-y2

B、x2-xy+y2

C、D、4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（）A、x4+6x2y2+9y4B、x2n-2xnyn+y2n

C、x6-4x3y3+4y6D、x4+x2y2+y4DD5、把分解因式得（）A、B、6、把分解因式得（）A、B、BA7、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（）A、20

B、-20C、10D、-108、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（）A、6

B、±6C、3D、±3BB9、把分解因式得（）A、B、C、D、10、计算的结果是（）A、1B、-1C、2D、-2CA思考题:1、多项式:(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗?2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：X4+4x2+()

1.25x4＋10x2＋1

2.－x2－4y2＋4xy3.3ax2＋6axy＋3ay2

练习：分解因式4.-2a3b3+4a2b3-2ab35.9-12(a-b)+4(a-b)26.(y2+x2)2-4x2y2思考与讨论分解因式2、(a+b)2＋2(a+b)(a-b)＋(a-b)2

思考：分解因式3、(a+1)2-2(a2-1)＋(a-1)21、16x4-8x2＋1随堂练习阅读下列计算过程：99×99+199=992+2×99+1=（99+1）2=1002=104（1）．计算：999×999+1999=_____=_____=________=________；9999×9999+19999=_______=______=______=______。（2）．猜想9999999999×9999999999+19999999999等于多少？写出计算过程。9.3运用公式法二次三项式学习目标：1、掌握能分解的二次三项式的特点2、能运用公式进行分解3、熟悉因式分解的一般步骤

回顾&

思考（整式乘法）你还会算吗？探究你能根据整式乘法与因式分解的关系,将下列各式分解吗?(x+2)(x+3)(x-2)(x-3)(x+2)(x-3)(x-2)(x+3)分解结果中的两个常数与原式中的一次项系数、常数项有怎样的关系？常数项：一次项系数：两常数之积两常数之和数学理论关于二次三项式的分解

一般地，形如x2+px+q的二次三项式，若满足q=ab，p=a+b，则原式可分解成x2+px+q