2025年中考数学复习之圆

2025年中考数学复习热搜题速递之

选择题（共10小题）

1.如图，。。的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,NA=22.5°,0c=4,CD的长为（）

4V2D.8

2.如图，Rt^ABC中，ABLBC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点，且满足

则线段CP长的最小值为（）

8V1312V13

A.-B.2C.-------D.---------

21313

3.如图，在平面直角坐标系中，OP的圆心坐标是（3,a）Q>3）,半径为3,函数y=x的图象被。尸

4.如图，四边形ABC。内接于O。，若四边形ABC。是平行四边形，则/AOC的大小为（）

D

A.45°B.50°C.60°D.75°

5.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与（DO相切于E,F,G三点，过点。作

。。的切线交BC于点切点为N,则0M的长为（）

C.1V13D.2V5

6.如图，A8是。。的直径,弦C。交A8于点P,AP=2,BP=6,ZAPC=30°,则CD的长为（)

2V5C.2V15D.8

7.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16c«?,则该半圆的半径为（）

C.4乘cmD.6y[2cm

8.如图，点A,8的坐标分别为A（2,0）,B（0,2）,点C为坐标平面内一点，8C=1,点M为线段AC

的中点，连接。则的最大值为（)

A.V2+1B.V24-iC.2V2+1D.2V2-j

9.如图，四边形ABC。为O。的内接四边形，已知/2。。=100°,则的度数为（）

A.50°B.80°C.100°D.130°

10.如图，。。的直径A8与弦C。的延长线交于点E,若DE=OB,NAOC=84°,则/£等于（）

A.42°B.28°C.21°D.20°

二.填空题（共5小题）

11.如图，AB,CD是半径为5的。。的两条弦，48=8,CD=6,MN是直径，AB_LMN于点E,CD1.

MN于点F,P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为.

A

12.如图，AB是。。的直径，点C是。。上的一点，若BC=6,AB=10,于点。，则。。的长

13.如图，在口ABC。中，AD=2,AB=4,NA=30°,以点A为圆心，的长为半径画弧交AB于点E,

连接C£,则阴影部分的面积是(结果保留n).

14.在平面直角坐标系中，O尸的圆心是(2,a)(a>2),半径为2,函数y=x的图象被O尸截得的弦A2

的长为2百，则a的值是

15.如图，在矩形ABC。中，AB=4,AD=3,以顶点。为圆心作半径为广的圆，若要求另外三个顶点A、

B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是.

16.如图，AC是。。的直径，BC是O。的弦，点P是。。外一点，连接尸3、AB,/PBA=/C.

(1)求证：尸8是。。的切线；

(2)连接。尸，若OP〃BC,且0P=8,。。的半径为2vx求BC的长.

c

p

17.如图，在△ABC中，/C=90°,点。在AC上，以。4为半径的。。交4B于点。，8。的垂直平分

线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.

(1)判断直线DE与。。的位置关系，并说明理由;

(2)若AC=6,BC=8,OA=2,求线段QE的长.

18.如图，已知△ABC内接于。。，SLAB=AC,直径交BC于点E,尸是OE上的一点，使

(1)求证：BE=CE；

(2)试判断四边形的形状，并说明理由；

(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.

19.如图，四边形A8C。内接于点E在对角线AC上，EC=BC=DC.

(1)若NCBD=39°,求NBA。的度数；

(2)求证：Z1—Z2.

20.如图，已知三角形ABC的边AB是。。的切线，切点为8.AC经过圆心。并与圆相交于点。、C,过

C作直线CE1AB,交AB的延长线于点E.

(1)求证：CB平分/ACE；

(2)若BE=3,C£=4,求O。的半径.

2025年中考数学复习热搜题速递之圆（2024年7月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.如图，。。的直径A8垂直于弦CD,垂足为E,ZA=22.5°,OC=4,CD的长为（）

【考点】垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形.

【答案】C

【分析】根据圆周角定理得/BOC=2/A=45°,由于OO的直径AB垂直于弦CO,根据垂径定理得

CE=DE,且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=¥OC=2VL然后利用C£）=2CE进行计算.

【解答】解:VZA=22.5°,

：.ZBOC^2ZA^45°,

,：QO的直径AB垂直于弦CD,

:.CE=DE,△OCE为等腰直角三角形，

:.CE=芍OC=2版

：.CD=2CE=A42.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理.

2.如图，RtAABCABLBC,AB=6,BC=4,尸是△ABC内部的一个动点，且满足NP8C,

则线段CP长的最小值为（

B

38V1312V13

A.-B.2C.-------D.---------

21313

【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理.

【答案】B

【分析】首先证明点尸在以A8为直径的OO上，连接。。与。0交于点P,此时尸。最小，利用勾股

定理求出OC即可解决问题.

【解答】解：・.・NABC=90°,

ZABP+ZPBC=90°,

*：APAB=APBC,

：.ZBAP+ZABP=90°,

ZAPB=90°,

：.OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），

・••点尸在以A5为直径的。。上，连接。。交。。于点尸，此时PC最小,

在RtZXBCO中，9：ZOBC=90°,BC=4,0B=3,

：.OC=7BO2+BC2=5,

：.PC=OC-OP=5-3=2.

・・・尸。最小值为2.

故选：B.

A

【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学

会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型.

3.如图，在平面直角坐标系中，OP的圆心坐标是（3,a）（a>3）,半径为3,函数丫=尤的图象被。尸

【考点】垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理.

【专题】计算题；压轴题.

【答案】B

【分析】PC_Lx轴于C,交A8于。，作PE_LA8于E,连接尸8,由于0c=3,PC=a,易得。点坐标

为（3,3）,则△08为等腰直角三角形，△尸即也为等腰直角三角形.由PELAB,根据垂径定理得

AE=BE=jAB=2V2,在RtZXPBE中，利用勾股定理可计算出PE=1,则PZ）=/PE=所以a=

3+V2.

【解答】解：作PC_Lx轴于C,交A8于。，作于E,连接PB,如图，

尸的圆心坐标是（3,。），

*,*0C=39PC=cij

把x=3代入y=x得y=3,

・・・。点坐标为（3,3）,

：.CD=3,

・・・A0CD为等腰直角三角形，

・•・APED也为等腰直角三角形，

VPE1AB,

：.AE=BE=%8=1X4V2=2或,

在RtZ\P8E中，尸3=3,

：.PE=J32-（2V2）2=1,

：.PD=V2P£=V2,

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股

定理和等腰直角三角形的性质.

4.如图，四边形ABC。内接于。。，若四边形ABC。是平行四边形，则/AOC的大小为（）

50°C.60°D.75°

【考点】圆内接四边形的性质；平行四边形的性质；圆周角定理.

【答案】c

+6

a一

一

1

【分析】设/AOC的度数=a,N45C的度数=0,由题意可得-S,求出P即可解决问题.

a-2

【解答】解：设/AOC的度数=a,/ABC的度数=0；

:四边形ABCO是平行四边形，

NA2C=ZAOC；

1

VZADC=^P，ZADC=a；ffi]a+p=180°,

a+S=180°

**•i，

a=不B

Lr

解得：8=120°,a=60°,ZADC=60°,

故选：C.

【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用.

5.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与。。相切于E,F,G三点，过点。作

O。的切线父BC于点M,切点为N,则。M的长为（）

1394/—「

A.—B.-C.—V13D.2A/5

323

【考点】切线的性质；矩形的性质.

【专题】压轴题.

【答案】A

【分析】连接OE,OF,ON,OG,在矩形ABC。中，得到/A=NB=90°,CD=AB=4,由于AD,

AB,BC分别与。。相切于E,F,3三点得到/450=/4尸0=/0尸8=/860=90°,推出四边形

AFOE,FBGO是正方形，得到A尸=8尸=AE=2G=2,由勾股定理列方程即可求出结果.

【解答】解：连接OE,OF,ON,OG,

在矩形ABCD中，

VZA=ZB=90°,CD=AB=4,

,：AD,AB,BC分别与O。相切于E,F,G三点,

:./AEO=NAFO=NOFB=NBGO=90°,

四边形AFOE,EBG。是正方形，

.•.AF=BF=AE=2G=2,

；.DE=3,

是O。的切线，

:.DN=DE=3,MN=MG,

：.CM=5-2-MN=3-MN,

在RtzXOMC中，DM2=CD2+CM2,

：.(3+W)2=(3-W)2+42,

4

-

3，

4

3+--

313

故选：A.

【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

6.如图，是O。的直径，弦CD交48于点P,AP=2,BP=6,NAPC=30°,则CZ）的长为（）

-------

A.V15B.2V5C.2V15D.8

【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【答案】C

【分析】作OHLCD于H,连接OC,如图，根据垂径定理由OHLCD得到HC=HO,再利用人尸=2,

BP=6可计算出半径0A=4,则。尸=。4-AP=2,接着在RtAOPH中根据含30度的直角三角形的性

质计算出OH=然后在RtAOHC中利用勾股定理计算出CH=V15,所以CD=2CH=2底＞.

【解答】解：作OHLCD于“，连接OC,如图，

\'OHLCD,

:.HC=HD,

；AP=2,BP=6,

：.AB=S,

：.OA=4,

：.OP=OA-AP=2,

在RtZxOPH中，VZOPH=ZAPC=30°,

：.ZPOH=60°,

1

，OH=抑0=1,

在Rtz\OHC中，；OC=4,OH=1,

CH=VOC2-OH2=V15,

:.CD=2CH=2后.

故选：c.

D

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股

定理以及含30度的直角三角形的性质.

若小正方形的面积为16”?,则该半圆的半径为（

C.4«cmD.6yf2cm

【考点】垂径定理；勾股定理.

【专题】计算题；压轴题.

【答案】C

1

【分析】连接。4、OB、OE,ffiRtAADO^RtABCO,推出。。=OC,设AO=a,则。。=血，由勾

股定理求出。4=。8=。£=亨4,求出EF=fC=4cs,在△OFE中由勾股定理求出a,即可求出答案.

连接。4、OB、OE,

:四边形A8CQ是正方形，

：.AD=BC,ZADO=ZBCO=90°,

,/在RtAADO和RtABCO中

.,(0A=OB

•bw=BC'

：.RtAADO^RtABCO(HL),

・•・OD=OC,

:四边形ABC。是正方形，

C.AD^DC,

设AD=acm,贝!]OD=OC=^DC=^AD=^acm,

在△AO。中，由勾股定理得：OA=OB=OE=^-acm,

・・,小正方形EFCG的面积为16cm2,

：・EF=FC=4cm,

在△OFE中，由勾股定理得：(字口尸=42+&a+4)2,

解得：。=-4(舍去)，。=8,

V5

——。=4/5(cm),

2

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能

力，用的数学思想是方程思想.

8.如图，点A,8的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点，8C=1,点M为线段AC

的中点，连接OM,则的最大值为()

A.V2+1B.V2+^C.2V2+1D.2V2-J

【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；三角形中位线定理.

【专题】三角形；应用意识.

【答案】B

【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的上，通过画图可知，C在8。与圆8的交点

时，最小，在。3的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论.

【解答】解：如图，

:点C为坐标平面内一点，BC=1,

，C在08上，且半径为1,

取。。=。4=2,连接CD

'：AM^CM,OD^OA,

：.OM是△AC。的中位线，

1

：.OM=^CD,

当。"最大时，即CD最大，而D,B,C三点共线时，当C在。8的延长线上时，0M最大，

'：OB=OD=2,ZBOD=90°,

：.BD=2-/2,

：.CD=242+l,

OM=*CQ=V2+i,即OM的最大值为夜+会

故选：B.

【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定0M为最大值时点C的位

置是关键，也是难点.

9.如图，四边形ABCD为。。的内接四边形，已知/80。=100°,则/BCD的度数为（）

A

C

A.50°B.80°C.100°D.130°

【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质.

【答案】D

【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，

用180°减去/民4。的度数，求出乙8。的度数是多少即可.

【解答】解：：/2。。=100°,

.\ZBAD=100°+2=50°,

.•.ZBCZ）=180°-ZBAD

=180°-50°

=130°

故选：D.

【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这

条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握.

（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的

对角互补.②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.

10.如图，OO的直径42与弦的延长线交于点E,若DE=OB,NAOC=84°,则NE等于（）

A.42°B.28°C.21°D.20°

【考点】圆的认识；等腰三角形的性质.

【专题】计算题.

【答案】B

【分析】利用OB=DE,。8=。。得至!则根据三角形外角性质得/1=/OOE+

NE,所以N1=2NE,同理得到NAOC=NC+NE=3NE,然后利用NE=9NAOC进行计算即可.

【解答】解：连接如图，

VOB=DE,OB=OD,

:.DO=DE,

：.ZE=ZDOE,

•；NT=/DOE+NE,

：.Zl=2ZEf

而0C:=OD,

.\ZC=Z1,

・・・NC=2NE,

ZAOC=ZC+ZE=3ZE,

1i

AZE=^ZAOC=x84°=28°.

故选：B,

【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等

圆、等弧等）.也考查了等腰三角形的性质.

二.填空题（共5小题）

11.如图，AB,CD是半径为5的。0的两条弦，AB=8,CZ）=6,MN是直径，于点区CDL

MN于点、F,尸为EP上的任意一点，则B4+PC的最小值为7鱼.

【考点】垂径定理；轴对称的性质.

【答案】见试题解答内容

【分析】A、8两点关于对称，HffiJPA+PC=PB+PC,即当8、C、P在一条直线上时，出+PC的

最小，即BC的值就是PA+PC的最小值

【解答】解：连接02,0C,作垂直AB于"

根据垂径定理，得到8E=%8=4,CF=*CD=3,

：.0E=VOB2-BE2=V52-42=3,

OF=VOC2-CF2=452-32=4,

CH=OE+OF=3+4=7,

BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,

在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7V2,

则PA+PC的最小值为7a.

故答案为：7或

A

【点评】正确理解BC的长是B4+PC的最小值，是解决本题的关键.

12.如图，是。。的直径，点C是。。上的一点，若BC=6,42=10,ODLBC于点。，则的长

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据垂径定理求得BD然后根据勾股定理求得即可.

【解答】M：'：ODLBC,

1

：.BD=CD=泓=3,

1

'：OB=^AB=5,

：.OD=yj0B2-BD2=4.

故答案为4.

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握.

13.如图，在口ABC。中，AD=2,AB=4,ZA=30°,以点A为圆心，的长为半径画弧交AB于点E,

连接CE,则阴影部分的面积是3-不T（结果保留n）.

DC

AER

【考点】扇形面积的计算；平行四边形的性质.

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】过D点作DF±AB于点F.可求nABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积=口48。£）

的面积-扇形AOE的面积-△BCE的面积，计算即可求解.

【解答】解：过。点作。于点尸.

\"AD=2,AB=4,乙4=30°,

.•.DF=AD.sin30°=1,EB=AB-AE=2,

阴影部分的面积:

30X7TX22

4X1--2X14-2

-360-

=4--1

=3—^Tt.

故答案为：3—^Tt.

【点评】考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积=口428的

面积-扇形AOE的面积-△BCE的面积.

14.在平面直角坐标系中，。尸的圆心是（2,a）Q>2）,半径为2,函数y=x的图象被。尸截得的弦A8

的长为2百，则a的值是2+遮.

【考点】垂径定理；坐标与图形性质.

【专题】计算题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】过P点作PELAB于E,过P点作PC±x轴于C,交AB于D,连接PA.分别求出PD、DC,

相加即可.

【解答】解：过尸点作尸于E,过P点作尸轴于C,交A3于D,连接热.

,:AB=25

：.AE=V3,PA=2,

：.PE=i.

:点。在直线y=龙上，

AZAOC=45°,

vzr>co=90°,

：.ZODC=45°,

：.ZPDE=ZODC=45°,

：.ZDPE=ZPDE=45°,

:.DE=PE=L

：.PD=V2.

：O尸的圆心是（2,a）,

点。的横坐标为2,

；.OC=2,

：.DC=OC=2,

.,.a—PD+DC—2+42.

故答案为：2+鱼.

【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识

求出线段的长是解题的关键.注意函数y=x与x轴的夹角是45。.

15.如图，在矩形ABCD中，AB=4,A£>=3,以顶点。为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、

B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则厂的取值范围是3<r<5.

【答案】见试题解答内容

【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断.当d>r

时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当时，点在圆内.

【解答】解：在直角△A3。中，CO=AB=4,AO=3,

则BD=V32+42=5.

由图可知3<r<5.

故答案为：3<r<5.

【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及

点与圆的位置关系.

三.解答题(共5小题)

16.如图，AC是。。的直径，8c是。。的弦，点尸是。。外一点，连接尸8、AB,ZPBA=ZC.

(1)求证：尸3是O。的切线；

(2)连接OP,若OP〃BC,且OP=8,OO的半径为2&，求8c的长.

C

【考点】切线的判定.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)连接。2,由圆周角定理得出NABC=90°,得出/C+/BAC=90°,再由04=02,得

出/氏4。=/。应1,证出NPBA+NOBA=90°,即可得出结论；

(2)证明△ABCS/XPB。，得出对应边成比例，即可求出BC的长.

【解答】(1)证明：连接08,如图所示：

是O。的直径，

ZABC=90°,

：.ZC+ZBAC=90°,

•：OA=OB,

：.ZBAC=ZOBAf

•・・NP5A=NC,

：.ZPBA+ZOBA=90°,

即PB_LOB,

・・・尸6是。。的切线；

(2)解：・・・。0的半径为2遮,

：.0B=26AC=4也

,?OP//BC,

：.ZCBO=ZBOPf

•・・OC=OB,

:./C=NCBO,

；・/C=NBOP,

又・・・NA3C=NP5O=90°,

△ABC"△尸BO,

.BCAC

••一，

OBOP

„BC4V2

即一尸=---，

2V28

：.BC=2.

【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆

周角定理、切线的判定是解决问题的关键.

17.如图，在△ABC中，/C=90°,点。在AC上，以。4为半径的。。交于点。，3。的垂直平分

线交8c于点E,交8。于点F,连接QE.

(1)判断直线。E与。。的位置关系，并说明理由;

(2)若AC=6,BC=8,。4=2,求线段。E的长.

【考点】直线与圆的位置关系；线段垂直平分线的性质.

【专题】计算题；与圆有关的位置关系.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)直线。E与圆。相切，理由如下：连接。。，由。。=。4,利用等边对等角得到一对角相

等，等量代换得到/。。石为直角，即可得证；

(2)连接OE,设。E=x,则EB=EO=x,CE=8-x,在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于

x的方程，求出方程的得到尤的值，即可确定出。E的长.

【解答】解：(1)直线。E与O。相切，理由如下：

连接0D,

"：OD=OA,

：.ZA^ZODA,

是8。的垂直平分线，

：.EB=ED,

：.ZB=ZEDB,

VZC=90°,

AZA+ZB=90°,

：.ZODA+ZEDB^90°,

AZ(?£>£=180°-90°=90°,BPODLDE,

为圆的半径，。为半径外端点，

直线。E与。。相切；

(2)连接。£,

设。E=x,则E8=£»=x,CE=8-尤，

:•NC=NODE=90°,

：.OC2+CE2=OE2=OrP-+DE2-,

A42+（8-无）2=22+/,

解得：尤=4.75,

则£>£=4.75.

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是

解本题的关键.

18.如图，已知aABC内接于O。，且A2=AC,直径交3c于点E,尸是上的一点，使C尸〃BD.

(1)求证：BE=CE；

(2)试判断四边形BFCZ)的形状，并说明理由；

(3)若BC=8,AO=10,求CD的长.

【考点】垂径定理；勾股定理；菱形的判定.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)证明△ABOgAAC。，得到N8AO=/CAr>,根据等腰三角形的性质即可证明；

(2)菱形，证明△BBE0ZXCDE,得至I]可知四边形是平行四边形，易证8。=。,

可证明结论；

(3)设。E=x,则根据CE2=£)£.AE列方程求出。E,再用勾股定理求出CD

【解答】(1)证明：是。。的直径，

AZABD^ZACD^9Q°,

在RtAABD和RtAACD中，

(AB=AC

UD=AD'

：.RtAABD^RtAACD(HL),

：.ZBAD=ZCAD,

9

：AB=ACf

：.BE=CE；

(2)四边形3/8是菱形.

证明：:A。是直径，AB=AC,

：.AD±BC,BE=CE,

•:CF//BD,

:・/FCE=/DBE,

在△BED和跖中，

'NFCE=NDBE

BE=CE，

、乙BED=Z.CEF=90°

:•△BED"XCEF(ASA),

：.CF=BD,

・•・四边形BFCD是平行四边形，

,：ZBAD=ZCAD,

：.BD=CD,

・・・四边形BFCD是菱形;

(3)解：・・・AO是直径，AD±BC,BE=CE,

VZAEC=ZCED,/CAE=/ECD,

：.AAEC^ACEZ),

.AEEC

••=,

CEED

:.C怦=DE・AE,

设DE=x,

VBC=8,AD=IO,

.'.42=X(10-x),

解得：尤=2或x=8(舍去)

在Rt/XCED中，

CD=ylCE2+DE2=V42+22=2恒

【点评】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判

定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键.

19.如图，四边形A8CD内接于。0,点E在对角线AC上，EC=BC=DC.

(1)若NCBO=39°,求NBA。的度数；

(2)求证：Nl=/2.

【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据等腰三角形的性质由BC=OC得到/C3D=NCr>2=39°,再根据圆周角定理得/

BAC=ZCDB=39°,ZCAD=ZCBD=39°,所以NBAC+/C4£)=78°；

(2)根据等腰三角形的性质由EC=BC得NCEB=/CBE,再利用三角形外角性质得/2+/

BAE,则/2+N8AE=/l+/C8。，加上所以/l=/2.

【解答】(1)解：

:./CBD=NCDB=39°,

■:/BAC=/CDB=39°,/CAD=/CBD=39°,

：.ZBAD=ZBAC+ZCAD=39°+39°=78°；

(2)证明：,:EC=BC,

:./CEB=/CBE,

而NCEB=N2+NBAE,NCBE=/1+/CBD,

：.Z2+ZBAE=Zl+ZCBD,

；/BAE=NBDC=ZCBD,

.•.Z1=Z2.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半.也考查了等腰三角形的性质.

20.如图，已知三角形ABC的边是。。的切线，切点为B.AC经过圆心。并与圆相交于点。、C,过

C作直线CE±AB,交AB的延长线于点E.

(1)求证：平分NACE；

(2)若BE=3,CE=4,求。。的半径.

【考点】切线的性质.

【专题】证明题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)证明：如图b连接OB,由AB是。0的切线，得到由于CE_LA3,的OBII

CE,于是得到/1=/3,根据等腰三角形的性质得到/1=/2,通过等量代换得到结果.

CDBC

(2)如图2,连接通过得到比例式丁=丁，列方程可得结果.

BCCE

【解答】(1)证明：如图1,连接05,

〈AB是。0的切线，

：.OB.LAB,

，OB//CE,

.'.Z1=Z3,

•；OB=OC,

.\Z1=Z2

・・・N2=N3,

・・・C8平分NACE；

(2)如图2,连接5,

VCEXAB,

：.ZE=90°,

：.BC=y/BE2+CE2=V32+42=5,

・・・CO是。0的直径，

：.ZDBC=90°,

:・/E=/DBC,

：.ADBC^ACBE,

.CDBC

••t

BCCE

：.Bd=CD・CE,

5225

・・・8=彳=17，

1?5

AOC=^CD=箸，

【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和

性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

考点卡片

1.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到X轴的距离与纵坐标有关，到y

轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符

号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问

题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.

2.一次函数图象上点的坐标特征

一次函数y=fcc+6,(ZWO,且％,6为常数)的图象是一条直线.它与无轴的交点坐标是I/0)；与y

轴的交点坐标是(0,6).

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式

3.线段垂直平分线的性质

(1)定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)

垂直平分线，简称“中垂线”.

(2)性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的

距离相等.—③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距

离相等.

4.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个

元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

5.含30度角的直角三角形

(1)含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

(2)此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常

用来求边的长度和角的度数.

(3)注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°)的特殊定理，非直角三角形或一般直角

三角形不能应用；

②应用时，要注意找准30。的角所对的直角边，点明斜边.

6.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么/+/=,2.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

22

(3)勾股定理公式/+62=02的变形有：a=Vc—b,b=7c2—a?及c=7心+炉.

(4)由于『+b2=c2>a2,所以。>小同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角

边.

7.等腰直角三角形

(1)两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

(2)等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的

所有性质.即：两个锐角都是45°,斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜

边上的高为外接圆的半径R,而高又为内切圆的直径(因为等腰直角三角形的两个小角均为45°,高又垂

直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等)；

(3)若设等腰直角三角形内切圆的半径r=l,则外接圆的半径R=/+l,所以r：R=l：V2+1.

8.三角形中位线定理

(1)三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

(2)几何语言：

如图，：点。、E分别是AB、AC的中点

1

J.DE//BC,DE=^BC.

9.平行四边形的性质

(1)平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

(2)平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

(3)平行线间的距离处处相等.

(4)平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.

10.菱形的判定

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形);

②四条边都相等的四边形是菱形.

几何语言：四边形ABCD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”).

几何语言：：四边形ABC。是平行四边形平行四边形ABC。是菱形

11.矩形的性质

(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

(2)矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线;

对称中心是两条对角线的交点.

(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

12.圆的认识

(1)圆的定义

定义①：在一个平面内，线段。4绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固

定的端点。叫做圆心，线段0A叫做半径.以。点为圆心的圆，记作“O。”，读作“圆

定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.

(2)与圆有关的概念

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等.

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意

一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧