2024-2025学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式本讲达标测试新人教A版选修4-5

PAGEPAGE1第一讲不等式和肯定值不等式(本卷满分150分，考试时间120分钟)一、选择题(每小题5分，共60分)1.下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是A.a＞b＋1 B.a＞b－1C.a2＞b2 D.a3＞b3解析A项：若a＞b＋1，则必有a＞b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但不能推出a＞b＋1，故a＞b＋1是a＞b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足a＞b－1，反之，由a＞b－1不能推出a＞b；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但a＞b不成立；D项：a＞b是a3＞b3的充要条件，综上所述答案选A.答案A2.若a>b，x>y，则下列不等式不正确的是A.a＋x>b＋y B.y－a<x－bC.|a|x>|a|y D.(a－b)x>(a－b)y答案C3.不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是A.[－5，7] B.[－4，6]C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) D.(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析解法一当x≤－3时，不等式化为5－x－x－3≥10，即x≤－4；当－3＜x＜5时，不等式化为5－x＋x＋3≥10，即8≥10，故x∈∅；当x≥5时，不等式化为x－5＋x＋3≥10，即x≥6.综上，原不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)，故选D.解法二利用肯定值的几何意义，即在数轴上的点x到5和－3的距离之和不小于10，所以x≤－4或x≥6，故选D.答案D4.若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为A.(0，＋∞) B.(－1，0)∪(2，＋∞)C.(2，＋∞) D.(－1，0)解析f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2（x2－x－2）,x)，则f′(x)＞0，也就是eq\f(2（x2－x－2）,x)＞0，得－1＜x＜0或x＞2，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＞0的解集为{x|x＞2}，故选C.答案C5.若实数x，y满足eq\f(1,x2)＋eq\f(1,y2)＝1，则x2＋2y2有A.最大值3＋2eq\r(2) B.最小值3＋2eq\r(2)C.最大值6 D.最小值6解析由题意知，x2＋2y2＝(x2＋2y2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋\f(1,y2)))＝3＋eq\f(2y2,x2)＋eq\f(x2,y2)≥3＋2eq\r(2)，当且仅当eq\f(x2,y2)＝eq\f(2y2,x2)时，等号成立，故选B.答案B6.函数y＝3x＋eq\f(12,x2)(x>0)的最小值是A.6 B.6eq\r(6) C.9 D.12解析y＝3x＋eq\f(12,x2)＝eq\f(3x,2)＋eq\f(3x,2)＋eq\f(12,x2)≥3eq\r(3,\f(3x,2)·\f(3x,2)·\f(12,x2))＝9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(3x,2)＝\f(12,x2)，即x＝2时，等号成立)).答案C7.设x>0，则y＝3－3x－eq\f(1,x)的最大值是A.3 B.3－3eq\r(2)C.3－2eq\r(3) D.－1解析y＝3－3x－eq\f(1,x)＝3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤3－2eq\r(3x·\f(1,x))＝3－2eq\r(3).当且仅当3x＝eq\f(1,x)，即x＝eq\f(\r(3),3)时，等号成立.答案C8.若a、b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是A.a2＋b2＞2ab B.a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析对A：当a＝b＝1时满足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以A错；对B、C：当a＝b＝－1时满足ab＞0，但a＋b＜0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＜0，而2eq\r(ab)＞0，eq\f(2,\r(ab))＞0，明显B、C不对；对D：当ab＞0时，由均值定理eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，故选D.答案D9.某人要买房，随着楼层的上升，上、下楼耗费的体力增多，因此不满足度上升，设住第n层楼，上下楼造成的不满足度为n；但高处空气清爽，嘈杂音较小，环境较为宁静，因此随楼层上升，环境不满足度降低，设住第n层楼时，环境不满足程度为eq\f(9,n)，则此人应选A.1楼 B.2楼 C.3楼 D.4楼解析设第n层总的不满足度为f(n)，则f(n)＝n＋eq\f(9,n)≥2eq\r(9)＝6，当且仅当n＝eq\f(9,n)，即n＝3时等号成立.答案C10.已知f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，f(2)＝0，则不等式xf(x)<0的解集是A.{x|－2<x<0，或x>2}B.{x|x<－2，或0<x<2}C.{x|x<－2，或x>2}D.{x|－2<x<0，或0<x<2}解析画出草图，(图略)则当0＜x＜2或x＜－2时，f(x)＜0；当x＞2或－2＜x＜0时，f(x)＞0.所以x·f(x)＜0⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＜0,x＞0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＞0,x＜0))，即为0＜x＜2或－2＜x＜0.答案D11.若0＜x＜eq\f(1,2)，则x2(1－2x)有A.最小值eq\f(1,27) B.最大值eq\f(1,27)C.最小值eq\f(1,3) D.最大值eq\f(1,3)答案B12.设0<x<1，a，b都为大于零的常数，若eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)≥m恒成立，则m的最大值是A.(a－b)2 B.(a＋b)2C.a2b2 D.a2解析eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x)＋\f(b2,1－x)))[x＋(1－x)]＝a2＋b2＋eq\f(a2（1－x）,x)＋eq\f(b2x,1－x)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，当且仅当eq\f(x,1－x)＝eq\f(a,b)时取等号.由eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)≥m恒成立，可知m≤(a＋b)2.故m的最大值是(a＋b)2.答案B二、填空题(每小题5分，共20分)13.不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________.解析由题意得|x＋1|≥|x－3|，∴(x＋1)2≥(x－3)2，即8x≥8，∴x≥1.答案[1，＋∞)14.已知不等式|2x－t|＋t－1＜0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，则t的值为________.解析|2x－t|＜1－t，t－1＜2x－t＜1－t，2t－1＜2x＜1，t－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(1,2).∴t＝0.答案015.设x，y为实数.若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________.解析依题意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋eq\f(3,2)×2x×y≤1＋eq\f(3,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋y,2)))eq\s\up12(2)，得eq\f(5,8)(2x＋y)2≤1，即|2x＋y|≤eq\f(2\r(10),5).当且仅当2x＝y＝eq\f(\r(10),5)时，2x＋y达到最大值eq\f(2\r(10),5).答案eq\f(2\r(10),5)16.下面四个命题：①若a>b，c>1，则algc>blgc；②若a>b，c>0，则algc>blgc；③若a>b，则2ca>2cb；④若a<b<0，c>0，则eq\f(c,a)>eq\f(c,b).其中正确命题的个数为________.解析①正确，∵c>1，lgc>0，∴algc>blgc；②不正确，由于当0<c<1时，lgc<0，algc<blgc；③正确，∵2c>0，∴2ca>2cb；④正确，∵a<b<0，∴0>eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，又c>0，∴eq\f(c,a)>eq\f(c,b).答案3三、解答题(共70分)17.(10分)设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为A，且eq\f(3,2)∈A，eq\f(1,2)∉A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值.解析(1)因为eq\f(3,2)∈A，且eq\f(1,2)∉A，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－2))<a，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2))≥a，解得eq\f(1,2)<a≤eq\f(3,2).又a∈N*，所以a＝1.(2)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.18.(12分)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值.解析(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}.(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥a，,x－a＋3x≤0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤a，,a－x＋3x≤0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥a，,x≤\f(a,4)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤a，,x≤－\f(a,2).))因为a>0，所以不等式组的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2))))).由题设可得－eq\f(a,2)＝－1，则a＝2.故a的值为2.19.(12分)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤eq\f(1,4).解析f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－3，x∈[1，＋∞），,1－x，x∈（－∞，1），))当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤eq\f(4,3)，故1≤x≤eq\f(4,3)；当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(4,3))))).(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，得16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))eq\s\up12(2)≤4，解得－eq\f(1,4)≤x≤eq\f(3,4).因此N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)≤x≤\f(3,4))))).故M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(3,4))))).当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝x(1－x)＝eq\f(1,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(1,4).20.(12分)(2024·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围.解析(1)当a＝1时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋4，x≤－1，,2，－1<x≤2，,－2x＋6，x>2.))可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).21.(12分)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，求证：(1)若ab>cd，则eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)；(2)eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|<|c－d|的充要条件.证明(1)因为(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(c)＋eq\r(d))2＝c＋d＋2eq\r(cd)，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(eq\r(a)＋eq\r(b))2>(eq\r(c)＋eq\r(d))2.因此eq\r(a)＋eq