甘肃省兰州某中学2024-2025学年高三年级上册开学考试 数学试题（含答案）

兰州一中高三年级诊断考试试卷

高三数学

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写

在本试卷上无效.

第I卷(选择题)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.)

1.设全集。={1,2,3,4,5},集合”满足={2,4},贝!!()

A.B.4cMC.5eMD.3史M

2.“(x—iy+j?4"是“/+/1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知向量5=(1,2)3=(2,—2),己=(1,4),若红(22+司,则实数2=()

11c

A.2B.—C.----D.—2

22

4.若复数Z满足(2+3i)2=i2°24+8i2°25,则复数三在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.已知函数y=/(x)的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是()

A.x2f(x)B.C.xf(x)D.xf2｛x｝

x

6.若a=0.7°s,b=log?a,c=log。？0.3,贝!]()

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

7.已知数列｛4｝的通项公式为%=+2",且数列｛%｝为递增数列，则实数X的取值范围是(

A.(—co,—3)B.(—co,—2)C.(—2,+8)D.(—3,+co)

8.已知双曲线E:=-二=l（a〉0,b>0）的右焦点为凡过点尸作直线/与渐近线云-ay=0垂直，垂足为

ab

点、P,延长PE交E于点0.若匝=3而，贝物的离心率为（）

654/-

A.一B.—C.-D.V2

543

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）

9.在下列函数中，最小值是2的是（）

A.y=x~—4x+6B.y=_]H—/

Vx2-1

10.已知加，〃是两条不同的直线，％，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若加_La,掰_1_〃，则〃〃aB.若加J_a,”_L"a_1_/?,贝！]加_1_”

C.若a〃/?,加〃％”〃万，则加D.若a〃0,m工a,n工0,则

11.台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一•样，台球在球台上碰到障碍物后

3

也遵从反射定律.如图，有一张长方形球台4BCD,其中2。=—48,现从角落/沿角a的方向把球打出去,

5

球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，贝ijtana的值为（）

DC

AB

第n卷（非选择题）

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.若命题—1）x-l0”为假命题，贝必的取值范围为.

13.若圆G:1+/一4x+3=0与圆。2：（x+2y+（y+3）2=加有且仅有一条公切线，则加=.

14.一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,4.现甲从中随机摸出一个球记

下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相

同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为.

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.在△48C中，角43,C的对边分别为见“c,且一/=24S,E0=12.

⑴求tanA；

(2)若。在边BC上且求/£)的长.

16.函数/(x)是定义在尺上的奇函数，且当x〉0时，f(x)=-x2+2x.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若函数g(x)=/(x)+加在尺上有三个零点，求冽的取值范围.

17.已知在四棱锥尸—4BC。中，尸4,平面45。。，四边形45。。是直角梯形，AD//BC.AD1DC,

若尸/=/£>=2,DC=2J5,点M为的中点，点N为尸。的四等分点(靠近点尸).

P

(1)求证：平面平面PCD；

(2)求点P到平面的距离.

18.甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为，的方框表示第，场比赛，方

框中是进行该场比赛的两名棋手，第，场比赛的胜者称为“胜者广，负者称为“负者广，第6场为决赛，获胜的人

3

是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为一，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.

4

136

(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率;

(2)求甲获得冠军的概率.

19.已知抛物线E:y=x2,过点7(1,2)的直线与E交于48两点，设E在点4台处的切线分别为4和L'I与'2

的交点为尸.

(1)若点4的坐标为(-1,1),求ACMB的面积(。为坐标原点)；

(2)证明：点尸在定直线上.

兰州一中高三年级诊断考试试卷

高三数学答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.）

题号12345678

答案CBDDCADB

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案ABCBDAB

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

（3J1

12.,113.3614.—

I53

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.解析：(1)因为〃+。2一/=24,S“BC=12,

所以-/=2S,RC=besinA.

所以b+0———=—sin^,得2cosZ=sinZ即tanZ=2.

2bc2

sin/_22后

(2)因为tanZ=2,所以＜cosA，解得sinA=±------

sin2^4+cos2A=1J

因为tanZ=2〉0,且/为三角形的内角，所以sinZ=3^cosZ=好

55

又因为S=-Zjcsin^=-x2V5cx—=12,所以c=6.

“ABC225

cosA,

所以赤2=4+雪匹吗所以"=也

9393

16.解析：(1)令x<0,则—x〉0,又/(x)是定义在R上的奇函数,

所以可得/(x)=—/(—X)=—[―(―x)2+2(—x)]=炉+2x,

又/(0)=0,故函数/(x)的解析式为/(x)=1,''

x+2x,x<0.

(2)根据题意作出/(x)的图象如下图所示：

=/⑴=1,若函数g(x)=/(x)+加在尺上有三个零点，即方程/(x)+掰=0有三个不等的实数根,

所以函数/(x)与了=一加有三个不同的交点由图可知当-1〈-加<1,即-1</"<1时，

函数/(X)与>=-加有三个不同的交点，即函数g(x)有三个零点.故"2的取值范围是(-1』).

17.解析：(1)在四棱锥P—48CD中，R4J_平面48CD,CDu平面45CD,

则又40,CD,

因为尸ZPI4D=4尸440u平面R4£),所以CDJ_平面R4D,

因为/Mu平面R4£),所以2/LCD,

因为4P=40,点〃为中点，所以

因为CDC\PD=D,CD,PDu平面PCD,

所以/ML平面尸CD,

因为/Mu平面所以平面ZW,平面尸C£>

(2)由(1)知C£>，平面上4。，又PQu平面P4D,则

因为R4，AD,PA=AD=2,DC=2J5,点〃为PD的中点，

所以PD=26,PM=6,PC=ylPD2+CD2=y/8+8=4,

因为点N为PC的四等分点(靠近点尸).

所以PN=1,

因为尸£>=CD,C£>，P£>,所以NCPM=45°

所以由余弦定理得

22l+2-2xlxV2x^-

MN=yjPN+PM-2PN-PMcos45°=1,

所以PN?+MN?=PM?,所以因为平面PCD,所以小W

设点尸到平面AMN的距离为九

所以三棱锥尸—的体积/YMN=七一相加二工x：xlxlxJ5=—x—xlxy/lh.

32

所以为=1.

18.解析：(1)乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负，

313

，乙连负两场的概率为4=-x-=-；

(2)甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：

1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜,

...甲获得冠军的概率为：+2X[3]x-=—.

2⑷⑷4128

2-11

19.解析：(1)直线43的斜率尢=-------二—

1-(-1)2

直线AB的方程为j；-l=1(x+l),

即x—2y+3=0.

x-2y+3=0士*/

联立方程《；,整理得:2%2—x—3=0.

y=x

13

=-->XlX2=~~

设直线48与y轴的交点为D,则

13

S'OAB=S.OAD+S-OBD=5义万*|xj+；x|x|x2|=孤一下

(2)由y=l2,得y'=2x.

4的方程为：j=2X](x-xJ+Xj2,整理得y=2X]X-x；.

同理可得12的方程为j=2X2X-君.

X+x

平-X；9

设尸(马,力)，联立方程＜J=2,解得《

yP=占/

因为点7(1,2)在抛物线内部，可知直线45的斜率存在,

设直线力3的方程为y=k(x—1)+2,与抛物线方程联立得：——丘+左—2=0,

k

故西+工2=左，X[X?=k-2.所以辱=5,yp=k-2f可得力＞=21尸_2,

所以点尸在定直线歹=2x—2上.

「请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

兰州一中高三年级诊断考试试卷请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤）

16.（15分））

高二数学15.（13分）

姓名__________________

贴条形码区

班级__________________

（正面朝上，切勿贴出虚线方框）

|正确填涂示例■

一方框为缺考考生标记，由监考员用2B铅笔填途。

一、单选题（共40分）

1.回回5.回叵

2.叵回6.叵叵

3.叵回7.