九年级数学直线与圆的位置关系培优教程

九年级数学直线与圆的位置关系培优教程考点·方法·破译理解掌握圆的切线、割线的概念，懂得直线与圆的三种位置关系及判别依据；理解掌握切线的性质定理、判定定理，能熟练运用会根据需要添加辅助线；理解掌握切线长定理，能利用切线相关定理进行推理论证。经典·考题·赏析【例1】（泉州）已知直线y=kx（k≠0）经过点（3,-4），（1）求k的值；（2）将该直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到直线与半径为6的⊙O相离（点O为坐标原点），试求m的取值范围【解法指导】解：（1）依题意得：―4=3k,∴k=－eq\f(4,3)（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线l所对应的函数关系式为y=－eq\f(4,3)x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B,（如图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=eq\f(3,4)m，∴A（eq\f(3,4)m,0）,B（0,m）即OA=eq\f(3,4)m,OB=m,在Rt△OAB中，AB=eq\r(,OA2+OB2)=eq\r(,eq\f(9,16)m2+m2)=eq\f(5,4)m,过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=eq\f(1,2)OD·AB=eq\f(1,2)OA·OB，∴eq\f(1,2)OD·eq\f(5,4)m=eq\f(1,2)·eq\f(3,4)m·m∵m＞0,解得OD=eq\f(3,5)m,依题意得：eq\f(3,5)m＞6,解得m＞10，即m的取值范围为m＞10.【变式题组】1.（辽宁）如图，直线y=eq\f(eq\r(,3),3)x+eq\r(,3)与x轴、y轴分别相交于A,B两点，圆心P的坐标为（1,0），⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P有个2.（永州）如图，在平面直角坐标系内，O为原点，A点的坐标为（-3,0），经过A、O两点作半径为eq\f(5,2)的⊙O，交y轴的负半轴于点B（1）求B点的坐标；（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式【例2】（襄樊）如图所示，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C，若∠A=25°，则∠D等于（）A.40°B.50°C.60°D.70°【解法指导】解:连结OC，则OC⊥DC，且∠OCA=∠A=25°，∴∠DOC=∠∠OCA+∠A=50°，又∠D+∠DOC=90°，∴∠D=40°，本题应选A.【变式题组】3.（徐州、南京）如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm4.（南充）如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A，B,若PA=8cm，C是AB上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，则△PED的周长是.5.（徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=18°，则∠CDA=.6.（荆门）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8,则△ABC的内切圆半径r=.【例3】（日照）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2,过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E（1）求∠AEC的度数;（2）求证：四边形OBEC是菱形【解法指导】本题（2）根据垂径定理证AC=CE=2，再证BE=2即可。解:（1）在△AOC中，AC=2，∵AO=OC=2，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠AEC=30°（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l，∴OC∥BD，∴∠ABD=∠AOC=60°，∵AB为⊙O的直径，∴△AEB为直角三角形，∠EAB=30°，∴∠EAB∠=∠AEC，∴四边形OBEC为平行四边形，又∵OB=OC=2，∴四边形OBEC是菱形。【变式题组】7.（宁波）已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，eq\o(⌒,BC)=eq\o(⌒,BD)，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，（1）求证:CD∥BF（2）连结BC，若⊙O的半径为4，cos∠BCD=eq\f(3,4)，求线段AD、CD的长【例4】（安顺）如图，AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，（1）求证:DE是⊙O的切线;（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A=30°，AB=8，求弦DG的长【解法指导】本题（1）根据切线的判定定理要连接OD，证明OD⊥DE即可，（2）用等面积法求DF证明:连结，OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO.∵BA=BC,∴∠A=∠C.∴∠ADO=∠C.∴DO∥BC,∵DE⊥BC,∴DO⊥DE.又点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线.（2）解:∠DOF=∠A+∠ADO=60°，在Rt△DOF中，OD=4DF=OD·sin∠DOF=4·sin60°=2eq\r(,3),∵直径AB⊥弦DG，∴DF=FG,∴DG=2DF=4eq\r(,3).【变式题组】8.（十堰）如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连结DB，且AD=DB（1）求证:DB为⊙O的切线;（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长9.（大连）如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°.（1）判断直线CD是否是⊙O的切线，并说明理由；（2）若CD=3eq\r(,3)，求BC的长.【例5】（本溪）如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB，（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长【解法指导】（1）直线BD和⊙O相切，证明：∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC，∴∠ABC=∠ODB，∴OD⊥BC，∠DBC+∠ODB=90°，∴∠DBC+∠ABC=90°，即∠DBO=90°∴直线BD和⊙O相切.（2）连结AC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°在Rt△ABC中，AB=10，BC=8，∴AC=eq\r(,AB2-BC2)=6，∵直径AB=10，∴OB=5.由（1），BD和⊙O相切，∴∠OBD=90°，∴∠ACB=∠OBD=90°，由（1）得∠ABC=∠ODB，△ABC∽△ODB，∴eq\f(AC,OB)=eq\f(BC,BD)，∴eq\f(6,5)=eq\f(8,BD),解得BD=eq\f(20,3).【变式题组】10.（仙桃）如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD=FE（1）请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，BD=eq\r(,3)，求BC的长.11.（德化）如图，已知在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=eq\f(eq\r(,2),2)，BC=2，求⊙O的半径.演练巩固反馈提高1.（佳木斯）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连结AD，则下列结论：①AD⊥BC②∠EAD=∠B③OA=eq\f(1,2)AC④DE是⊙O的切线。正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.（衡阳）如图，直线AB切⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠EDC=30°，弦EF∥AB，连结OC交EF于点H，连结CF，且CF=2，则HE的长为3.（门头沟）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（）A.-1≤x≤1B.-eq\r(,2)≤x≤eq\r(,2)C.0≤x≤eq\r(,2)D.x＞eq\r(,2)4.（武汉）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连结DE，（1）求证:直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值.5.（北京）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径（1）求证:AE与⊙O相切;（2）当BC=4，cosC=eq\f(1,3)时，求⊙O的半径.6.（无锡）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发,在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为秒．（1）用含的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OC⊥AB于C,过C作CD⊥轴于D,问：为何值时,以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．7.（陕西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P，（1）求证:AP是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长.8.（贺州）如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连结DE、OE.（1）求证:DE是⊙O的切线（2）如果⊙O的半径是eq\f(3,2)cm，ED=2cm，求AB的长培优升级奥赛检测1.（义乌）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G，（1）求证:点E是eq\o(⌒,BD)的中点；（2）求证:CD是⊙O的切线；（3）若sin∠BAD=eq\f(4,5),⊙O的半径为5，求DF的长.2.（衡阳）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2㎝，∠ABC=60°，（1）求⊙O的直径；（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），连接EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．3.（深圳）如图，在平面直角坐标系，直线l:y=-2x-8分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P（O,k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？4.（全国竞赛）如图：直线AB与⊙O相交于点E、F，EF为⊙O的直径，且AE=EF=FB，