2021-2023年高考数学试题分类汇编：导数及其应用之解答题（理）学生版

专题04导数及其应用(解答题)(理)

知识点目录

知识点1：恒成立与有解问题

知识点2：极最值问题

知识点3：证明不等式

知识点4：双变量问题(极值点偏移、拐点偏移)

知识点5:零点问题

近三年高考真题

知识点1：恒成立与有解问题

1.(2023•甲卷(理))已知/(X)=办—，xe(0,—).

cosx2

(1)若4=8,讨论/(%)的单调性；

(2)若/*(%)<sin21恒成立,求Q的取值范围.

2.(2021•天津)已知a>0,函数=—旄”.

(1)求曲线/(%)在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)证明函数/(%)存在唯一的极值点；

(3)若为，使得了(%),,a+b对任意的光£尺恒成立，求实数b的取值范围.

3.(2023•上海)已知函数f(x)=ax3-(a+l)x2+x,g(x)=kx-^-m(其中a.0,k,meR),若任意无£[0,

1］均有/a),,g(x)，则称函数>=8(%)是函数y=/(尤)的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y=g(x)在

X处取得的最小值记为f(x).

(1)若。=2,g(x)=x,试判断函数y=g(尤)是否为函数y=/(x)的“控制函数”，并说明理由；

(2)若4=0,曲线丫=/(》)在*=工处的切线为直线y=〃(x),证明：函数y=/z(尤)为函数y=/(x)的“控

-4

制函数"，并求『(；)的值；

(3)若曲线y=/(x)在X=M，毛e(0,1)处的切线过点(1,0),且1],证明：当且仅当c=%或c=l

时，/(c)=/(c).

知识点2：极最值问题

4.(2023•北京•统考高考真题)设函数〃，=厂/*+3,曲线y=/(无)在点(1]⑴)处的切线方程为

y=-x+l.

⑴求a,b的值；

(2)设函数g(尤)=f'(x),求g(尤)的单调区间；

⑶求了(X)的极值点个数.

5.(2023•新高考H)(1)证明：当0<x<l时，x-x2<sinx<x；参考答案

(2)已知函数/(x)=cosar-/〃(l-无)，若x=0为f(尤)的极大值点，求a的取值范围.

6.(2023•乙卷(理))已知函数/Xx)=d+a)/"(l+x).

(1)当。=-1时，求曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)是否存在a,b,使得曲线y=/(3关于直线x=〃对称，若存在，求。，6的值，若不存在，说明理

X

由；

(3)若/(X)在(0,+oo)存在极值，求a的取值范围.

知识点3：证明不等式

7.(2022•新高考H)已知函数/(x)=x

(1)当a=l时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x>0时，/(%)<-1,求a的取值范围；

(3)设nwN*,证明：「+，।+...+—>/”(4+1).

#71A/F72

8.(2023•新高考I)已知函数/(%)=〃(e"+〃)-x.

(1)讨论了(%)的单调性;

(2)证明：当〃>0时，/(x)>Una+—.

9.(2021•乙卷(理))已知函数/(%)=①(a-x),已知兀=0是函数y=灯>(%)的极值点.

(1)求Q；

(2)设函数g(x)=x+”")・证明：g(无)<1.

xf(x}

10.(2023•天津)已知函数/(x)=d+2)伍(x+1)•

x2

(I)求曲线y=/(x)在x=2处的切线斜率；

(II)当了>0时，求证：f(x)>1；

(III)证明：—<ln(nl)—(n+—)lnn+n,,1.

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知识点4：双变量问题(极值点偏移、拐点偏移)

11.(2021•新高考I)已知函数/(x)=x(l-加x).

(1)讨论了(%)的单调性；

(2)设a,Z?为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b,证明：2<4+!<6.

ab

12.(2022•天津)已知a,beR,函数/(X)=e*-asinx,g(x)=bG.

(1)求函数y=/(%)在(0,/(0))处的切线方程；

(2)若y=/(%)和y=g(x)有公共点.

(i)当a=0时，求b的取值范围；

2

(ii)求证：a+/>e.

13.(2022•浙江)设函数/(%)=且+历x(x>0).

(I)求了(%)的单调区间;

(II)已知a,b《R,曲线y=/(x)上不同的三点(七，/(%))，氏，/(乙))，(%，/(冗3))处的切线都经

过点(〃,8).证明：

(i)a>e,贝！(a)<—(--1)；

2e

/••、.八,|71.|2e—u112e—a

(ii)是f0<〃<e,%v%2<忍，贝II—i---<—i-------<....—

e6e玉x3a6e

(注:e=2.71828…是自然对数的底数)

14.(2022•北京)已知函数/(无)=e、'7"(l+x).

(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(O))处的切线方程；

(II)设g(x)=f'{x},讨论函数g(x)在［0,+oo)上的单调性；

(ill)证明：对任意的s,te(0,-H»),有y(s+/)>y(s)+/(/").

知识点5:零点问题

15.(2022•甲卷(理))已知函数/(%)=^——lnx+x-a.

x

(1)若/(%)..。,求〃的取值范围;

(2)证明：若/(%)有两个零点看，x2,则玉%2<L

16.(2022•新高考I)已知函数/(%)=/-必和g(x)=ov-/nx有相同的最小值.

(1)求。；

(2)证明：存在直线丁=人，其与两条曲线)=/(%)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个

交点的横坐标成等差数列.

17.(2021•新高考II)已知函数/(尤)=(x-l)ex-ax2+b.

(I)讨论了(%)的单调性；

(II)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)恰有一个零点.

1,

Q)一<—，b>2a；

22

②0<Q<Lb„2a.

2

18.(2021•浙江)设〃，Z?为实数，且函数/(九)="一勿；+/(龙£氏).

(I)求函数/(%)的单调区间；

(II)若对任意b>2〃，函数/(%)有两个不同的零点，求〃的取值范围；

(III)当a=e时，证明：对任意函数/(x)有两个不同的零点无1,马，满足尤

2cb

(注:e=2.71828是自然对数的底数)

19.(2021•甲卷(理))己知a>0且awl,函数/(x)=—(x>0).

(1)当a