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文档简介
第4讲平面向量与复数
选择题
1.(2023•甲卷)若复数(a+z)(l-*=2,则a=()
A.-1B.0C.1D.2
2.(2023•乙卷)设2=,贝lj^=()
1+r+z5
A.l-2zB.1+2/C.2-iD.2+i
3.(2023•乙卷)|2+『+2户|=()
A.1B.2C.旧D.5
4.(2023•甲卷)5(1+,3)-=()
(2+z)(2-0
A.-1B.1C.1-zD.1+z
5.(2023•新高考II)在复平面内,(1+3力)(3-,)对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.(2023•新高考I)已知z=上上,贝l|z-5=()
2+21
A.-iB.iC.0D.1
7.(2023•甲卷)已知向量〃=(3/),。=(2,2),贝Ijcos〈a+Z?,力=()
1p而非口2石
A•—r>.-----c•U.------
171755
8.(2023•甲卷)向量|a|=|。|=1,|c|=0,且一+。+,=0,贝!Jcos〈a-c,b-c)={)
1224
A.——B.——C.-D.-
5555
9.(2023•新高考I)已知向量Q=(1,1),b=(l,-l).若(〃+劝)_L(〃+"b),则()
A.Z+//=1B.A+//=—1C.4〃=1D.A//=—1
10.(2022•北京)在AABC中,AC=3,BC=4,ZC=90°.尸为AA5c所在平面内的动点,且PC=1,
则尸4P5的取值范围是()
A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]
11.(2022•乙卷)已知向量a,b满足|〃|=1,|勿=百,\a-2b|=3,则。•b=()
A.-2B.-1C.1D.2
12.(2022•新高考I)在AABC中,点。在边AB上,BD=2DA.记C4=机,CD=n,贝!|C8=()
A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3M
13.(2022•乙卷)设(l+2i)a+Z?=2i,其中a,6为实数,贝!J()
A.a=l,b=—1B.a=l9b=1C.a=—ltb=1D.a=—lfb=l
14.(2022•甲卷)若z=l+i,则|iz+3Z|=()
A.4石B.4夜C.2y/5D.272
15.(2022•新高考II)(2+2z)(l-2/)=()
A.-2+4zB.-2-4/C.6+2zD.6-2i
16.(2022•乙卷)已知z=l—2i,且z+应+6=0,其中a,。为实数,贝>1()
A.a=l9b=—2B.a=—lfb=2C•a—1,b=2D.a=—lJb=
17.(2022•新高考I)若i(l-z)=l,则z+5=()
A.-2B.-1C.1D.2
18.(2022•北京)若复数z满足i.z=3—4i,则|z|=()
A.1B.5C.7D.25
二.填空题
19.(2023•上海)已知复数z=l-源为虚数单位),贝U|l+iz|=.
20.(2023•天津)已知i是虚数单位,化简红巴的结果为.
2+3/
21.(2023•上海)已知向量a=(—2,3),b=(l,2),则.
22.(2023•新高考H)已知向量a,6满足|a-6|=6,|a+b|=|2a|,贝U|b|=
23.(2022•天津)在AABC中,CA=a,CB=b,。是AC中点,CB=2BE,试用a,b表示DE为
3b-a
2.
24.(2022•上海)若平面向量|。|=|。|二|c|=4,且满足a・b=0,a-c=2,b•c=1,则4=.
-2-2-2
25.(2022•浙江)设点P在单位圆的内接正八边形的边A4上,则尸>+%+…+上4-的取值
范围是.
26.(2022•甲卷)已知向量a=(八3),b=(l,m+l).若a_L6,贝!.
27.(2022•甲卷)设向量a,。的夹角的余弦值为L且|6|=3,则(2a+b>6=.
3
AC
28.(2022•甲卷)已知AABC中,点。在边上,ZADB=\20°,4)=2,CD=2BD.当^一取得最小
AB
值时,BD=.
29.(2022•天津)已知i是虚数单位,化简U二三的结果为.
1+2z
30.(2022•上海)已知z=l+i(其中i为虚数单位),则22=.
第4讲平面向量与复数
选择题
1.(2023•甲卷)若复数(a+i)(l-))=2,则°=()
A.-1B.0C.1D.2
【答案】C
【解析】因为复数(a+i)(l-出)=2,
所以2。+(1-4/=2,
即=2?八,解得。=L
[1-a=0
故选:C.
2.(2023•乙卷)设2=2*贝”=(
)
1+Z+i
A.1-2/B.l+2iC.2-iD.2+i
【答案】B
25
【解析】f=-l,i=i,
2+i
/.z=-----------
1+z+i
_2+i
i
=1-2/,
••z—1+2i.
故选:B.
3.(2023•乙卷)|2+/+2『|=()
A.1B.2C.D.5
【答案】C
【解析】由于12+『+|=|1-27|=#+(—2)2=6
故选:c.
4.(2023•甲卷)5"尸)=()
(2+0(2-0
A.-1B.1C.l-iD.1+i
【答案】C
【解析】5(1+尸)
(2+0(2-05
故选:c.
5.(2023•新高考II)在复平面内,(l+3i)(3-i)对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】(l+3z)(3-z)=3-z+9z+3=6+8z,
则在复平面内,(1+3力)(3-力)对应的点的坐标为(6,8),位于第一象限.
故选:A.
I—;
6.(2023•新IWJ考I)已知z=-------,贝!Jz—5=()
2+21
A.-iB.iC.0D.1
【答案】A
1-i_11-z_1(1-Q2_1.
【解析】
2+2z-21+7-2(1+z)(l-f)~~2l
则
2
故z—彳=—i
故选:A.
7.(2023•甲卷)已知向量,=(3,1),石=(2,2),则cos〈a+b,a-b)=()
2后
A.—D.----------—D.
17175
【答案】B
【解析】根据题意,向量Q=(3,1),人=(2,2),
贝!]。+6=(5,3),。一6=(1,—1),
则有|。+6|=125+9=后,\a-b\=4T+l=yf2,(a+b)-(a-b)=2,
b)_(a+b).(a-b)_2-J17
故cos〈a+b,
\d+b\\d-b|5/34,17
故选:B.
8.(2023•甲卷)向量|4|=|b|=l,Ic|=V2,且〃+b+c=0,贝ljcos〈a—c,/?—(〉=()
【答案】D
【解析】因为向量I。|=屹|=1,Ic1=0,且a+6+c=0,所以一。=a+b,
所以/=必+52+2〃•),
BP2=l+l+2xlxlxcos<a,b>,
解得cos<a,b>=0,
所以a_L6,
又a—C=2a+b,b—c=a+2b,
所以(a-(?)•(〃-c)=(2a+/?)•(〃+2b)=2/+2Z?2+5〃・b=2+2+0=4,
\a-c\=\b-c\=d4/+4a•b+b?=J4+0+1=^/5,
mi”/,r(d-e)-(b-c)44
n\以COS〈Q-C,b—C<yx=-------------------=------7==—.
\d-C\\b-d\A/5XV55
故选:D.
9.(2023•新高考I)已知向量,=(1,1),b=(l,-l).若(a+e),(a+〃b),则()
A./I+//=1B.4+4=—1C.4〃=1D.A//=—1
【答案】D
【解析】。=(1,1),b=(l,-l),
a+Ab=(A+1,1—X),a+jub=(〃+1,1—〃),
由(a+26)_L(a+/jb),得(X+1)(〃+1)+(1-4)(1-〃)=0,
整理得:2彳〃+2=0,即=-1.
故选:D.
10.(2022•北京)在AABC中,4c=3,BC=4,ZC=90°.P为AABC所在平面内的动
点,且尸C=l,则上4・尸3的取值范围是()
A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]
【答案】D
【解析】在AABC中,AC=3,BC=4,ZC=90°,
以C为坐标原点,CA,CB所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图:
则4(3,0),8(0,4),C(0,0),
设P(x,y),
因为尸c=i,
所以f+)?=1,
又PA=(3—x「y),PB=(-x,4-y),
所以PA-PB=-x(3—x)-y(4-y)=x2+y2-3x-4y=-3x-4y+1,
设x=cos3,y=sin6,
3
所以PA-PB=-(3cos0+4sin^)+1=-5sin(6+?)+1,其中tanc?——>
4
当sin(6+0)=l时,上4•尸3有最小值为T,
当sin(6+0=-l时,P4PB有最大值为6,
所以PAPBe[-4,6],
故选:D.
11.(2022•乙卷)已知向量2,6满足|a|=l,|b|=g,|a-2b|=3,则a-b=()
A.-2B.-1C.1D.2
【答案】C
【解析】因为向量a,匕满足|a|=l,2|=后,|a-2%|=3,
所以|。一26|=«"2b)2=yja2-4a-b+4b2=Jl-4a/+4x3=3,
两边平方得,
13-4。・6=9,
解得a-b=1,
故选:C.
12.(2022•新高考I)在AABC中,点。在边钻上,BD=2DA.记C4=m,CD=n,
贝ICB=()
A.3m—2rlB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n
【答案】B
【解析】如图,
BC
CD=CA+AD=CA+-DB=CA+-(CB-CD)=CA+-CB--CD,
2222
i3
:.—CB=—CD—CA,^CB=3CD-2CA=3n-2m.
22
故选:B.
13.(2022•乙卷)设(l+2i)a+Z?=2i,其中〃,b为实数,则()
A.a=l9b=—lB.a=l,b=lC.Q=-1fb=lD.a=—l,b=—l
【答案】A
【解析】(l+2i)a+b=2i,
a+b=0
:.a+b+2ai=2i,即
2a=2
a=1
解得
b=-1
故选:A.
14.(2022•甲卷)若z=l+i,贝!||iz+32|=()
A.4^/5B.4A/2C.D.2A/2
【答案】D
【解析】z=1+z,
:.iz+3z=i+i2+3(1-i)=i-1+3—3i=2—2i,
故选:D.
15.(2022•新高考II)(2+2z)(l-2z)=()
A.-2+4zB.-2-4zC.6+2zD.6-2i
【答案】D
[解析](2+2z)(l-20=2-4/+2i-4z2=6-2?.
故选:D.
16.(2022•乙卷)已知z=l—2i,且z+近+b=O,其中a,6为实数,贝i」()
A.a=l9b=—2B.a=—lJb=2C.a=l,b=2D.a=—l9b=—2
【答案】A
【解析】因为z=l—2z1且z+aN+b=0,
所以(l—2i)+a(l+2i)+6=(l+a+b)+(-2+2a)i=0,
1+a+b=0
所以
—2+2a=0
解得(7=1,b=—2.
故选:A.
17.(2022•新高考I)若,(l-z)=l,贝1Jz+亍=()
A.-2B.-1C.1D.2
【答案】D
i_;
【解析】由i(l—z)=l,得1—z=7=C=T,
i—i
:.z=l+i,则2=1T,
z+z=l+i+l—z=2.
故选:D.
18.(2022•北京)若复数z满足力-z=3—43则|z|=()
A.1B.5C.7D.25
【答案】B
【解析】由3z=3-4i,得z=^~,
z
...3-4/|3-4/|卢+(-4)2
..z|=|----1=------=-5---------=5.
i\i\1
故选:B.
二.填空题
19.(2023•上海)已知复数z=l-i(i为虚数单位),贝!J|l+iz|=.
【答案】75.
【解析】-z=1-z,
1+iz|=|1+z(l-01=|2+Z|=A/5.
故答案为:A/5.
20.(2023•天津)已知i是虚数单位,化简正巴的结果为
2+3,
【答案】4+1
5+14/_(5+141)(2-3i)_52+13i_4+
【解析】2+3i-(2+31)(2-3,)―13—-'
故答案为:4+z.
21.(2023•上海)已知向量。=(一2,3),6=(1,2),则-6=
【答案】4.
【解析】•向量4=(-2,3),6=(1,2),
/.ci'b——2xl+3x2=4.
故答案为:4.
22.(2023•新高考II)已知向量a,6满足|a-6|=g,\a+b\=\2a-b\,则|6|=
|a-b|=百,\a+b\=\2.a-b\,
Q?+Z??—2Q,Z?=3,Q?+Z??+2a,b—4a?+b?—4。,b,
/.a2=2a•b,Z?2=3,
...|切=班.
故答案为:百.
23.(2022•天津)在AABC中,CA=a,CB=b,。是AC中点,CB=2BE,试用a,b
3b-a
表小DE为
2
【答案】";f
【解析】AABC中,CA=a,CB=b,。是AC中点,CB=2BE,如图:
1An37?-
/.DE=CE-CD=CB+BE一一CA=b+------=——
2222
AB=CB-CA=b-a,ABLDEf
Q71
ABDE=(b-d)-^-^-=-(3b2-Aab+cr)=Q,^4a-b=a2+3b2,
22
即4・a・6・cosC=a2+362,即cosC="+劝2..独叽且,
4ab4ab2
当且仅当。=岛时,等号成立,故cosC的最小值为豆,故C的最大值为工,
即NACB的最大值为工,
6
24.(2022•上海)若平面向量|a|=|b|=|c|=X,且满足a-6=0,a-c=2,b-c=l,则
2=.
【答案】松
【解析】由题意,有[•/?=(),则。_1b,设va,c>=8,
(a-c=2卜旧c"0=2,①
[Z?-c=1n问p|cos[、-e)=l,②
则答得,tan。」,
①2
由同角三角函数的基本关系得:cos9=处,
5
则a•c=|a||c|cosO=A,-Z-~~=2,
r=V5,
贝!M=,.
故答案为:痣.
25.(2022•浙江)设点P在单位圆的内接正八边形A4…4的边A4上,则
.222
P\+PA,+…+必—的取值范围是.
【答案】[12+21,16].
【解析】以圆心为原点,4A所在直线为x轴,&A所在直线为y轴,建立平面直角坐标
系,如图所示,
则A(。/),,A(i,o),人4(^-,-^~),(o,-i),A(一^~,一^~)’4(-1,。),
4(一警"
设P(尤,y),
则
222222222222
/^41+^42+...+/^!=|J%|+l^|+|/^5|+IMt|+l^45l+l^4l+l^7l+l^48|=8(x+/)+8
1-i-req45。
cos22.5°釜UiOP|1,—2领P+y21,
"正知2+2J,
4'
:.12+2y/2^(x2+y2)+816,
即+…+必2的取值范围是口2+2点,16],
故答案为:[12+2收,16J.
【答案】-3.
4
【解析】,向量8=(m3),Z?=(1,m+1).a±b,
a-b=m+3(m+1)=0,
3
贝!jm二——,
4
故答案为:-』.
4
27.(2022-甲卷)设向量〃,匕的夹角的余弦值为工,且|。|=1,\b\=3,则
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