2025届北师大版高考数学一轮复习多选题专练：平面向量及其应用（含解析）

2025届高考数学一轮复习北师大版多选题专题练：平面向量及其应用

一、多项选择题

1.已知44=巴，M,N分别是两边上的动点，若MN=2,则面积的可能

4

取值是（）

A.lB.2C.3D.4

2.如图，点C,。是线段的三等分点，则下列结论正确的有（）

ACDB

A.AC=DBB.AB=ACC.AB=2CBD.AD=2CD

3.下列说法中，正确的有（）

A.若然=0,则Z=0

B.若°=花，则a//B

C.若无a+=则。〃B

D.若盛=无於，则Z,B,C三点共线

4.下列说法中，错误的是（）

A.若卜卜同，则a=B或a=-B

B.向量方与函是共线向量，则四点/,B,C,。必在同一条直线上

C.向量方与说是平行向量

D.任何两个单位向量都是相等向量

5.已知点。是△/8C的重心，则下列说法中正确的有（）

A.OA+OB+OC=QB.AO^-^AB+ACj

C.而=g（方+砌D.OB+OC=^（JB+AC）

6.在△/8C中，角45c所对的边分别为a力,c,以下说法中正确的是（）

A.若/>,则sinA>sin5

B.若”8,X。,/号则符合条件的三角形有一个

C.若a=42=5,c=6,则△48C为钝角三角形

D.若sin2且+2=工,则△/BC直角三角形

22c2

7.在&ABC中，内角48c所对的边分别为a,b,c,ZABC=工,内角8的平分线交NC于

3

点。且50=行，则下列结论正确的是（）

,11

A.—।—=]

ac

B.b的最小值是2

C.a+3c的最小值是4百

D.△4SC的面积最小值是V3

8.在△48。中，角/、B、C的对边分别为a、6、c,且a=2，sin5=GsinC，则以下四

个命题中正确的是（）

A.满足条件的AABC不可能是直角三角形

B./\ABC面积的最大值为V3

C.当Z=c时,△4SC的内切圆的半径为2G—3

D.若A/BC为锐角三角形，则ce（1,6）

9.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线

上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60。，另一灯塔在船的南偏西75。，

则这只船的速度是每小时（）

A.5海里B.5G海里C.10海里D.ioG海里

10.已知@=（4,2）,3=（6/），若G/区，则了等于（）

A.-12B.-3C.3D.12

11.设△48C的内角幺，B,C的对边分别为a,b,c,若。=2,c=2也,

cosA=,则%=（）

2

A.2B.3C.4D.2A/2

12.下列各对向量中，共线的是（）

B.a=（2,—3）,B=H

A.〃=（2,3）=（4,-6）

C.a=[1,42^,b=（行,2）D.a=（行=（L后）

13.在a/BC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且tarU=‘丘正+—C,则

cos5+cosC

下列结论正确的是（）

A.NJ

3

(A、

B.sin5+sinC的取值范围是—,V3

2

C.若。为边BC上中点，且/。=1，则。的最小值为空

3

D.若△/8C面积为1,则三条高的乘积的平方的最大值为3百

14.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是/（3,7）,8（4,6）,C（l,-2）.则第四个顶

点的坐标为（）

A.(0,-1)B.(6,15)C.(2,-3)D.(2,3)

15.下列等式一定正确的是（）

A.a+b=b-\-aB.AB+BC+CA=0

C.CA+AC=0A-0C+CAD.AB+BA=0

16.关于平面向量心B，工，下列说法不正确的是（）

A.(万-B)仅+B)=@2_户

B.^a+b^-c=a-c+b-c

C•若万Z=晨/，且则3=己

D.^a-b）-c=a-（b-c）

17.已知△4BC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且/=30。，a=l,

c=6则b的值可能是（）

A.lB.V2C.V3D.2

18.据统计，从1932年至1990年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学

建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具:测角仪、米

尺、量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方案有（）

A.把两只佛脚底部看作M,N两点,分别测量佛顶的仰角«,（3和的距离

B.在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为«，再面对大佛前行S米,测得佛顶的仰角为

c.高为〃的同学站在佛脚平台上,在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角«,/3

D.在佛脚平台上寻找两点48分别测量佛顶的仰角«,p，再测量45两点间距离和两

点相对于大佛底部的张角0

19.在△48C中，角4民C的对边分别为b,c,则下列对△4BC的个数的判断正

确的是（）

A.当°=20，c=4，/=30。时，有两解

B.当q=5，5=7,A=60°时，有■解

C当a=也，6=4，4=30。时，无解

口.当°=6，6=4，4=60。时，有两解

20.判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（）

A.a=1,b=V2,B—45°B.tz=V5,b=V15,A=30°

C.a=6,b=209A=30°D.a=5,8=60。，C=45°

参考答案

1.答案：AB

解析：根据题意，根据余弦定理：

4=AM2+AN2-2AM-AN-cos-=AM2+AN2-6AM-AN

4

4>(2-42}AM'ANjAM-AN<4+2A/2J当且仅当4W=/N时取等号，

，当且仅当血/=时取等号，

SZ^A/AiJMVllN^-2AM-AN-sm4-<42+\ZN

.,.△/w的面积可能是1或2.

故选:AB.

2.答案：AD

解析：由图可知：AC=DB,AD=2CD,AB=3AC,AB^-CB.

2

故选：AD.

3.答案：BD

解析：A选项中4=0也成立，故错误；

B选项中当2=0时，1=6,6与任一向量平行，当2/0时，al1b,故正确；

C选项中X=〃=0时不平行，故错误；

D选项依据共线定理可知正确.

故选：BD.

4.答案：ABD

解析：向量是既有大小又有方向的量，若卜卜同，则a和B大小相同，方向不一定相

同，故选项A说法错误；

向量方与函是共线向量，则方与①方向相同或反向，点4B,C,。可能在一

条直线上，也可能组成平行四边形，故选项B说法错误；

向量方与加方向相反，是平行向量，故选项C说法正确；

单位向量模长相同，方向不一定相同，故选项D说法错误；

故选：ABD.

5.答案：AB

解析：记。为8c中点，则。为靠近点。的三等分点

因为无+反=2近，0A=-20D,所以况+砺+反=0,A正确；

y.AB+AC^2AD,Ad=-AD,所以方+就）=0，B正确，C错误;

又OB+OC=2OD,AB+AC=2AD=6OD,所以OB+OC=：（Z5+/C）,故D错误.

故选：AB.

解析：对于A,若/>瓦则a>6,所以由正弦定理一--=—-—，可得sinN>sinB,故A正

sinAsinB

确；

对于B,若〃=8,6=10,4=巴，

4

根据正弦定理可得sin5=变电4=此义克=豆1,0<5出8<1,又6>人

a828

所以8有两解，可以是锐角，也可以是钝角，所以符合条件的三角形有两个，故B错误

对于C,若4=42=5,°=6,由06>°得。为428。的最大角，

因为c?</+/,由余弦定理cosC=3^^———>0,

2ab

所以角C为锐角，即AABC为锐角三角形，故C错误;

对于D由sin2—+—=—-cos"+sin'=J_，即sin5=sinCcos/

22c222sinC2

又sin5=sin（4+C）=sinCcosA+cosCsinA，所以cosCsin/=0

因为0＜兀，0＜。＜兀,所以sinZwO,

所以cosC=0,所。=工，故D正确.

2

故选:AD

7.答案：ABD

解析：由题意得:S^"=S△皿+S揖s，

由角平分线以及面积公式得工口。义5吊殳=』6"5111工+工750'5111巴,

232626

化简得ac=a+c,所以工+』=1,故A正确；

ac

:.ac-a-\-c>2y[ac，当且仅当ci=c时取等号，

.，.yfac22，「.〃c24，

所以=LesinNZ8C力acN也，当且仅当a=c=2时取等号，故D正确;

ZAZIOC24

由余弦定理〃=a2-\-c2-laccosAABC=a1-\-c2—ac

=(tz+c)2-3ac=(a。)?-3ac24?-3x4=4

所以622,即人的最小值是2,当且仅当Q=C=2时取等号，故B正确；

对于选项C:由QC=Q+C得：工+工=1,

ac

cza3ca3cr-

a+3c—(Q+3c)x—i——41H----1----1~324+2J—x—=4A+2/3，

[ac)cavca

111

——l--二1a=1+A/3

当且仅当ac，即,6时取等号，故C错误;

a3cC=Id-----

ca3

故选:ABD.

8.答案：BC

解析：对于人,因为51!18=65由。，所以由正弦定理得力=30,若a是直角三角形的斜边,

22

则有b+c-/,即3c?+02=4,得c=1,所以A错误;

对于B,以5c的中点为坐标原点乃C所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系，则

8(—l,0),C(l,0),设Z(加⑼，因为"=伤,所以—1)2+/=6[(加+1)2+/,

化简得(m+2)2+/=3,所以点N在以(-2,0)为圆心,道为半径的圆上运动，

所以ZX/BC面积的最大值为工x2xG=g,所以B正确；

2

对于©，由Z=C,可得。-c-2，b-V3c=2^3，S^ABC=；xlx2拒=V3,

设AABC的内切圆半径为八贝US^ABC=1(a+6+c)r=V3，解得r=26-3，

所以C正确;

a2+b">c2

对于D,由余弦定理可得<〃+°2〉/，因为a=2,b=gc,

c2+a2>b2

4+02>/f3c2+〃>4

所以，，，即，解得1<C<VL所以D错误，故选BC.

c+a>b[c+4>3c

9.答案：C

解析：如图，依题意有/氏4C=60。，ABAD=75°>

所以NC4O=/C£M=15。，

从而CD=C4=10，在直角三角形中，得45=5，

于是这艘船的速度是亘=10(海里/小时).故选C.

0.5

10.答案：C

解析：因为G//B，所以4y-2x6=0,所以y=3.故选C.

11.答案：AC

解析：•・•△48C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,a=2,0=26，

cosN=——，

2

由余弦定理，得/=/+c?—26ccos/，4—b2+12-6bf即62—66+8=0，:.b=2

或b=4.

故选：AC.

12.答案：BC

解析：设a==(%2，%)，则。〃坂0再力=x2yx,

选项A中,2x(—6)w3x4；选项B中,2x[—j]=gx(—3)；

选项C中,1X2=0XVL选项D中，后xV^(-l)xl,满足上述等式的只有B,C项.

故选：BC.

13.答案：ACD

解析：对于A项，由tanZ=或0W£=Q得

cos5+cosCcosA

sinBcos+sinCcosA=sinAcos8+sin4cosC,即sin(5-A)=sin(/-C),

因为48,Ce(0,兀)，则8—4/—Ce(—兀,兀)，

若8—/+Z—C=7i显然不符题意，或者8—4+4—C=—兀也不符合题意，所以

B—A=A—C，即2/=8+。=兀—4，所以/=工，故A正确；

3

对于B项'sin5+sinC=sin5+sinf5+—=—sin5+^-cos5=Gsin(8+0]

I3j22I6)

因为0<3(女，所以二<5+二〈女，所以L<sin[5+P]vi,所以

36662I6j

—<sin5+sinC<V3,即sinB+sinC的取值范围是—,V3,故B错误；

2I2」

对于C项，由余弦定理知d=〃+，-2〃CCOS/=b2+c2-be

又。为边3C上中点，所以2通=方+就，所以4而2=〃+c2+2bccos4,所以

4=〃+2+63A，所以历<3，当且仅当6=c时，取得等号，所以

一3

a2=b-+c2-bc^4-2bc>-，所以q,二组,故C正确；

3mm3

722

对于D项，不妨设Q、6、C三边上的高分别%、%2、&，则4=—，02=工，力3=—，

abc

又s△谢=；6csinN=l，所以6c=[,所以(4她J=7)=g

41,L

根据余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be>be=—,所以一M3A/3，

J3a27

当且仅当b=c时，取得等号，故D正确.

故选：ACD

14.答案：ABC

解析：当平行四边形为4BCD时，标=反，设点。的坐标为(x/).

所以(4,6)-(3,7)=(1,-2)—(x,y),

所以[JE，解得尸为，所以点0(0,-1)；

-2-v=-lb=-i

当平行四边形为ABDC时，同理可得。(2,-3)；当平行四边形为ADBC时，同理可得

。(6,15).综上可知点。可能为(0,-1),(2,-3)或(6,15).故选:ABC.

15.答案：ABD

解析：由向量加法运算律知，A,B,D选项正确；CA+AC=0,

OA-OC+CA=2CA,所以选项C错误.故选ABD.

解析：对于A、B,根据向量的运算法则，及分配律，易知A、B正确；

对于C,当己反向且都与反垂直时满足题设，但故C错误；

对于D,储乃."是与联共线的向量，7(0")是与£共线的向量，故D错误.

故选：CD.

17.答案：AD

解析：在△4BC中，4=30。，a=l,c=6,由余弦定理/=〃+02一2ACOSZ得：

1=Z)2+3-2Z)XV3X—,即36+2=0,解得6=1或6=2,

2

所以b的值可能是1或2.

故选：AD.

18.答案：BCD

解析：对于A:如果MN两点与佛像底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度,

故A不正确.

对于B:

在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为NC8。=a，再面对大佛前行AB=S米，测得佛顶的

仰角为N。。=p，佛像高度为CD,

在△CBD中,C5=------,

tana

十,CD

在△（7/£>中，）=----

tan6

s

所以C4-C8=0■-卫，即5=8-3,佛像高度C°=F厂，故B正确;

tan£tanatan£tana--------------

tanptana

对于c：如下图,

在△48。中由正弦定理求则佛像的高CD=h+/Osin"故C正确;

对于D:如下图，

在佛脚平台上寻找两点48分别测量佛顶的仰角«,0，再测量48两点间距离和两点

相对于大佛底部的张角0,

在直角三角形中用。＞来表示4C,BC,在AABC中由余弦定理就可以计算出

佛像高度CD,故D正确；

故选:BCD.

19.答案：AC

解析：对于A,由正弦定理得，