2025中考数学专项复习：垂径定理【十大题型】含答案

2025中考数学专项复习垂径定理【十大题型】含答

案

专题垂径定理【十大题型】

＞题型梳理1

【题型1垂径定理的概念识别】......................................................................1

【题型2由垂径定理求线段的长度】.................................................................3

【题型3由垂径定理求面积】........................................................................7

【题型4由垂径定理解决平行弦问题】..............................................................10

【题型5由垂径定理求坐标】.......................................................................12

【题型6由垂径定理解决同心圆问题】..............................................................15

【题型7利用垂径定理格点作图】..................................................................18

【题型8利用垂径定理求整点的个数1..............................................................................................21

【题型9利用垂径定理解决动点问题】..............................................................24

【题型10垂径定理的应用】........................................................................27

►举一反三

知识点:垂径定理及其推论

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

【题型1垂径定理的概念识别】

1.（23—24九年级•贵州黔西•阶段练习）如图，在。。中，半径于点E,AE=2,则下列结论正确

的是（）

A.OE=2B.EC=2C.AB垂直平分OCD.OC垂直平分AB

2.（23-24九年级•黑龙江大庆•阶段练习）下列说法中，正确的是（）

A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等

C.圆心角相等,所对的弦相等D.平分弦的直径垂直于弦

3.（23-24九年级•湖北武汉•阶段练习）如图，48为。。的直径，CD为。O的弦，AB,CD于瓦下列说

法错误的是（）

A

A.CE=DEB.AC=ADC.OE=BED./COB=2/BAD

4.（23—24九年级.全国・单元测试）如图，=CD,OB,OC分别交AC,8。于点E,尸，连接EF,

则下列结论中不一定正确的是（）

A.AC=BDB.OE.LAC,OF.LBD

C.△OEF为等腰三角形D.△OEF为等边三角形

【题型2由垂径定理求线段的长度】

5.（23-24九年级•安徽合肥・期末）如图，圆。的半径OD垂直弦A8于点C,连接AO并延长交圆O于点

E,连接8E.若AB=8,8E=6,则CD长为（）

A.2B.2.5C.3D.4

6.（23-24九年级•全国・单元测试）如图，已知。O的直径AB垂直弦CD于点及连接CO并延长交AD于

点尸，且

_____________眇

⑴求证:点E是08的中点;

（2）若AB=12,求CD的长.

7.（23-24九年级•全国•单元测试）如图，在平面直角坐标系cOy中，直线y=^-x+血与。O相交于

O

4B两点，且点人在宓轴上，则弦4B的长为.

8.（2024•新疆乌鲁木齐•模拟预测）如图，在半径为5的圆。中，43,①是互相垂直的两条弦，垂足为P,

且AB=CD=6,则OP的长为（）

A.3B.4C.3V2D.472

【题型3由垂径定理求面积】

9.（23—24九年级•广东肇庆•期末）如图，AB为。。的直径，弦CDLAB于点E,连接AC,BC,BD,F

为47的中点，且OF=1,

（1）求8C的长；

（2）当ABCD=30°时,求△4BC的面积.

10.（23-24九年级•北京・期末）如图，4B是。O的一条弦，点。是48的中点，连接OC并延长交劣弧4B

于点。，连接若48=4,。0=1,求4口。。的面积.

o

11.（23-24九年级・北京海淀•开学考试）如图，LE为半圆的直径，。为圆心，延长到4使

得区4=2,直线/。与半圆交于8,。两点，且4040=45°.

（1）求弦BC的长；

⑵求△AOC的面积.

12.（23-24九年级•湖北黄石•期中）如图，在半径为1的。。中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°,

90°,120°,那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是.

【题型4由垂径定理解决平行弦问题】

13.（23-24九年级•天津和平•期中）如图，4B,GD是半径为15的。。的两条弦，AB=24,CD=18,MN

是直径，AB±MN于点、E,CD±MN于点、F,P为EF上任意一点,^PA+PC的最小值为.

14.（2024.浙江湖州.中考真题）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD〃4B,CD=8.AB=10,则CD与

AB之间的距离是.

cD

15.（23—24九年级.江苏南京•期中）如图，在以AB为直径的圆中，弦CD，AB,河是48上一点，射线

DM,CM分别交圆于点E,F,连接即，求证EFL4B.

16.（23—24九年级•江苏宿迁•阶段练习）若弦AB,CD是。。的两条平行弦，。。的半径为13,AB=10,

CD=24,则AB,CD之间的距离为

【题型5由垂径定理求坐标】

17.（23-24九年级•河南信阳•期末）如图，半径为5的。人经过M,N两点，若已知两点坐标分别为M（0,

—3）,N（O,—9）,则人点坐标为（）

C.(-6,-4)D.(-4,-6)

18.（23-24九年级•上海•阶段练习）在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与力轴交于4、3两点，已知点P

的坐标为（l,y）,点A的坐标为（一1,0）,那么点B的坐标为.

19.（23-24九年级•云南曲靖・期末）如图在平面直角坐标系"中点人在力轴负半轴上，点8在0轴正半

轴，以AB为直径的。O经过点O,连接O。,过点。作DEL49于点E,若N4DO=120°,AB=4,则

圆心点D的坐标是.

20.（23-24九年级•河北邢台・期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知O为坐标原点，点河是反比例函

数,=旦3>0）图象上的一个动点，若以点/为圆心，4为半径的圆与直线夕=比相交,交点为P,Q,当

X

弦PQ的长为4V3时，点双的坐标为（）

A.（1,6）和（6,1）B.（2,3）或（3,2）

C.（四,32）或（3方,四）D.（，^,2心）或（2遍,血）

【题型6由垂径定理解决同心圆问题】

21.（23-24九年级•安徽合肥・期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌

面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水

面AB的宽度是（）cm.

C.4V3D.4V5

22.（23—24九年级•广东广州•期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与

小圆有公共点，则弦的取值范围是（

A.8WABW10B.8C4BW10C.4WABW5D.4cABW5

23.（23-24九年级.浙江台州.期末）如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得

的一组圆弧.已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm,AC=BD=

40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm

___________F

24.（23-24九年级.浙江.期末）某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1,圆弧形混凝土管片是构成圆形

隧道的重要部件.如图2,有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上,底部用两个完全相同的长方体木

块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量,测量结果如下表所示，利用数据

能够估算隧道外径（08）大小的组是（）

小组测量内容

甲的长

乙HG,GN的长

图1图2

A.两组测量数据都不足B.甲组

C.乙组D.两组都可以

【题型7利用垂径定理格点作图】

25.（23-24九年级.浙江台州.期末）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.0O

经过A,B,。三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图.（保留画图痕迹，不写画法）

（2）在图2的劣弧/C上找一点E,使=

26.（23-24九年级•河北石家庄•期中）如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系xOy中，一条圆弧经过

4（0,3）,8（2,3）0（3,2）三点,那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）

C.(0,1)D.(1,0)

27.（23-24九年级•江苏苏州•阶段练习）如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O,

B,。在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点。为原点建立直角坐标系.

⑴过A,B,。三点的圆的圆心河坐标为（,）；

（2）请通过计算判断点。（3,—5）与。河的位置关系.

28.（23-24九年级•浙江温州•期中）如图，在8x6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求作

图：

（1）已知点8在AC上，作AC所在圆的圆心0（保留作图痕迹）；

（2）作格点（顶点均在格点上），使N4DC与/ABC互补.

【题型8利用垂径定理求整点的个数】

29.（2024・四川自贡•模拟预测）已知。O半径为5,P在。。所在平面OP=3,则过点P的弦中，长为整数

的弦有（）条.

A.1B.2C.3D.4

30.（23-24九年级•全国・单元测试）如图,直径为10的。。内有一点P,且OP=3,则经过P点的所有弦中

长度为整数的有条.

31.（23-24九年级•江苏镇江•阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中,以原点。为圆心的圆过点

人（13,0）,直线0=的;—3/：;+4（卜/0）与。0交于8、。两点,则弦6。的长为整数的有条.

32.（2024•河北石家庄•一模）如图，是。。的弦,直径AWLAB于点O,MN=10,AB=8,如图以O为

原点建立坐标系.我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是,上的整数点

【题型9利用垂径定理解决动点问题】

33.（23—24九年级•河南周口•阶段练习）如图，在。Q中，半径为5,GH,CD是两条弦，GH=8,CD=6,

于点E,CDLMN于点尸.点P在MN上运动，则PG+PC的最小值为.

34.（23—24九年级•河南信阳・期中）如图，在。。中，4D为直径，弦8CL4D于点连接OB,已知

=2cm,NOBC=30°，动点E在直径AD上从。向A以lcm/s的速度做匀速运动，运动时间为加，当

NOBE=30°时，力的值为

A

35.（23—24九年级•北京西城•期中）如图，在平面直角坐标系cOy中，以（3,0）为圆心作。P,（DP与2轴交

于与9轴交于点。（0,2）,。为。P上不同于人、8的任意一点，连接QA、QB,过P点分别作尸E

于E,尸尸，于尸.设点Q的横坐标为4,PE2+PF2=y.当Q点在。P上顺时针从点A

运动到点B的过程中，下列图象中能表示"与力的函数关系的部分图象是（）

36.（23—24九年级.江西赣州.期末）如图，AB为半圆的直径，48=10,点。到弦/C的距离为4,点P从B

出发沿8A方向向点4以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP,经过秒后，AAPC为等腰三

角形.

________________________________

【题型10垂径定理的应用】

37.（23-24九年级•浙江台州•期末）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大

小.以锯锯之,深一寸，锯道长一尺，问径几何?”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知:锯口深

为1寸，锯道48=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为（）

A.26寸B.25寸C.13寸D.50.5寸

38.（23-24九年级•陕西商洛•期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高CN为4米.

⑴求桥拱的半径；

（2）若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度DE为12米时,求水面涨高了多少？

39.（23-24九年级•浙江宁波•期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1,筒车盛水桶的运行

轨道是以轴心。为圆心的圆，如图2,已知圆心。在水面上方，且。O被水面截得弦AB长为4米，。O

半径为2.5米.若点C为运行轨道的最低点，则点。到弦所在直线的距离是米.

图1图2

40.（23-24九年级•上海宝山•期中）为传承海派文化,社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动.把某场馆的

一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形ABCD是观众观演区，阴影部

分是舞台，CD是半圆O的直径，弦EF与CD平行.已知班长8米，舞台区域最大深度为2米,如果每

平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳名观众.

专题垂径定理【十大题型】

＞题型梳理

【题型1垂径定理的概念识别】......................................................................1

【题型2由垂径定理求线段的长度】.................................................................3

【题型3由垂径定理求面积】........................................................................7

【题型4由垂径定理解决平行弦问题】..............................................................10

【题型5由垂径定理求坐标】.......................................................................12

【题型6由垂径定理解决同心圆问题】..............................................................15

【题型7利用垂径定理格点作图】..................................................................18

【题型8利用垂径定理求整点的个数1..............................................................................................21

【题型9利用垂径定理解决动点问题】..............................................................24

【题型10垂径定理的应用】........................................................................27

►举一反三

知火点:垂径定理及其推论

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

【题型1垂径定理的概念织别】

1.（23—24九年级.贵州黔西.阶段练习）如图，在。。中，半径0。，入吕于点石，人石=2,则下列结论正确

的是（）

A.OE=2B.EC=2C.AB垂直平分OCD.OC垂直平分AB

【答案】。

【分析】由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可.

【详解】解:连接。4,

条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意；

•/OC_LAB于点E,

OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意；

选项。不符合题意，

故选：。.

【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.（23-24九年级•黑龙江大庆•阶段练习）下列说法中，正确的是（）

A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等

C.圆心角相等,所对的弦相等D.平分弦的直径垂直于弦

【答案】B

【分析】根据弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、因为等弦所对的弧有可能为优弧，也可能是劣弧，故本选项错误，不符合题意；

B、等弧所对的弦相等，故本选项正确，符合题意；

。、在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦相等，故本选项错误，不符合题意；

。、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误，不符合题意；

故选：B

【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

3.（23-24九年级•湖北武汉•阶段练习）如图，入口为。O的直径，CD为。。的弦，，CD于瓦下列说

法错误的是（）

A.CE=DEB.AC=ADC.OE=BED.NCOB=24BAD

【答案】。

【分析】根据垂径定理解题.

【详解】•••CD为OO的弦，AB，CD于E,

：.CE=ED,AC=AD,BC=BD,

：.CD=2BD

_________0

：.ZCOB=2ZBAD

故选项A、B、。正确，

无法判断OE=BE,故选项。错误，

故选：C

【点睛】本题考查垂径定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

4.（23—24九年级.全国.单元测试）如图，=CD,OB,OC分别交AC,BD于点E,尸，连接EF,

则下列结论中不一定正确的是（）

A.AC=BDB.OE±AC,OF±BD

C.跳1为等腰三角形D.△OEF为等边三角形

【答案】。

【分析】根据48=8。=。。，AB+BC=BC+CE）,即可判断出=从而进行判断A.

根据AB=BC=CD,利用垂径定理的推论，进行判断即可B.

根据垂径定理的推论，得到OE=OF,从而可得结论，即可判断C、D.

【详解】•.•AB=BO=GD,

：.AB+BC^BC+CD,

：.AC=BD,

：.40=80,A正确

；AB=BC=CD,

：.OE±AC,OF_LBD,B正确

VAC^BD,OE±AC,OF±BD,

：.OE=OF,

A△OEF为等腰三角形，不一定是等边三角形，

二。正确，。错误.

故选：D.

【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定、等边三角形的判定.

【题型2由垂径定理求线段的长度】

5.（23—24九年级•安徽合肥・期末）如图，圆。的半径OD垂直弦于点C,连接AO并延长交圆O于点

E,连接BE.若AB=8,8E=6,则CD长为（）

£

A.2B.2.5C.3D.4

【答案】A

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，三角形中位线性质，设©O的半径为r,^-Rt/\AOC中，利用勾

股定理求出r,再利用三角形的中位线定理即可解决问题.

【详解】解:设。O的半径为T,

•：OD±AB,AB=8,

AC=BC=4,

•.­AE为直径，

：.BE_LAB,

•：。是AE的中点，

OC=^-BE=3,

在Rt^AOC中，

.-.OA2=OC2+AC2,

.5=32+42,

：.r=5,

：.OD=5,

：.CD=OD-OC=5-3=2.

故选：A.

6.（23-24九年级•全国•单元测试）如图，已知。。的直径AB垂直弦CD于点E,连接CO并延长交AD于

点尸，且。尸，AD

⑴求证:点E是的中点；

（2）若48=12,求CD的长.

【答案】（1）证明见解析；

（2）6V3.

【分析】（1）根据垂径定理得出CE=DE,证明△ACE空△ADE（SAS）,得出AC=AD,同理：CA=CD,证明

△ACD是等边三角形，得出NOCE=30°,根据直角三角形性质得出OE=-j-OC,即可证明结论；

⑵根据AB=12,得出00=6,求出OE=1~OC=3,根据勾股定理求出CE=y/OC2-OE2=V62-32=

3冲，即可求出结果.

【详解】⑴解:证明：如图，连接AC.

•.•AB_LCD于点E,

:.CE=DE,

(CE=DE

在/\ACE和△ADE中,{4AEC=AAEC,

[AE^AE

：./XACE空AADE(SAS)

：.AC=AD,

同理：CA=CD,

.•.△ACD是等边三角形，

/.ZD=60°,

：.ZOCE=30°,

：.OE^^-OC,

；OB=OC,

：.OE=：OB.

：.OE=BE,

.•.E是OB的中点.

⑵解：•••AB=12,.

/.OC=6,

.•.OE=]OC=3,

在Rt/\OCE中,

CE=VOC2-O£；2=V62-32=3V3,

/.CD=2CE=6^3.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度角

直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，证明△ACD是等边三角形.

7.（23-24九年级・全国・单元测试）如图，在平面直角坐标系水为中，直线夕=坐c+四与。O相交于

O

48两点，且点A在①轴上,则弦48的长为.

【答案】3遍

【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，垂径定理，勾股定理，过点。作OOLB,设直线夕=卑;r+

O

同与夕轴交于点。，求出A。两点坐标，勾股定理求出4。的长，等积法求出OD的长，再利用勾股定理求出

AD的长，进而求出4B的长即可.

【详解】解:设直线y=率2+四与沙轴交于点C,过点。作，4B,则AB=2AD,

O

,•*y—~^~x+心，

O

当力=0时，g=A/3，当g=0时，/=—3,

・・・4(-3,0),C(0,炳,

:.OA—3,0(7=V3,

・•.AC=2V3,

•：OD_LABf

SAAOC^^OA-OC^^AC-OD,

：.3V3=2V3OD,

：.OD=^~,

：.AD=VOA2-OL>2=,

：.AB=2AD=3V3.

故答案为：3〃S.

8.（2024•新疆乌鲁木齐•模拟预测）如图，在半径为5的圆O中，48,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,

且AB=CD=6,则QP的长为（）

A.3B.4C.3V2D.4V2

【答案】。

【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理,作出辅助线是解题的关键.作于河，ON，CD

于N,连接OB,OD,首先利用勾股定理求出OM■的长，然后判定四边形MONP是正方形即可得到答案.

【详解】解:作OA1_L于河，ON_LCD于N,连接OB,OD,

由垂径定理得AM^BM=DN=CN=3

勾股定理得：OM=ON=y/BCP-BM2=A/52-32=4,

♦.•弦AB、CD互相垂直，

NDPB=90°,

•/OM±AB于M,ON±GD于N,

/.4OMP=2ONP=90°

四边形MONP是矩形，

•；OM=ON,

：.四边形MONP是正方形，

.•.OP=4V2

故选：D.

【题型3由垂径定理求面积】

9.（23—24九年级•广东肇庆•期末）如图，AB为。O的直径，弦CD，4B于点E,连接AC,BC,BD,F

为AC的中点，且QF=1,

（1）求8C的长;

⑵当ZBCD=30°时,求△ABC的面积.

【答案】⑴2

（2）273

【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点.熟记定理内容是解题关键.

（1）由题意可得OF〃8C且据此即可求解；

⑵由“垂径定理”可得BELCD,CD=2DE,BCBD,BD^BC,连接OC,在Rt/XABC求出线段AC的长

度即可求解.

【详解】(1)解：,•・AB为。。的直径，

乙4cB=90°,

•/F为AC的中点，。为AB的中点，

：.OFHBC,OF=：BC,

•：OF^1,

：.BC=2OF=2-,

(2)VCD±AB,

：.BC=BD,

：.BC=BD=2,

•・•弦CD_LAB于点、E,

：.BE_LCD,CD=2DE,

・・・/.D=ADCB=30°,B£>=BC=2,

：.BE=1,DE=^BD2-BE2=V3,

CD=2V3.

连接OC,

4CAB=ND=30°,OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=30°,

乙4OC=120°.

在Rt/\ABC中，

=90°,BC=2,ZCAB=30°,

A。==2遍，

AS△曲=yX2V3X2=2V3.

10.（23—24九年级•北京・期末）如图，AB是。。的一条弦，点。是的中点，连接OC并延长交劣弧

于点。，连接。8,。氏若AB=4,CD=1,求△80。的面积.

o

【答案】SARCD=2.5

【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理.

先根据垂径定理得到BC==2,再根据勾股定理求出圆的半径，4BOD的面积即可求解.

【详解】解:设。。的半径是r,

♦.•点。是的中点，OC过圆心O,

/.OC±AB,

•.•AB=4,GD=1,

.•.BC=：AB=2,OC=OD-CD=T—1,

•.•在直角ABOC中，OB?=。02+Be?,

“="1）2+22,

解得r=

S^BOD=-^-ODBC-xx2=

11.（23-24九年级・北京海淀•开学考试）如图，/比为半圆的直径，O为圆心，。右=6嚣，延长DE到A,使

得区4=方,直线47与半圆交于8,。两点，且/D1C=45°.

（1）求弦的长；

⑵求△AOC的面积.

【答案】⑴22

（2）8+272

【分析】⑴过点。作OMI.BC于河，根据垂径定理得BM=CM,由ZDAC=45°得到OM=AMOA=

y/OM2+AM2=四OM,再根据勾股定理可计算出CM=y/OC2~OM2=血，进而可求BC;

（2）由⑴可知：CM=^2,<W=AM=4,则AC=AA/+CM=4+，^,然后根据三角形面积公式求解.

【详解】（1）解：过点O作OM±于"，如图，则BM=CM,

c

DOEA

'：直径DE=6A/2,EA=V2,

/.OC=OD=OE=3A/2,OA=OE+AE=4V2,

ADAC^45°,则AAOM^45°

OM=AM,则OA=^/OM2+AM2=^OM,

：.OM=4,

在Rt^COM中，OC=32,

ACM=y/OC2-OM2=V2,

：.BC=2CM=2。

⑵由⑴可知：CM^V2,(W=4A1=4,

AO=AM+CM=4+V2,

S&AOC=^~OM'AC—9x4X(4+V^)—8+2y/2.

【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理、等腰

直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键.

12.（23-24九年级.湖北黄石•期中）如图，在半径为1的。。中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°,

90°,120°,那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是

【答案】存

【分析】如图，连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,作（W_LEF于则OA=OB=OC=OD=OE=OF=

1,ZAOB=60°,ZCOD=9Q°,ZSG>F=120°,△AOB是等边三角形，△COD是等腰直角三角形，48=1,

CD=2,EF=v^,由F+（蓼y=3=（代）2,可知该三角形是以为直角边的直角三角形，然后求面积

即可.

【详解】解:如图，连接。4,OB,OC,OD,OE,OF,作OM_LEF于M,

：.OA=OB=OC=OD=OE=OF=1,

：.AAOB=60°,ZCOD=90°,NEOF=120°,

△AOB是等边三角形，△COD是等腰直角三角形,

AB=OA=1,CD=VOC2+OL>2=V2,

4EOF=120°,OE=OF,

：.4OFE=30°,FM=^-EF,

.•.OM=]OF=),

由勾股定理得FM=y/OF2-OM2=乎,

/.EF=V3,

.•.三条弦组成的三角形的三条边的长为1,V3,V2,

12+(V2)2=3=(V3)2,

该三角形是以1,四为直角边的直角三角形，

.•.面积为—=*

故答案为：乌.

【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形，勾

股定理，勾股定理逆定理等知识.正确求解线段长度是解题的关键.

【题型4由垂径定理解决平行弦问题】

13.(23—24九年级.天津和平.期中)如图，AB,CD是半径为15的。。的两条弦，48=24,CD=18,MN

是直径，AB±MN于点E,CD±于点F,P为EF上任意一点，则弘+PC的最小值为.

【答案】212

【分析】由于43两点关于对称，因而24+「。=「3+「。，即当及C、P在一条直线上时，_R4+PC的

值最小，即BC的值就是。4+0。的最小值.

【详解】解:连接BC,OB,OC,作CH垂直于AB于

•.•AB=24,CD=18,MN^^^,AB_LMN亍,EE,CD_LMN亍,&F,

：.BE=^-AB=12,CF=^-CD=9,

：.OE=y/OB2-BE2=9,OF=y/OC2-CF2=12,

：.CH=OE+OF=9+12=21,

BH=BE+EH=BE+CF=12+9=21,

在Rt/^CH中，根据勾股定理得：BC=y/BH^+CH2=21V2,

即P4+PC的最小值为21V2.

故答案为：21点.

【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键.

14.(2024•浙江湖州•中考真题)如图，已知43是半圆O的直径，弦CD"AB,CD=8.AB=10,则CD与

AB之间的距离是

______________即

【分析】过点。作OH，CD于H,连接OC,先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt/XOCH中，利用勾股定理

即可求解.

【详解】解:过点。作OH_LCD于H,

连接OC,如图，则CH=DH=#D=4,

在Rt/XOCH中，OH=V52-42=3,

所以CD与AB之间的距离是3.

故答案为3.

【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键.

15.（23—24九年级•江苏南京•期中）如图，在以为直径的圆中，弦CDLAB,河是AB上一点，射线

DM,CMr分别交圆于点E,F,连接即，求证AB.

【答案】证明见解析.

【分析】利用垂径定理和线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质证得再根据圆周角定理和

平行线的判定证明EF//CD,即可得结论.

【详解】证明：「AB是直径，CDLAB,

.•.AB垂直平分CD,

：.MC=MD,

:"C=4D,

；NC=NE,

：.NE=ND,

：.CD//EF,

•：CD±AB,

：.EF±AB.

【点睛】本题考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质，熟

练掌握垂径定理和圆周角定理是解答的关键.

16.（23—24九年级.江苏宿迁.阶段练习）若弦AB,CD是。。的两条平行弦，。。的半径为13,AB=10,

CD=24,则AB,CD之间的距离为

【答案】7或17

【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线.

首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两

条弦的距离，最后根据图形即可推出AB、OC间的距离.

【详解】解：连接04OC,过点O作OM±AB于点"，

•：ABIICD,

：.直线OM±CD,设垂足为N点，

VOM±CD,OM±AB,AB=10,CD=24,

4M=BM=5,CN=DN=12,

：04=00=13,

在Rt^AOM中，OM=y/AO2-AM2=V132-52=12,

在Rt/\CON中，ON=YCCP—CN?=V132-122=5,

①如下图：当AB,CD在圆心的两侧，则它们之间的距离为AW,

/.MN=OM+ON—12+5=17(cm)

②如下图，如果AB、CD在圆心的同侧，则它们之间的距离为MN,

B

\D

N

0

：.MN=OM-ON=12-5=7.

综上所述，AB,CD之间的距离为7或17.

故答案为：7或17.

【题型5由垂径定理求坐标】

17.(23-24九年级・河南信阳・期末)如图，半径为5的。人经过M,N两点，若已知两点坐标分别为M(O,

—3),N(O,—9),则人点坐标为()

A.(—5,—6)B.(-4,-5)C.(—6,—4)D.(-4,-6)

【答案】。

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理;连接AM■，过A作AB_L9轴交于B,由垂径定理得BM=之MN,由

勾股定理得AB=^AM2-BM'2,即可求解；掌握定理，构建是解题的关键.

【详解】解:如图，连接AM,过力作AB_L夕轴交于B,

；.AM=5,BM=^MN,

A/(0,—3),N(0,—9),

:.MN=6,OM=3,

:.BM=3,

AB=AM1-BM1=V52-32=4,

力(—4,—6);

故选：D.

18.(23-24九年级•上海•阶段练习)在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与力轴交于4、8两点，已知点P

的坐标为(1,7/),点A的坐标为(-1,0)，那么点B的坐标为.

【答案】(3,0)

【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理；

如图，过点P作PC_Lc轴于。，则C(l,0),求出AC,根据垂径定理可得BC的长，然后可得点B的坐标.

【详解】解:如图，过点P作PC_L.轴于。，则。(1,0),

.•.OB=l+2=3,

故答案为：(3,0).

19.(23—24九年级.云南曲靖.期末)如图在平面直角坐标系①Oy中点人在力轴负半轴上，点口在“轴正半

轴，以AB为直径的。。经过点O,连接O。,过点。作。E，49于点E,若AADO=120°,=4,则

圆心点。的坐标是

【分析】本题考查了中位线的性质，坐标与图形性质，垂径定理.先利用圆半径相等得到ABAO=30°,即可求

出OB和04,再利用垂径定理得到DE是中位线，即可得到。点坐标.

【详解】：以AB为直径的0。经过点O,

：.OA^OB^OD,

•：/ADO=120°,

ZBAO=30°,

,/AB—4,

：.OB=^-AB=21,OA=y/AB2-OB2=273,

•：DE±AO,

：.AE=OE=yOA=V3,

:.DE是AABO中位线，

：.DE=^-OB=1,

.-.£>(-73,1),

故答案为：(一》/3,1).

20.（23-24九年级•河北邢台・期末）如图,在平面直角坐标系tOy中，已知。为坐标原点，点“是反比例函

数夕=旦（/>0）图象上的一个动点，若以点河为圆心，4为半径的圆与直线“=宓相交,交点为P,Q,当

X

弦PQ的长为4V3时，点双的坐标为（）

A.(1,6)和(6,1)B.(2,3)或(3,2)

C.(2,3®或(3D.（"以四）或（2四,啰）

【答案】。

【分析】当点“在直线夕=①上方时，连接,作MH_LPQ,则PE和P2W,求得Affi；,作MF_L工轴交弦PQ

于点。，设FO=a■，利用等腰直角三角形得CF和,进一步得,即可知点Al（a,a+22），代入反比例函

数求得a即可；根据对称性可得点”在直线9=,下方时的坐标.

【详解】解：当点“在直线y=/上方时，连接PM,作MH_LPQ,如图,

则PE=^PQ=2V3,PM=4,

在RtAPEM中，ME=VPM2-FE2=^42-(2V3)2=2,

^MF±x轴交弦PQ于点。，设FO=a，则CF=a,而OC=V2a,

,:MFHy轴,

：./MCE=45°,

：.MC=2V2,

贝”点M(a,a+2M^),

=a+2^2,解得a=V2,或a-—3V2(舍去),

a

___________F

则河（2,3四），

当点“在直线9=2下方时，由对称性可知M（3V2,V2）,

故选：C.

【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，以

及勾股定理,作出辅助线并利用对称性是解题的关键.

【题型6由垂径定理解决同心圆问题】

21.（23-24九年级•安徽合肥・期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌

面上，水杯的底面如图所