2025年高考数学一轮复习：幂函数与二次函数（八大题型）（讲义）（原卷版）

第03讲幕函数与二次函数

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：幕函数...............................................................................4

知识点2:二次函数.............................................................................5

解题方法总结...................................................................................6

题型一：幕函数的定义及其图像..................................................................9

题型二：幕函数性质的综合应用.................................................................10

题型三：由幕函数的单调性比较大小.............................................................11

题型四：二次函数的解析式.....................................................................12

题型五：二次函数的图象、单调性与最值.........................................................13

题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题...................................................13

题型七：二次方程实根的分布及条件.............................................................14

题型八：二次函数最大值的最小值问题...........................................................15

04真题练习•命题洞见...........................................................16

05课本典例高考素材............................................................16

06易错分析答题模板............................................................17

易错点：解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论............................................17

答题模板：含参二次函数在区间上的最值问题.....................................................18

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

从近五年全国卷的考查情况来看，本节

(1)幕函数的定义、图像与性质2020年天津卷第3题，5分内容很少单独命题，幕函数要求相对较

(2)二次函数的图象与性质2020年江苏卷第7题，5分低，常与指数函数、对数函数综合，比较

幕值的大小，多以选择题、填空题出现.

复习目标：

(1)通过具体实例，了解幕函数及其图象的变化规律.

(2)掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).

匐2

〃二知识导图•思维引航\\

考点突确.题理辉宝

知识固本

知识点1:幕函数

1、哥函数的定义

一般地，y=/(aeR)(a为有理数)的函数，即以底数为自变量，塞为因变量，指数为常数的函数称

为幕函数.

2、幕函数的特征：同时满足一下三个条件才是塞函数

①/的系数为1;②无。的底数是自变量；③指数为常数.

(3)基函数的图象和性质

3、常见的哥函数图像及性质：

1_

函数y=xy=x2y=彳3

y

V(1/Vk

图象1

十0x

Jof7T

定义域RRR{x|x>0}{x|xwO}

值域R{yly>0)R{yly>0)3"。}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在(-00,0)上单调递在(—0,0)和

在R上单在R上单调递在［0,+00)上单调

单调性减，在(0,+00)上单(0,+co)上单调递

调递增增递增

调递增减

公共点(1.1)

【诊断自测】若幕函数y"(x)的图象经过点倒,匈，则”16)=()

A.72B.2C.4D.；

知识点2：二次函数

1、二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：/(x)=ax2+bx+c(a0)；

(2)顶点式：/(%)=〃(%-加产+〃(〃。0)；其中，(丸〃)为抛物线顶点坐标，x=加为对称轴方程.

(3)零点式：/(x)=a(x-xx)(x-x2)(a0),其中，玉,马是抛物线与工轴交点的横坐标.

2、二次函数的图像

h

二次函数/(冗)=62+桁+以〃。0)的图像是一条抛物线，对称轴方程为％=—_L,顶点坐标为

2a

2

b4QC-Z?

(一丁，--；---)•

2a4a

(1)单调性与最值

①当。＞0时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(ro,-2］上递减，在［-2,小)上递增，当

2a2a

②当。＜0时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(-8,-2］上递增，在［__L,+oo)上递减，当

2a2a

（2）与x轴相交的弦长

2

当A=廿一4">0时，二次函数f（x）=ax+bx+c（aw0）的图像与％轴有两个交点必（石,0）和M2（x2,0）,

=

|A/]A/2||玉一入21=J（X[+%2）2-4菁%2=.

——\a\

3、二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.

对二次函数/（冗）=办2+b尤+c（〃。0）,当Q>0时，/（幻在区间[p,0上的最大值是M,最小值是加，

令毛二p±q

2

b

(1)若---<p,贝Um==/(q)；

2〃

bb

(2)p<--<x,贝！|加=/(一丁),M=/(4)；

2a02a

bh

(3)^x<-—<q,贝1|加=/(-丁),河=/'(。)；

02a2a

(4)若--->q,则m=/(q),M=/(p).

2a

【诊断自测】下列四个图象中，有一个图象是函数=-/+（4-4卜+8（分0）的导数的图象，则

〃-2）的值为（）

解题方法总结

1、幕函数y=/（aeR）在第一象限内图象的画法如下:

①当4<0时，其图象可类似y=x-画出；

②当0<0<1时，其图象可类似、，一1画出；

③当。>1时，其图象可类似>=/画出.

2、实系数一元二次方程af+bx+c=O（awO）的实根符号与系数之间的关系

A=/一4ac>0

b_

(1)方程有两个不等正根项,马。,X[+入2=-->°

a

c_

玉/=—>0

a

\=廿—4ac>0

b

（2）方程有两个不等负根石,％2O（玉+%2=--<0

a

c

玉入2=一>°

a

（3）方程有一正根和一负根，设两根为％1，%2=巧%2=£<0

a

3、一元二次方程+fcr+c=0（Q。0）的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑:

b..

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴x=-2与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.

2〃

设％J9为实系数方程ox?+"+。=0（〃〉0）的两根，则一元二次or?+"+。=0（〃〉0）的根的分布与其

限定条件如表所示.

根的分布图像限定条件

y

A>0

b

m<x<x〈--->m

x22a

J(m)>0

X

D

玉<m<x2于（哨<0

A>0

b

•-----<m

2a

x<x<m

x2Jf(m)>0

y

A<0

—1―i——A

1mnx

八y

A=0

/

x}-x2<m

或玉=x2>m

I0m«X

A>0

b

在区间(m,ri)内\*-----<m

2a

没有实根/(m)>0

y

A>0

b

\J«----->n

2a

/W>0

4mn\X

f(ni)<0

/(«)<o

V(m)>0

/(«)<o

o\帆5，X

在区间（m,n）内

有且只有一个实根二y

/(«)>o

I丁rA>0

b

在区间（m,n）内m<-----<n

«2a

有两个不等实根\JA>0

[/(«)>o

4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.

（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题一动轴定区

间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对

对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③

轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.

（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数

值正负.

题型洞察

题型一：幕函数的定义及其图像

【典例1-1]（2024•山东日照•二模）已知基函数图象过点（2,4）,则函数的解析式为（）

x2

A.y=2B,y-xC.y=log2xD.y=sinx

【典例1-2】已知累函数y=（P，qeZ且。应互质）的图象关于y轴对称，如图所示，贝U（）

B.q为偶数，p为奇数，且/＜。

C.q为奇数，p为偶数，且/＞。

D.q为奇数，p为偶数，且/＜。

【方法技巧】

确定暴函数y=x"的定义域，当a为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式

非负.当。W0时，底数是非零的.

【变式1-1】已知函数八了）=（加一1）廿M为哥函数，则/（。2一24+/（2°-/）=（）

A.0B.-1C.a2D.a6-a4

【变式1-2］（多选题）（2024•新疆喀什•一模）若函数y=（疝-〃Ll）d是暴函数，则实数机的值可能是

（）

A.m=—2B.m=2C.m=-lD.m=l

【变式1-3］给出褰函数：①"x）=x；②/（x）=Y；③〃耳=三；④〃x）=«；⑤=J其中满

足条件土产）＞/（%）；/（%）（%＞%＞0）的函数的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

题型二：幕函数性质的综合应用

【典例2-1】已知幕函数〃力=（27〃-1方"的图象经过点（2,8）,下面给出的四个结论：①〃力=/；②

为奇函数；③在R上单调递增；④其中所有正确命题的序号为（）

A.①④B.②③C.②④D.①②③

【典例2-2］已知募函数”x）=（/_3）x#+心在（0,+动上单调递减，函数〃（X）=3*+»7,对任意占e［l,3］,

总存在马W1,2］使得八周）=〃伍），则加的取值范围为.

【方法技巧】

紧扣事函数y=x0■的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意a为奇数

时，为奇函数，a为偶数时，/为偶函数.

【变式2-1】已知ae12,-1,-3，；,1,2,3}.若幕函数/食）=产为奇函数，且在（。,+9）上递减，则。=—,

【变式2-2】已知函数〃X）=（X—2）3+3A2—32-+2xln3-41n3+l,则满足/（尤）+/（8-3力＞2的％的取值

范围是—.

【变式2-3】已知暴函数“尤）=/"*（其中，meZ）为偶函数，且〃x）在（0,+8）上单调递减，则加

的值为—.

【变式2-4】已知函数〃尤）=£,则关于f的表达式的解集为.

【变式2-5］满足（相+1，＜（3_2加）一的实数机的取值范围是（）.

A.

C.

题型三：由幕函数的单调性比较大小

【典例3-1】（2024•天津红桥•二模）若。=（|）：^=log,|,0=3士贝I。，儿。的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

232

【典例3-2】设a=U，b=（|『，c=O,则a，4。大小关系是.

【方法技巧】

在比较暴值的大小时，必须结合累值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

【变式3-1］（2024•河北衡水•三模）已知log“；＜l,M＜1,对＜i，则实数0的取值范围为（）

【变式3-2】已知”砂，&=7ie,c=（立尸，则这三个数的大小关系为.（用“〈”连接）

【变式3・3】已知基函数/(力的图象过点,尸(公必),。&，%)(。＜玉＜%)是函数图象上的任意不同

(24J

两点，则下列结论中正确的是()

A.VGA%"%)B.X1/(x2)＜x2/(x1)

/(一)/(九2)D〃再)＜/(，2)

々石玉X?

【变式3-4](2024•高三•河北邢台•期中)已知函数/(元)=(/-"Li)/"""是基函数，且在(0,+动上

单调递减，若a,beR,且。＜。＜可《＜例，则f(«)+F(6)的值()

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于。D.无法判断

题型四：二次函数的解析式

【典例4-1](2024•高三•海南海口•开学考试)已知二次函数的图象经过点(4,3),在x轴上截得

的线段长为2,并且对任意xeR,都有f(2-x)=〃2+x),则.

【典例4-2】写出同时满足下列条件①②③的一个函数/(x)=_.

①是二次函数；②4(x+D是奇函数；③」也在(。，+8)上是减函数.

X

【方法技巧】

求二次函数解析式的三个技巧

(1)已知三个点的坐标，选择一般式.

(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，选择顶点式.

(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，选择零点式.

【变式4-1】已知函数〃同="2+笈+。(。片0)的图象关于y轴对称，且与直线y=x相切，写出满足上

述条件的一个函数/(%)=—.

【变式4-2]已知二次函数犬尤)满足/(2)=-1,X-l)=-h且/U)的最大值是8,二次函数的解析式

是一

【变式4-3】已知函数/(x)=nix2+(2-w)x+〃(机＞0),当-iWxWl时，都有＜1恒成立，则.

【变式4-4】已知是二次函数，7(-2)=0,且2xW/(x)4不『，则"10)=.

题型五：二次函数的图象、单调性与最值

【典例5-1】已知/（x）=l-（x-a）（x-b）,并且相、”是方程/（x）=。的两根，则实数°、b、m、w的大小关

系可能是（）

A.m<a<b<nB.a<m<n<b

C.a<m<b<nD.m<a<n<b

【典例5-2】（2024•高三•江苏苏州•期中）满足力｝==的实数对加，w构成

的点（根,〃）共有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【方法技巧】

解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.

【变式5-1］（2024•全国•模拟预测）若函数/（无）=,一（〃7-2）*+1|在-g,；上单调，则实数机的取值

范围为（）

【变式5-2］（2024•高三•山东济宁•期中）函数〃x）=j2元2一%一3的单调递增区间为（）

A.卜双：B.（-co,-l）C.|,+®^D.；，+00j

【变式5-3］（2024•广东珠海•模拟预测）已知函数/■（尤）=*+尔-2*+1在区间［2,+（»）上是增函数，则

实数加的取值范围是—.

【变式5-4］若函数〃元）=k2：+4：»>。在区间._］,3一24）上有最大值，则实数°的取值范围是____.

2x,x<0

题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题

【典例6-1】已知函数/'（x）=）2一2ax（a>0）.

⑴当“=3时，解关于尤的不等式-5</（x）<7；

⑵函数y=/（无）在［。+2］上的最大值为0,最小值是Y,求实数。和f的值.

【典例6-2】已知函数y=d+2办+1在一1WXW2上的最大值为4,求。的值.

【方法技巧】

“动轴定区间”、”定轴动区间”型二次函数最值的方法：

(1)根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；

(2)根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的

函数值进行分析；

(3)将分类讨论的结果得到最终答案.

【变式6-1】已知函数〃尤)=/+依，其中。是实数.

⑴在区间上的最大值记为河⑷，求“⑷的表达式；

(2)f(x)在区间［-1,2］上的最小值记为Ma),求m(a)的表达式；

⑶若"(a)—机(。)=3,求实数。的值.

题型七：二次方程实根的分布及条件

【典例7-1］若关于x的一元二次方程*2+(3°-1卜+。+8=0有两个不相等的实根不丹，且王则

实数。的取值范围为.

【典例7-2】方程7加-(租T)x+l=O在区间(0,1)内有两个不同的根，则根的取值范围为一

【方法技巧】

结合二次函数/(x)=ar2+6x+c的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，

从而解不等式求参数的范围.

【变式7-1］(2024・四川雅安•模拟预测)已知关于x的方程/+桁+。=0(么06尺)在上有实数根,

且满足0W3b+cW3,则Z?的取值范围是.

【变式7-2］关于x的方程尤2+(加一3)》+机=0满足下列条件，求加的取值范围.

(1)有两个正根；

(2)一个根大于］,一个根小于1；

(3)一个根在(-2,0)内，另一个根在(0,4)内；

(4)一个根小于2,一个根大于4;

(5)两个根都在。2)内.

题型八：二次函数最大值的最小值问题

【典例8-1】已知函数/>0)=卜2+办+闿在区间［0,4］上的最大值为〃，当实数°,6变化时，M最小值

为.

【典例8-2】已知函数〃同=|«-办-若对任意的与目0,4］,使得求实数Af的

取值范围是.

【方法技巧】

解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制.

【变式8-1】二次函数“力为偶函数,/(1)=1,且"x)W3d+2x恒成立.

⑴求的解析式；

(2)aeR,记函数〃(力=|〃切-2依+1|在［0』上的最大值为T(a),求T(a)的最小值.

【变式8-2］已知函数/(x)=。-2)|x+a|(aeR),

"7"

(1)当。=-1时，①求函数/(x)单调递增区间；②求函数A》)在区间-4,1的值域;

(2)当尤e［-3,3］时，记函数/(x)的最大值为g(a),求g(a)的最小值.

【变式8-3]（2024•高三•江苏南通•开学考试）记函数-词在区间[0』上的最大值为g（a）,

则g（a）的最小值为（）

A.3-20B.72-1C.1

D.1

1.（2023年新课标全国I卷数学真题）设函数/（x）=2"（"）在区间（0,1）上单调递减，则。的取值范围是

A.(-<»,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+oo)

2.（2023年天津高考数学真题）设