2025年高考数学一轮复习：同构函数-专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-同构函数-专项训练

一、基本技能练

1.设a,则“a>b”是与间>加加”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.若2x-2y<3~x-3~y,则()

A.ln(_y—x+1)>0B.ln(y—x+1)<0

C.ln|x—j|>0D.ln|x—y|<0

3.已知b>a>0,且满足alnb=01nme为自然对数的底数，贝U()

A.ae<ed<ez?B.eb<aQ<ea

C.eb<ea<aeD.etz<4ze<e/?

4•已知xo是方程2x%2%+ln%=0的实根，则关于实数次的判断正确的是()

A.xo^ln2B.xo<-e

C.2xo+lnxo=OD.2exo+lnxo=O

5.已知对任意的Q"QR都有加一。一初恒成立，则实数2的值为()

A.eB.1

C.OD.—e

6.已知a,+°°),且满足3—*>lnp则a,b,的大小关系是.

l-T-UC4-

7.若关于x的不等式3)x+21nx+1对任意x>0恒成立，则k的取值范

围是.

8.若对于任意实数1>0,不等式2祀2%—111x+ln恒成立，则a的取值范围是

9.已知函数式%)=©%—〃111%(其中〃为参数)，若对任意九£(0,+°°),不等式

a恒成立，则正实数a的取值范围是.

10.已知八元)=oe%-i—lnx+lnQ,若求〃的取值范围.

11.已知函数火%)=%一1口无,

(1)求函数八工)的单调性；

⑵当证明："Inx+'e+i；

eJC

(3)若不等式x+alnx+白》;^对xG(l,+8)恒成立，求实数。的最小值.

二,创新拓展练

12.已知函数人%)=普1，则不等式而0>e，的解集为()

A.(0,1)B.R1)

C.(l,e)D.(l,+8)

Inv

x

13.已知函数八%)=一二，g(x)=x-e.~,若存在xiG(0,+°°),X2©R,使得7(XI)=

g(X2)=网上<0)成立，则(蓝)甘的最大值为()

A.e2B.e

14.已知a>l,若对任意的工£+°°L不等式4x—InIna恒成立,

则a的最小值为.

15.已知函数J(x)—26zln(x+1)—x—1,g(x)=^x—2ax.

⑴讨论火工)的单调性；

(2)若对任意的无£[0,+8),加)+飘%)20恒成立，求实数。的取值范围.

参考答案与解析

一、基本技能练

1.答案C

x2,xNO,

解析设函数j(x)=x\x\,j(x)=x\x\=<

x2,x<0,

可得Hx)为增函数，

所以a>b=Ka)>fiJb),

gpa>b<^a\a\>b\b\,所以是充要条件.

2.答案A

解析设函数兀0=2*—3飞

因为函数y=2&与丁=-3一在R上均单调递增，

所以五x)在R上单调递增，

原已知条件等价于2工一3二<2>一3一丫，

即xx)<Hy)，

所以》〈y，即y—x>0,所以A正确，B不正确.

因为lx—yl与1的大小不能确定，所以C,D不正确.

3.答案A

解析因为y=e*在R上单调递增，b>a>0,所以“>e。，BC错;

构造函数<x)=&3(X>O),

I11—Inx

贝1f(%)=^2=0,%=e,

当X£(O,e)时，f(x)>09於)单调递增,

当年e,+8)时，於)单调递减,

因为alnZ?=61n〃，4^=3^，即又b>a>0,

所以OVaVe,b>e,Inb>0,alnb=blna>0,所以IVaVeVb,

所以elna<alne,Inae<ln即

ab

所以cf<e<e9A正确.故选A.

4.答案C

解析由ZfeZx+lnxM。得

2xe2x=—"lnx=-ln-=lnIn

xxxxx

构造函数/(x)=xex,其中x>0,

则/(%)=(%+l)e”>0,

所以，函数/U)在区间(0,+8)上单调递增，

根据题意，若X0是方程2%2©2%+111%=0的实根,

11

则-ln

2x0^=Inxoe和~,

即五2xo)={ln5),

所以2%o=ln'=—lnxo,

xo

因此2xo+lnxo=O.

5.答案B

解析(b—a)/。2加一》一加

n(0-a)eba一加—

=3—a)e"一。一2(。一a)+(一加—")一2(—0)N0,

构造fix)=xex—Ax,

问题转化为人0—a)+H—0)、0,

由于a,6为任意实数，

=Me'一2)NO,

①当x=0时，显然成立，

②当x<0时，恒成立，2三1,

③当x>0时，7Wex恒成立，可得7W1,

综上可得7=1,故选B.

6.答案a>y[ab>b

解析浦一拉Inb—Ina,

*+lna>-p+lnb,

令g(x)=A+lnx,X>A/2,

O1y2一2

g，(x)=—「一>0,g(x)在(6，+8)上单调递增.

,.,g(a)>g(b),a>b,

又y[cr^a>\[cr/b>\[b\[b,

a>\[ab>b.

7.答案(一8,0]

解析原不等式可变形为e"*+3工一(3尤+21nx)三日+1,e21n-t+3a,—(3x+21nx)—

iNkx,利用e'Nx+l,可得AxWO,又x>0,故ZWO.

8.答案快，+8)

解析法一将2Qe2%—lnx+ln变形为2ae2%，ln

1Y

则2e212-ln-，

aa

两边同时乘以入得2xe2x^^ln夕

即2xe2x^~ln~=elnAn三.(*)

aaaa'/

设虱。=汨(介0),

则g")=(l+/)e、0,

所以g⑺在(0,+8)上单调递增，

故由(*)得2x>ln亲

则Ina^lnx—2x

令h(x)—Inx~2x,X>0,

则h'(x)=^—2,

易知当xd(o,0时，//(x)单调递增，

当xdg，+8)时，力(%)单调递减，

故A(x)max=九Q)=-In2-1,

所以Ina^—\n2—1,

即。七，故。的取值范围为=+8).

法二将2Qe2%—lnx+ln变形为eln(2fl)+2jv—lnx+lna^O,

即ein(2a)+2x+in(2a)Nln(2尤),

ln(2j:)

贝Ijein(2«)+2x+2x+ln(2a)22x+ln(2x)=e+ln(2x).

设g(t)=e'+t,

易知g⑺单调递增，故2x+ln(2a)》ln(2x),以下同法一•

9.答案(0,e)

解析由«x)>alna,

e%

得/—Ina>\nx9

即封一in”—也a>lnx9

两边同时加x得

exlnfl+x—In^>elnx+lnx.

令g«)=e，+l,

则g(x—Ina)>g(lnx)9

因为g⑺为单调增函数，

所以x—Ina>inx9

即Ina<x-lnx9

令h(x)=x—lnx,

则砥x)=[-

所以/z(x)在(0,1)上单调递减，

在(1,十8)上单调递增，

所以/l(X)nun=/l(l)=l,

所以In。<1,解得0<a<e.

10.解同构构造/z(x)=xex,

/z,(x)=(x+l)e¥,当x>—l时，/z'(x)>0恒成立，

贻)在(一1,+8)上单调递增.

aex-i—lnx+lnael=aeLieln且今_犹后当1~=ln^eln即喏

•\x21n-=l+lnx—Ina,

a

令g(x)=1+ln%—x(x>0),

当%>1时,g'(x)<0,当0<x<l时，g'(x)>0,

故g(x)=l+lnx—x在(0,1)上单调递增，

在(1,+8)上单调递减，

所以g(x)Wg(l)=0,

则如a20,解得aeO

11.⑴解f(x)=x-\nx,

11—]

/(x)=l--=--(x>0),

令/(x)=0,解得x=l,

则当0<%<1时，/(%)<0；

当尤>1时,f(x)>0,

所以人乃在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

e^+lnx+l

(2)证明要证:--------------Ne+l,

即证：eA+lnexNex+x=ex-xNex-Inex=>e%-Ine%^ex-Inex,

又,.,e£Nex>l,

由(1)可得：加C)在(1,+8)上单调递增，

故人力利6%),故原不等式成立.

(3)解x+aln尤+/三犬=卜+龙三%=>e-x—Ine二三炉一alnx

^e-JC—IneInxf

w*),

又因为0<e-x<l,

人x)在(0,1)上单调递减,

V

Inx

令g(x)=一自(X>1)，

1—Inx

g'(x)=(Inx)2'

令g'(x)=0,得尤=e.

当l<x<e时,g'(x)>0,g(x)单调递增,

当x>e时，g'(尤)<0,g(x)单调递减，

所以g(x)的最大值为g(e)=—彘=—e,

所以一e,所以a的最小值为一e.

二,创新拓展练

12.答案B

「丫2QY「XP]+Inxz^x

解析言—总—>3，

1+lnx1+lnxx1+lnxx

构造g(x)=£j>3，

(x—1)e*

则g'(x)=福，g'(x)=O，

解得X=l,

所以g(x)在(0,1)单调递减，(1,+8)单调递增,

又火)x>e%=g(1+Inx)>g(x),

当x>l时，lnx+l>l,

于是得l+lnx>x,

即1+lnx—x>0,

令/z(x)=l+lnx—x,

当％>1时，/zr(x)=-—1<0,

函数万(%)在(1,+8)上单调递减，

Vx>l,/z(x)</z(l)=0,

因此，l+lnx>x无解.

当与%<1时，0<lnx+l<l,

e

于是得l+lnx<x,

即1+lnx—x<0,此时〃(%)=1一1>0,

函数力。)在g,1)上单调递增，

1),g)<%(1)=0,

不等式l+lnx<x的解集为g,1),

所以不等式五x)>e*的解集为g,1；

13.答案C

解析函数Xx)的定义域为(0,+°°),

1—Inx

/(X)；一^2—，

所以当x©(0,e)时,f(x)>0,Xx)单调递增,

当x©(e,+8)时，了(%)<0,於)单调递减,

又火1)=0,所以x@(0,1)时，兀0<0；

当x@(l,+8)时，»>0,

同时gQ)=》=??=Aex),

若存在X1G(O,+0°),X2@R,

使得火xi)=g(&)=k(k<0)成立，

则0<xi<lJL/xi)=g(x2)=/ex2),

所以xi=ex2,即%2=lnxi,

,Inxi"Inxi,

又左==r，所以二==T=%，

Ji1^V1

故图一=「故人<0)，

令^(x)=x2eJC(x<0),

则夕，(x)=x(尤+2)e*.

令(p'(x)<0,解得一2<x<0；

令03>0,

解得x<-2,

所以夕(x)在(一2,0)上单调递减；

在(一8,—2)上单调递增.

4

所以9(X)max=°(—2)=二，

(、2

即4M的最大值为土

\A1/C

3

14.答案-

解析4x—ln(3x)aex—Ina=>x+3x—ln(3x)a^x—In〃n3%—ln(3x)Woe%—1nme%),

构造Ax)=%一Inx,

所以火3%)(/(酒)，

则/(x)=l-：=—,

故於)在[1,+8)上单调递增,

因为/(3x)^/(<7-ex),所以3%Woe%.

因为a>l,x©1,十8),

所以3x,aexe[l,+°°),

3x

故恒成立，

令g(x)4，

3—3x

只需〃，g(%)max,由g'(%)=~-9

3

故%=1时，g(x)的最大值是1

33

故〃2匕故。的最小值为，.

CC

15.解(1求x)的定义域为(-1,+8).

因为/(x)=2Qln(x+1)—x—1,

2a—1—x

所以小尸