2023-2014年北京十年中考数学《几何综合》含答案解析

2023~2014北京十年中考数学分类汇编一一几何综合

1.（2023•北京）在中，NB=NC=oc（0°<a<45°）,于点。是线

段上的动点（不与点M,C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2a得到线段。£.

（1）如图1,当点E在线段/C上口寸，求证：。是MC的中点；

（2）如图2,若在线段3M■上存在点尸（不与点8,M重合）满足。尸=DC,连接NE,

EF,直接写出N/EP的大小，并证明.

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2.(2022•北京)在△48C中，ZACB=90°,。为△/8C内一点，连接3D,DC,延长

。。至U点£,使得CE=DC.

(1)如图1,延长2C到点F，使得CF=3C,连接/凡EF.若4F_LE尸，求证：BDL

AF；

(2)连接NE,交8。的延长线于点〃，连接S,依题意补全图2.AB2=AE2+BD2,

用等式表示线段CD与S的数量关系，并证明.

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3.（2021•北京）如图，在△N8C中，AB=AC,ZBAC=a,M为3c的中点，点。在MC

上，以点/为中心，将线段4。顺时针旋转a得到线段连接8£,DE.

（1）比较NA4E与/的大小；用等式表示线段BE,BM,必）之间的数量关系，并

证明；

（2）过点"作N2的垂线，交DE于点、N,用等式表示线段NE与ND的数量关系，并

证明.

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4.（2020•北京）在△/8C中，ZC=90°,AOBC,。是N3的中点.£为直线NC上一

动点，连接过点。作交直线8C于点尸，连接ER

（1）如图1,当E是线段NC的中点时，设/E=a,BF=b,求E尸的长（用含a,6的

式子表示）；

（2）当点E在线段G4的延长线上时，依题意补全图2,用等式表示线段EF,BF

之间的数量关系，并证明.

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5.(2019•北京)已知//O3=30°,X为射线。/上一定点，O8=V^+1，尸为射线。2

上一点，M为线段上一动点，连接尸河，满足/。血。为钝角，以点尸为中心，将线

段顺时针旋转150°,得到线段尸N,连接ON.

(1)依题意补全图1；

(2)求证：NOMP=NOPN；

(3)点M关于点〃的对称点为。，连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的点M

总有ON=QP,并证明.

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6.（2018•北京）如图，在正方形N8CD中，£是边上的一动点（不与点/、3重合），

连接。E,点/关于直线DB的对称点为尸，连接班'并延长交8C于点G,连接。G,过

点E作EHLDE交DG的延长线于点H,连接BH.

（1）求证：GF=GC；

（2）用等式表示线段2〃与/E的数量关系，并证明.

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7.（2017•北京）在等腰直角△NBC中，ZACB=9Q°,尸是线段3c上一动点（与点8、C

不重合），连接/P,延长至点0,使得CQ=CP,过点。作尸于点〃，交AB

于点M.

（1）若/为。=（1,求/4WQ的大小（用含a的式子表示）.

（2）用等式表示线段M3与尸。之间的数量关系，并证明.

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8.（2016*北京）在等边△43C中,

图1图2

（1）如图1,P,。是3c边上的两点，AP=AQ,NBAP=2Q°,求的度数；

（2）点尸，。是3c边上的两个动点（不与点3,C重合），点尸在点。的左侧，且NP

=/。，点。关于直线/C的对称点为连接NM,PM.

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点尸，。运动的过程中，始终有为=尸”，小茹把

这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明我=尸"，只需证△/回是等边三角形；

想法2：在切上取一点N,使得BN=BP,要证明我=PM,只需证△/NP之△PCM；

想法3：将线段8尸绕点8顺时针旋转60。，得到线段3K,要证只需证必=

CK,PM=CK…

请你参考上面的想法，帮助小茹证明（一种方法即可）.

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9.（2015•北京）在正方形48CD中，8。是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、

。不重合），连接4P,平移△4DP,使点。移动到点C,得至IJZ\2C。，过点0作。

于H,连接NX,PH.

（1）若点P在线段C£＞上，如图I.

①依题意补全图1;

②判断N"与尸〃的数量关系与位置关系并加以证明；

（2）若点尸在线段CD的延长线上，且//〃2=152°,正方形/BCD的边长为1,请

写出求。尸长的思路.（可以不写出计算结果）

图1备用图

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10.(2014•北京)在正方形/8C。外侧作直线/P,点3关于直线/尸的对称点为E,连接

BE,DE,其中DE交直线/产于点?

(2)若/必8=20°,求NND9的度数；

(3)如图2,若45°<ZPAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,

并证明.

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2023~2014北京十年中考数学分类汇编一一几何综合

参考答案与试题解析

I.在△/8C中，Z5=ZC=a(0°<a<45°),于点。是线段上的动

图1图2

(1)如图1,当点£在线段NC上时，求证：。是MC的中点；

(2)如图2,若在线段冲■上存在点尸(不与点2,M重合)满足。尸=。。，连接4E,

EF,直接写出的大小，并证明.

【分析】(1)由旋转的性质得。河=。£,ZMDE=2a,利用三角形外角的性质求出/DEC

=a=ZC,可得DE=DC,等量代换得到DC即可；

(2)延长FE到〃使尸£=切，连接CH,AH,可得DE是△/C77的中位线，然后求出

ZB=ZACH,设DM=DE=m,CD=n,求出BF=2m=CH,证明9g/C"(£4S),

得到AF=AH,再根据等腰三角形三线合一证明AE±FH即可.

【解答】(1)证明：由旋转的性质得：DM=DE,ZMDE=2a,

VZC=a,

AZDEC=ZMDE-ZC=a,

：.ZC=/DEC,

；・DE=DC,

：.DM=DC,即。是MC的中点；

(2)ZAEF=90°,

■:DF=DC,

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：.DE是MCH的中位线,

：.DE//CH,CH=2DE,

由旋转的性质得：DM=DE,/MDE=2a,

：.ZFCH=2a,

ZB=ZC—a,

：.ZACH=a,△/BC是等腰三角形，

AZBZACH,AB=AC

设DM=DE=m,CD=n,贝!ICH=2%,CM=m+n,

.DF=CD=n,

.,.FM=DF-DM=n-m,

'：AM±BC,

BM=CM=m+n,

.".BF=BM-FM—m+n--m)—2m,

：.CH=BF,

在△48万和△/CH中，

'AB=AC

<ZB=ZACH>

,BF=CH

:.AABF咨AACHQSAS),

：.AF=AH,

\"FE=EH,

C.AELFH,即//斯=90°,

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角

形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三

角形是解题的关键.

2.在△/2C中，N/C2=90°,。为△48C内一点，连接3。，DC,延长。C到点E,使

得CE=DC.

(1)如图1,延长2c到点R使得CF=3C,连接/尸，EF.若”工EF,求证：BDL

AF-,

(2)连接4B,交8。的延长线于点〃，连接C",依题意补全图2.AB2=AE2+BD2,

用等式表示线段⑦与的数量关系，并证明.

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图1

【分析】（1）证明△3CO之（SAS）,由全等三角形的性质得出

证出3。〃£尸，则可得出结论；

（2）由题意画出图形，延长8C到尸，CF=BC,连接/凡EF,由（1）可知

EF,BD=EF,证出//斯=90°,得出/DAE=90°,由直角三角形的性质可得出结论.

【解答】（1）证明：在△3CD和△尸CE中，

'BC=CF

'NBCD=NFCE'

,CD=CE

:.△BCD"AFCE（.SAS）,

：.ZDBC=ZEFC,

C.BD//EF,

'JAFLEF,

：.BD±AF；

（2）解：由题意补全图形如下:

图2

CD=CH.

证明：延长8C到尸，使C尸=8C,连接/凡EF,

'：AC±BF,BC=CF,

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：.AB=AF,

由(1)可知5D〃£F,BD=EF,

,：AB2=AE2+BD1,

:.AF2=AE2+EF2,

：.ZAEF=90°,

J.AELEF,

C.BDLAE,

：.ZDHE=90°,

又,：CD=CE,

：.CH=CD=CE.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，

勾股定理的逆定理，证明△BCOgAFCE是解题的关键.

3.如图，在△/BC中，AB=AC,ZBAC=a,M为的中点，点。在MC上，以点/为

中心，将线段/D顺时针旋转a得到线段NE,连接BE,DE.

(1)比较NA4E与/。。的大小；用等式表示线段BE,BM,也。之间的数量关系，并

证明；

(2)过点M作的垂线，交DE于点、N,用等式表示线段NE与ND的数量关系，并

证明.

【分析】(1)由可得然后S/S证△/BE之△/CD即可;

(2)作EH_LAB交BC于H,可证ABEF24BHF得BE=BH,再证再借助

MN//HF,由平行线分线段成比例即可证出.

【解答】解：(1)VZDAE=ZBAC=a,

：.ZDAE-/B4D=ZBAC-/BAD,

即/氏

在△4BE和△/CD中,

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，AB=AC

'NBAE=NCAD，

.AE=AD

:.AABE义AACD(S/S),

：.BE=CD,

为BC的中点，

：.BM=CM,

：.BE+MD=BM；

(2)如图，作EH_LAB交BC于■H,交4B于F,

由(1)ZX4BE会A4CD得:/ABE=/ACD,

"：ZACD=ZABC,

：./ABE=/ABD,

在△BE尸和中，

，ZEBF=ZHBF

1BF=BF，

LZBFE=ZBFH

.♦.△BEFq4BHF(ASA

：.BE=BH,

由(1)知：BE+MD=BM,

,:MN〃HF,

•EN=MH；

"DN"MD'

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的对

称性等知识，作EHLAB构造出全等三角形是解题的关键.

4.在△ABC中，NC=90°。是48的中点.£为直线/C上一动点，连接过

点。作。尸，交直线3C于点尸，连接ER

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（1）如图1,当E是线段/C的中点时，设NE=a,BF=b,求即的长（用含a,6的

式子表示）；

（2）当点E在线段C4的延长线上时，依题意补全图2,用等式表示线段NE,EF,BF

之间的数量关系，并证明.

图1图2

【分析】（1）由三角形的中位线定理得。£〃8C,D£=1BC，进而证明四边形CEO厂是

矩形得£>E=CF,得出CR再根据勾股定理得结果；

（2）过点B作BM//AC,与ED的延长线交于点M,连接MF,证明△/。£g八8。”得

AE=BM,DE=DM,由垂直平分线的判定定理得£尸=旅，进而根据勾股定理得结论.

【解答】解：（1）•••。是N3的中点，£是线段/C的中点，

C.DE//BC,DE=1.BC,

2

VZACB=9Q°,

:./DEC=90°,

'：DF±DE,

:./EDF=90°,

二四边形CED尸是矩形，

；.DE=CF=1£C,

2

：.CF=BF=b,

'：CE=AE=a,

EF=7CF24CE2=7a2+b2；

（2）AE2+BF2=EF2.

证明：过点8作与ED的延长线交于点连接〃尸,

则/CBM=/ACB=90°,

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:。点是48的中点,

：.AD=BD,

在△/£>£和中，

，ZAED=ZBMD

<NADE=/BD『

.AD=BD

:AADE出ABDMCAAS),

：.AE=BM,DE=DM,

'：DF±DE,

：.EF=MF,

,;BW+BF2=MF2,

:.AE2+BF2=EF2.

M

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂

直平分线的判定，关键在于构造全等三角形.

5.已知//。8=30°,//为射线04上一定点，P为射线上一点，M为

线段08上一动点，连接PM,满足/(W尸为钝角，以点尸为中心，将线段顺时针

旋转150°,得到线段尸N,连接ON.

(1)依题意补全图1；

(2)求证：ZOMP=ZOPN；

(3)点M关于点X的对称点为0,连接0p写出一个OP的值，使得对于任意的点M

总有ON=。尸，并证明.

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BB

图1备用图

【分析】（1）根据题意画出图形.

（2）由旋转可得NMPN=150°,故/OPN=150°-ZOPM；由//。8=30°和三角形

内角和180°可得N（WP=180°-30°-ZOPM^150°-AOPM,得证.

（3）根据题意画出图形，以ON=QP为已知条件反推OP的长度.由（2）的结论

=/OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM=PN,已具备边■角相等，过点N作

NC_LO8于点C,过点尸作尸于点。，即可构造出△PnWgZXNCP,进而得尸。

=NC,DM=CP.此时加上ON=QP,则易证得△OCN0△QDP,所以。C=。。.利用

ZAOB=30°,设PD=NC=a,则OP=2。，OD=6a.再设。M=CP=x,所以QD

=OC=OP+PC=2a+x,MQ=DM+QD=2a+2x.由于点M、。关于点女对称，即点X为

中点，故MH=IjAQ=a+x,DH=MH-DM=a,所以OH=OD+DH=«a+a=«+1,

2

求得。=1,故OP=2.证明过程则把推理过程反过来，以。尸=2为条件，利用构造全等

证得ON=QP.

【解答】解：（1）如图1所示为所求.

(2)设/。PA/=a,

:线段绕点P顺时针旋转150°得到线段PN

:.NMPN=150°,PM=PN

：./OPN=ZMPN-/OPM=150°-a

ZAOB=3Q°

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AZOMP=180°-AAOB-ZOPM=180°-30°-a=150°-a

：.ZOMP=ZOPN

(3)。尸=2时，总有ON=Q尸，证明如下：

过点N作NCL05于点C,过点尸作PDLO4于点。，如图2

，ZNCP=Z.PDM=ZPDQ=90°

VZAOB=30°,OP=2

：.PD=1JOP^1

2

OD=VOP2-PD2=V3

•：OH=6+1

：.DH=OH-OD=\

'：ZOMP=ZOPN

.•.180°-ZOMP^180°-ZOPN

即/尸〃D=/NPC

在APDM与工NCP中

，ZPDM=ZNCP

<ZPMD=ZNPC

TM=NP

:APDMW&NCP(AAS)

:.PD=NC,DM=CP

设DM=CP=x,贝!]。。=。尸+PC=2+x,MH=MD+DH=x+]

:点M关于点H的对称点为Q

:・HQ=MH=x+\

：.DQ=DH+HQ=1+x+l=2+x

：.OC=DQ

在AOCN与丛QDP中

r0C=QD

<Z0CN=ZQDP=90°

tNC=PD

：./\OCN^/\QDP(SAS)

：.ON=QP

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图2

【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180。，勾股定理，全等

三角形的判定和性质，中心对称的性质.第（3）题的解题思路是以ON=QP为条件反推

OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP=2为条件构造全

等证明ON=QP.

6.如图，在正方形/BCD中，E是边43上的一动点（不与点/、2重合），连接DE,点/

关于直线DE的对称点为尸，连接M并延长交于点G,连接DG,过点£作

交。G的延长线于点X,连接3H.

（1）求证：GF=GC；

（2）用等式表示线段28与/E的数量关系，并证明.

【分析】（1）如图1,连接DR根据对称得：4ADE咨LFDE,再由HL证明RtZ\DbG

^RtADCG,可得结论；

（2）证法一：如图2,作辅助线，构建4W=/£,先证明NEDG=45°,得DE=EH,

证明1之△E28,则根据等腰直角得：EM=®AE,得结论；

证法二：如图3,作辅助线，构建全等三角形，证明△ZUEg△EW,得AE=HN,AD

=EN,再说明是等腰直角三角形，可得结论.

【解答】证明：（1）如图1,连接DF

:四边形48CD是正方形，

：.DA=DC,ZA=ZC=90°,

:点A关于直线DE的对称点为F,

：.4ADE与AFDE,

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：.DA=DF=DC,ZDFE=ZA=9Q°,

：./DFG=90°,

在Rt△。尸G和RtADCG中,

...[DF=DC,

,1DG=DG'

/.RtADFG^RtADCG(HL),

：.GF=GC；

(2)BH=\[2AE,理由是：

证法一：如图2,在线段40上截取使

'：AD=AB,

：.DM=BE,

由(1)知：Z1=Z2,Z3=Z4,

：/4DC=90°,

/.Zl+Z2+Z3+Z4=90°,

.,.2/2+2/3=90°,

/.Z2+Z3=45",

即/助G=45°,

■:EHIDE,

：.NDEH=90°,△DMr是等腰直角三角形，

/.ZAED+ZBEH=ZAED+Z1=90°,DE=EH,

在△£)〃£1和中，

，DM=BE

Z1=ZBEH-

,DE=EH

:.△DME"AEBH(SAS),

：.EM=BH,

RtZ\/EN中，N/=90°,AM=AE,

：.EM=42AE,

:.BH=MAE；

证法二：如图3,过点〃作HNL48于N,

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AZENH=90°，

由方法一可知：DE=EH,Z1=ZNEH,

在和△EW中，

，ZA=ZENH

Z1=ZNEH>

,DE=EH

:.ADAE咨LENH(AAS),

：.AE=HN,AD=EN,

•：AD=AB,

：.AB=EN=AE+BE=BE+BN,

：.AE=BN=HN,

是等腰直角三角形，

/.BH=近HN=MAE.

图1

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，

等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相

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等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键.

7.在等腰直角△/BC中，/ACB=90°,尸是线段8c上一动点（与点8、。不重合），连

接4P,延长8c至点°,使得CQ=CP,过点0作。于点77,交48于点

（1）若/B4C=a,求N4WQ的大小（用含a的式子表示）.

（2）用等式表示线段儿以与尸。之间的数量关系，并证明.

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出乙B/C=NB=45°,ZPAB=45°-a,由

直角三角形的性质即可得出结论；

（2）连接/。，作由44S证明得出尸C=ME,4MEB是等

腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论.

【解答】解：（1）ZAMQ=45°+a；理由如下：

•1,/R4C=（x,AACB是等腰直角三角形，

/.ZBAC=ZB=45a,ZPAB=45°-a,

'JQHLAP,

：.ZAHM=90°,

...//MQ=180°-ZAHM-ZPAB=450+a；

（2）PQ=MMB；理由如下：

连接N。，作九花，。瓦如图所示：

,：AC±QP,CQ=CP,

：.ZQAC=ZR4C=a,

：.ZQAM^45°+a^ZAMQ,

:.AP=AQ=QM,

在△4PC和△QWE中，

第13页（共20页）

，ZMQE=ZPAC

'ZACP=ZQEM，

.AP=QM

:.丛APC经XQME（44S）,

：.PC=ME,

•：4MEB是等腰直角三角形，

:.LPQ=^2-.MB,

22

:.PQ=®MB.

方法二：也可以延长NC到。，使得CD=CQ.

则易证尸出△。氏W.

即PQ=®MB.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定

理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

8.在等边△48C中,

图1

(1)如图1,P,。是3c边上的两点，AP=AQ,ZBAP^20°,求N/Q3的度数;

(2)点尸，。是3c边上的两个动点（不与点3,C重合），点尸在点。的左侧，且/尸

=4Q,点。关于直线/C的对称点为跖连接/跖PM.

①依题意将图2补全;

第14页（共20页）

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P,。运动的过程中，始终有我=尸”，小茹把

这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1:要证明我=尸"，只需证△/而是等边三角形；

想法2：在氏4上取一点N,使得BN=BP,要证明我=尸河，只需证

想法3：将线段AP绕点8顺时针旋转60°,得到线段3K,要证a=尸"，只需证以=

CK,PM=CK—

请你参考上面的想法，帮助小茹证明出=尸河（一种方法即可）.

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到/，尸。=//。尸，由邻补角的定义得到//尸3

=/NQC,根据三角形外角的性质即可得到结论；

（2）如图2根据等腰三角形的性质得到//尸。=//。?，由邻补角的定义得到/AP8=

ZAQC,由点。关于直线ZC的对称点为M,得到/。=/河，/OAC=NMAC,等量代

换得到/M4c=/8/尸，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结

论.

【解答】解：⑴'：AP=AQ,

：.ZAPQ^ZAQP,

：.ZAPB=ZAQC,

:A4BC是等边三角形，

/.Z5=ZC=60°,

；.NB4P=/CAQ=20°,

/.ZAQB=ZAPQ=ZBAP+ZB=S0°；

（2）如图2,'：AP=AQ,

，NAPQ=Z.AQP,

N4PB=NAQC,

:AABC是等边三角形，

，/2=/。=60°,

：.ZBAP=ZCAQ,（将线段8P绕点3顺时针旋转60°,得到线段8K,要证弘=9,

只需证F4=CK,PM=CK…

请你参考上面的想法，帮助小茹证明处=尸」位）

,/点Q关于直线AC的对称点为M,

：.AQ=AM,ZQAC=ZMAC,

第15页（共20页）

・・・/MAC=ABAP,

：.ZBAP+ZPAC=ZMAC+ZCAP=60°,

ZPAM=60°,

U：AP=AQ,

；・AP=AM,

4ApM是等边三角形，

：,AP=PM.证明△ZB尸也△4CM也

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性

质，轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键.

9.在正方形/8CQ中，是一条对角线，点。在射线上（与点。、。不重合），连接

AP,平移尸，使点。移动到点C,得至IJz\5C。，过点。作。于H,连接4”,

PH,

（1）若点尸在线段CD上，如图1.

①依题意补全图1;

②判断与的数量关系与位置关系并加以证明；

（2）若点尸在线段的延长线上，且N/〃0=152°,正方形的边长为1,请

【分析】（1）①根据题意画出图形即可；

②连接先根据正方形的性质得出△08。是等腰直角三角形，再由"S定理得出a

HDP^^HQC,故PH=CH,ZHPC=ZHCP,由正方形的性质即可得出结论；

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(2)根据四边形/BCD是正方形，可知△08。是等腰直角三角形，再由平移

的性质得出尸。=。。.作印?_LPC于点心由//"。=152°,可得出/4HB及/D4H

的度数，设。尸=x,则DR=HR=RQ,由锐角三角函数的定义即可得出结论.

【解答】解：(1)①如图1;

②解法一：如图1,连接CH,

:四边形48CD是正方形，QH工BD,

：.ZHDQ=45°,

，△。时是等腰直角三角形.

•：DP=CQ,

在AHDP与AHQC中.

'DH=QH

,•,<ZHDP=ZHQC>

,DP=QC

:AHDPW&HQC(SAS),

:.PH=CH,/HPC=/HCP.

'：BD是正方形ABCD的对称轴，

:.AH=CH,ZDAH=ZHCP,

:/HPC+NDPH=18O°,

；.NDAH+/DPH=180°,

：.ZADP+ZAHP=1SO°,

.•./4HP=180°-ZADP^9Q°,

：.AH=PH,AHLPH.

解法二