2024年辽宁省中考数学模拟试卷（附答案解析）

2024年辽宁省中考数学模拟试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.（3分）去年12月的某天，沈阳、大连、丹东、哈尔滨这四个城市的最低气温分别是-12℃,3℃,0℃,

-18℃,其中气温最低的城市是（）

A.大连B.丹东C.沈阳D.哈尔滨

2.（3分）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图为（）

3.（3分）大连市2024年清明小长假期间，来星海湾广场的游客高达809000人次，809000用科学记数法

表示为（）

A.809X1034B.8.09X106C.8.09X105D.0.809X106

4.（3分）今年五一前，某校举办春季趣味运动会，老师要求同学们为运动会设计班徽，班徽要按照轴对

称的形式设计，下列是同学们设计好的班徽，最符合老师要求的是（）

5.（3分）下列计算正确的是（）

第1页（共32页）

A.a5Xa3=ai5B.a6-i-a3=a2

C.(-a2b3)4=〃8沙2D.(Q+6)2=a2+b2

6.(3分)若x=2是方程/-5%+冽=o的一个解，则冽的值为()

A.2B.3C.5D.6

7.（3分）为参加体育中考测试，某校体育室里备有篮球和足球若干（具体数量如下表），如果小明和小红

随机拿走一个球（每一个球被拿走的可能性是一样的），那么他们同时拿走的球都是篮球的概率是（）

31

C--

5D.5

8.（3分）电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿

元.若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x,根据题意可列方程为（）

A.3.5/=6.8B.3.5（1+x）=6.8

C.3.5（1+x）2=6.8D.3.5（1-x）2=6.8

9.（3分）如图，在△ABC中，ADLBC,BELAC,若BD=3CD,SABCE：S^CD=9：4,贝!）/E：CE1的

值是（）

10.（3分）如图，正方形的边长为2,点、E,尸分别是DC,C3的中点，点P从点2处出发，沿着

8f/一£-。的路径匀速运动，设点P经过的路径长为x,的面积为丫，则下列图象能大致反映Y

与x的函数关系的是（）

第2页（共32页）

A.01J2+172+2工

1也+1&+2*

C.1J2+1；2+2

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

II.（3分）分解因式：8a2-2=.

12.（3分）不等式5x+l>3x-1的解集是.

13.（3分）如图，在菱形488中，/C与3。相交于点。，CE_L4B于点E,点F,G分别是BC,。£的

FG

中点，连接尸G,则菽的值是

DL）

14.（3分）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线工=1,且过点（1,0）,顶点位于第二象限，其部分图

象如图所示，给出以下判断；①06>0且c<0；②4a-2b+c>0；③8a+c>0；④直线y=2x+2与抛

第3页（共32页）

物线y=a/+bx+c两个交点的横坐标分别为XI，%2，则％1+X2+X1X2=-5.其中结论正确的是

15.（3分）如图，在中，AB=BC=2,ZB=90°,点。是5c的中点，E为4c边上一点,将

线段。£绕点£逆时针旋转90°,得到线段跖，连接CF,若CF=*,则CE的长

是.

三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

16.（10分）⑴计算：|一蜴+（-1）-1-712^V3+（TT-2024）°；

17.（8分）某团队准备给成员网购若干帽子和手套，网店的组合报价为购买1顶帽子和2双手套共需210

元；购买2顶帽子和3双手套共需340元.

（1）求每顶帽子和每双手套的价格各是多少元？

（2）经沟通后团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，由于需要帽子的成员不足30人，请

你规划一下有哪几种购买方案？

18.（8分）辽宁省教育厅印发《辽宁“六地”红色文化资源融入思政课教学的实施方案》，阐释辽宁“六

地”内涵和育人功能，充分发挥辽宁红色文化资源重要作用，讲好辽宁红色故事，传承红色基因，为此

某校特地举办了一场比赛，将从中选拔出最优秀的小记者们来拍摄一组以“辽宁红色文化”为主题的短

视频，现有20名学生报名参加比赛，参加的学生需完成采访、写作、摄影三项测试.

第4页（共32页）

信息一：每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、

摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩.

信息二：小华、小明的三项测试成绩和总评成绩如下表:

选手测试成绩/分总评成绩/分

采访写作摄影

小华83728078

小明8684

（每组含最小值，不含最大值）如

（I）在摄影测试中，七位评委给小明打出的分数如下：66,72,69,69,75,69,70,这组数据的中

位数是,众数是,平均数是；

（2）请你计算小明的总评成绩；

（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者，试分析小华和小明能否入选，并说明理由.

19.（8分）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果

的进价、售价如表所示：

进价（元/千克）售价（元/千克）

甲种58

乙种913

（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？

（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果

店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？

20.（8分）如图1是辽宁锦州梁士英烈士雕像的平面示意图，从平地到雕像底端有一条等高和等宽的台阶,

第5页（共32页）

每个台阶高15c%,宽30cm,小明用高为150c加的测角仪，在点。处测得点/的仰角为39.53°,在点

尸处测得点/的仰角为45°.(参考数据：sin39.53°仁0.63,cos39.53°«0.77,tan39.53°«0.82,V2«1.4,

V3«1.7)

(1)求雕像的高度约是多少米？(结果精确到0」小)

(2)如图2,若在距点5水平距离为2.4根的S处安装一个仰角为30。的射灯，让射灯光线的上沿恰好

经过/点，射灯下沿的光线与交于点7,求3T的长.(结果精确到0.1相)

21.(8分)如图1,是。。的直径；BCL4B,连接NC交。。于点。，

(1)①尺规作图：作出的中点£(保留作图痕迹，不写作法)；

②连接求证：是。。的切线；

(2)如图2,。尸_L/C交。。于点凡连接AF交/C于点G,若AB=4*，FG：BG=1：3,求3C

的长.

(1)在数学活动课上，老师在黑板上写出了如下问题：如图1,在平行四边形中，点£是/£>

的中点，尸是上任意一点，连接CR将四边形A8C尸沿CF翻折得到四边形G8CR连接GE,

AD=42CD.现让同学根据已知背景补充条件，再对线段GE与7TO的数量关系进行思考探究.

【问题思考】

①“兴趣小组”给出的补充条件为：Z5=45°,最终得出兽=乎.

DHL

下面是“兴趣小组”给出的部分证明过程：

第6页(共32页)

证明：连接NC,CG,CE,过点/作NN_L3C于点N,如图2,

：/2=45°,

RtLABN是等腰直角三角形，

：.BN=AN=：AB,

请补全“兴趣小组”的证明过程；

②“智慧小组”根据补充的条件tanB=孚给出的解题思路如下：如图3,连接/C,过点。作CM,

4D于点通过探究△ECDSZ\C4。和△GCES^HCD,从而得出线段GE与HD的数量关系，请根

据“智慧小组”的解题思路写出完整的解答过程；

【问题拓展】

(2)如图4,若AB=AC=2,ACVAB,。是平面内一点，以N3,8。为边构造平行四边形/8DE■，点

F是/E的中点，将四边形/AD尸沿。尸翻折得到四边形GEffi甲，连接HC,HB,求的最小

G_____

A

23.(13分)在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形N3CD对角线的两个端点相交，则定义该函数

为矩形/BCD的“友好函数”.

(1)如图，矩形/BCD,轴，经过点/(-1,1))和点C(3,3)的一次函数yi=fcv+b是矩形

的“友好函数”，求一次函数勿=履+6的解析式；

(2)已知第一象限内矩形N3CD的两条边的长分别为2和4,且它的两条边分别平行x轴和y轴，经

过点D和点B的反比例函数1是矩形ABCD的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标；

(3)若=a/+bx+c(aK0)是矩形48c3的"友好函数”且经过/,。两点，点8的坐标为(1,

-3),点。的坐标为(-3,5),AB//y^.

①若了3=af+6x+c(aWO)的图象与矩形/BCD有且只有两个交点，求a的取值范围；

a-13a—1

②点PCxp,yp)是y3=q/+bx+c(aWO)图象上一点，且吃一<x<——,当a>0时，y的最大

CvpCvp

值和最小值的差是3,求a的值.

第7页(共32页)

第8页（共32页）

2024年辽宁省中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

L（3分）去年12月的某天，沈阳、大连、丹东、哈尔滨这四个城市的最低气温分别是-12℃,3℃,0℃,

-18℃,其中气温最低的城市是（）

A.大连B.丹东C.沈阳D.哈尔滨

【解答】解：：-18V-12<0<3,

其中气温最低的城市是哈尔滨，

故选：D.

2.（3分）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图为（）

【解答】解：从左面看，是一列两个相邻的正方形.

故选：A.

3.（3分）大连市2024年清明小长假期间，来星海湾广场的游客高达809000人次，809000用科学记数法

表示为（）

A.809X103B.8.09X106C.8.09X105D.0.809X106

【解答】解：809000=8.09X105,

故选：C.

4.（3分）今年五一前，某校举办春季趣味运动会，老师要求同学们为运动会设计班徽，班徽要按照轴对

称的形式设计，下列是同学们设计好的班徽，最符合老师要求的是（）

第9页（共32页）

【解答】解：4,C,。选项中的班徽都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，所以不是轴对称图形；

5选项中的班徽能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对

称图形；

故选：B.

5.（3分）下列计算正确的是（）

A./XQ3=Q15B.Q6+Q3=Q2

C.（-a2b3）4=asbnD.（a+6）2=a2+b2

【解答】解：a5Xa3=a\则4不符合题意；

Q6+Q3=〃3,则B不符合题意；

（-丽）4=//2,则。符合题意；

（a+b）2=a1+2ab+b1,则。不符合题意；

故选：C.

6.（3分）若x=2是方程f-5x+加=0的一个解，则用的值为（）

A.2B.3C.5D.6

【解答】解：是方程--5x+加=0的一个解，

.,.4-10+加=0,

・•m~~6.

故选：D.

7.（3分）为参加体育中考测试，某校体育室里备有篮球和足球若干（具体数量如下表），如果小明和小红

随机拿走一个球（每一个球被拿走的可能性是一样的），那么他们同时拿走的球都是篮球的概率是（）

第10页（共32页）

球类篮球足球

数量3个2个

31

13c--

AB.—5D.5

1010

【解答】解：列表如下:

篮球篮球篮球足球足球

篮球（篮球，篮（篮球，篮（篮球，足（篮球，足

球）球）球）球）

篮球（篮球，篮（篮球，篮（篮球，足（篮球，足

球）球）球）球）

篮球（篮球，篮（篮球，篮（篮球，足（篮球，

球）球）球）足球）

足球（足球，篮（足球，篮（足球，篮（足球，足

球）球）球）球）

足球（足球，（足球，（足球，篮（足球，足

篮球）篮球）球）球）

共有20种等可能的结果，其中他们同时拿走的球都是篮球的结果有6种,

，他们同时拿走的球都是篮球的概率是=77-

2010

故选：B.

8.（3分）电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿

元.若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x,根据题意可列方程为（）

A.3.5/=6.8B.3.5（1+x）=6.8

C.3.5（1+x）2=6.8D.3.5（1-x）2=6.8

【解答】解：根据题意得：3.5（1+x）2=6.8.

故选：C.

9.（3分）如图，在△N8C中，ADLBC,BELAC,若BD=3CD,S^BCE：S“CD=9：4,贝I]N£：C£的

值是（）

第11页（共32页）

A

【解答】解：-ADLBC,BE工AC,

：.ZBEC=ZADC=90°,

•.・NBCE=NACD,

：.△BCEsdACD,

:・BC：AC=CE：CDiSABCE：SAACD=BC2：A=9：4,

:・BC：AC=3：2,

：.CE：CD=3：2,

9：BC=3CD,

：.BC=4CD,

2o

：.AC=^BC=|CD,

3

■:CE=^CD,

7

；・AE=AC-CE=±CD,

o

•»AEzCE=r]：9.

故选：C.

10.（3分）如图，正方形/BCD的边长为2,点E,b分别是。C,C5的中点，点尸从点5处出发，沿着

5一产一E一。的路径匀速运动，设点尸经过的路径长为x,△4尸£的面积为丫，则下列图象能大致反映Y

与x的函数关系的是（）

第12页（共32页）

A.P1―72+172+2

【解答】解：：正方形NBC®的边长为2,

：.AB=BC=CD=AD=2.

・・•点E,/分别是。C,C5的中点，

：・DE=EC=CF=BF=1.

当点P在点5处，即x=0时.如图1.

1

S^APE=qAB・AD=2.

故5、C不符合题意；

当点P运动到点/处，即x=l时，如图2.

S“PE=S正方形ABCD-S^ADE-S^ABF-S^CEF

1113

=2X2--1x2Xl-^x2Xl--1xlXl=1.

第13页（共32页）

故选/.

图1

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）分解因式：8/-2=2（2。+1）（2。-1）

【解答】解：8/-2,

=2（4a2-1）,

=2(2。+1)(2a-1).

故答案为：2（2a+l）（2a-1）.

12.（3分）不等式5x+l>3x-1的解集是x>-1

【解答】解：5x+l>3x-1,

移项得，5x-3x>-1-1,

合并得，2x>-2,

即x>-1,

故答案为x>-I.

13.（3分）如图，在菱形488中，/C与3。相交于点。，CELAB于点、E,点、F,G分别是BC,。£的

FG1

中点‘连接bG'则访的值是

AD

BFC

【解答】解：如图，连接E凡OF,设CE与08的交点为N,

:四边形/BCD是菱形，

第14页（共32页）

：・AB=BC=CD=AD,AC±BD,AO=CO,BO=DO,

・・,点产是5C的中点，CE_LAB,

：.EF=BF=FC=OF,AO=OC=EO,

又・・,点G是OE的中点，

：.EG=GO=^EO,FG.LOE,

：.ZFGO=90°=/BOC,

VZBEC=ZBOC=90°,

・,•点。，点E,点5,点。四点共圆，

・・・ZBOE=/BCE,

■:BF=OF,

：.ZFBO=ZFOB,

：.ZBOE+ZFOB=ZBCE+ZOBF,

：./EOF=/CNO,

•：/ONC+/OCNS=/OCN+NOAE,

：.ZOAE=ZONC,

■:BA=BC,

：.ZBAC=ZBCA,

：.ZONC=/BC4,

：.ZFOE=ZBCO,

：.AFOG^A5CO,

*_F_G____G_O

••—，

BOCO

'：GO=^EO=1(9C,

：.2FG=BO,

:.BD=4FG,

FG1

••BD—4，

故答案为：7，

4

第15页（共32页）

14.（3分）抛物线y=ax2+/+c的对称轴是直线x=-1,且过点（1,0）,顶点位于第二象限，其部分图

象如图所示，给出以下判断；①06>0且c<0；②4a-2b+c>0；③8a+c>0；④直线y=2x+2与抛

物线y=ax2+6x+c两个交点的横坐标分别为xi,xi,贝！Ixi+x2+xix2=-5.其中结论正确的是②⑷

-1,经过（1,0）,

.b

—Q-〃

2a=-1,+b+c=0,

・,6=2Q,。=-3Q,

'：a<0

c>0,

・・・加>0且c>0,故①错误，

•・•抛物线对称轴x=-1,经过（1,0）,

A（-2,0）和（0,0）关于对称轴对称,

.*.x=-2时，歹〉0,

4a-2b+c>0,故②正确，

•直线y=2x+2与抛物线V=QX2+6X+C两个交点的横坐标分别为xi，%2,

・•・方程Q/+（h-2）x+c-2=0的两个根分别为xi,12,

c-2

.…-唱X1*X2=

?

.X|+x2+N2=一等+^=审+=工=—5,故④正确,

第16页（共32页）

15.（3分）如图，在中，AB=BC=2,/B=90°,点。是的中点，E为AC边上一点,将

线段,绕点E逆时针旋转9。。,得到线段研连接CF,若CF弓则尊的长是一不

【解答】解：如图，过E作EGLEC于E,交C。于G,

：.ZGEC=90°,

在中，AB=BC=2,ZB=90°,

；・/4CB=45°,

AZEGC=45°,

:・EG=EC,

・・•将线段。E绕点E逆时针旋转90°,得到线段所，

:・ED=EF,/DEF=9G°,

工NDEG=/CEF,

：.AECF^AEGD(SAS)f

：.DG=CF,

:点。是BC的中点，CF=j,

13

CG=CD-DG=2—寺=方

,,C£=TX2=~,

工……3V2

故答案为：—.

4

三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

第17页（共32页）

16.(10分)⑴计算：|—阳+(-1)-1-VT24-V3+(n-2024)°

x3

（2）解方程：—-=-2.

2%-2

【解答】解：(1)原式=V2+(—3)—V124-3+1

=V2-3-2+1

=1-2-3+72

-4+V2；

%3

(2)2,

%—12%—2

x3

x—12(%-2)

2x—3-4(%-2),

2x=3-4x+8,

2x+4x=3+8,

6x=ll,

检验：把刀="弋入2（x-2）W0,

6

•..X=充是原分式方程的解.

17.（8分）某团队准备给成员网购若干帽子和手套，网店的组合报价为购买1顶帽子和2双手套共需210

元；购买2顶帽子和3双手套共需340元.

（1）求每顶帽子和每双手套的价格各是多少元？

（2）经沟通后团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，由于需要帽子的成员不足30人，请

你规划一下有哪几种购买方案?

【解答】解：（1）设每顶帽子的价格是x元，每双手套的价格是y元,

根据题意得：露冢£■

解得：

答：每顶帽子的价格是50元，每双手套的价格是80元；

（2）设购买加顶帽子，则购买（50-加）双手套,

m<30

根据题意得:

50m+80(50—m)<3200'

第18页（共32页）

解得：—<m<30,

又：加为正整数，

可以为27,28,29,

，共有3种购买方案，

方案1：购买27顶帽子，23双手套；

方案2：购买28顶帽子，22双手套；

方案3：购买29顶帽子，21双手套.

18.（8分）辽宁省教育厅印发《辽宁“六地”红色文化资源融入思政课教学的实施方案》，阐释辽宁“六

地”内涵和育人功能，充分发挥辽宁红色文化资源重要作用，讲好辽宁红色故事，传承红色基因，为此

某校特地举办了一场比赛，将从中选拔出最优秀的小记者们来拍摄一组以“辽宁红色文化”为主题的短

视频，现有20名学生报名参加比赛，参加的学生需完成采访、写作、摄影三项测试.

信息一：每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、

摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩.

信息二：小华、小明的三项测试成绩和总评成绩如下表：

选手测试成绩/分总评成绩/分

采访写作摄影

小华83728078

小明8684

信息三：这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如

（1）在摄影测试中，七位评委给小明打出的分数如下：66,72,69,69,75,69,70,这组数据的中

位数是69,众数是69,平均数是70；

第19页（共32页）

（2）请你计算小明的总评成绩;

（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者，试分析小华和小明能否入选，并说明理由.

【解答】（1）七位评委给小涵打出的分数从小到大排列为：66,69,69,69,70,72,75,

1

所以这组数据的中位数是69,众数是69,平均数是,（66+69+69+69+70+72+75）=70,

故答案为：69,69,70；

86x4+84x4+70x2

(2)-------——---------二82,

4+4+2

答：小明的总评成绩为82分;

（3）不能判断小华能否入选，但是小明能入选,

理由：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为小华78分、小明82

分，所以不能判断小华能否入选，但是小明能入选.

19.（8分）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果

的进价、售价如表所示:

进价（元/千克）售价（元/千克）

甲种58

乙种913

（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？

（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果

店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元?

【解答】解：（1）设甲种水果购进x千克，则乙种水果购进（160-x）千克,

由题意可得：5x+9(160-x)=1000,

解得％=110,

/.160-x=50,

答：甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克;

（2）设购进甲种水果加千克，则乙种水果购进（160-m）千克，获得的利润为w元,

由题意可得：w=(8-5)m+(13-9)(160-m)=-m+640,

・・.0随机的增大而减小,

..•该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍,

160-mW3m,

解得加三40,

第20页（共32页）

，当加=40时，w取得最大值，此时川=600,160-加=120,

答：安排购买甲种水果40幅，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时

利润为600元.

20.（8分）如图1是辽宁锦州梁士英烈士雕像的平面示意图，从平地到雕像底端有一条等高和等宽的台阶,

每个台阶高15c机，宽30cm,小明用高为150c%的测角仪，在点。处测得点/的仰角为39.53°,在点

尸处测得点/的仰角为45°.（参考数据：sin39.53°^0.63,cos39.53°«0.77,tan39.53°^0.82,V2«1.4,

V3=1.7）

（1）求雕像48的高度约是多少米？（结果精确到0.1加）

（2）如图2,若在距点B水平距离为24〃的S处安装一个仰角为30°的射灯，让射灯光线的上沿恰好

经过4点，射灯下沿的光线与48交于点7,求的长.（结果精确到

【解答】解：(1)如图1,由题意得，CQ=FW=/W=15X4=60(cm),EQ=DM=30X4=120(cm),

设PF—xcm,贝！］MN—xcm,

在RtZ\NF尸中，ZAFP=45°,

:・AP=FP=xcm,

在RtZXADN中，DN=DM+MN=(120+x)cm,/ADN=3953°,

AN

Vtan39.53°=就，

・・・4N=tan39.530・DN

—0.82义(x+120)cm,

X^AN-AP=PN,即0.82X(x+120)-x=60,

Ax^213.3,

V5P=150-15X3=105(cm),

：.AB=AP+PB

=213.3+105

=318.3(cm),

第21页（共32页）

答：雕像的高4s约为318.3米；

（2）如图2,由题意得，SB=240cm,ZTSB=3Q°,

.,.Sr=tan30°-SB

=~x240

=80V3

^136.0(cm).

图1图2

21.（8分）如图1,N2是OO的直径；BCLAB,连接/C交OO于点。，

（1）①尺规作图：作出8C的中点£（保留作图痕迹，不写作法）；

②连接求证：是OO的切线；

（2）如图2,OF_L/C交。。于点凡连接8厂交NC于点G,若=4近，FG：BG=1：3,求3c

的长.

②证明：连接0。，OE,如图2,

•:BCLAB,

：.ZOBC=90°.

•：OA=OB,EB=EC,

；.OE为ABCE的平分线，

：.OE//AC,

第22页（共32页）

；・/EOB=NA,ZEOD=ZODAf

U：OA=OD,

：./A=/ODA,

：.NEOD=/EOB,

在△O£Q和△O£5中，

OD=OB

Z.EOD=乙EOB,

OE=OE

:•△OED"AOEB("S),

：.ZODE=ZOBC=90°,

C.ODLDE,

•・・。。为。。的半径，

・・・DE是。。的切线；

(3)解：连接B。，如图3,

设OF交4c于点H,

・・75是。。的直径，

AZADB=90°,

:.BDLAD,

u：OFLAC,

：.OF//BD,

：.AFHG^ABDG,

.FHFG1

••BD-BG-3’

.1

：.FH=三BD,

•：OF〃BD,OA=OB,

.1

・・OH=啰D,

FH射。2

‘港=|^=P

设FH=2k,则0H=3左，

：.OF=5k.

是OO的直径，AB=445,

第23页（共32页）

：.OF=OA==5k,

.,2V5

・"二『

萼，

o

：.AH=VOX2-OH2=等

VZAHO=ZABC=90°,ZA=ZAf

：./lAHO^^ABC,

*_A_H___O__H_

••—,

ABBC

8V56V5

・'_亏

••这一就’

:.BC=3瓜

图2

图1

22.（12分）【提出问题】

（1）在数学活动课上，老师在黑板上写出了如下问题：如图1,在平行四边形中,点E是

第24页（共32页）

的中点，尸是上任意一点，连接CR将四边形N5CF沿C尸翻折得到四边形G"。凡连接TTO,GE,

AD3CD.现让同学根据已知背景补充条件，再对线段GE与犯的数量关系进行思考探究.

【问题思考】

①“兴趣小组”给出的补充条件为：/B=45°,最终得出7777=丁.

DHL

下面是“兴趣小组”给出的部分证明过程：

证明：连接NC,CG,CE,过点/作NN_L3C于点N,如图2,

：/2=45°,

RtLABN是等腰直角三角形，

：.BN=AN=：AB,

请补全“兴趣小组”的证明过程；

②“智慧小组”根据补充的条件tanB=孚给出的解题思路如下：如图3,连接/C,过点。作CM,

4D于点通过探究△ECDSZ\C4。和△GCES^HCD,从而得出线段GE与HD的数量关系，请根

据“智慧小组”的解题思路写出完整的解答过程；

【问题拓展】

（2）如图4,若4B=AC=2,ACVAB,。是平面内一点，以N3,8。为边构造平行四边形/8DE■，点

F是/E的中点，将四边形/AD尸沿。尸翻折得到四边形GE㈤尸，连接HC,HB,求的最小

H

值.图1E02图3图4

【解答】（1）①证明：连接NC、CG、CE,过点工作于点N,如图，

：48=45°,

Rt^ABN是等腰直角三角形，

第25页（共32页）

：.BN=AN=号4B,

•・•四边形45C。是平行四边形，AD=V2CD,

AZADC=ZB=45°,BC=AD,AB=CD,AD//BC,

在中，AN=BN=^AB,

・•・CN=BN=节AB=AN,

：.AC=AB=CD,ZACD=90°,ZDCE=45°,

•・,点E是4。的中点，

：.AE=DE=CE=^AD,

*_C_E__V_2

••—，

CD2

由翻折得CH=5C=4。，CG=AC,/GCH=NACB=45°=/DCE,

tCGACV2

CH-BC-2’

CECG

•*_•___—__，

CDCH

又ZECG=ZGCH-ZECH=ZDCE-ZECH=/DCH,

：.△ECGsXDCH,

•EGCE

••—,

DHCD

.EGa

"DH—2'

②解：如图，连接/c,过点C作CM，/。于点M,

图3

,/四边形/BCD是平行四边形，AD=y[2CD,

：./ADC=NB,AD//BC,

口714

・taiw=­2­,

tanXADC=

第26页（共32页）

.CMV14

•.—，

DM2

设CM=VHX,DM=2X,

vcA/2+r)Af2=cr)2,

/.(V14x)2+(2x)2=CD2,

解得x=噂CD(负值舍去)，

:.CM=%D,DM=^CD,

：.AM=AD-DM=挈S

在RtA^CM中，/C=<AM2+CM2=萼CD,

由翻折得CG=/C=孚。£>,CH=BC=AD,/GCH;

/ACB,

,CAD//BC,

：.ZCAD=ZACB,

:./GCH=NCAD,

:点£是N。的中点，

；.AE=DE=^AD=:CD,

.DECDV2

""CD~AD~2'

又,：NCDE=N4DC,

：.ADCEsADAC,

：.ZDCE^ZCAD,

：.ZDCE=ZGCH,

：.ZDCE-ZECH=ZGCH-ZECH,

即ZDCH=ZECG,

,：CE=VCM2+EM2=J(gCD)2+(*CD—*CD)

.CE__V30

•.—，

CD6

V15„L

..CG亍CDnV30

'CH~V2CD—6'

*_C_E_C_G

••—，

CDCH

第27页（共32页）

.♦.△CEGs/XCD”,

,GECEV30

HD~CD~6

(2)解：如图，连接BC,点N为BC中点，DF与BH交于点、M,连接

根据折叠的性质，BMLDF,BM=HM.

1

：.MN=^CH.

以点/为坐标原点，NC为夕轴正半轴，N3为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.

则点2、。坐标分别为(2,0)、(0,2).

设点F坐标为(m,n).

直线。尸解析式为：y^kx+b.

又,：BMLDF,

...直线AW解析式为了=-£(%-2).

则点E坐标为(2m,2〃)，点。坐标为(2加+2,2”).

由待定系数法可求出直线。尸的解析式为：y-—(x-m)+n.

直线BA/解析式为)，=一%会(x-2).

联立直线和8M解析式建立方程组求出点M的坐标：

(y=^2(x~m)+n

_2(m+2)2—2n2

X(m+2)2+n2

解得:

_4n(m+2)'

旷一(m+2)2+n2

OMV+SM)2

4(771+2)4+4/4+8(7^+2)2^2

[(m+2)2+n2]2

4[(m+2)2+n2]2_.

[(m+2)2+n2]2.

第28页(共32页)

OM—V4—2.

故点M的轨迹是以/为圆心，半径为2的圆.

•：MN+ON^AB

的最小值为：AB-ON^2-<9BXsin45°=2-鱼.

的最小值为：2(AB-ON)=4-2V2.

故CH的最小值为4-2V2.

23.(13分)在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形对角线的两个