2025届浙江省杭二中高一数学第一学期期末考试试题含解析

2025届浙江省杭二中高一数学第一学期期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的最小值和最大值分别为()A. B.C. D.2．圆与圆的位置关系是（）A.外切 B.内切C.相交 D.外离3．已知函数为R上的偶函数，若对于时，都有，且当时，，则等于（）A.1 B.-1C. D.4．已知，，且，则的最小值为（）A. B.C.2 D.15．已知函数，则的最大值为（）A. B.C. D.6．下列各式中与相等的是A. B.C. D.7．已知全集，集合，则（）A. B.C. D.8．若，且则与的夹角为（）A. B.C. D.9．化为弧度是（）A. B.C. D.10．，，，则（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某时钟的秒针端点到中心点的距离为6cm，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，将，两点的距离表示成的函数，则_______，其中12．直线3x+2y+5＝0在x轴上的截距为_____.13．下列四个命题：①函数与的图象相同；②函数的最小正周期是；③函数的图象关于直线对称；④函数在区间上是减函数其中正确的命题是__________（填写所有正确命题的序号）14．若不等式的解集为，则不等式的解集为______.15．函数且的图象恒过定点__________.16．若函数是定义在上的严格增函数，且对一切x，满足，则不等式的解集为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数在上的最小值为（1）求的单调递增区间；（2）当时，求最大值以及此时x的取值集合18．某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（1）求年利润（万元）关于年产量（百件）的函数关系式；（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？19．已知，且是第________象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：（1）求的值；（2）化简求值：.20．已知向量m＝(cos，sin)，n＝(2＋sinx，2－cos)，函数＝m·n，x∈R.(1)求函数的最大值；(2)若且＝1，求值.21．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】2.∴当时，，当时，，故选C.2、C【解析】圆心为和，半径为和，圆心距离为，由于，故两圆相交.3、A【解析】由已知确定函数的递推式，利用递推式与奇偶性计算即可【详解】当时，，则，所以当时，，所以又是偶函数，，所以故选：A4、A【解析】由已知条件得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】已知，且，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查的妙用，考查计算能力，属于基础题.5、D【解析】令，可得出，令，证明出函数在上为减函数，在上为增函数，由此可求得函数在区间上的最大值，即为所求.【详解】令，则，则，令，下面证明函数在上为减函数，在上为增函数，任取、且，则，，则，，，，所以，函数在区间上为减函数，同理可证函数在区间上为增函数，，，.因此，函数的最大值为.故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求函数最值的基本步骤如下：（1）判断或证明函数在区间上的单调性；（2）利用函数的单调性求得函数在区间上的最值.6、A【解析】利用二倍角公式及平方关系可得，结合三角函数的符号即可得到结果.【详解】,又2弧度在第二象限，故sin2＞0,cos2＜0，∴=故选A【点睛】本题考查三角函数的化简问题，涉及到二倍角公式，平方关系，三角函数值的符号，考查计算能力.7、A【解析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：，则.故选：A.8、C【解析】因为，设与的夹角为，，则，故选C考点：数量积表示两个向量的夹角9、D【解析】根据角度制与弧度制的互化公式，正确运算，即可求解.【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得.故选：D.10、B【解析】根据对数函数和指数函数的单调性即可得出，，的大小关系【详解】，，，故选：二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】设函数解析式为，由题意将、代入求出参数值，即可得解析式.【详解】设，由题意知：，当时，，则，，令得；当时，，则，，令得，所以.故答案为：.12、【解析】直接令，即可求出【详解】解：对直线令，得可得直线在轴上截距是，故答案：【点睛】本题主要考查截距的定义，需要熟练掌握，属于基础题13、①②④【解析】首先需要对命题逐个分析，利用三角函数的相关性质求得结果.【详解】对于①，，所以两个函数的图象相同，所以①对；对于②，，所以最小正周期是，所以②对；对于③，因为，所以，，，因为，所以函数的图象不关于直线对称，所以③错，对于④，，当时，，所以函数在区间上是减函数，所以④对，故答案为①②④【点睛】该题考查的是有关三角函数的性质，涉及到的知识点有利用诱导公式化简函数解析式，余弦函数的周期，正弦型函数的单调性，属于简单题目.14、【解析】由三个二次的关系求，根据分式不等式的解法求不等式的解集.【详解】∵不等式的解集为∴，是方程的两根，∴，∴可化为∴∴不等式的解集为，故答案为：.15、【解析】令真数为，求出的值，再代入函数解析式，即可得出函数的图象所过定点的坐标.【详解】令，得，且.函数的图象过定点.故答案为：.16、【解析】根据题意，将问题转化为，，再根据单调性解不等式即可得答案.【详解】解：因为函数对一切x，满足，所以，，令，则，即，所以等价于，因为函数是定义在上的严格增函数，所以，解得所以不等式的解集为故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）最大值为，此时x的取值集合为.【解析】(1)利用二倍角公式化简函数，再利用余弦函数性质列式计算作答.(2)利用余弦函数性质直接计算作答.【小问1详解】依题意，，令，，解得，所以的单调递增区间为.【小问2详解】由(1)知，当时，，，解得，因此，，当，，即，时，取得最大值1，则取得最大值，所以的最大值为，此时x的取值集合为.18、（1）；（2）100百件【解析】（1）根据收益总收入成本，进行分情况讨论，构建出分段函数；（2）对分段函数每一段进行研究最大值，然后再求出整个函数的最大值.【详解】解：（1）当时，；当时，；；（2）当时，，当时，；当时，，当且仅当，即时，.年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.【点睛】本题考查了数学建模问题、分段函数最值问题，数学建模要能准确地从题意中抽象出函数模型，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论。19、（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】（1）考虑为第三象限或第四象限角两种情况，根据同角三角函数关系计算得到答案.（2）化简得到原式，代入数据计算得到答案.【详解】（1）因为，所以为第三象限或第四象限角；若选③，；若选④，；（2）原式.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，诱导公式化简，意在考查学生的计算能力和转化能力.20、(1)f(x)的最大值是4(2)－【解析】（1）先由向量数量积坐标表示得到函数的三角函数解析式，再将其化简得到f（x）=4sin(x∈R)，最大值易得；（2）若且＝1，，解三角方程求出符合条件的x的三角函数值，再有余弦的和角公式求的值【详解】(1)因为f(x)＝m·n＝cosx(2＋sinx)＋sinx·(2－cosx)＝2(sinx＋cosx)＝4sin(x∈R)，所以f(x)的最大值是4.(2)因为f(x)＝1，所以sin＝.又因为x∈，即x＋∈.所以cos＝－cos＝cos.＝coscos－sinsin＝－×－×＝－.【点睛】本题考查平面向量的综合题21、（1）详见解析（2）30°【解析】（1）连接A1B，结合三角形中位线定理，得到平行，结合直线与平面平行，的判定定理，即可．（2）取的中点N，连接，利用直线与平面垂直判定定理，得到平面，找出即为所求的角，解三角形，计算该角的大小，即可【详解】解：(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA(2)解：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，.取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.因为BM