2025年中考数学复习之一次函数

2025年中考数学复习热搜题速递之一次函

选择题（共10小题）

1.如图，直线尸jr+4与无轴、y轴分别交于点A和点8,点C、。分别为线段AB、08的中点，点P为

。4上一动点，当尸C+PD最小时，点尸的坐标为（）

A.（-3,0）B.（-6,0）C.（-1,0）D.（—会0）

2.在一次函数中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（）

1

3.如图，平面直角坐标系中，ZvlBC的顶点坐标分别是A（l,1）,B（3,1）,C（2,2）,当直线y=+b

与△ABC有交点时，6的取值范围是（）

1111

A.-B.-11C.-2＜人＜]D.-'

4.如图，一次函数yi=i+/?与一次函数”=履+4的图象交于点尸（1,3）,则关于x的不等式x+。＞区+4

5.一次函数y=mx+及与（mn^O）,在同一平面直角坐标系的图象是（）

7.已知点（-4,yi）,（2,>2）都在直线y=—]+2上，贝（Jyi,”大小关系是（）

A.yi>y2B.yi=y2C.yi<y2D.不能比较

8.已知一次函数y=Ax+4y随着%的增大而减小，且的V0,则在直角坐标系内它的大致图象是（）

10.设0＜左＜2,关于尤的一次函数了=日+2（1-尤），当1WXW2时的最大值是（）

A.2k-2B.k-1C.kD.k+\

二.填空题（共5小题）

11.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：@y=ax,②y=bx,③y=cx,将a,b,c从小到大排

列并用连接为.

13.如图，直线y=2x+4与x,y轴分别交于A,8两点，以08为边在y轴右侧作等边三角形OBC,将点

C向左平移，使其对应点C'恰好落在直线上，则点C'的坐标为

14.如图，把放在直角坐标系内，其中NCAB=90°,2C=5,点A、B的坐标分别为（1,0）、

（4,0）,将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6上时,线段BC扫过的面积为

15.已知根是整数，且一次函数y=(相+4)x+?"+2的图象不过第二象限，则根=.

三.解答题(共5小题)

16.如图，在平面直角坐标系中，过点3(6,0)的直线与直线OA相交于点A(4,2),动点M沿路

线。-A-C运动.

(1)求直线的解析式.

(2)求△OAC的面积.

1

(3)当△OMC的面积是△OAC的面积的二时，求出这时点M的坐标.

17.甲、乙两车分别从相距480hw的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀

速行驶，途经C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地.乙车从8地直达A地,

两车同时到达A地.甲、乙两车距各自出发地的路程y(千米)与甲车出发所用的时间无(小时)的关

系如图，结合图象信息解答下列问题：

(1)乙车的速度是千米/时，/=小时；

(2)求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围;

(3)直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米.

18.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为

3500元.

(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；

(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，

设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.

①求y关于尤的函数关系式；

②该商店购进A型、8型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？

(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调机(0<??7<100)元，且限定商店最多购进A型电脑70

台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这100台电脑销售

总利润最大的进货方案.

19.如图，已知一次函数y=fcv+6的图象经过A(-2,-1),B(1,3)两点，并且交x轴于点C,交y

轴于点D.

(1)求该一次函数的解析式；

(2)求△AOB的面积.

20.在平面直角坐标系中，。为原点，直线/：尤=1,点A(2,0),点、E,点、F,点M都在直线/上，且

点E和点/关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P.

(I)若点M的坐标为(1,-1),

①当点尸的坐标为(1,1)时，如图，求点P的坐标；

②当点尸为直线/上的动点时，记点P（X，y），求y关于X的函数解析式.

（II）若点M（1,优），点尸（1,力，其中fWO,过点P作尸QJ_/于点Q，当OQ=PQ时，试用含t

的式子表示m.

2025年中考数学复习热搜题速递之一次函数（2024年7月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.如图，直线y=|r+4与无轴、y轴分别交于点A和点2,点C、D分别为线段48、的中点，点P为

A.（-3,0）B.（-6,0）C.（一当0）D.（一金0）

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题.

【答案】C

【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、2的坐标，再由中点坐标公式求出点C、。的坐标，

根据对称的性质找出点。关于x轴的对称点/）'的坐标，结合点C、。'的坐标求出直线8,的解析

式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标.

（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、。的坐标，根据对

称的性质找出点。关于x轴的对称点。'的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点尸为线段C。'的

中点，由此即可得出点尸的坐标.

【解答】解：（方法一）作点。关于x轴的对称点。'，连接C。'交x轴于点P,此时PC+P。值最小，

如图所示.

2

令y-@x+4中x—0,则y—4,

.•.点8的坐标为(0,4)；

?2

令y=@x+4中y=0,则§x+4=0,解得：x=-6,

...点A的坐标为(-6,0).

；点C、D分别为线段AB,OB的中点，

.,.点C(-3,2),点D(0,2).

:点、D，和点。关于无轴对称，

:.点、D的坐标为(0,-2).

设直线C。'的解析式为y=fcv+6,

线

过点

直C32O

CD£)

4

I2-3k-

得

用

--解-3

I2-bb

--2

...直线CD'的解析式为J=-Jr-2.

44

-O-X-2

33解得：尤=—

3

勺-

2

(方法二)连接C。，作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小,

如图所示.

2

令〉=可芯+4中尤=0,贝！Iy=4,

...点8的坐标为(0,4)；

22

令y=于叶4中y=0,贝!|]x+4=0,解得：尤=-6,

.,.点A的坐标为(-6,0).

:点C、D分别为线段AB、。8的中点，

.•.点C(-3,2),点。(0,2),CO〃x轴，

,:点、D和点。关于x轴对称，

:.点、D的坐标为(0,-2),点。为线段。/)'的中点.

又：。尸〃CZ),

点尸为线段C。'的中点，

，点尸的坐标为（，，0）.

故选：C.

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问

题，解题的关键是找出点P的位置.

2.在一次函数＞=得依中，y随尤的增大而减小，则其图象可能是（）

【考点】一次函数的图象.

【专题】几何直观；模型思想.

【答案】B

【分析】根据y=fcv+6,左＜0时，y随x的增大而减小，可得答案.

1

【解答】解：在y=严尤-。中，y随x的增大而减小，得。＜0，-a＞0,

故8正确.

故选：B.

【点评】本题考查了一次函数图象，利用一次函数的性质是解题关键.

1

3.如图，平面直角坐标系中，ZvlBC的顶点坐标分别是A(1,1),B(3,1),C(2,2),当直线y=+b

与AABC有交点时，6的取值范围是(

11i1

A.-IWbWlB.C.-2WbW2D.-彳

【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征.

【答案】B

【分析】将A(l,1),B(3,1),C(2,2)的坐标分别代入直线y=>+6中求得6的值，再根据一

次函数的增减性即可得到b的取值范围.

【解答】解：直线尸^x+b经过点B时，将2(3,1)代入直线y=9+b中，可得|+6=1,解得b=

1111

直线y=#+b经过点A时：将A(1,1)代入直线y=2%+b中，可得鼻+/?=1,解得6=m

直线y=3+6经过点C时：将C(2,2)代入直线丫=*%+6中，可得1+6=2,解得6=1.

故b的取值范围是一/<6W1.

故选：B.

【点评】考查了一次函数的性质：k>0,y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0,y随龙的增

大而减小，函数从左到右下降.

4.如图，一次函数>1=无+4>与一次函数”=Ax+4的图象交于点尸(1,3),则关于x的不等式x+%>展+4

【考点】一次函数与一元一次不等式.

【答案】C

【分析】观察函数图象得到当尤>1时，函数y=x+6的图象都在y=fcv+4的图象上方，所以关于x的不

等式x+b>kx+4的解集为尤>1.

【解答】解：当尤>1时，x+b>kx+4,

即不等式x+b>kx+4的解集为x>1.

故选：C.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数丫=“尤+匕的值

大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=fcv+b在无轴上(或

下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

5.一次函数与(MW/WO),在同一平面直角坐标系的图象是()

【考点】一次函数的图象.

【专题】分类讨论.

【答案】C

【分析】由于根、〃的符号不确定，故应先讨论施、”的符号，再根据一次函数的性质进行选择.

【解答】解：(1)当机>0,〃>0时，”>0,

一次函数的图象一、二、三象限，

正比例函数>=加群的图象过一、三象限，无符合项；

(2)当m>0,n<0时，mn<0,

一次函数y=mx+"的图象一、三、四象限，

正比例函数>=加心的图象过二、四象限，C选项符合；

(3)当机<0,〃<0时，mn>0,

一次函数y=:加+〃的图象二、三、四象限，

正比例函数的图象过一、三象限，无符合项；

(4)当m<0,n>0时，mn<0,

一次函数的图象一、二、四象限，

正比例函数>=加群的图象过二、四象限，无符合项.

故选：C.

【点评】一次函数>=丘+6的图象有四种情况：

①当4>0,b>0,函数y=fcc+b的图象经过第一、二、三象限；

②当上>0,b<0,函数y=fcc+b的图象经过第一、三、四象限；

③当上<0,6>0时，函数的图象经过第一、二、四象限;

④当上<0,6<0时，函数y=fcc+6的图象经过第二、三、四象限.

【考点】一次函数图象与系数的关系；零指数累；二次根式有意义的条件.

【答案】A

【分析】首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及J=1QW0),判断出左的取值范围，然后判

断出4-1、1-k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函数y=Ck-1)x+l-k

的图象可能是哪个即可.

【解答】解：：式子正=1+(k-1)。有意义，

.(k—1之0

W0

解得k>l,

：.k-1>0,1-ZV0,

故选：A.

【点评】（1）此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

当6>0时，（0,b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当6<0时，（0,6）在y轴的负半轴，

直线与y轴交于负半轴.

（2）此题还考查了零指数累的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①/=1（。#0）；②0°

W1.

（3）此题还考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被

开方数是非负数.

7.已知点（-4,yi）,（2,y2）都在直线y=-4x+2上，则yi,y2大小关系是（）

A.y\>yiB.y\—yiC.y\<yiD.不能比较

【考点】一次函数图象上点的坐标特征.

【答案】A

【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论.

1

【解答】解：：笈=，<0,

随x的增大而减小.

:-4<2,

故选：A.

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题

的关键.

8.已知一次函数y=fcv+6,y随着尤的增大而减小，且劭<0,则在直角坐标系内它的大致图象是（）

【考点】一次函数图象与系数的关系.

【专题】模型思想.

【答案】A

【分析】利用一次函数的性质进行判断.

【解答】解：•••一次函数>=丘+6,y随着x的增大而减小

：.k<0

又；妨<0

：.b>0

此一次函数图象过第一，二，四象限.

故选：A.

【点评】熟练掌握一次函数的性质.4>0,图象过第1,3象限；左<0,图象过第2,4象限.b>0,图

象与y轴正半轴相交；b=0,图象过原点；b<0,图象与y轴负半轴相交.

9.若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=b无-左的图象只能是图中的（）

【考点】一次函数图象与系数的关系.

【专题】函数及其图象；模型思想.

【答案】B

【分析】由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论.

【解答】解：•••直线经过一、二、四象限，

“<0,b>0,

：.-k>0,

选项B中图象符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“左<0,6>0oy=fcc+b的图象在一、二、四象

限”是解题的关键.

10.设0<左<2,关于尤的一次函数y=fcv+2（1-x）,当1WXW2时的最大值是（）

A.2k-2B.k-]C.kD.k+1

【考点】一次函数的性质.

【专题】压轴题.

【答案】c

【分析】首先确定一次函数的增减性，根据增减性即可求解.

【解答】解：原式可以化为：尸（左-2）x+2,

"0<k<2,

：.k-2<0,则函数值随x的增大而减小.

当尤=1时，函数值最大，最大值是：（％-2）+2=4.

故选：C.

【点评】本题主要考查了一次函数的性质，正确根性质确定当尤=2时，函数取得最小值是解题的关键.

填空题（共5小题）

11.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①了二6，a=bx,③尸ex,将a,b,c从小到大排

【考点】正比例函数的图象.

【专题】一次函数及其应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据直线所过象限可得«<0,b>0,c>0,再根据直线陡的情况可判断出b>c,进而得到答

案.

【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得〃<0,b>0,c>0,

再根据直线越陡，因越大，则6>c.

则b>c>a,

故答案为：a<c<b.

【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当%>0时，图象经过一、三象限，y随x的增

大而增大；当/<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小.同时注意直线越陡，则因越大

12.已知函数>=-1）x+/"2-1是正比例函数，则.=-1.

【考点】正比例函数的定义.

【答案】见试题解答内容

【分析】由正比例函数的定义可得加2-1=0,且相-1H0.

【解答】解：由正比例函数的定义可得：1=0,且加-1W0,

解得：m--1,

故答案为：-L

【点评】本题考查了正比例函数的定义.解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=丘的

定义条件是：及为常数且ZW0,自变量次数为1.

13.如图，直线y=2x+4与尤，y轴分别交于A,8两点，以08为边在y轴右侧作等边三角形02C,将点

C向左平移，使其对应点C'恰好落在直线4B上，则点C'的坐标为（-1,2）

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移.

【专题】数形结合.

【答案】见试题解答内容

【分析】先求出直线y=2x+4与y轴交点B的坐标为（0,4）,再由C在线段02的垂直平分线上，得

出C点纵坐标为2,将y=2代入y=2x+4,求得x=-l,即可得到C'的坐标为（-1,2）.

【解答】解：•直线y=2x+4与y轴交于8点，

.'.x—0时，

得y=4,

：.B（0,4）.

,/以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,

...C在线段OB的垂直平分线上，

；.C点纵坐标为2.

将y—2代入y=2x+4,得2=2尤+4,

解得x=-I.

故答案为：（-1,2）.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化-平移，得出

C点纵坐标为2是解题的关键.

14.如图，把Rt^ABC放在直角坐标系内，其中/CAB=90°,8c=5,点4、8的坐标分别为（1,0）、

(4,0),将AABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2尤-6上时，线段8C扫过的面积为16

【考点】一次函数综合题.

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据题意，线段3c扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的

路程.求当点C落在直线y=2x-6上时的横坐标即可.

【解答】解：如图所示.

点A、8的坐标分别为(1,0)、(4,0),

AB=3.

ZCAB=90°，BC=5,

AC=4.

A'C=4.

点C在直线6上,

lx-6=4,解得x=5.

即OA'=5.

：.CC'=5-1=4.

.,.S^BCC'B'=4X4=16.

即线段BC扫过的面积为16.

故答案为16.

【点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，难度中等.

15.已知机是整数，且一次函数y=(〃计4)龙+:〃+2的图象不过第二象限，则m=-3或-2.

【考点】一次函数的性质.

【答案】见试题解答内容

【分析】由于一次函数y=(很+4)x+/"+2的图象不过第二象限，则得至皿爪+4>°,然后解不等式即

可m的值.

【解答】解：；一次函数丫=(〃?+4)无+〃?+2的图象不过第二象限，

.Cm+4>0

+2<0

解得-4<mW-2,

而根是整数，

则m=-3或-2.

故填空答案：-3或-2.

【点评】此题首先根据一次函数的性质，利用已知条件列出关于机的不等式组求解，然后取其整数即

可解决问题.

三.解答题(共5小题)

16.如图，在平面直角坐标系中，过点8(6,0)的直线AB与直线OA相交于点A(4,2),动点M沿路

线O—A—C运动.

(1)求直线的解析式.

(2)求△OAC的面积.

1—

(3)当△OMC的面积是△OAC的面积的一时，求出这时点M的坐标.

4

V

【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式；

(2)求得C的坐标，即0C的长，利用三角形的面积公式即可求解；

1

(3)当△OMC的面积是△OAC的面积的一时，根据面积公式即可求得〃的横坐标，然后代入解析式

4

即可求得"的坐标.

【解答】解：(1)设直线的解析式是y=fcv+b,

根据题意得：偿武凌，

解得：IK

则直线的解析式是：y=-x+6；

(2)在y=-x+6中，令％=0,解得：y=6,

1

S/\OAC=2x6X4—12；

(3)设。4的解析式是则4m=2,

解得：m=

则直线的解析式是：>=分，

1

・・・当△OMC的面积是△Q4C的面积的二时，

4

1

'•M的横坐标是-x4=l,

4

11,1

在>=尹中，当x=l时，y=2，则M的坐标是(1,-)；

在y=-x+6中，尸1则y=5,则M的坐标是(1,5).

1

则M的坐标是：Mi(1,-)或“2(1,5).

2

【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式.先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程

求解即可得到函数解析式.当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解.

17.甲、乙两车分别从相距480hn的A、8两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀

速行驶，途经。地，甲车到达。地停留1小时，因有事按原路原速返回A地.乙车从8地直达A地,

两车同时到达A地.甲、乙两车距各自出发地的路程y(千米)与甲车出发所用的时间％(小时)的关

系如图，结合图象信息解答下列问题：

(1)乙车的速度是60千米/时,t=3小时;

(2)求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围;

(3)直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米.

【考点】一次函数的应用.

【专题】压轴题；推理填空题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)首先根据图示，可得乙车的速度是60千米/时，然后根据路程+速度=时间，用两地之间

的距离除以乙车的速度，求出乙车到达A地用的时间是多少；最后根据路程+时间=速度，用两地之

间的距离除以甲车往返AC两地用的时间，求出甲车的速度，再用360除以甲车的速度，求出，的值是

多少即可.

⑵根据题意，分3种情况：①当04W3时；②当3〈尤W4时；③4＜后7时；分类讨论，求出甲车

距它出发地的路程y与它出发的时间尤的函数关系式，并写出自变量的取值范围即可.

(3)根据题意，分3种情况：①甲乙两车相遇之前相距120千米；②当甲车停留在C地时；③两车都

朝A地行驶时；然后根据路程+速度=时间，分类讨论，求出乙车出发多长时间两车相距120千米即

可.

【解答】解：(1)根据图示，可得

乙车的速度是60千米/时，

甲车的速度是：

(360X2)4-(4804-60-1-1)

=7204-6

=120(千米/小时)

.•/=360+120=3(小时).

故答案为:60；3.

(2)①当0WxW3时，设

把(3,360)代入，可得

3%=360,

解得％1=120,

：.y=120x(0W%W3).

②当3VxW4时，y=360.

③4VxW7时，设>=加+4

把(4,360)和(7,0)代入，可得

4k2+b=360

7k2+b=0

解得｛k2=-120

b=840

・•・尸-120x+840(4<xW7).

(120%(0<%<3)

综上所述：甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为y=)360(3<%<4)

I-120%+840(4<%<7)

(3)①(480-60-120)+(120+60)+1

=3004-180+1

5

--+1

3

8

(〃

--

3

②当甲车停留在C地时，

(480-360+120)4-60

=2404-60

=4(小时)

③两车都朝A地行驶时，

设乙车出发y小时后两车相距120千米，

则60y-[120(y-1)-360]=120,

所以480-60y=120,

所以60y=360,

解得y=6.

综上，可得

8

乙车出发三小时、4小时、6〃'时后两车相距120千米.

【点评】(1)此题主要考查了一次函数的应用问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分段函数

是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实

际.

(2)此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度义时间=路程，路程小时间

=速度，路程小速度=时间.

18.某商店销售10台A型和20台2型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为

3500元.

(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；

(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,

设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.

①求y关于x的函数关系式；

②该商店购进A型、8型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？

(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调机(0<m<100)元，且限定商店最多购进A型电脑70

台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这100台电脑销售

总利润最大的进货方案.

【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用.

【专题】销售问题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为6元；根据题意列出方程

组求解，

(2)①据题意得，y=-50x+15000,

②利用不等式求出x的范围，又因为y=-50x+15000是减函数，所以x取34,y取最大值，

(3)据题意得，y—(100+加)x+150(100-尤)，即y—(w-50)x+15000,分三种情况讨论，①当0

<相<50时，y随x的增大而减小，②机=50时，m-50=0,y=15000,③当50〈:机<100时，m-50

>0,y随x的增大而增大，分别进行求解.

【解答】解：(1)设每台A型电脑销售利润为。元，每台8型电脑的销售利润为6元；根据题意得

(10a+20b=4000

120GI+10b=3500

答：每台A型电脑销售利润为100元，每台2型电脑的销售利润为150元.

(2)①据题意得，y=100x+150(100-x),即y=-50尤+15000,

1

②据题意得，100-xW2x,解得x233§,

:尸-50.r+15000,-50<0,

随x的增大而减小，

为正整数，

...当x=34时，y取最大值，贝U100-x=66,

即商店购进34台A型电脑和66台8型电脑的销售利润最大.

(3)据题意得，y=(100+ZM)x+150(100-x),即>=(m-50)x+15000,

1

33-WxW70

3

①当。<机<50时，y随尤的增大而减小，

...当x=34时，y取最大值，

即商店购进34台A型电脑和66台3型电脑的销售利润最大.

②m=50时，m-50=0,15000,

即商店购进A型电脑数量满足331<x^70的整数时，均获得最大利润；

③当50cme100时，机-50>0,y随x的增大而增大，

.,.当x=70时，y取得最大值.

即商店购进70台A型电脑和30台8型电脑的销售利润最大.

【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根

据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况.

19.如图，已知一次函数的图象经过A(-2,-1),B(1,3)两点，并且交x轴于点C,交y

轴于点D.

(1)求该一次函数的解析式；

(2)求△A08的面积.

【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)先把A点和2点坐标代入y=fcv+b得到关于左、。的方程组，解方程组得到爪6的值，从

而得到一次函数的解析式；

(2)先确定。点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积=SAAOD+SABOD进行计算.

【解答】解：(1)把A(-2,-1),B(1,3)代入尸丘+6得52晨+信一1,

l/c+b=3

z4

-

l-3

得

解<

5

l-

v-3

所以一次函数解析式为y=%+半

(2)把x=0代入y=可得y=可

—5

所以。点坐标为(0,-),

3

所以△AO8的面积=%AOD+SABOD

15c,15,

=2X百X2+2Xxl

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：(1)先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析

式时，先设>=日+6;(2)将自变量尤的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待

定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.

20.在平面直角坐标系中，。为原点，直线/：尤=1,点A(2,0),点E,点、F,点加都在直线/上，且

点E和点/关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P.

(I)若点M的坐标为(1,-1),

①当点E的坐标为(1,1)时，如图，求点P的坐标；

②当点F为直线/上的动点时，记点P(x,y),求y关于尤的函数解析式.

(II)若点M(1,m)，点B(1,f),其中f=0,过点P作尸。，/于点。，当。。=「。时，试用含/

的式子表示m.

【考点】一次函数综合题.

【专题】代数综合题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)①利用待定系数法求得直线OF与EA的直线方程，然后联立方程组"二;％_6,求得

该方程组的解即为点P的坐标；

②由已知可设点尸的坐标是(1,。求得直线。足EA的解析式分别是y="、直线EA的解析式为：y

=(2+/)x-2(2+/).则Zx=(2+E)x-2(2+/),整理后即可得到y关于％的函数关系式-2%；

(II)同(I),易求P(2—2t—言).则由PQ.LI于点Qf得点Q(l,2t—器)，则002=1+於(2—[)

2,PQ2=(1--)2,所以1+p(2-—)2=(1-—)2,化简得到：t(t-2m)(？-2mt-1)=0,通

mmm

过解该方程可以求得m与t的关系式.

【解答】解：(I)①•・,点O(0,0),F(1,1),

・•・直线。尸的解析式为丁=工

设直线E4的解析式为：y=kx+b(女W0)、

•・,点E和点/关于点M(1,-1)对称，

：.E(1,-3).

又TA(2,0),点E在直线EA上，

,,0=2k+b

**I—3=k+b'

解得普=3

3=—6

直线E4的解析式为：y=3x-6.

:点P是直线OF与直线EA的交点,则｛；二:久_6

解得｛；驾，

.♦.点P的坐标是(3,3).

②由已知可设点下的坐标是(1,f).

直线OF的解析式为y=fx.

设直线E4的解析式为y=cx+d(c、d是常数，且cWO).

由点E和点尸关于点M(1,7)对称，得点E(l,-27).

又点A、E在直线EA上，

.(0=2c+d

''t—2—t=c+d'

解得f=2+t

用牛停［d=-2(2+ty

...直线EA的解析式为：y=(2+力X-2(2+r).

,/点P为直线OF与直线EA的交点，

tx=(2+r)x-2(2+r),即t=x-2.

则有y=tx=(x-2)x=^-2x；

(H)由(I)可得，直线。尸的解析式为、=我.

直线EA的解析式为y=(t-2m)x-2-2m).

•.•点P为直线OF与直线EA的交点,

tx=(.t-2m)x-2(?-2m),

化简，得x=2——

产

有y=tx=2t--.

itt2

二・点尸的坐标为(2——,2t——

・・・尸。，/于点Q,得点。(1,2/—・)，

・・・0。2=1+2(2--)2,PQ2=(1--)2,

•：OQ=PQ,

.,.1+?(2--)2=(1--)2,

mm

化简，得/(L2m)(Z2-2mt-1)=0.

又•二华0,

.\t-2m=0或P-2mt-1=0,

解得m=掾或m=^2^-

【点评】本题考查了一次函数的综合题型.涉及到了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与直线的

交点问题.此题难度不大,掌握好两直线间的交点的求法和待定系数法求一次函数解析式就能解答本题.

考点卡片

1.零指数累

零指数塞：a°=l(czWO)

由a"+a'"=l,可推出a°=l(aWO)

注意：O°W1.

2.二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

(1)二次根式的概念.形如历(a20)的式子叫做二次根式.

(2)二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

(3)二次根式具有非负性.VHQ20)是一个非负数.

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的

非负性解决相关问题.

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是

非负数.

2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

3.二元一次方程组的应用

(一)列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

(1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

(2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

(4)求解.

(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

(二)设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎样设元，设几

个未知数，就要列几个方程.

4.一元一次不等式组的应用

对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解.

一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：

(1)分析题意，找出不等关系；

(2)设未知数，列出不等式组；

(3)解不等式组；

(4)从不等式组解集中找出符合题意的答案；

(5)作答.

5.正比例函数的定义

(1)正比例函数的定义：

一般地，形如>=履“是常数，30)的函数叫做正比例函数，其中人叫做比例系数.

注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，左HO,k

是正数也可以是负数.

(2)正比例函数图象的性质

正比例函数y=履"是常数，％#0),我们通常称之为直线y=丘.

当%>0时，直线y=依依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当左<0时，直线y

=依依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小.

(3)“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点(1,k)的直线是晨是常数，笈#0)的图象.

6.一次函数的图象

h

(1)一次函数的图象的画法：经过两点(0,b)、(--F,0)或(1,k+b)作直线

注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、

纵坐标尽量取整数，以便于描点准确.②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线(正比例函数是过

原点的直线)，但直线不一定是一次函数的图象.如x=a,y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是

一次函数的图象.

(2)一次函数图象之间的位置关系：直线>=履+6,可以看做由直线>=履平移|6|个单位而得到.

当6>0时，向上平移；6<0时，向下平移.

注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；

②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；

③两条直线相交，其交点都适合这两条直线.

7.正比例函数的图象

正比例函数的图像是经过坐标原点(0,0)和定点(1,%)两点的一条直线，它的斜率是左*表示正比例

函数与X轴的夹角大小），横、纵截距都为0,正比例函数的图像是一条过原点的直线.

8.一次函数的性质

一次函数的性质：

左>0,y随x的增大而增大，函数从左到右上升；Z<0,y随尤的增大而减小，函数从左到右下降.

由于y=Ax+6与y轴交于（0,6）,当b>0时，（0,b）在