2024-2025学年绥化市高二数学上学期开学考试卷（附答案解析）

2024-2025学年绥化市高二数学上学期开学考试卷

考试时间：120分钟

一、单选题

1设向量1=（12,加），3=（2加,6）,若则加=（）

A.-6B.0C.6D.±6

1i

2.已知z=1^,贝1）月=（）

A.2B.V2C.3D.G

3.已知向量a=（2,加），b=（m+1,-1）,a-Lb则加的值为（）

A.2B.1C.-1D.-2

4.如图，已知正三棱柱45C-4用。],48]=后4瓦M为4G的中点，则与所成角的余弦值

A1RViocV6指

4410

5.已知一组数据为2,5,7,8,9,12,则这组数据的80%分位数为（）

A.9B,8.5C.8D.7

6.已知复数z满足亍（l-i）=3+5i,则复数z=（）

A.4+4iB.4-4i

C.-l+4iD.-l-4i

TT

7.在VZ8C中，角48,C的对边分别为a也c.已知a=4,b=5,C=—,贝ijc=（）

3

A.761B.V21C.276D.V19

8.若正三棱柱的所有棱长均为。，且其侧面积为12,则此三棱柱外接球的表面积是（）

828.4

A.17TB.----7TC.3兀D.-71

333

二、多选题

9.若复数2=6-i，则下列说法正确的是（）

A.z在复平面内对应的点在第四象限B.z的虚部为—i

C.z2=4-2V3iD.z的共辗复数1=J^+i

10.在空间中，已知a,b是两条不同的直线，«,乃是两个不同的平面，则下列选项中正确的是()

A.若a//6,且，a±a,b1/3,则a//£

B.若a_1_6，且a//a,b//〃，则:

C.若a与6相交，且a_La,b_L/?,则。与万相交

II八

D.若q_L6，且a//a,b//p,则a_L尸

11.已知圆锥的底面半径为1,其母线长是2,则下列说法正确的是()

2兀

A.圆锥的高是eB.圆锥侧面展开图的圆心角为

C.圆锥的表面积是3兀D.圆锥的体积是2叵

3

三、填空题

12.在V4BC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=6，8=45°,C=75°,则6=.

13.已知球的半径为3,则该球的表面积等于,则该球的体积等于

14.某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体

学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取人

四、解答题

15.已知向量另满足卜卜后忖=2,且(a+B)-(a-2B)=2.

(1)求向量Z,b的夹角；

(2)求,a+可.

16.已知V48c内角4瓦。的对边分别为。，8c,设(si“—sin。)？=sin22—sinSsinC.

(1)求A；

(2)若6+C=4,A4BC的面积为必，求a的值.

2

17.某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂

的满意程度进行打分，所得分数均在[40,100]内，现将所得数据分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100],并得到如图所示的频率分布直方图.

2

（1）求。的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）；

（3）现从[70,80）,[80,90）,[90,100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求

[70,80）这组中抽取的人数.

18.如图，在正方体48c。一481G，中,

（1）求证：4s〃平面

（2）求证：ACX±B.C

19.在正三棱柱A8C-48cl中，E为棱的中点，如图所示.

（1）求证：////平面NEG；

（2）若二面角C-4E-。的大小为60°,求直线NC和平面NEC1所成角的正弦值

3

2024-2025学年绥化市高二数学上学期开学考试卷

一、单选题

1,设向量0=（12，，"），"=（2掰,6）,若1〃3,则加=（

A.-6B.0C.6D.±6

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用平面向量共线的坐标运算列式求解加值.

【详解】•.•向量1=（12,加），3=（2加,6），若

则12义6=21n之,解得m=±6-

故选：D.

A.2B.72C.3D.V3

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的四则运算可得z,进而可得目.

【详解】由Z=1?=匕山=4=—1—i,

ii2-1

所以忖=1（—if+（-1）2=V2，

故选：B.

3.已知向量。=（2,冽），b=+1,-1）,若则加的值为（

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】由向量垂直的坐标表示列方程等于零求解，可得结论.

【详解】根据题意知a=（2,加），S=（z?z+l,-l）,a±b'

则a%=（2,加）•（加+1,-1）=2m+2-m=0,解之可得加=-2

故选：D

4.如图，已知正三棱柱48C—4与。］，481=拒/8，〃为4cl的中点，则与8G所成角的余弦值

为（）

4

Vio「V6D,也

A1DR.-----------X-/.---

4410

【答案】B

【解析】

【分析】取ZC的中点。，则/Bq。（或其补角）为异面直线与8G所成角，解三角形即可求解.

【详解】如图，取ZC的中点。，连接。。、BD,易知⑷/〃Z»G，

所以异面直线与所成角就是直线。。与直线8G所成的角，即（或其补角），

由题意可知正三棱柱ABC-44G的所有棱长都相等,

可设三棱柱的棱长都为2,贝，忸。|=百，忸G|=2后,

因为忸G『=\DC{f+\BDf,所以为直角三角形,

所以cos吗。=%=当

即异面直线AM与3。所成角的余弦值为叵.

4

故选：B.

5.已知一组数据为2,5,7,8,9,12,则这组数据的80%分位数为（）

A.9B.8.5C.8D.7

【答案】A

【解析】

【分析】利用百分位数的求解公式即可求解.

【详解】因为6x80%=4.8,

5

所以这组数据的80%分位数是第5个数，即为9.

故选：A.

6.已知复数z满足亍(1—i)=3+5i,则复数z=()

A.4+4iB.4-4i

C.-l+4iD.-l-4i

【答案】D

【解析】

【分析】由已知等式化简求出三，从而可求出复数z.

因为亍八…

=-1+4i,

所以z=—1—4i.

故选：D.

7T

7.在VZ8C中，角48,C的对边分别为“c.已知。=4/=5,C=—,贝()

3

A.V61B.V21C.276D.V19

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦定理计算可得.

【详解】由余弦定理可得c=a2+b2-2abcosC=^42+52-2x4x5x^-=721.

故选：B

8.若正三棱柱的所有棱长均为。，且其侧面积为12,则此三棱柱外接球的表面积是()

828.4

A.—71B.—7TC.3兀D.-71

333

【答案】B

【解析】

【分析】根据三棱柱侧面积公式求出。，确定球心的位置，如图构造直角三角形，由勾股定理求出外接

球半径的平方，再根据球的表面积公式即可求解.

【详解】由题意可得，正棱柱的底面是边长和高都等于。的等边三角形，侧面积为3a2,

3a2=12><2=2,

取三棱柱48C—4与。1的两底面中心0,01,连结。J,

取00.的中点。，则D为三棱柱外接球的球心，

连结BD，则BD为三棱柱外接球的半径.

是边长为2的正三角形，。是V48C的中心，

6

5(9=-xV3=—

33

又=1

2121

：.BD2=OB^+OD2=~.

3

728

・••三棱柱外接球的表面积S=4成2=4兀x—=——兀.

33

故选：B.

二■多选题

9.若复数z=«-i，则下列说法正确的是（

A.z在复平面内对应的点在第四象限B.z的虚部为—i

C.?=4-2V3iD.z的共辗复数I=/+i

【答案】AD

【解析】

【分析】利用复数的几何意义判断A；求出复数的虚部判断B；求出复数的平方判断C；求出共飘复数

判断D作答.

【详解】对于A,复数2=百-i在复平面内对应的点（百1）在第四象限，A正确；

对于B,z的虚部为一1,B错误；

对于C,z?=（百-产=2-26，C错误；

对于D,z的共辄复数1=/+i，D正确.

故选：AD

10.在空间中，已知a,6是两条不同的直线，乃是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（）

A.若a//6,且，al.a,bY/3,则a//夕

B.若aJ■夕，且a//a,blip,则:，

C.若a与6相交，且a_La,bL）3,则a与尸相交

7

II八

D,若aJ_6，且a//cr，b//p,则。_1_夕

【答案】AC

【解析】

【分析】利用空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理分析判断即可

【详解】若。//6,且bl/3,即两平面的法向量平行，则a//£成立，故A正确；

若万，豆alla,blip,则。与b互相平行或相交或异面，故B错误；

若。，6相交，且a_La,b1J3,即两平面的法向量相交，则a,尸相交成立，故C正确；

若:工2,且a//&，blip,则0与尸平行或相交，故D错误；

故选：AC.

【点睛】此题考查空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题

11.已知圆锥的底面半径为1,其母线长是2,则下列说法正确的是（）

2兀

A.圆锥的高是百B.圆锥侧面展开图的圆心角为§

C.圆锥的表面积是3兀D.圆锥的体积是冥玩

3

【答案】AC

【解析】

【分析】根据圆锥及侧面展开图的性质，表面积公式，体积公式求解判断即可.

【详解】圆锥的底面半径为r=l,其母线长是/=2,

则圆锥的高〃=J/2—尸2_,故A正确；

设圆锥侧面展开图的圆心角为a,则。/=2口，解得。=兀，故B错误；

圆锥的表面积是S=兀尸之+兀〃=3兀，故C正确；

圆锥的体积是「=[“2%=匝，故D错误.

33

故选：AC.

三、填空题

12.在V4BC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=6,8=45。，C=75°,则6=

【答案】72

【解析】

【分析】由已知利用三角形内角和定理可求/,根据正弦定理即可求b的值.

【详解】在V4BC中，因为。=百，8=45°,C=75°,则Z=180°—45°—75°=60°,

8

百—

由正弦定理3=上，可得：唠竺叫=」X=JL

SIIL4siafiSIIM73

~2

故答案为：、汇.

13.已知球的半径为3,则该球的表面积等于，则该球的体积等于

【答案】①.36兀②.36兀

【解析】

【分析】根据球的表面积公式和体积公式直接求解即可.

【详解】因为球的半径为3,

4

所以球的表面积为4兀x3?=36兀，体积为一71x3'=36兀.

3

故答案为：36兀，36兀

14.某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体

学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取人

【答案】40

【解析】

【分析】高一年级人数乘以抽样比即可.

【详解】由题意，应从高一年级抽取的人数为：100x---------............=40.

1200+1000+800

故答案为：40.

四、解答题

15.已知向量行满足忖=后忖=2,且(a+B)-(a-2B)=2.

(,1)求向量b的夹角；

(2)求,。+可.

3兀

【答案】(1)—

4

(2)V10

【解析】

【分析】(1)根据数量积运算律得出限B=-2,再根据夹角公式得夹角的余弦值，即可求出结果；

(2)根据条件及(1)中结果，利用数量积的运算性质，即可求出结果.

【小问1详解】

由心+孙,-町=2,得到,2_gq_2庐=2，又同=码1=2,

所以4—小B—4=2，得到5石=—2,

9

_[a，b_2V2_「、_371

所以cosa,b=%^=16=—《-,又用be[O,可，所以用人=彳

【小问2详解】

由⑴知=—2，又同=行忖=2,

所以忸+年=4^+4展B+庐=16-8+2=10,

所以恢+囚=所.

16.已知V48C内角4瓦。的对边分别为。，“c，设（si“—sin。）？=sin2/—sinSsinC.

（1）求A；

（2）若6+C=4QABC的面积为Y3,求。的值.

2

jr

【答案】（1）A=-

3

（2）6Z=710

【解析】

【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题

意，由三角形的面积公式可得A=6,结合余弦定理即可得到结果.

【小问1详解】

原式化简可得：sin25-2sin5sinC+sin2C=sin2?!-sinSsinC，

整理得：sin25+sin2C-sin2^=sin5sinC，

由正弦定理可得：b2+c2-a2=bc9

卜2「2_21jr

cosA="=-,因此三角形的内角Z=；；

2bc23

【小问2详解】

1,.i八66

*.*Sc=一L?csin44二一be,—二—，

“ABRCr2222

/.bc=2,

•//=b?+H-26ccos/4=（力+。）2-3bc-16-6=10,

a-VTo-

17.某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂

的满意程度进行打分，所得分数均在[40,100]内，现将所得数据分成6组：[40,50）,[50,60）,[60,70）,

10

[70,80),[80,90),[90,100],并得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求。的值，并估计这200名员工所得分数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)求这200名员工所得分数的中位数(精确到0.1)；

(3)现从[70,80),[80,90),[90,100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求

[70,80)这组中抽取的人数.

【答案】(1)a=0.015，x=72.5

(2)72.9(3)14

【解析】

【分析】(1)根据小矩形面积和为1得到关于。的方程，解出。值，再利用频率分布直方图中平均数公

式即可；

(2)首先确定中位数所在区间，再设中位数为加，列出方程，解出即可；

(3)求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案.

【小问1详解】

由题意知(0.005+0.010+0.025+0.035+4+0.010)x10=1,

解得a=0.015.

估计这200名员工所得分数的平均数

x=45x0.05+55x0.1+65x0.25+75x0.35+85x0.15+95x0.1,

x=72.5.

【小问2详解】

[40,70)的频率为(0.005+0.010+0,025)x10=0.4,

[40,80)的频率为(0.005+0.010+0.025+0,035)x10=0.75,

所以中位数落在区间[70,80),设中位数为加，

所以(0.005+0.010+0.025)x10+(加—70)x0.035=0.5,

解得加合72.9，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9.

【小问3详解】

[70,80)的人数:0.035x10x200=70,

[80,90)的人数:0.015x10x200=30,

[90,100]的人数：0.010x10x200=20,

11

所以[70,80）这组中抽取的人数为：24x----------=14.

70+30+20

18.如图，在正方体45c。一中，

（、1）求证：45〃平面；

（2）求证：ACX±BXC.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据正方体的性质得到48〃。。，即可得证；

（2）根据正方体的性质得到BCX±B[C、AB±BXC,即可证明B.C1平面ABCXDX,从而得证.

【小问1详解】

在正方体ABCD-481G2中AB//DC,

又48.平面OCu平面所以平面44CD；

【小问2详解】

连接8£、ADX,在正方体4BCD—ZNIGA中BCC/i为正方形，

所以8Gl^C,

又平面8cq4，3Cu平面BCCR],所以28,80,

又ABIBC]=B,AB,BC{u平面ABC.D,,

所以耳c,平面，又幺。u平面NBCQI,