2025高考数学专项复习：函数的综合应用（解析版）

2025高考数学专项复习函数的综合应用

（解析版）

函数的综合应用

【考点预测】

高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综

合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数

的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最

值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变

换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等

式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导

法则、复合函数求导法则及导数的几何意义,特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.

【题型归纳目录】

题型一:函数与数列的综合

题型二:函数与不等式的综合

题型三:函数中的创新题

【典例例题】

题型一:函数与数列的综合

例1.（2022•浙江•效实中学模拟预测）已知数列｛飙｝满足a】=1,e。向=2——CN+）,其中e是自然

an।1

对数的底数，则（）

，

A.0VQ-2022V4043B4043<a2022<2022

C<a

-2«22<lD.1V。2022V2

Q

例2.（2022.辽宁・东北育才学校二模）已知数列｛J满足0VQiV0.5，an+1=an+In（2-an）,则下列说法

正确的是（）

A.0VQ2022V0.5B.0.5V@022V1

C.1VQ2022Vl,5D.1.5V@2022V2

例3.（2022.浙江绍兴.模拟预测）已知数列｛册｝满足/=普，册+I+COSM-强=0,则下列说法正确的是

()

B.an+l一■£一1

D.an+1—~^-an>卷—1

兀2

例4.（2022•浙江・慈溪中学模拟预测）已知数列｛册｝满足：出=—5,且即+1=111（册+1）—团11册,则下列

关于数列｛%｝的叙述正确的是（）

2

A.Q^+iB.—-—-jrC.an+1>—9D.%W-4271-1

乙4Q*zi-i乙

例5.(2022•辽宁・二模)已知等差数列｛册｝的前几项和为S”,满足sin(a3—1)+2<i3—5=0,sin(a9—1)+

2a9+1=0,则下列结论正确的是()

A..Su—11,Q3Q9B.Su—11,。3@9C.S]_i=22,Q3D.Su—22,。3。9

例6.（2022.上海.高三专题练习）若等差数列｛an｝的公差dV0,令函数力（6）=限—Q/+Q,,列M=

min｛力（立）,…九㈤｝，（其中i=1,2,…九）,则下列四个结论中:①g（c）=f,<x）；②g（x+d）=g（rc）+d；

③九（2+d）=力_1（力）+d；④9max（工）=&；⑤9min（工）=与；错误的序号是.

【方法技巧与总结】

利用函数与数列知识的相互联系、相似性质:

（1）抽象函数的关系与数列递推关系式类似.

（2）函数单调性与数列单调性的相似性.

(3)数列与不等式的综合可以利用数列的形式构造辅助函数，利用函数的性质证明不等式，因此解决

数列问题可转化为函数问题，用函数的知识或方法解决.

题型二:函数与不等式的综合

例7.(2022•全国.模拟预测)已知函数/(,)是定义域为五的函数，/(2+/)+/(—,)=0,对任意为,

t2C[1,+8)(电<电)，均有/(入2)—/(a?i)>0,已知a,b(aKb)为关于x的方程炉一2c+廿-3=0的

两个解，则关于t的不等式/(a)+/(6)+/(i)>0的解集为()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

例8.(2022•海南•模拟预测)已知函数/(①)=厂",,若关于①的不等式①+7n

[2\x\—2,cW1

(X)<x+m+l有且仅有两个整数解，则m的取值范围是.

例9.(2022•全国•高三专题练习)不等式(/_1严】+/。。2+2/-1wo的解集为：

例10.(2022・四川遂宁•三模(文))德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯

得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对1

+2+3+…+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈

现一定的规律生成，因此,此方法也称之为高斯算法，现有函数/Q)=」,设数列｛册｝满足册=

2+V2

2

/(0)+/(/)+/(£)+…+AD伍CN*),若存在nEN*使不等式n+4n-2kan+27W

0成立，则k的取值范围是

【方法技巧与总结】

不等式问题转化为函数问题是静态转化为动态，常量转化为变量，这体现了函数思想，并能用函数的

图像及性质解答.

题型三:函数中的创新题

例11.(2022・全国•高三专题练习)定义两个函数的关系：函数口3),打(①)的定义域分别为48,若对

任意的gCA,总存在gCB,使得小⑶)="㈤)，我们就称函数小3)为打㈤的“子函数”.已知函

数/(c)=Vx+1—^-ln-y,g(c)=x4+ax3+bx2+ax+3,a,bER.

⑴求函数/Q)的单调区间；

⑵若f(x)为g(x)的一个“子函数”，求a?+〃的最小值.

例12.（2022.上海.高三专题练习）若存在常数>0）,使得对定义域D内的任意为,22（4丰电），都

有Lf（g）—山—村成立，则称函数/（力）在其定义域。上是"—利普希兹条件函数”.

（1）若函数/（⑹=府,（1</W4）是q-利普希兹条件函数”,求常数k的最小值；

（2）判断函数/@）=k）g2力是否是“2—利普希兹条件函数”，若是,请证明，若不是,请说明理由；

（3）若夕=/位）①CR）是周期为2的“1—利普希兹条件函数”，证明:对任意的实数如附都有

1/（◎）一/（互）|WL

例13.(2022.上海.高三专题练习)对定义域Df,Dg的函数y=f(x),y=g(c)，规定：

f(x)g(x),xEDfC\Dg

函数八(i)=<f(x)9xEQ且力0Dg

g{x),x0且xEDg

(1)若函数/(i)=J1,g(/)=",写出函数无(力)的解析式；

(2)求问题(1)中函数从力)的值域；

(3)若g(力)=/(6+a),其中a是常数，且aG[0,兀],请设计一个定义域为R的函数夕=/(7)，及一个

a的值,使得八(1)=cos4M并予以证明.

例14.（2022.上海.高三专题练习）对于函数/（力）（4G。），若存在正常数T,使得对任意的土C都

有/（re+T）>/（协成立，我们称函数/（①）为"T同比不减函数”.

⑴求证:对任意正常数T,/（/）="都不是"T同比不减函数”；

⑵若函数/㈤=皿+simc是同比不减函数”,求k的取值范围；

（3）是否存在正常数T,使得函数/（力）=/+上-1|—+1|为"T同比不减函数”，若存在，求T的取

值范围;若不存在,请说明理由.

【方法技巧与总结】

紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，将其转化为已有的认知结构，然后利用函数性质解

【过关测试】

一、^^8

1.（2022•全国•高三专题练习）已知函数加）=|・希—ac—小若对任意的实数a,b,总存在gC[-1,

2],使得成立，则实数小的取值范围是（）

A.（一8,十]B.（—8,：]C.（―D.（―0°,1]

2.（2022•全国•高三专题练习）若定义在丘上的函数/（力）满足/（/）+/（2a—,）=2b,则其图象关于点

（a,b）成中心对称.已知：函数则函数/（①）图象的中心对称点是（）

4+1

A.（0,1）B.（y,l）C.（1,0）D.（1,^）

归一品,x<i

3.（2022.全国•高三专题练习）已知函数/（力）=<，若函数g（c）=—rc+m（m>0）与

log2（a:+y）,x>l

y=fa）的图象相交于4,B两点，且_A，8两点的横坐标分别记为判，电,则g+g的取值范围是

A.B.[log23,1-）C.D.[log23,3]

4.（2022.全国.高三专题练习（理））已知/位）是定义在7?上的奇函数，对任意两个不相等的正数都

22

M（右）一口1/（。2）/（4°-）/（0.4）=434则

有V0,记a=4°-2,b

0一±2

A.cVbVaB.aVbVcC.a<c<feD.c<b<a

5.（2022.全国•高三专题练习）关于函数/（/）=sin|rc|+|sina;|有下述四个结论:

①/Q）是偶函数

③/（⑼在[—兀，兀]有4个零点④/3）的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A.①②④B.②④C.①④D.①③

6.（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（岂）=2尤+十©，W2）的图象上存在点P,函数。㈤=加

—3的图象上存在点Q,且PQ关于原点对称，则实数a的取值范围是（）

A.[—4,0]B.C.[0,4]D.

7.（2022•天津一中模拟预测）已知a>1,且函数/（①）=2\x2—x+a\+\x2—4：x+a\.若对任意的xE

（l,a）不等式/位）>（a—1）久恒成立，则实数a的取值范围为

A.（1,9]B.（1,25]C.[4,25]D.[4,+<»）

8.（2022•全国•高三专题练习（文））设函数/（①）=e“（2t—1）—ac+a,其中a<l,若存在唯一的整数

使得/（g）<0,则a的取值范围是（）

二、多选题

9.（2022•浙江嘉兴•高二期中）对于定义域为。的函数/（c）,若存在区间[小,汨同时满足下列条件:

①/（⑹在[m,n]上是单调的;②当定义域是[m,n]时，/（/）的值域也是[巾，汨，则称[m,n]为该函数

的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（）

A./(a?)=2xC.f(x)=X2—2XD.f(x)=In/+2

10.（2021•福建福州•高一期末）设计算机程序中的命令函数表示不超过①的最大整数，例

如：/NT（—2.1）=—3,/NT（1.2）=l.若函数/Q）=<P°g"',、”>°（a>0,且a¥1）,则下列说法

[x-INT{x）,/40

正确的是（）

A./3）在区间（—8,0]上为单调函数

B.f（x）在区间（—8,0]上不存在最大值

C./Q）在区间[-4,4]上有5个零点

D.若/Q）的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点，则0<aV

O

11.（2021•全国•高一单元测试）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑

白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面

积同时平分的函数称为这个圆的，，优美函数”，下列说法正确的是（）

A.对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个

B./（，）="可以是某个圆的“优美函数”

C.正弦函数夕=sine可以同时是无数个圆的“优美函数”

D.函数y=/（c）是“优美函数”的充要条件为函数y=/（c）的图象是中心对称图形

12.（2020•重庆市秀山高级中学校高三阶段练习）设[句表示不超过力的最大整数，给出以下命题,其中正

确的是（）

A.若:EiW电,则[刈]&[g]

B.[Igl]+[lg2]+[lg3]+...+[lg2020]=4953

C.若Q0,则可由阳同=[£|解得」的范围是信,l）u哥，兀]

D.若/（⑼=-^―-4,，则函数[/（⑼]+"（—/）]的值域为{-1,0}

1+22

2n

13.(2022.全国•高二课时练习)已知函数/(力)=力(6一1)(①一2)…(X—n+1)=axx+a2x-\--\-anx,

2

g(x)=f(x)(x—n)=bi3+b2x-\■…+bec，其中nEN*,gGR(i=1,2,…,n),biG

2n-1

R(i=l,2,--,n+1)，则tti+a2H---Fan=，6i+nb2+nb3+--n6n=.

三、填空题

14.（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（①）=,+1,给出下列命题:①存在实数a,使得函数0=/@）

+f（x—a）为奇函数;②对任意实数a,均存在实数m,使得函数g（/）=/（/）+/Q—a）关于rr=m对

称;③若对任意非零实数a,/（力）+f（x-a）＞k都成立，则实数k的取值范围为（-8,4］；④存在实数

k,使得函数沙=f（x）+/（T-a）-fc对任意非零实数a均存在6个零点.其中的真命题是

.（写出所有真命题的序号）

15.（2022•全国•高三专题练习）已知P是曲线G：y=2：3—KV—w毋）上的点，Q是曲线4上的点，

曲线G与曲线4关于直线夕=2/+4对称，M为线段PQ的中点，。为坐标原点，则|的最小值

为.

16.（2022•全国•高三专题练习）若,）=卜—a卜*3a|,且工€［0,1］上的值域为则实数a的

取值范围是__________________

17.(2022•全国•高三专题练习)设a,b,。为实数，/(力)=(x+a)(x2+bx+c),g(/)=

(ax+1)(ex2+bx+1),记集合S={x\f(x)=0,xER},T={x\g(x)=0,xGR},若|S|,|T|分别为

集合S,T的元素个数，则下列结论可能成立的是

18.(2022.全国•高三专题练习)已知定义域为R的奇函数/(%)满足+1)=/(3—力)，当/G(0,2］时,

f(x)=一/+4,则函数g=/(力)—a(aER)在区间［—4,8］上的零点个数最多时，所有零点之和为—

函数的综合应用

【考点预测】

高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综

合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数

的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最

值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变

换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等

式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导

法则、复合函数求导法则及导数的几何意义,特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.

【题型归纳目录】

题型一:函数与数列的综合

题型二:函数与不等式的综合

题型三:函数中的创新题

【典例例题】

题型一:函数与数列的综合

1

例1.（2022.浙江.效实中学模拟预测）已知数列｛飙｝满足a】=1,e。向=2—（71CN+）,其中e是自然

册+1

对数的底数，则（）

B，<a2022<

A.0<<12022(404340432022

C

-2(^2<a2022<l

D.1<&2022<2

【答案】B

【解析】利用不等式e”＞2+1可得2----p＞&i+i+1,即一-------—＞1,由累加法可得册＜工，利

用不等式行★白二可得2-丁丁＜1，即—一—；＜2,同理用累加法可得册＞鹏丁,

-

■1XCLnr1J-^n+1Q/i+1/几工

则可J＜册＜占,即可求解・

271—1TI

【详解】

x

e^x+1(当2=0时等号成立)，.・.6%+1>册+1+1,

fln+1

当时>0时，e=2---->1nan+1>0,即。i=l>0na九>0,

册十J-

fln+1an+11

则e>a+1,e=2—>Qn+l+1,

n+1册+1

整理得ca；1>an+i,即------；>1，

'J-0九+1CLn

口clIjl11、1

即------->1,-------->1,…，---------->1,

电Qi03电Gnan_1

将n个不等式相加得」---L>?i—1,即」->以Q九〈工，

Qia?in

令/O）=e"l一C）一1,则广㈤=一跣，,

当a?<0时,—>0,当力V0时，/（/）<0,

则/&）在（一8,0）上单调递增，在（0,+8）上单调递减，即/（力）在力=0出取得最大值,

于（X）4（0）=0,所以e"（l—/）—140（当力=0时等号成立）,

当nvi时，6y]]I（当/=。时等号成立），

即当几>]时，ea,,+i<-z----,2-----J-T-<-----,1-----3TTV1—-----1,

-L—Cln+1Q”,十’—Qyi+1Qn十工1—QTZ+1

Qn—Qn+1072+1、1—^n+1口,11/G

I-i-i___,v*/,

。九十，J--a^i+iQ^+iQn+iQn

同理利用累加法可得」——L〈2（71—1）,即册>0,

CLfiQ*i/77/J.

所以2n-l则4043<a-2022<2022,

故选：B.

例2.（2022•辽宁・东北育才学校二模）已知数列｛%｝满足0<%<0.5,a“+i=an+ln（2-a„）,则下列说法

正确的是（）

A.0VQ2022Vo,5B.0.5<Q2022Vl

C.1VQ2022Vl,5D.1.5VQ2022V2

【答案】B

［解析】利用Incw/一1可得MV1,且数列｛册｝是单调递增数列，得出0VQ九V1,利用导数可得

g（x）=C+ln（2—c）,0V/V1在（0,1）单调递增，即可得出当九>1时，ln2<an<1,即可求解.

【详解】

令/（%）=Inx—x+l,rc>0,则/'（2）=1力力,

由f<x）>0得OVirVl,由f（x）V0得①>1,

所以/（力）在（0,1）单调递增，在（1,+8）单调递减，所以/（%）4/⑴=0,

所以\nx^x—1,

所以册+i=%+ln（2—al<an+（2—an—1）=1,当且仅当an=1时等号成立，与已知矛盾，所以“

<1,

则册+1—0九=ln（2—册）>lnl=O,所以数列｛册｝是单调递增数列，所以0<为<1,

令g(6)—x-\-ln(2—c),0VrrV1,则g'(x)=1+—>0,

/x

所以g®在(0,1)单调递增,则a2=g(aj>g(0)=ln2,

所以当九>1时，hi2VQ九V1,因为ln2>0.5,所以0.5V册V1,所以0.5<Q2022V1.

故选：B.

例3.（2022.浙江绍兴.模拟预测）已知数列｛%｝满足/=苧，M+1+COSM—*=0,则下列说法正确的是

（）

A之⑰兀

B.an+1—■去成>£—1

A.an+1—an^^

C.a—2彳与—V2

n+1D.an+1--^-an>卷—1

兀27T2

【答案】D

【解析】将已知等式化为Q九+1一堂=5111@—爰），根据/（力）=x-sinx的单调性和/（。）=0,可得国

>|sinrr|,由此可化简得到田4“4牛;分别构造函数①⑻=^--cosx—x>g2（x）=y—cosx—

42、g3（/）=^--cosx-g4（x）=］一COSN—W%,利用导数可求得各个函数在［千，亨］上

的单调性,进而根据单调性得到最值,从而判断出各个选项的正误.

【详解】

..I7T_c.兀____

•o^n+i+cosan—=0,..an+1—工=—cosan=sm

令于(x)=x—sinx,贝ijf'(x)=1—cosx>0,

（/）在R上单调递增，又/（0）=0,\x\>|sinrc|,

71

••Qn+i册一引,

7TI，|a-f兀|<|a-y7t一用《鼠T—当7T

23222I'2r

册一受|W卜］一=£，解得：£Wa”W苧;

2NIIN2I仕仕24fc

兀

对于A,an+1—dn~~2cos册一册,

令S(c)="|—cosc—c,则g\(x)=sinc-1&0,，gi(力)在R上单调递减,

《册《普，，91(册))9i(苧)一卷，入错误;

对于8,an+1—■cosan一■,

2f

令§2(力)二5—cosx—^-x,则g2(a?)=sinre—x,

令M力)=g'(■,则hf(x)=cos6一140,

g'z（x）在R上单调递减，又g’2（0）=0,

.•.当ze（—8,0）时，g依）＞0;当①e（o,+oo）时,^（x）＜0；

；・。2（龙）在（-00,0）上单调递增，在（O,+8）上单调递减，

=

mWa“W当，,g2（an）^~~~轰〈*-1,B错误；

，+中c2叵_兀2V2_

对于。，an+1----cosan---an,

令g3（1）="|—cos力—2^^-力,贝ijg\（1）=sinx_2y,

令T7i（2）=g\（c）,贝"m!（x）=cos/,

当力6［字专）时,M㈤＞0；当①£传,与］时,加（力）＜0；

.•.成⑻在信受）上单调递增，在管，当］上单调递减，

又正），等＞。,。若）=*T＜。,。代上浮等＜。，

-'-3xie传奇），3曲管，普），使得g’3（g）=9'3（电）=0,

二弟㈤在［y,a;i）,（①2,普］上单调递增，在（如62）上单调递减,

-1•生⑶）＞例传）=号-V2,,/春Wa^W苧，a”C如片），使得鼠外）＞等一鼻,C错误；

，+中n2—兀2

对于。，an+1--an=y-cosan—-an,

令W（N）="-cosx—■力，则gZ（c）=sinx--1-,

当力G［9,竽］时，sinxEAsimr-1＞0,即g‘4®＞0,

.•j⑺在［字苧］上单调递增，

苧，g4gn）＞g（£）=专—五21＞*-1,D正确.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数最值的问题，解题关键是能够根据㈤＞忖也⑹的特

点，构造不等式求得时的取值范围，进而可以通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问

题,从而利用导数来进行求解.

例4.（2022.浙江・慈溪中学模拟预测）已知数列｛册｝满足：电=—4,且为+1=111（册+1）—近11册,则下列

关于数列｛%｝的叙述正确的是（）

B.—^-<a<-]嗽2

A..a九〉*。九+1nC.册+i>—_

Q九十2D.册<^_2n-l

【答案】D

【解析】构造函数/(力)=In(re+1)—sinx(—1W/V0),由导数确定其单调性,从而利用数学归纳法

证明一九V0,然后构造函数。(2)=/(力)一/=ln(力+1)—sin/一力(一^■</<()),利用导数证

明gQ)>0,得/㈤>应利用此不等式可直接判断4对选项由数列｛QJ的单调性与有界性知其

极限存在，设lima=A,对数列的递推关系求极值可得A=0,从而判断8,对选项C,引入函数设p

7278n

3)=In(力+1)---竽万(一1V/V0),由导数证明p⑸V0,得ln(力+1)<(―1V1V0),从而

利用不等式性质得出数列｛aJ的不等关系，判断。，利用判断选项。所得正确不等式变形，并换元引

入新数列b=--,得｛鼠｝前后项关系(求对数再变化)，类比等比数列的通项公式的方法得出结论

n源

后判断Z).

【详解】

首先我们证明：一Jw源vo,利用数学归纳法.

事实上，当九=1时，一［WaiCO;

假设当n=k时，一则当n=k+1时，ak+1=ln(ak+1)—sinafc.

设函数/(力)=ln(c+l)—sin/(―gV0),则/'(2)=力；1一cosN>0,则于(x)在［―p0)上单

调递增，

从而一+sin-1-=/(―^ak+1=f(ak)</(0)=0.

当一V0时，设g(g)=f(x)—x—ln(x+1)—sin2——rr<0),

则g'(c)—cos力-1,设h{x)=g'(R)—cosx—1,

x+1x+1

1

hf(x)+sinre

(6+1)2

所以存在gG(-go),使得g'(g)=o,-y<x<xQ时，g'Q)>0,gVcV。时，g'3V0,

故g(c)在［—~^-,0)上先增后减，从而g®>min{g(0),g(一~^)}=0,从而/(1)>x.

对于A选项：由于一^-<an<0,an+i=ln(an+1)—sinan>an,故数列｛册｝单调递增，选项A错误.

对于石选项，由于｛册｝单调递增且一•1■&&<(),从而岫Q九=_4存在，由an+i=ln(an+1)-sinan>

册可得Z=lnG4+1)—sinA,故>1=0,从而liman=0.故选项B错误.

TZ78

对于C选项，由于一1V2Vo时，

设0(/)=ln(x+1)—(―1<a?<0),p\x)=>0,

6+2力+i3+2)23+I)Q+2)2

所以0(力)是增函数，p(c)Vp(O)=0,所以ln(i+1)<(―1<rr<0),

0<£C<1时，/>sin/,因此有sin力>%(1V/V0),

从而于(X)=ln(力+1)—5由为〈二^一/=二^7,故册+i=ln(Q九+1)—sinan<―甥■，故选项C

错误.

对于。选项，由于an+1<-V0,即。>J>—―[，令与=一；，则—'+1>bn—2次，即

tt

为十/n+iananan

bn+i<2b之—bn<2bl—b九+、■=2(b九一十)，其中24勾Vbn+1,故lnbn+1<ln2+21n(bn—:)<ln2+

21116,从而lnb+ln2<2(lnb+ln2),即lnfe+ln2<2kl(inbi+ln2),2b<4’,即——<4*

nn+1nnHQn

9

故册V—为R.从而选项。正确.

42

故选：D.

【点睛】难点点睛：本题考查数列的性质，难度很大，解题难点在于有关数列的不等关系，一是用数学归

纳法进行证明，二是需引入函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出数列的不等关系，考查了学生

的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题.

例5.(2022•辽宁・二模)已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，满足sin(a3-l)+2a3-5=0,sin(a9-l)+

2a9+l=0,则下列结论正确的是()

A..Su=11,CL^QgB.Su=11,(z>3dgC.Su---22,Q3a。D.Su22,CL^'^>CLQ

【答案】B

【解析】把已知等式变形为sin(a3-1)+2(。3—1)—3=0,sin(l—a9)+2(1—西)-3=0,构造函数

f(x)=sinc+26一3,可知。3—1和1一。9是函数/(2)的零点，故利用导数研究其/(1)单调性并研究

其零点，结合函数零点存在性定理求得的，。9的关系，再利用等差数列的性质与求和公式即可求解.

【详解】

—

sin(a31)+2a3—5=0,sin(a9—1)+2a9+1=0

:.sin(a,3—1)+2(03—1)—3=0,sin(l—QJ+2(1—CLQ)—3=0

令/(力)=sin6+2c—3,即g一1和1一。9是函数/(力)的零点

Vf(x)=cos/+2>0,故/(比)最多有一个零点

.*•Q3—1=1—Qg,。3+。9==2

,c_11(©+an)_ll(a3+a9)_

,,22工工

又,."(]_)=sinl—1<0,J(2)=sin2+1>0,

.二1VQ3—1=1—Q9V2,

2VQ3V3,-1VQ9V0,；•。3>Q9.

故选:B

例6.(2022.上海.高三专题练习)若等差数列{%}的公差dV0,令函数力(，)=\x-a{\+a”g(x)=

min{/i(c),…九(土)},(其中i=1,2,…山)，则下列四个结论中：①g(z)=九(4)；②g(c+d)=gQ)+d；

③九(C+d)=九—13)+d；④OmaxQ)=；⑤OminQ)=%；错误的序号是.

【答案】②④

【解析】不妨取出=-l,d=-1,则f<x)=上+i|—i过原点，且y=fn(x)在最下方，根据性质逐项判

定，即可求解，得到答案.

【详解】

不妨取ai=-l,d=-1,则力㈤=|c+i]-i过原点，且“=九㈤在最下方，

可得①中，函数g(x)=fn(z)是正确的；

②中,g(x+d)=fn(x—1)=|T—1+n|—n,g(x)+d=\x+n\—n—l,

所以g[x+d)Wg[x}+d,所以不正确；

③中,fn(x+d)=f(x—1)=|a;—1+n|—n,fn-^x)+d=|x+n—1|—(n—1)—1=|T—l+n|—n,

所以f<x+d)=于,“X)+d,所以是正确的；

④中，由g(H)=九(/)=也+却一71,函数9(力)无最大值，所以9max㈤=%不正确；

⑤中，函数力(①)=|①+旬一71,所以当2=一八时，函数/n(c)取得最小值一九=为，

即函数gminQ)=M，所以是正确的.

故答案为：②④.

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及函数的基本行性质的应用，其中解答中认真审题，合理

利用题设条件，构造新函数，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中

档试题.

【方法技巧与总结】

利用函数与数列知识的相互联系、相似性质：

(1)抽象函数的关系与数列递推关系式类似.

(2)函数单调性与数列单调性的相似性.

(3)数列与不等式的综合可以利用数列的形式构造辅助函数，利用函数的性质证明不等式，因此解决

数列问题可转化为函数问题，用函数的知识或方法解决.

题型二:函数与不等式的综合

例7.(2022•全国•模拟预测)已知函数/(⑹是定义域为R的函数，/(2+/)+/(—.)=0,对任意伤,

力2C[1,+8)(力1<g)，均有f(x2)—/(血)>0,已知a,b(aj^b)为关于x的方程/一2/+/―3=0的

两个解，则关于t的不等式/(a)+/(&)+/(t)>0的解集为()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】D

【解析】由题可得函数/(，)关于点(1,0)对称，函数/(力)在A上单调递增,进而可得/⑴>0=/(1),

利用函数的单调性即得.

【详解】

由/(2+x)+/(—立)=0,得/(1)=0且函数/(土)关于点(1,0)对称.

由对任意①1,X2E[1,+8)(/1〈电)，均有/(42)-/(◎)>0,

可知函数/(工)在[1,+°°)上单调递增.

又因为函数/(c)的定义域为R,

所以函数f(6在R上单调递增.

因为a,b(a#b)为关于/的方程d—2/十廿一3=0的两个解，

所以A=4—4(/一3)>0,解得-2〈力V2,

且0+6=2,即b=2—Q.

又/(2+工)+/(—*)=0,

令rr=-a,则/(a)+/(b)=0,

则由/(a)+f(&)+/(i)>0,得/⑺>0=/(1),

所以

综上，力的取值范围是(1,2).

故选：D.

(I]n(x_])I]3

例8.(2022.海南.模拟预测)已知函数/(2)=111"，若关于/的不等式/+小</

[2团—2,tW1

(⑼</+m+1有且仅有两个整数解，则ni的取值范围是.

【答案】[―3+ln2,-2)

【解析】令9(①)=/(①)一小讨论9(立)的单调性，分析画出函数的图象，由—cc<?7z+l可知

—3+ln24TTIV—2.

【详解】

关于力的不等式力+mV/(i)<x-\-m+l有且仅有两个整数解，转化为m<f(G—/Vm+l有且

―3x-2,化40

x—2,0V/W1

仅有两个整数解，令g(/)=/(2)X—<

—In(a;-1)—0；,lVc42’

ln(rc—1)—x,2V/43

当2V/W3,g(/)=ln(x-l)-x,g'(x)=一］=<0,所以g(2)在(2,3］上

•丁JU_LJUJ_=J:u二.L:

单调递减，同理已知g(i)在(—8,0],(1,2]上单调递减，在(0,1]上单调递增，且g(0)=—2,g⑴=

—l,g(2)=—2,g(3)=ln2—3,g(x)的图象如下图，而y=m,y=m+1的距离为1,即在y=m,y=m

+1之间有且仅有两个整数解，所以一3+ln2Wm<—2,则m的取值范围是：［—3+ln2,-2).

故答案为：［—3+ln2,-2).

例9.(2022•全国•高三专题练习)不等式(/_1)1。11+工2。。2+2/—iwo的解集为：

【答案］［—苧，掾］

【解析】将不等式化为(rc2)1011+x2<(1—/2)i°n+1一心构造/(力)=dn+c根据其单调性可得力

1一求解即可.

【详解】

不等式变形为("一l)1011+rr2-l+(x2)1011+d&0,

所以(a:2)1011+a;2<(1—rr2)1011+l-rr2,

令/(力)=+/,则有/(")</(1一x2),显然/(2)在R上单调递增，

则力2&1—22,可得224,解得—,《力V

故不等式的解集为

故答案为：［—卒，乎］

例10.(2022.四川遂宁.三模(文))德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯

得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对1

+2+3+…+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈

现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法，现有函