圆锥曲线的方程讲义-高三数学一轮复习

人教A版数学圆锥曲线的方程专题四

知识点一根据a、b、c求椭圆标准方程，求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中的直线过定点

问题

22

典例1、已知椭圆C：1+与=1(a>8>0)的左右焦点为月，F2,上、下端点为九星.若从周，

%,B],当中任选三点所构成的三角形均为面积等于2的直角三角形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，过点网0,2)作两条不重合且，斜率之和为2的直线分别与椭圆交于A,B,E,尸四点，

若线段A5,石厂的中点分别为M,N,试问直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果

不是，请说明理由.

22

随堂练习：已知椭圆M』+3=l(a>b>0)上任意一点P到椭圆M两个焦点片,工的距离之和为4,且

cib

离心率为".

2

(1)求椭圆加的标准方程；

(2)设A为M的左顶点，过A点作两条互相垂直的直线AC,AD分别与M交于C,。两点，证明：直线8

经过定点，并求这个定点的坐标.

22(oA

典例2、已知椭圆C:，+==l(a>6>0),过点-―丁,1,(亚应).

abI2,

(1)求。的方程；

(2)若不过点A(。,2)的直线/与。交于弘N两点，且满足|AM+AN|=|AM-AN试探究：/是否过

定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

随堂练习：已知为椭圆E:J+(=l(a>6>0)上一点，上、下顶点分别为A、B,右顶点为C,

且〃2+/=5.

(1)求椭圆E的方程；

(2)点P为椭圆E上异于顶点的一动点，直线AC与5尸交于点Q,直线C尸交y轴于点H.求证：直线HQ

过定点.

223

典例3、已知椭圆。：，+夫=1(稣6>0)过点4(-2,0).右焦点为尸，纵坐标为彳的点〃在。上,

ab2

且AFIMF.

（1）求。的方程；

（2）设过/与x轴垂直的直线为1,纵坐标不为0的点P为。上一动点，过万作直线⑸的垂线交/

于点0,证明：直线网过定点.

随堂练习：已知点耳（-1，。），圆巴：（x-iy+y2=8,点。在圆工上运动，。£的垂直平分线交。工于点P.

（1）求动点尸的轨迹C的方程.

（2）动点尸的轨迹C与x轴交于A,8两点（A在B点左侧），直线/交轨迹C于M,N两点（V,N不在x

轴上），直线AM,3N的斜率分别为印，k2,且勺=2m，求证：直线/过定点.

知识点二根据a、b、c求椭圆标准方程,根据韦达定理求参数，根据弦长求参数

典例4、已知椭圆E:]+/=1（°>6>0）过点（2,0）,离心率为,.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线y=fcv-0被椭圆C截得的弦长为|,求％的值.

随堂练习：已知椭圆氏£+5=1伍>6>0）的离心率为无，上顶点为A（O,1）.

ab2

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点川0,白）且斜率为％的直线与椭圆E交于不同的两点N,且|MN|=半，求人的值.

丫229

典例5、已知椭圆点+白=1（°>6>0）的离心率为。左顶点为A（-3,0）.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线/：y=H（左>0）与椭圆在第一象限的交点为尸，过点力的直线/'与椭圆交于点。，若/'///,

<|A2|=||0P|（。为原点），求％的值.

随堂练习：已知椭圆C：J+/=l（a”>0）的焦距为2石，且过点）野

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过椭圆顶点5（0㈤,斜率为％的直线交椭圆于另一点。,交x轴于点E,且忸。|、忸冏、|烟成

等比数列，求於的值.

典例6、在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆C*，=l（a>6川的离心率e=#,且椭圆。上一点N

到。（0,3）距离的最大值为4,过点“（3,0）的直线交椭圆。于点/、B.

（1）求椭圆。的方程；

（2）设夕为椭圆上一点，且满足0A+08.0P（。为坐标原点），当|AB|<6时，求实数力的取值范围.

随堂练习：已知弘N分别是x轴，y轴上的动点，且MV|=4+26,动点P满足=设点P

的轨迹为曲线C.

(1)求曲线。的轨迹方程；

(2)直线4：3x-2y=O与曲线。交于/,8两点，G为线段47上任意一点(不与端点重合)，斜率为4

的直线4经过点G，与曲线C交于区厂两点.若」黑石的值与G的位置无关，求次的值.

GA•

人教A版数学圆锥曲线的方程专题四答案

22

典例1、答案：(1)y+^=l(2)直线MV过定点，且定点为(TO)

解：(1)解法一：从月，工，吕，当中任选三点可构成四个三角形，

其中△64巴△乌耳员工，△耳耳小会△片居鸟.

为此仅需考虑△耳与乙，一片匕坊为面积等于2的直角三角形即可.

其中%平心=：2c加=1,5例下能=；.26c=l.

因为△片8万为等腰三角形，故可得/耳3解=90。，即有：2a2=公2；

同时因为用耳耳为等腰三角形，故可得/B也5=90。，即有：21=4〃；

综上可得：b2=c2=2,a2=4,即可得椭圆C的方程为《+反=1.

42

解法二：由椭圆的对称性，结合已知条件可知从片，四，当中任选三点所构成的三角形,

均为等腰直角三角形，故四边形大与外层是面积为4的正方形，

又正方形的边长为"，故"=4,即。=2

又正方形的对角线相等，所以2b=2c,即b=c

22

又因为廿+°2=/=4,所以6=C=0从而椭圆C的方程为匕+乙=1.

42

（2）解法一：依题意，设直线A3的方程为：y=G+2①

设直线所的方程为：y=k2x+2,

联立方程①与椭圆C的方程可得（26+1）/+8幻+4=0

由韦达定理得4+4=-2：,；］，根据中点公式可得：X”=/；/=_1

则为=幻M+2=R'即”卜'，舅同理可得：N卜春，念

故直线MN的方程为：y-念=匚会卜+哉］

因为匕+网=2,将履=2-匕代入上式可得：y=,一广（尤+1）

i一4勺十4K］

故直线MN必过定点Q（TO）.

解法二：依题意可知直线MN的斜率存在，设直线MV的方程为：y=+b①,

设直线AB的方程为：>=左/+2②，设直线E厂的方程为：y=k2x+2,

联立方程②与椭圆C的方程可得（2片+l）d+瓯犬+4=。

XXAXB

由韦达定理得4+4=-2：T；1根据中点公式可得：M=~^=-2^'+1

同时点M是直线AB和直线跖V的交点，联立方程①②得与=餐!

Ky—K

4kb-2

即可得一整理得2必；-4%+6-2=0④

同理可得2"：一4麻]+匕一2=0⑤

根据④⑤可以理解为匕，左2为关于院的一元二次方程2次;-4kko+b-2=O的两个根.

由韦达定理可得：勺+幺=笠=华=2,即可得：b=k,

2bb

直线MN的方程为：y=Ax+6=Mx+l）,故直线MN必过定点。（TO）.

随堂练习：答案：（1）；+丁=1（2）直线CD恒过定点证明见解析

解：（1）由椭圆定义知:|「耳|+|尸词=2a=4,解得：0=2,

又曷心'率e=£=^^,c=A/3,Z?2=a2—c2=1,

a2

二椭圆M的标准方程为：=+V=l.

4

（2）由（1）知：A（-2,0）；

当直线8斜率存在时，设。。:丁=履+根，。（药,％）,

y=kx+m

由</得:（1+4左?）％?+8Amx+4m2—4=0,

——+V=1

14'

2

则A=16（l+4左2一/）>。，解得：m<1+4V,.,.%+%2=-;一~Try,xxx2=

1+4K

-L,鼬=%；2.%j2=j=_菁%2_2（%+%2）—4,

2

即（烟+m）（kx2+m）=+研（%+x2）+m=—x^x2.2（再+x2）—4,

2

二.（左2+1）玉电+（〃+2）（石+x2）+m+4=0,

（£+I）（W-4）8km（mk+2）

+/+4=0，

1+442~1+412-

2

整理可得：5m-16Am+12左2=（5加一6左）（m一2左）=0,.,.根=与左或加=2人;

当根=2左时，直线CD:y=Ax+2左=左（%+2）恒过A点，不合题意；

当加=$时，直线小y=丘+驷=*+£|,9恒过定点m；

当直线。斜率不存在且恒过,g，01寸，即CD:x=-《，

X=—6―4-4

由《25得:y=±U，kAC,kAD=—X65=_1,满足题意；

工+）2=15）+2）+2

〔4y55

综上所述：直线8恒过定点,g，o]

典例2、答案：⑴4+4=1⑵直线过定点°，一］

64I5J

'91

----1--=11O

解：（1）由题意，2,?，解得/=6方=4,所以椭圆0的标准方程为［+4=1.

64

A+A=i

（2）因为|AM+AN|=|AM-AN|,两边平方，化简整理得，AM-AN=O

易知直线/的斜率存在，设其方程为丫=履+加，其中mW2.

工+匚1

由<64,（3左2+2）X?++3;〃2—12=0,

y=kx+m

△=36左2租2—12（3k2+2）（m2-4）=24（6k2+4-m2）,

设〃（不乂）川（々,%）,则为+%

3K"T"L3K+Z

所以AM.KA公％%+（%-2）（%-2）=玉%2+（g+加-2）（京2+加一2）

2

=（左2+1）玉々+左（m一2）（%+x2）+（m-2）=0,

所以俨+4黑1+左（吩2）・瞪1+（吩2）2=0,

即（左2+l）（3m2-12）-6k2m（m-2）+（m-2）2（3）t2+2）=0,

因为znw2,所以（左之+1）（3m+6）-6k2m+（m-2）（3k2+2）=0,

所以3左2m+6女2+3加+6—6左之祖+3左2m+2加一6左2—4=0，

2

得5加+2=0,解得加二一不，满足A>0,

所以直线’的方程为：y=kx-^,即直线过定点（0,

丫2

随堂练习：答案：（1）-+V=1（2）证明见解析

4

解：⑴因为小⑦为椭圆4+，1（。>6>0）上一点，所以J+£F=L

131S

因为/=5,所以一万+号=1，整理得4/-1%2+15=0,解得从=1或62=—.

5-b-4b4

当b2=:时，a2=7,与矛盾.所以庆=1,a2=4.

44

r2

椭圆E的方程为小

(2)设直线族的斜率为3则/小y=履-1.

y=kx-1

“日42k-l

因为，AC：y=-yX+l,由＜i解侍XQ=不~=不?

y=一一x+1"2k+l=2左+1

2

y=kx-1

X22,所以犬2+4（Ax—1）2—4=0,整理得（1+4左2）x?—8日=。，

因为＜II

=I

8k4k2-1

所以工尸=

4F7T，yp=4k^-

4k2-1

4左2+14/i2k+1，所以/小尸-当三(％-2).

所以kpc=

8k-8k2+Sk-24k-2

4FZI-2

人2k+1

令传ZR力=~

2k+\2k-\（21+1）2（2I）28k

所以%=空_2^±14人2—14/—1_2k

442k—1

-2一+124+12女+1

2左+1

4o：y=------x+

所以RQ2k-12k-1

1*2k4k2k

所以后〉+1=一^~~071（I）.所以直线R。过定点(2,-1).

2k-Y2k-12k-l

22

典例3、答案：（1）3+3=1（2）过定点（2,0）；证明过程见详解

解：(1)设点*G。)，其中c=E^＞0,则加

9

因为椭圆C过点A(-2,0),则a=2,将点M的坐标代入椭圆C的方程得且工r

a2b2

?22

所以4-廿J解得6=百，因此椭圆C的标准方程为上+J=1；

~+V=l43

(2)设点尸(x°,%)(x°/±2,%w0),则3=/,所以直线B4的垂线的斜率为左=-胃,

玉)十Z70

由题可知^(1,0),故直线FQ的方程为V=-W(x-1),

在直线产。的方程中，令X=-2,可得y=3(x0+2),即点Q[_2,3(/+2)],

%Iy0J

3(%+2)

所以直线尸。的方程为3(%+2)"-35+2)-4

%%+2-%(x0+2)

阳3(/+2)一$23(%+2)

-%(~)+2)[3(%+2)—%

因为,+?=i，所以y：=3-乎，

31+2『____3(-0+2)______(/+2)_4

所以3（%+2）-北31+2)-3]1

所以厂端甘（.一4）=甯簧（7），所以直线加过定点（2,。）.

随堂练习：答案：（1）y+/=l（2）证明见解析

解：（1）圆/：（》-1）2+心=8的圆心为玛（1,0）,半径为2立,

依题意得|3|+|尸段=|。闾=2后＞阳阊=2,则动点P的轨迹是以小%为焦点的椭圆,

其中a=0,c=l,b2=a2-c2=l,所以动点P的轨迹C的方程为］+y2=i.

（2）设直线/的方程为彳=沙+叫M（XQ3N（x2,y2）,

x=ty+m

则由彳导(产+2)y?+2mty+m？一2=0,

x2+y2=1

2mt

…二K

由根与系数的关系得①,

m2-2

由题意M,N两点不在x轴上，所以玉力±0,廿土叵，m手土立,

又点.-叵0），可应,。），所以—小，―二^，由"犬=1得一号『

从而由已知k[=2&得-%母=2—,即(%—0)(%—收)=一4%%②,

2ylx2—v2'

又西=0]+巾,x2=ty2+m(3),

将③代入②得d+4)x%+«"L&)(M+%)+("L0)2=°，

将①代入上式并整理得：(r2+4)(m2-2)+r(m-^)(-2mr)+(m-A/2)2(r2+2)=0.

m-yflw0,.\+4)(m+行)+(-2根/)+(加一应)(*+2)=0,

整理得6M+2四=0,.,.加=-乎，直线/的方程为了=0-1，

故直线/恒过定点.

I3J

22

典例4、答案：(1)土+匕=1；(2)左=±1.

42

解：(1)依题意得。=2,因离心率为4,则椭圆半焦距c=应，于是得一°2=2,

22

所以椭圆月的方程为±+±=1.

42

(2)设直线与椭圆£的交点为A(占，%),8(X2,%),

:消去y并整理得：2公「4国町解得寸。『陪

由＜

依题意|AB|=J1+如国-引=|,即［+〃=|,

整理得：Ij娱7：(1+")=|，即/+/一2=0,

解得左2=1,即左=±1,

所以人的值是左=±L

丫2

随堂练习：答案：(1)y+/=l(2)k=±6

解：(1)由禺心率e=£=X^,贝!J〃=A/5C,

a2

又上顶点4(。，1),知b=l,Xb2=a2-c2=1,可知c=l,a=五,

丫2

•••椭圆£的方程为5+丁=1；

（2）设直线/：y=kx+y[3,设〃（玉，X）,N（x2,y2）,

y=kx+-j3

则V,,整理得：（1+2产卜2+4限+4=0,

=1

1—2+'y

.-4尿_4

公=卜园）2-4x4x（l+2/）＞0,即后2＞i,

••X+X=---------9Z_72

］1?-l+2k2-1+2Q

0（1+用伊-1）8后

|AflV|=,1+『［爸=5/1+1。+三）2-4爸）

1+2-

19

即17左4_32/_57=0,解得：左2=3或一行（舍去）••k=±A/3

典例5、答案：（1）—+^=1（2）左=还

953

C7

解：（1）由题意得。=3,e=—=彳，故c=2,

a3

22

所以从="＜2=5,所以椭圆的方程为-+1=1；

（2）设直线/与椭圆得另一个交点为

设「（玉,乂）,知（々,为）,己（W,力）,因为，〃/,则直线/'的方程为'=左（％+3）,

）=女（％+3）2

联立江+《_],消y整理得（9『+5卜2+54〃％+81/-45=。，贝|]一3+无

T+T-+

山”一27廿+1517nl,/030左

所以尤3=》7T'贝U%=Mx3+3)=「p

所以陷=，1+3)2+%2=嚅*，

M>2

联立95-,消y整理得(9/+5*—45=0,

y=kx

45所以|0刊=；户必=；，1+后2.!180

则X]+々=0,%*2=-，

.2+59k2+5

因为|A0|=g|OP|,所以无

解得左=±£1,又左＞0,所以无=地.

33

随堂练习：答案：（1）—+/=1；（2）廿=2±且.

4'4

-13.

_-------I-----------^31

解：（1）由已知2c=2由，即有c=百，由已知条件可得/4bL,解得＜

c2=a2—b2=3

因此，椭圆C的方程为4+丁=1；

4

y=kx+\

（2）由（1）得直线80的方程为丫=区+1,联立匕22，

—+y=1

14'

消去y可得（我2+1）/+8依=0,解得则如

依题意左左0且左右土g,

因为即|、郎、|必成等比数列，^\\BEf=\BD\-\DE\,则。-%＞|为|=1.

当%＞。时，则有其-y°+i=。，该方程无解;

1-小

当％<0时，则煽-如T=。，解得知=

所以MAW，解得心苧

所以，当怛&、|明、|妈成等比数列时，％2=2声.

典例6、答案：(1)—+v2=l；(2)-2<t<-6或6<t<2.

4'

解：(1)椭圆。的半焦距c,/=£=之？=3，即片=4/，

aa4

22

则椭圆方程为苏+方=1,即/+4/=4",设N5,%),

贝UINQ|=J(无0-0)2+(%-3)2=j4/-4y；+(%-3)2=J-3y；-6%+4/+9=-3(%+1)，破+12,

当%=T时，|N0有最大值,4从+12,即，而+12=4,解得廿=1,a2=4,

故椭圆方程是一+丁=1；

4

(2)设A&,%),3(孙％),P(x,y),直线”的方程为y=Mx-3),

y=女(1-3)

由",整理得(1+4左2)%2一24上+36左2—4=0,

.~4

则A=(-24r1一16(9廿—1)(1+4/)>0,解得左2<(,%i+%2=_1^_,Xi.X2=^_i

因|AB|<有且|=Jl+U[x]-x2|,则(1+^)[(占+元2『一4王尤2]<3,

/八242%，4(36%2—4)/cc\

于是有1+2-——\'<3,化简，得8/T16r+13>0,

(1+4左2)1+4左

则8/_1>0,即左2>[所以:</<：,

oo5