云南省大理白族自治州某中学2025届高三年级上册开学数学试题（含答案解析）

云南省大理白族自治州民族中学2025届高三上学期开学数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

Y—2

2.已知不等式3X+2W0的解集为A,不等式一7<0的解集为5,则A是5的（）

x-l

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.已知向量1,n,且同=|三|=中--2力=则向量庖亢的夹角为（）

八兀「兀C

A.0B.—C.—D.71

32

4.将国,马，…,毛每个数均加上9,得到西+9次+9,…,x“+9,则两组数数字特征不同的是

（）

A.平均数B.方差

C.极差D.众数的个数

5.已知/，加是两条不重合的直线，见6是两个不重合的平面，下列结论正确的是（）

A.若/ua,机u尸,/!.机，则夕_1_尸B.若Iua,mu0,a1。,贝!!/_1.加

C.若aCl尸=，尸,〃?ua,m_L/,则机J./D.若lua,mu（3,a〃/3,贝!J/〃他

6.已知函数/（x）=liw+办2_3x在（g,3）上单调递增，则。的取值范围为（）

A.[§,+弓B.（0,-]

C.[，+℃）D.（°，（]

7.已知抛物线C:/=2px（0>O）的焦点尸到其准线的距离为4,M是抛物线C上一点，若

4（2,3）,则W?|+幽|的最小值为（）

试卷第1页，共4页

A.8B.6C.5D.4

8.十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式

357]

sin%=--——+•••+(-1)7^----…，(其中x£氏，〃EN*,加=lx2x3x...x〃，0!=1),

3!5!7!(2〃—1)!

111/八〃-11

现用上述公式求1-4-不+-・+(-1)(2及一2)!+…的值，下列选项中与该值最接近的是

()

A.sin30°B.sin33°C.sin36°D.sin39°

二、多选题

9.对于函数/'(x)=sinx+cosx,下列说法正确的有()

A.2%是/'(X)的最小正周期B.关于对称

C.在0,|的值域为［1,逝］D.在％上递增

10.已知抛物线「：1=2处(°>0),过其准线上的点7(51)作:T的两条切线，切点分别为

/、B,下列说法正确的是()

A.p=4B.当/=1时，7L4_LT8

C.当/=1时，直线的斜率为2D.直线过定点(0,1)

A.若图中为/'(x)图象，则/(x)在》=-2处取极小值

B.若图中为了'(x)图象，则/(x)有两个极值点

C.若图中为P=(x-2)〃x)图象,则/(x)在(0,2)上单调递增

D.若图中为>=(x+2)/(x)图象，则/(耳40的解集为卜卜2W2}

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.等差数列也,｝的前〃项和为S.，若&=6,品=27,贝!]"=.

13.现有3名男生，3名女生和2名老师站成一排照相，2名老师分别站两端，且3名女生

互不相邻，则不同的站法为.

14.若(l+2x『°24=/+%%+出幺+...+%024—24,贝

%—2出+3%一•,,—2024。2()24二.

四、解答题

15.已知V/3C内角aB,C的对边分别为a,b,c,且回sinC=3ccos5.

⑴求角B的值；

(2)若6=4,ac=16,求V/BC的周长.

16.若数列是等差数列，则称数列｛%｝为调和数列.若实数a、6、。依次成调和数列,

则称。是a和c的调和中项.

⑴求g和1的调和中项；

(2)已知调和数列｛4｝,%=6,&=2,求｛4｝的通项公式.

(1)求证：ABVCD■.

(2)求二面角B-AC-D平面角的余弦值.

18.每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”,

为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在

线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[0,2],

(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九组，绘制成如图所示

试卷第3页，共4页

的频率分布直方图.

频率

八羸

0.15------------------1—

18日平均阅读时间(小时)

⑴求。的值：

(2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平

均阅读时间在(8,10］,(10,12］两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这

10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在12］内的学生人数为X,求X的分布列和数

学期望.

226

19.设椭圆C：T+W=1(4>6>())的左焦点为尸，上顶点为3,离心率为半，。是坐标原

点，S.\OB\-\FB\=y［6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线/：y=履与椭圆C在第一象限内的交点为尸，|尸耳=归。］,直线加'与直线/的交

点为°,求VBP。的面积.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DCCACCDBACBD

题号11

答案ABD

1.D

【分析】根据复数除法运算求解.

【详解】2—2一二2—止二匕.

1+i222

故选:D.

2.C

【分析】解不等式，根据集合的包含关系求解即可.

【详解】由尤2-3x+2=(x-l)(无一2户0解得1W2,所以/={x|lVx42},

由(x-2)(x-1)<0解得1<x<2,所以B={x[l<x<2},

所以集合3是集合A的真子集，

所以A是8的必要不充分条件，

故选：C

3.C

【分析】对|3成-2万两边同平方得9+4-12所•力=13,则解出脍•方=0,则得到答案.

【详解】由|3成一2万|=&5,得|3玩一2开=(3比一2初2=%沅12M㈤272玩•河=13,

又|玩|=|叫=1,9+4-12分元=13,整理得:m-n=0,

因为(见“e[0,句，所以玩，万的夹角为

故选：C.

4.A

【分析】利用平均数、方差、极差、众数的意义判断即得.

【详解】依题意，再+9,%+9,…,x“+9的平均数

〃日一

r

x=—V(xz+9)=—Vxz+9=x+9,

nz=inZ=1

因此两组数的平均数不同，A是；

答案第1页，共11页

222

=-Y(^-x),再+9,工2+9广、当+9的方差5'2=，£8+9-苫')2=-V(x,.-x)=5,

ntn,=1n,=1

因此两组数的方差相同，B不是；

由于数据再,9,…,X"中的最大与最小，同力口9后，在数据玉+9,%+9,…,x“+9中对应的数仍

是最大与最小，

因此两组数的极差相同，C不是；

显然数据为,9,…,血中出现次数最多的数，同力口9后，在数据项+9,超+9,%+9中对应的

数出现次数最多，

因此两组数的众数的个数不变，D不是.

故选：A

5.C

【分析】对于A,根据a,6可能平行、可能相交且不垂直判断；对于B,根据/，加可能平

行、可能相交且不垂直、异面且不垂直判断；对于C,根据线面垂直的性质定理判断；对于

D,根据/〃根或异面判断.

【详解】对于A,/u“,机u尸,/，加，则a,£可能平行、可能相交且不垂直，故A不正确；

对于B,lua,mu(3,a1。,则/,加可能平行、可能相交且不垂直、可能异面且不垂直，

故B不正确；

对于C,若an£=/,c_L£,〃7ua,〃z_L/,根据线面垂直的性质定理可知加_L£,故C正确；

对于D,若lua,mu/3,a〃/3,贝!!/〃根或异面，故D不正确.

故选：C.

6.C

【分析】求出函数/(x)=lnx+#-3x的导数，由题意可得2"2-3X+120在(g,3)上恒成立,

由此参变分离，结合二次函数的最值即可求得答案.

【详解】因为/'(无)=lnx+"2-3无，所以7~'(x)=，+2依_3=-x一一3x+l,

由/(无)在(1,3)上单调递增，得/'(X)>0在(1,3)上恒成立，

即2晨-3x+120在(万,3)上恒成立，,

即aN—=一;(工一1)2+|■在(；,3)上恒成立，

2x2x2x282

答案第2页，共11页

Q111QQQ

当x=we（z，3）时，二次函数y=_彳（一一彳了+了取到最大值g,

222x288

99

即0的取值范围为+s）,

oO

故选：C

7.D

【分析】由抛物线的焦点坐标求得。，设在准线/上的射影为初>4,利用抛物线的定

义进行转化后易得最小值.

【详解】由焦点厂到其准线的距离为4,得P=4；

设在准线/:x=-2上的射影为A/〉同如图，

贝I]|M4|+\MF\=|A£4|+\MM^>\AA^=2+2=4,

当且仅当4,M,/共线时取得等号.所以所求最小值是4.

故选：D.

8.B

【分析】求出(sinX)，后代入x=1得cosl=sin^j-1|可得答案，即[0。-詈1与33。最接近.

246-1X2

【详解】(sin尤)'=cosx=l-1y+|y+-■•+卜1)”

（2«-2）1

所以cosl—1+--+(1)H

2!4!6!⑵-2)!

=sin[a一[=sin190°-7；由于

’1QQ°\

9。。一三与33。最接近，

答案第3页，共11页

故选：B

9.AC

【分析】利用辅助角公式化简，再根据>=Zsin(o%+0)+3的性质逐个判断即可

【详解】/(%)=sinx+COST=-^-sin[1+?)，

27r

对A,周期为丁=2万，故A正确；

对B,令=，得〃x)=亚5击仁+3=国咛=1,所以函数小)不关于g,01寸称,

故B不正确；

对C,当OVxW^时，^<x+^<^,所以也、孝^^出口+:上gxl,即/'(x)的值

域为[1,拒],故C正确；

对D,当万时，^<x+^<^~,所以函数/(x)在不上单调递减，故D不正确,

故选：AC.

10.BD

【分析】根据T(f,T)为准线上的点列方程-]=-1,解方程即可得到。可判断A；利用导

数的几何意义得到过点/的切线斜率，可得到为，马为方程

x2-3x-4=0的解，然后利用导数的几何意义和韦达定理得到给•率=-1,即可判

断B；利用韦达定理和斜率公式求如即可判断C；联立x：-2比「4=0和片=4无得到

2必_1_2=0,同理可得2%_02_2=0,即可得到直线的方程为2y_/x_2=0,可判

断D.

【详解】因为7亿-1)为准线上的点，所以-5=-1,解得。=2,故A错；

根据抛物线方程得到y=5,则>=鼻，设切点坐标为/卜，手;3卜,J]，

1H

则±=土，整理得x；-2x「4=0,同理得考一2%-4=0,

]—X]2

答案第4页，共11页

所以X],%为方程--2尤-4=0的解，XjX2=-4,

所以禽•&B=5，/=T，则以，逸，故B正确；

X；X；

由B选项得芭+工2=2,所以左二这一4_占+工2_1,故C错；

AB-X1-z-42

由B选项得x；-2/X]-4=0,又x；=4yt,联立得2乂-%-2=0,

同理得2%-%-2=0,所以直线的方程为2»-女-2=0,恒过点（0,1）,故D正确.

故选：BD.

【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，

即确定题目中核心变量（通常为变量上）；②利用条件找到上过定点的曲线厂（x,y）=0之间的

关系，得到关于左与x,＞的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探

索出定点，再证明该定点与变量无关.

11.ABD

【分析】选项A：若图为/（“图象，〃x）在x=-2左右单调性一致，不是极值；

选项B：若图为/（X）图象，根据导数与0的大小判断单调性，判断极值.

选项C:若图为y=（x-2）厂（龙）图象,根据图像的正负判断y=7'（x）的正负，判断单调性.

选项D:若图为了=（尤+2）/（x）图象，根据图像的正负判断y=/（x）的正负，解出/（无）40

的解集.

【详解】选项A：若图为/'（X）图象，则/（x）在》=-2两边单调性一致，不是极值，故A错

误；

答案第5页，共11页

选项B：若图为/'(X)图象，X£(-<»,-2),/'(x)<0,函数单调递减；

xe(-2,0),r(x)>0,函数单调递增；xe(O,2),f'(x)<0,函数单调递减；

xe(2,yo),/，(x)>0,函数单调递增；故函数有-2,0,2三个极值点，选项B错误；

选项C:若图为了=(》-2)厂(龙)图象，贝口-2<0时，单调性相反，即xe(r»,-2),

/'(x)>0,函数单调递增;x«-2,0)"，(x)<0,函数单调递减;xe(0,2),/(x)>0,函数单

调递增；当单调性一致，/'(尤)>0,函数单调递增；故C正确；

选项D:若图为了=(尤+2)〃x)图象，尤+2<0,图像正负相反，无+2>0时图像正负一致,

/(尤)40的解集为{x|04x<2},故D错误;

故答案为：ABD.

12.15

【分析】根据等差数列的性质得到2(艮-工)=£+59-56,求出答案.

【详解】设S6=X,由等差数列的性质可得2($6-63)=63+Sg-S6，

又Sf—S3=x—6,Sg—$6=27—x,贝jj2(x—6)=6+27—x,解得x=15.

故答案为：15

13.288

【分析】利用分步计数原理结合特殊元素优先安排的方法可得答案.

【详解】根据题意，分3步进行：第一步，2名老师分别站两端，有A：=2种站法；

第二步，先安排3名男生，有A；=6种站法，男生排好后，有4个空位可选；

第三步，将3名女生安排在4个空位中的3个，有A；=24种站法，所以不同的站法有

2x6x24=288.

故答案为：288

14,-4048

【分析】对(1+2》广4=%+%x+%«+…+%必留"等号两边分别求导，再赋值》=-1,可

求得答案、。

答案第6页，共11页

［详解］(1+2X『°24=%+qx+%£H--+%024£，

2023

等号两边分别求导，得4048(1+lx).=q+2a2x+3a3^+•••+2024TZ2024A,

令x=—1,有4048x(-l)2023=a［一2。2+3。3----2024。2024，

所以％-2a2+3%2024。2()24=—4048.

故答案为：-4048

71

15.(1)-

⑵12

【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合同角的三角函数关系化简，即可得答案;

(2)由余弦定理结合已知条件，即可求得答案.

【详解】(1)因为V§bsinC=3ccosB，所以gsin5sinC=3sinCcosB

又。为V45。内角，sinCwO,所以百sinB=3cosB,

显然8不满足百sinB=3cos5,即有tan5二抬"，

JT

而8£(0,兀)，所以

(2)由余弦定理得/=a2+c2-2accosB=(tz+c)2-3ac,

6=4，QC=16，则a+c=J/+3tze=8,

所以V45c的周长为a+b+c=12.

1

16.⑴5

【分析】(1)根据题意得到3、9、1成等差数列，从而得到方程，求出6=：,得到答案；

b2

(2)根据题意得到，，［是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求

12〃+1ZX,一

出一=——,得到｛%｝的通项公式.

答案第7页，共11页

【详解】(1)设工和1的调和中项为6,依题意得：3、:、1成等差数歹

3b

所以:===2,解得：b=\,

b22

故;和i的调和中项为5；

(2)依题意，是等差数列，设其公差为d,

…71171

则3d=----=>d=—,

269

11/八711/1\2z?-4

所以工=1+（〃一i）"=%+5（"-D=-1r

18

故。〃

2〃+1

17.(1)证明见解析

⑵答

【分析】(1)取CD的中点E,连接/E,BE,利用线面垂直的判定定理得CD，平面/BE,

再由线面垂直的性质定理可得答案；

(2)利用面面垂直的判定定理得平面平面ABE,取3E,BC的中点。，尸，由面面

垂直的性质定理得20,平面BCO,以。为原点，OA,OF,OE所在的直线分别为x,y,z轴

建立空间坐标系，求出平面/3C、平面/CD的一个法向量，由面面角向量求法可得答案.

【详解】(1)取的中点£,连接BE,

由NC=4D,所以4E_LCD,

由BCnBD,所以BE_LCD,

又BEME=E,BE、/Eu平面

所以CD_L平面/BE,又48u平面/BE,

所以48_LCD；

(2)由(1)知CD_L平面4BE,又CAu平面BCD,所以平面BCDJ,平面/BE,

由/C=BC=5,CE=3,所以/E=8E=4,

又4B=4,所以为正三角形，

取BE,BC的中点。，尸，则平面BCDn平面,

2。_L平面BCD,OF//CD,则CM,O£OE两两垂直，

答案第8页，共11页

以。为原点，OA,。尸,。£所在的直线分别为x，%z轴,

建立如图所示的空间坐标系；

则/（0,0,26），5（0,-2,0）,C（3,2,0）,。（一3,2,0）,

所以诙=（0,2,2芯），就=（3,2,-26），CD=（-6,0,0）,

设方=（%“1，Zi）是平面N3C的一个法向量，

n.•BA=02y,+26z1=0

所以彳-----•即,

nxAC-0[3西+2%-2A/3Z]=0

令4=6，所以石=4,乂二一3,即々二（4,一3,班）；

设%=卜2，%/2）是平面4cZ）的一个法向量，

n2CD=0X?=0

所以「一即

n,AC=03%+2%-2V=0

令,贝！J%2=0，%=3,即几2=（0,3,g）,

设二面角的平面角为6,所以cosd=）「吧=坐

\nt\-\n2\14

二面角8-NC-D平面角的余弦值为国.

（2）分布列见解析，E（X）=（

【分析】（1）根据所以频率和为1进行计算；

（2）根据分层抽样可得相应组抽取的人数，则X服从超几何分布，根据

P（X=k）=笔:，左=0,1,2,3进行计算求解.

Jo

答案第9页，共11页

【详解】（1）由频率分布直方图得：2（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01）=1.

解得a=0.10；

（2）由频率分布直方图得：

这1000名学生中日平均阅读时间在（8,10］,（10,12］两组内的学生人数之比为0.15:0.1=3:2,

若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在（