2024-2025学年陕西省西安市雁塔区某中学九年级（上）开学数学试卷+答案解析

2024-2025学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）开学数学试

卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.3x2+y=0B.ax2+bx+c=Q

C.（x—3）（7-2）=x2D.（3a;-l）（3a:+1）=3

2.如果分式团二^的值为0,那么x的值为（）

x+1

A.±1B.-1C.1D.1或0

3.若4,b,b,C是成比例的线段，其中a=3，c=12，则线段6的长为（）

A.2B.4C.6D.15

4.如图，在3x3方格纸中，点/、B、C、D、E、歹分别位于小正方形的格点上.从

4、D、

£、尸四个点中任意选取两个不同的点，以所取得这两个点与点3、C为顶点画四边

形，则所画四边形是平行四边形的概率为（）

5.如图，正六边形外作正方形DEG",连接/”交。£于点O,则二行等于（）

OH

C.2D.V2

6.若关于x的分式方程3T-3=4的解为正数，则/的取值范围是（）

X—11—X

A.m<一2且山壬-3B.m<2且—3

C.m>一3且？-2D.m〉一3且771^2

7.如图,在矩形ABCD中,对角线4C与5。相交于点。，AABD=60°，AEYBD,

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B

垂足为点E,尸是OC的中点，连接跖，若EF=2g，则矩形N8C。的周长是（）

A.16^3B.873+4C.473+8D.8^3+8

8.如图，在平面直角坐标系中，菱形0/8C的边长为2遍，点8在x轴的

正半轴上，且/4。。=60°，将菱形O/8C绕原点。逆时针方向旋转60°，

得到四边形（点4与点C重合），则点的坐标是（）

A.(3^6,372)

B.(3^2,376)

C.(3^2,6^2)

D.(6^2,3^6)

9.如图，在平行四边形/BCD中，对角线相交于点O,AC=AB,E是48边的

中点，G、尸为8C上的点，连接OG和斯，若AB=13,BC=W,GF=5.

则图中阴影部分的面积为（）

A.48B.36C.30D.24

10.如图，平面内三点/、B、C,48=4,AC=3,以3C为对角线作正方形ADCE,连接则

的最大值是（）

A.5

B.7

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7〃

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.已知：号"，则丁=一.

12.某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本.

已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数

为.

13.用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个

转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是.

14.已知°、6是关于x的一元二次方程/—(2m+3〃+机2=。的两个不相等的实数根，且满足;+；=1,

则m的值是.

15.如图，在△48。中，。是/C的中点，△48。的角平分线/E交AD于点尸，若BF：KD=3：1，

AB+BE^3V3^则△ABC的周长为.

16.如图，点E是菱形/BCD边48的中点，点尸为边/D上一动点，连

接£凡将沿直线M折叠得到△AEF,连接AO，AC已知

BC=4,ZB=120%当为直角三角形时，线段/斤的长为

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三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题10分）

解方程：

⑴2/—4Z-3=0；

⑵2工___2=________

㈠①―2一/（厂2）；

n—94

⑶化简求值：+其中.=追-Z

18.（本小题8分）

如图，在口ABCD中，对角线/C与3。相交于点O,点E,尸分别为03,O。的中点,延长/£至G,^EG=AE,

连接CG.

（1）求证：AABE沿4CDF；

（2）当与/C满足什么数量关系时，四边形EGC尸是矩形？请说明理由.

19.（本小题6分）

一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个

球，是白球的概率为1.

（1）布袋里红球有多少个？

（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是

白球的概率.

20.（本小题6分）

如图，在△48。中，点M为/C边的中点，点£为48上一点，且4B=44E，连接E"并延长交8C的

延长线于点D求证：BC=2CD.

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21.(本小题10分)

某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品.当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、

三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这

两个月的销售量月平均增长率不变.

(1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率；

(2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量

增加5件.为尽可能让利顾客，赢得市场、问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？

22.(本小题12分)

定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等

邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.根据以上定义，解决下列问题：

E

图1K2

(1)如图1,以菱形/BCD的一边CD为边向外作正方形CZ)EF,M、N分别是菱形和正方形的对角线交点，

连结

①求证：四边形是“直等补”四边形；

②若MN=回求四边形。MCN的面积.

(2)如图2,已知四边形/BCD是“直等补”四边形，其中48=3。=5,CD>AB,过点3作BE,CD

于点£且BE=4,连接BD，若点尸是线段3。上的动点，请你直接写出△PEC周长的最小值.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A,不是一元二次方程，故本选项错误；

2、不是一元二次方程，故本选项错误；

C、不是一元二次方程，故本选项错误；

是一元二次方程，故本选项正确；

故选D

只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据以上定义判断

即可.

本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键.

2.【答案】C

【解析】解:根据题意得网—1=0且2+号0,

解得x=\.

故选：C.

利用分式有意义的条件得到固-1=0且c+1#0,然后求出两不等式的公共部分即可.

本题考查了分式有意义的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.

3.【答案】C

【解析】解：•.•线段。、b、6、c是成比例线段，

ab

.一=一,

一bc

：.y二QC，

Q=3,c=12,

62=3x12=36，

=6（负值舍去）.

故选：C.

根据线段a、b、b、c是成比例线段，得出?=匕利用比例的基本性质得到肥=加，再把a=3,c=12代

bc

入计算即可.

此题考查了考查了比例线段的定义，注意6、c、d是成比例线段即m=L要理解各个字母的顺序.

bC

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4.【答案】B

【解析】解：列表如下:

ADEF

A—(M)(EM(E加

D(40---(瓦0(F,D)

E(4©(D,E)—(F,E)

F("(D,F)(E,F)—

所有等可能的情况有12种，其中能构成平行四边形的有（E,A）；（F,。）；（人石）；（，F）共4种,

41

则P=——=—.

123

故选3

列表得出所有等可能的情况数，找出能构成平行四边形的情况数，即可求出所求的概率.

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

5.【答案】B

【解析】解：连接如图所示：

由正六边形和正方形的性质得：B、D、〃三点共线，

设正六边形的边长为则AB=BC=CD=DE=a，

•.•在△6。。中，BC=CD=a,ABCD=120%

BD=V^a.

-：OD//AB,

OABD\/3ar-

.---------------------vJ,

"OHDHa

故选：B.

连接3D,如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、”三点共线，设正六边形的边长为a,则

AB=BC=CD=DE=a,解直角三角形求出BD,再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

本题考查正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属

于中考常考题型.

6.【答案】C

【解析】解：去分母得：24—33—1）=—机，

解得：x=m+3,

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2TTD

•.・关于X的分式方程一^一3=^一的解为正数，且*1,

m+3>0且m+3#1,

解得：m〉-3且加羊—2,

故选：C.

解分式方程得出x=m+3,结合题意及万壬1,得出m+3>0且m+3壬1,进而得出m>-3且wzr-2,

即可得出答案.

本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，掌握分式方程的解法及分母不为0是解决问题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：•.•四边形4BCD是矩形，对角线/C与AD相交于点。，

AABC=90°>OA=OC=,OB=OD=；BD,且

s.OA^OB,

■：AABD=60°，

是等边三角形，

,-,AB=OA=OC=^AC,

：,AC=2AB，

•.•4后，8。于点£,

为。2的中点，

是。C的中点，EF=2通，

BC=2EF=2x273=473，

.•.4。=3。=4存

：BC=VAC2-AB2=《QAB?—AB2=V^AB，

V3AB=4\/3>

，AB=C0=4，

，4。+8。+48+CO=4血+4血+4+4=8通+8，

矩形ABCD的周长是8五+8，

故选：D.

由矩形的性质得/43。=90°,OA=OB,而N4BO=60°,则△40B是等边三角形，所以

48=04=。。=^4。，因为于点E,所以E为。2的中点，而尸是OC的中点，贝!I

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2

BC=2EF=4，W，则勾股定理得8。=VAC-AB2=V3AB>则V3AB=4四，AB=4,即可求

得矩形ABCD的周长是88+8，于是得到问题的答案.

此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△/。用是等边三角形是解题

的关键.

8.【答案】B

【解析】解：如图，过笈作沙轴于D,连接OB',yl

•.,将菱形。/8C绕原点。逆时针方向旋转60°，得到四边形OA'BC[)________'

乙4。。=60°,菱形CU8C的边长为2祈，

：.OC'=C'B'=2通，AC'OC=ACOA=GO°，B'C'//OC,

C(Ar)

ADC'B'=AC'OC=60°>

ADB'C=30°，

CD=\CB'=V6,W=—BV=3^2)

22A

:.OD=OC+C'D=3\^^

B'的坐标是(3〃,3遍)，

故选：B.

如图，过引作B'OL/轴于D,连接OE，根据旋转的性质得到OC'=C'B'=2娓,AC'OC=ACOA=60°>

B'C'//OC,根据平行线的性质得到ADC'B'=AC'OC=60°，求得ADB'C=30°，根据直角三角形的性

质即可得到结论.

本题考查了菱形的性质，坐标与图形变化-旋转，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：如图所示，连接EO,EG,OF,A------------D

•.■平行四边形N8CD中，对角线相交于点O,/\///

0是/C的中点，/

又E是N3边的中点,X/\'：\/

.•.石。是4/6。的中位线，"差----FC

：.EO//BC,EO=^BC=5,

又•「GF=5,

：,EO=GF，

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二四边形EOFG是平行四边形，

.S^EOP+S^FGP=]S四边形EORG=S/\EOG»

又•.•EO"BG,

S/\EOG=S丛EOB,

•*.S丛EOP+S/\FGP=S丛EOB,

S阴影部分=S/\AOE+S/\EOP+S/\FGP=S、AOE+S^EOB=S^ABO,

'AC=AB=13，BC=10，

.・.等腰△48。中5C边上的高为^132-52=12，

SRABC=；x10义12=60，

•■•0是4c的中点，

S/\ABO=j5AABC=；X60=30，

阴影部分的面积为30,

故选：C.

连接E。，EG,OF,依据£。是△/口。的中位线，即可得出EO〃BC,EO=^BC=5,进而得到四边

形EOFG是平行四边形，据此可得S阴影部分=SAAOE+S/XEOP+S&FGP=S^AOE+S&EOB=S44BO，求得

△AB。的面积即可得出结论.

本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质的运用，解题时注意：平行四边形的两条

对角线将平行四边形分成面积相等的四部分.

10.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查正方形的性质，旋转的基本性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，

学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.如图将△BD4绕点。顺时针旋转90°得到皿由旋

转不变性可知：4B=CM=4,DA^DM.AADM=9Q°＞推出是等腰直角三角形，推出

AD=—AM^推出当4/的值最大时，/。的值最大，利用三角形的三边关系求出//的最大值即可解决

2

问题

【解答】

解：如图将绕点D顺时针旋转90。得至U二。DM.

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△40”是等腰直角三角形，

：,AD=^AM>

.,.当的值最大时，40的值最大,

■：AM《AC+CM,

:.AM^7,

：.AM的最大值为7,

.•.4。的最大值为它1,

2

故选：D.

97

11.【答案】y

【解析】解：•.•一=：

.•.上^=?（更比定理），

y7

x—y+2n13+7x2/人「一、

一匕一-=一彳一（合比定理），

x+y27

即一-=v

y7

_27

故答案是：y.

根据更比定理求得T一—-=V13；然后由合比定理求得T二+1^/=亏27.

V7y7

本题考查了比例的性质.解答该题时利用了更比定理（一个比的前项与另一个比的后项互调后，所得结果仍

是比例）和合比定理（在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与

它的后项的比，这叫做比例中的合比定理）.

12.【答案】6

【解析】先设第一组有x人，则第二组人数是1.52人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本

・第一组的人数-第二组同学共带图书27本+第二组的人数=1,根据等量关系列出方程即可.

解：设第一组有x人.

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根据题意，得---——=1,

X1.52;

解得x—6.

经检验，7=6是原方程的解，且符合题意.

答：第一组有6人，

故答案为6.

此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，不要忘记检

验.

13.【答案】1

【解析】解：画树状图如下：

开始

行m欣旅

ZT\Zl\/4\/N

红黄蓝红黄蓝红黄蓝红黄蓝

共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果有4种，

41

二,配成紫色的概率为访=于

故答案为：[

O

画树状图，共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果有4种，再由概率公式求解即可.

本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以

上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14.【答案】3

【解析】解：ra、6是关于x的一元二次方程/—(26+3)/+62=0的两个不相等的实数根，

：.a+b—2m+3,ab=m2>

1.1ima+b2ni+3

abab

解得：mi=-1,62=3.

•.•原方程有两个不相等的实数根，

△=[—(2m+3)]2—4m2=12m+9>0,

3

m>

4

/.m=3.

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故答案为：3.

根据根与系数的关系结合4+；=1,即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，再由根的判别式△〉0,

即可确定加的值.

本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合1+1=1,找出关于加的方程是解

题的关键.

15.【答案】573

【解析】【分析】

本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，

属于中考填空题中的压轴题.

如图，过点下作于点M，FNLAC于点、N,过点。作。T〃AE交于点T.证明48=340，

设4D=CD=a,证明ET=CT,设ET=CT=b,则BE=36，求出a+6,可得结论.

【解答】

解：如图，过点/作FML4B于点M，FNLAC于点、N,过点。作DT〃4E交3c于点T.

A

4E平分FMLAB,FNLAC，

:.FM=FN,

Qr)Z71—,AB,F

._2__________R

S4ADFDF14。FN

2

：,AB=3AD,

设AD=DC=Q,则AB=3Q,

-：AD=DC,DT//AE,

：,ET=CT,

BEBF°

,----=----=39

"ETDF

设ET=CT=b,则BE=3b,

AB+BE=3\/3j

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/.3a+3b=3\/3,

：,a+b=V3>

△ABC的周长=AB+AC+BC=5a+5b=54，

故答案为：

16.【答案】2g—2或2

【解析】解：•.•点E是菱形NBC。边的中点，

AE=BE=—AB=—5C=2,

.•.点A在以为直径的半圆上，

:NB=120°，

：,AA=ABCD=60°,

：.AACD<90°，

.•.当△ACO为直角三角形时，

有^DA'C=90°和AA'DC=90°两种情况：

①如图，连接DE,DB,

在菱形ABCD中，

-.-Z4=60°，

ZVIB。是等边三角形，

1•AE=EB,

：,DELAB,

：.^ADE=30°,

："EDC=90°，

当乙4'。。=90°时，点4在。E上，

由翻折可知：ZAEF=AA'EF=^AED=45°,

过点尸作FG,48于点G,

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:.FG=EG，/AFG=30°，

：,AF^2AG,

，FG=&G，

-：AG+EGAE^2,

:.AG+^/3AG=2^

解得4G=通―1，

：,AF=2AG=2^3-2^

②如图，当乙DA。=90°时，取CD中点X,连接

-：AE==

：,A'E+A'H=4,

：,E,A，〃在同一条直线上，

二四边形/曲是平行四边形，

.•.乙4E8=120。，

AAEF=NWEF=g/AEH=60°,

△4EF是等边三角形，

：,AF=AE=2.

综上所述：线段/尸的长为2禽_2或2.

故答案为：2V^—2或2.

根据已知条件说明AACD<90°，所以当△AC。为直角三角形时，有ADA'C=90°和AA/DC=90°两种

情况：当乙4'0。=90°时，点4在DE上，当/。4。=90°时，取CA中点〃，连接AH，分这两种情形

分别计算即可.

本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的

性质.

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17.【答案】解：(1)2/—4刀—3=0,

贝！I(1)2=

解得：力=1土丫^；

2

⑵___2=________

Ux-2一优(力-2)，

方程两边同乘以力(力-2)得：2«-2力(力—2)=1,

则46=1,

解得：*=：,

4

经检验是方程的根，

4

故方程的解为立=；；

4

n—24

Tl+(1—干)’其中@=血一2.

UJ,,a—2_4=a2+a—6=(a—2)(a+3)

a2+4a+4a+2)(a+2产(a+2)2

a=-2.

(a—2)(a+3)0_4)(l+g)-30-2

则原式=

-(a+2)2——2-

【解析】(1)由2/—4x—3=0得到Q—1)2=2,即可求解；

⑵方程两边同乘以/(2一2)得：2/——2)=1,进而求解；

⑶+”$)=产丁=他；吗”3),即可求解.

a2+4a+4a+2(a+2)2(a+2)，

本题考查的是解方程和化简求值，注意分式方程必须验根.

18.【答案】(1)证明：•.•四边形/BCD是平行四边形，

：,AB=CD,AB//CD,OB=OD,OA=OC，

:"ABE=/CDF，

•.•点E,尸分别为02,。。的中点，

：,BE=^OB,DF=|oz),

，BE=DF，

在△ABE和△C0F中，

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AB=CD

<AABE=ACDF，

[BE=DF

，△4BE之△CDR(SAS)；

⑵解：当4。=2AB时，四边形EGCF是矩形；

理由如下：

-：AC=20A，AC=2AB，

：,AB=OA,

是。2的中点，

.-.AGWB，

，N0EG=90°，

同理：CFIOO,

:.AG//CF,

:.EG//CF,

由(1)得：△ABEq△COF,

：,AE=CF,

:EG=AE，

：,EG=CF,

二.四边形EGCF是平行四边形，

•.・NOEG=90°，

二.四边形EGCF是矩形.

【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

(1)由平行四边形的性质得出AB=CD,AB//CD,OB=OD,OA=OC,由平行线的性质得出

/ABE=NCDF,证出BE=Z)F，由S4s证明△ABEg△CDF即可；

(2)证出43=。4由等腰三角形的性质得出AG_LOB,ZOEG=90°，同理：CFLOD,彳导出EG//CF,

EG=CF，得出四边形EGC尸是平行四边形，即可得出结论.

19.【答案】解：(1)设红球的个数为x,由题意可得：

2_1

2+1+立=5'

解得：x=l，经检验/=1是方程的根，

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即红球的个数为1个;

⑵画树状图如下：

第一个球

第二个球

21

.•.P（摸得两白）=4=2

【解析】（1）设红球的个数为X,根据白球的概率可得关于X的方程，解方程即可；

（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步

完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用

到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

20.【答案】证明：忤CFHDE于DE,交AB于F,如图，

-：ME//CF,

,AE_AM

：'^F=~MC'

而〃为/C边的中点，

:.AM=MC，

：,AE=EF,

■：AB^4：AE,

：,EF=-AB,BF=-AB,

42

:.BF=2EF,

-：CF//DE,

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BC_BF

','CD=^F='

：,BC=2CD;

[解析】作CF//DE于。E,交于尸，如图，根据平行线分线段成比例定理，由ME//CF得到或=察，

EjrMC

且⑷W=则4E=E尸，由于AB=44E,所以EF=±AB,BF=]-AB,则8尸=2EF,然后

42

由CF〃。石得到空=g=2,所以3C=2CD；

本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造平行线解

决问题.

21.【答案】解：(1)设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x,

依题意得：64(l+rc)2=ioo,

解得：的=0.25=25%,©=—2.25(不符合题意，舍去).

答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为25%.