部编九年级数学上册期末考前基础训练：圆（共55题解析版）

期末考前基础练练练-圆

圆的认识（共2小题）

1.已知。。中最长的弦为10,则OO的半径是（）

A.10B.20C.5D.15

【分析】根据圆的直径为圆中最长的弦求解.

【解答】解：••.最长的弦长为10,

.••OO的直径为10,

•••OO的半径为5.

故选：C.

【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、

等圆、等弧等）.

2.下列说法，其中正确的有（）

①过圆心的线段是直径

②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形

③大于半圆的弧叫做劣弧

④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据圆的有关概念进项分析即可.

【解答】解：①过圆心的弦是直径，故该项错误；

②由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径组成的图形叫做扇形，故该项正确；

③小于半圆的弧叫做劣弧，故该项错误；

④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆，故该项正确.

故选：B.

【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键.

垂径定理（共3小题）

3.如图，45是。。的弦，半径于点。，若的半径为10°加，48=161?加，则。。的长是（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】连接04,先由垂径定理得再由勾股定理求出的长即可.

2

【解答】解：如图，连接CM,则。4=10。加，

VOCLAB,AB=16cm,

ZODA—90°,AD=BD=~^4B=8cm,

2

在中，由勾股定理得：。。=而三后==6(cm),

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解此题的关键.

4.如图，AB,CZ)是。。的两条平行弦，且N8=4,CD=6,AB,CD之间的距离为5,则。。的直径是

()

A.413B.2vl§C.8D.10

【分析】作。于延长〃。交CD于N,连接05,0D,由垂径定理，勾股定理即可求解.

【解答】解：作于延长交CD于N,连接03,OD,设(W=x,

:.MB=LB=2,DN=1JCD=3,

22

,：OB2=OM1+MB2,

：.OB2=X2+22,

•：ON=OT^+D*

：.OD2=(5-X)2+32,

"：OB=OD,

."+4=(5-x)2+9,

；・x=3,

/.O52=32+4=13,

：.OB=y[13,

；.O。直径长是205，

故选：B.

【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是作(W,48于延长M0交CD于N,连接08,0D

构造直角三角形，以便应用垂径定理，勾股定理.

5.(1)解方程：/-4x=0.

(2)如图，已知弓形的弦长N8=8,弓高CD=2(CD_L/8并经过圆心。).求弓形所在。。的半径r

的长.

【分析】设。。的半径为r,根据垂径定理得到AD=6,由于OD=r-2,则利用勾股定理得到62+(r-

2)2=/,然后解方程即可.

【解答】(1)解：Vx(x-4)=0,

.*.x=0或x-4=0,

♦•*1=0,X2=4；

(2)解：设(DO的半径为r,

'：CD±AB并经过圆心O,

：.AD=BD=^4B=^X8=4,OD=OC-CD=r-2,

22

在RtZ^CM。中，42+(r-2)2=/,解得厂=5,

即O。的半径的长为5.

【点评】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定

理.

三.圆心角、弧、弦的关系(共3小题)

6.如图，N8为。。的直径，C是氏4延长线上一点，点。在上，且CD=CM,CD的延长线交于

点£,若/C=23°,试求/£。8的度数.

【分析】利用半径相等和等腰三角形的性质求得NEDO,从而利用三角形的外角的性质求解.

【解答】解：'：CD=OA=OD,ZC=23°,

：.NODE=2NC=46°,

"：OD=OE,

：.ZE=ZEDO=46°,

:./EOB=NC+NE=46°+23°=69°.

【点评】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和

三角形外角性质是关键.

7.如图，AB是O。直径，BC=BD＞连接CD,过点。作射线C3的垂线，垂足为点G,交48的延长线于

点F.

(1)求证：AE=EF；

(2)若CD=EF=13求8G的长.

【分析】(1)连接证明//=/£再根据三线合一即可证明4E=ER

(2)先求出DK=CE=5,由NC的正切求出从而得到3尸的值，在Rt^BGF中即可求出答

2

案.

【解答】(1)证明：如图，连接AD,

•.25是直径，BC=BD，

J.ABA.CD,

:.NC+/CBE=90°,

\'CG±DF,

ZF+ZFBG=90°,

又,：/CBE=/FBG

；.NC=NF,

VBC=BD-

NA=NC,

：.ZA=ZF,

JL'JAFLDE,

；.AE=EF；

(2)解：'：CD=EF=10,ABLCD,

:.DE=CE=1~EF=5,

2

•*.tanZF=tanZC=A,

2

.'.BE=—CE=—,

22

；.BF=EF-BE=10-5=耳

22

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系等圆的有关知识和三角函数，第(2)问解题的关键是求出

5厂的长.

8.如图.在四边形N2C尸中.FALAB.BC±AB.。。经过点/,B,C,分别交边NRFC于点D,E.且

E是面的中点.

(1)求证：E是尸C的中点.

(2)连结/E,当AB=6./£=5时，求/斤的长.

【分析】(1)连接NC,根据/C为圆。的直径，得到//EC为直角，根据E为弧CD的中点，得到弧

相等，根据等弧对的圆周角相等，利用NSN得到三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

(2)连接CD,利用面积法求出FC与“尸比值，设/C,根据勾股定理求出x的值，即可求出/尸的

长.

【解答】(1)证明：连接NC,

'：BC±AB,

：.ZABC^90°,

；./C是圆。的直径，

/.ZAEC=90°,

ZAEF=}?,0o-ZAEC=90°=ZAEC,

为面的中点，

•••DE=CE>

ZFAE=ZCAE,

在和中，

，ZCAE=ZFAE

<AE=AE，

LZAEC=ZAEF

/\AEC^/\AEF(ASA),

：.EC=EF,

为尸C的中点；

(2)连接CO,

"JFALAB,CBLAB,

：.ZADC=ZAEC=90°,

四边形/DC8是矩形，

CD—AB—6,

•••S0C=UC・4E=LF・CD,

22

：.5FC=6AF,

■FC=_6

"AF百

设尸C=12x,则/尸=10x,

为尸C.的中点,

/.FE—X.FC—6x,

2

在中，根据勾股定理得：AE2+EF2^AF2,

即52+(6x)2=(10x)2,

解得：x=$,

8

：.AF=Wx=^,.

4

【点评】此题考查了弧、弦、圆心角的关系，矩形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形

的判定与性质，知识点较多，难度一般，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

四.圆周角定理（共3小题）

9.如图，已知N8是半圆O的直径，点C和点。是半圆上的两点，且3c.求证：AD=CD.

【分析】利用直径所对的圆周角是90°,可得再利用0D〃5C,可得最后利用垂

径定理即可求证.

【解答】证明：•.22是半圆。的直径，

：.AC±BC,

5L.'：OD//BC,

：.ODLAC,

••.AD=CD>

:.AD=CD.

【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是利用垂径定理得到会=而.

10.已知：如图，N8是的直径，弦CD_L/8于点E,连结/D

（1）若而=104°,求/54D的度数.

（2）点G是AC上任意一点，连结GN,GD求证：ZAGD^ZADC.

【分析】（1）由圆周角定理的推论即可计算；

（2）由垂径定理，圆周角定理的推论，即可证明.

【解答】（1）解：是O。的直径，弦CDLA8于点E,

VCD=104°,

BD=52°,

/.ZBAD=^X52°=26°；

2

（2）证明：是。。的直径，弦CDL48于点£,

AC=AD-

/AGD=NADC.

【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理的讨论，关键是掌握：垂直于弦的直径平分弦对的两条弧；同

弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧度数的一半.

11.如图，C是忘的中点，ZAOC=4ZB,OC=4.

（1）求//的度数；

（2）求线段N5的长度.

【分析】（1）延长CO交N3于“，连接8C,根据圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角性质推

出/4=30°；

（2）解直角三角形求出48=2百，根据垂径定理即可解决问题.

【解答】解：（1）如图，延长CO交48于X,连接2C,

C

：c是前的中点，

VAC=BC-

C.CHLAB,AH=BH,

：.ZAHO=90°,

,JOA^OB,

NA=NOBA,

VZAOC=90°+ZA=4ZOBA,

.*.N/=30°；

(2)'：OA=OC=4,CHLAB,ZA=30°,

：.OH=1.OA^2,

AH=22

•*-VOA-OH=V42-22=2«，

：.AB=2AH=443-

【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助

线，属于中考常考题型.

五.圆内接四边形的性质（共3小题）

12.如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边3c的延长线.

(1)求证/£U8=NDCE；

(2)若/D48=60°,ZACB=70°,求N/8D的度数.

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到/。/2+/。。2=180。，根据同角的补角相等证明结论；

（2）根据圆周角定理得到//O8=N/C8=70°,根据三角形内角和定理计算即可.

【解答】（1）证明：：四边形4BCD内接于圆，

AZDAB+ZDCB^180°,

VZDCE+ZDCB=\SO0,

/DAB=NDCE；

（2）解：VZACB=70°,

:.NADB=NACB=70°,

/.ZABD=ISO0-60°-70°=50°.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关

键.

13.如图，四边形ABCD内接于。。，。是弧/C的中点，延长3c到点E,使CE=4B,连接5D,ED.

（1）求证：BD=ED.

（2）若/4BC=60°,40=5,则O。的直径长为10.

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到反4O=NECD,根据全等三角形的性质得到

（2）连接。。并延长交O。于R连接CE则NFCD=90°,根据已知条件得到40=

CD=5,求得/尸=30°,根据直角三角形的性质得到结论.

【解答】（1）证明：••,府=而，

：.AD=DC,

.四边形4BCD内接于O。，

ZBAD+ZBCD=ISO°,

VZECD+ZBCD=\SQ°,

/BAD=/ECD,

在和△。££）中，

'AD=DC

<ZBAD=ZECD>

LAB=CE

:.AABD咨ACEDCSAS）,

：.BD=ED；

（2）解：连接。。并延长交。。于F，连接CR

则//。=90°,

是弧ZC的中点，

/.AD=CD-

/.ZABD=ZCBD,AD=CD=5,

VZABC=60°,

；.NCBD=30°,

:./F=/DBC=30°,

：.DF^2CD=10,

.•・O。的直径长为10,

故答案为：10.

【点评】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题

的关键.

14.如图，点/、B、C、。都在。。上，OC±AB,N/DC=30°.

(1)求/20C的度数;

(2)求/NC8的度数;

【分析】（1）根据垂径定理得出众=前，再利用圆周角定理得出/3OC的度数;

（2）连接根据圆内接四边形的性质便可求得结果.

【解答】解：（1）,••点/、B、C、。都在。。上，0CL/2,

AC=BC）

VZADC^30°,

：.ZAOC=ZBOC=2ZADC=60°,

.•.NBOC的度数为60°；

（2）连接AD,

C

vAC=BC）

:.NADC=NBDC=30°,

；./4DB=60°,

VZACB+ZADB=1S0a,

AZACB^nO0.

【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定

理是解决问题的关键.

六.点与圆的位置关系（共2小题）

15.已知点尸在圆外，它到圆的最近距离是1C7M,到圆的最远距离是7c〃Z,则圆的半径为（）

A.3cmB.4cmC.3cm或4cmD.6cm

【分析】搞清楚尸点到圆上点的最近距离与到圆上点的最远距离的关系为差为直径(尸为圆外一点)，

本题易解.

【解答】解：尸为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为157,到圆上点的最远距离为757,则圆的

直径是7-1=6(cm),因而半径是3cm

故选：A.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径，然后确

定圆的半径.

16.平面直角坐标系中，点/(2,9)、2(2,3)、C(3,2)、D(9,2)在。尸上.

(1)在图中清晰标出点P的位置；

(2)点尸的坐标是,。尸的半径是.

【分析】点尸的坐标是弦CD的垂直平分线的交点.

【解答】解：(1)弦的垂直平分线是、=6,弦CD的垂直平分线是x=6,因而交点P的坐标是(6,

6).

(2)点P的坐标是，G)P的半径是尸的半径是P4的长，PA=V(6-2)2+(6-9)=51

故答案为：(6,6),5.

【点评】本题考查了点和圆的位置关系，掌握圆心是圆的垂直平分线的交点，是解决本题的关键.

七.确定圆的条件（共2小题）

17.下列语句中正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③三点确

定一个圆；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理等对每一项进行分析即可求出正确答案.

【解答】解：①同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；

②平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；

③三点必须不在同一条直线上，故此选项错误；

④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，此选项正确；

故正确的有1个，

故选：A.

【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理和圆的有关定理；解题时要注意圆心角、弧、

弦的关系是在同圆或等圆中才能成立.

18.某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷

盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）.

【分析】根据垂径定理，在残破的圆形瓷盘上任取两个弦，分别作弦的垂直平分线即可.

【解答】解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，

垂直平分弦的直线一定过圆心,

所以作出两弦的垂直平分线即可.

【点评】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过

圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧.在应用垂径定理解题时，只要具备上述5

条中任意2条，则其他3条成立.

八.三角形的外接圆与外心（共4小题）

19.如图，是△NBC的外接圆，/OCB=30°,则//的大小为（）

A.30°B.60°C.80°D.120°

【分析】由O2=OC,得/O2C=NOCB=30°,则N3OC=120°,即可根据圆周角定理求得//=■!

2

Z56>C=60°,得到问题的答案.

【解答】解：是△48C的外接圆,

J.OB^OC,

：.NOBC=NOCB=30°,

AZ5OC=180°-ZOBC-ZOCB=nO0,

AZA=l-ZBOC=60o,

2

故选：B.

【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，根据等腰三角形的

性质求出ZBOC的度数是解题的关键.

20.如图，△NBC的三个顶点在O。上，。。的半径为5,N/=60°,求弦BC的长.

【分析】连接CO并延长交。。于。，根据圆周角定理得到/。=//=60°,NCBD=90。，根据勾股

定理即可得到结论.

【解答】解：连接CO并延长交。。于。，连接5D,

则NO=N/=60°,NCBD=9G°,

；O。的半径为5,

.*.0)=10,

：.BD=1.CD=5,

2

22

BC=VCD-BD=V102-52=5后

故弦8c的长为573.

【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅

助线是解题的关键.

21.如图，△N8C是OO的内接三角形，直径/8=4,CD平分N/C2交O。于点。，交AB于点E,连接

AD.BD.

(1)若/C48=25°,求/4EO的度数;

(2)求40的长.

【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角可得//C2=90°,再利用角平分线的定义可得N/CD=N

BCD=45。，然后再利用三角形的外角性质进行计算即可解答；

(2)根据直径所对的圆周角是直角可得N/C5=90°,再利用(1)的结论可得益=而，从而可得40=

DB,然后利用等腰直角三角形的性质进行计算即可解答.

【解答】解：(1)Y/B是O。的直径，

AZACB^90°,

；CD平分N4CB,

：.NACD=NBCD=L/4CB=45°,

2

'：ZCAB=25°,

：.ZAED=ZACE+ZCAE^O0,

.*.N/EO的度数为70°；

(2)是0。的直径，

/.ZACB=90°,

ZACD=ZBCD,

AD=BD-

:.AD=DB,

'：AB=4,

:.AD=BD=单=2近,

V2

：.AD的长为2&.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

22.如图，在△N8C中，AE平分/B4C,BE平分/ABC,的延长线交△/BC的外接圆于点。，连接

BD.求证：DB=DE.

A

B

D

【分析】根据角平分线定义得到ZBAE=ZCAD,得到而=而，根据圆周角定理得到

ZDBC=ZBAE,根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.

【解答】证明：平分/A4C,BE平分NABC,

：.NABE=/CBE,ZBAE=ACAD,

：.命口命所对的圆心角相等，

•••CD=BD-

ZDBC=ZCAD,

：.ZDBC=ZBAE,

'：ZDBE=ZCBE+ZDBC,ZDEB=ZABE+ZBAE,

：.NDBE=NDEB,

：.DE=DB.

【点评】本题考查了三角形外接圆和外心，圆周角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线定义是

解题的关键.

九.直线与圆的位置关系（共3小题）

23.如图，已知/。=30°,C为上一点，且OC=6,以点C为圆心，试判断半径为3的圆与的位

置关系，并说明理由.

【分析】利用直线/和。。相切Qd=r,进而判断得出即可.

【解答】解：相切，

理由：过点C作CDLN。于点。,

：/。=30°,0C=6,

：.DC=3,

以点C为圆心，半径为3的圆与CM的位置关系是：相切.

【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与，•的关系是解题关键.

24.如图，48是O。的直径，AN、/C是O。的弦，P为48延长线上一点，AN、PC的延长线相交于点

M,且/"_LPAf,NPCB=/PAC.

（1）试判断直线PC与的位置关系，并说明理由；

（2）若AB=10,/P=30°,求MV的长.

【分析】（1）连结OC,则。4=OC,根据等腰三角形的性质得到/P/C=//CO.求得

ACO.根据圆周角定理得到//C3=90°,求得OCUPC.根据切线的判定定理即可得到结论.

（2）根据直角三角形的性质得到NCOP=60°.解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：（1）直线PC与。。相切.

理由：连结。C,则。4=OC,

ZPAC=ZACO.

'：NPCB=NPAC,

：.ZPCB=ZACO.

：.ZOCP=ZOCB+ZPCB=ZOCB+ZACO=ZACB.

,：AB为O。的直径，

ZACB=90°,

：.ZOCP=9Q°,

即OC±PC.

;oc为半径，

直线PC与。。相切.

(2)VZP=30°,ZOCP=9Q°,

；.NCOP=60

'：AB=W,

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键：熟练掌

握圆的切线的判定方法.

25.如图，在△NBC中，BD=DC,以N2为直径的。。交2c于点。，过点。作。EL/C,垂足为£.

(1)求证：4B=AC；

(2)判断直线DE与的位置关系，并说明理由.

【分析】(1)利用必证明RtZUB。丝RtZUCD,可得结论；

(2)连接。£),利用三角形中位线定理可得OD〃NC,从而证明即可证明结论.

【解答】(1)证明：:/台为。。的直径，

J.ADLBC,

在和RtZX/DC中,

[AD=AD,

lAB=AC，

丝RtzX/CD(HL)，

：.AB=AC

（2）解：直线DE与O。相切，理由如下:

连接OD,如图所示:

由△Z2D之△/CD知：BD=DC,

又；OA=OB,

为△/BC的中位线，

.'.OD//AC,

'JDELAC,

J.ODLDE,

为OO的半径，

...DE与。。相切.

【点评】本题主要考查了圆周角定理，三角形中位线定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握切线的判

定方法是解题的关键.

一十.切线的性质（共3小题）

26.如图，菱形O/5C的顶点）,B,C在上，过点8作OO的切线交。4的延长线于点D若O。的

C.2MD.272

【分析】连接08,根据切线的性质定理得到90。，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理

得到△ON3为等边三角形，得到//08=60°,根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案.

【解答】解：如图：连接

：8。是。。的切线,

・・・NO5Z)=90°,

丁四边形CMBC为菱形，

；・OA=AB,

°：OA=OB,

：.OA=OB=AB,

：.AOAB为等边三角形，

ZAOB=60°,

AZ(9D5=30°,

：.OD=2OB=4,

由勾股定理得，^=VOD2-OB2=2A/3,

【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过

切点的半径是解题的关键.

27.如图，N8是。。的弦，直线8c与。。相切于点8,ADLBC,垂足为。，连接。/、OB.

（1）求证：AB平分NOAD；

（2）点E是O。上一动点，且不与点/、2重合，连接/£、BE,若//。8=100°,求//匹的度

数.

【分析】（1）根据切线的性质得到02L2C,证明4D〃O瓦根据平行线的性质得到/D42=NOR4,

根据等腰三角形的性质得到ZOAB=ZOBA,等量代换证明结论；

（2）分点£在优弧上、在劣弧上两种情况，根据圆周角定理解答即可.

【解答】（1）证明：：直线3c与。。相切于点3,

C.OBLBC,

'：ADLBC,

J.AD//OB,

：.ZDAB^ZOBA,

"：OB=OA,

：.ZOAB=ZOBA,

：.ZDAB=ZOAB,

.•.N3平分NCUD；

(2)解：当点E在优弧上时，NAEB=L/AOB=5Q°,

2

当点在劣弧N3上时，NAE'5=180°-50°=130°,

综上所述，N/E5的度数为50°或130°.

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

28.如图，PA,是。。的切线，A,3是切点，/C是直径.

（1）连接3C,OP,求证：OPHBC；

（2）若。尸与48交于点。，OD：DP=1：4,AD=2,求直径NC的长.

【分析】（1）连接根据线段垂直平分线的判定定理得到。PL/瓦根据圆周角定理得到

90°,根据平行线的判定定理证明结论；

（2）根据切线的性质得到/O4P=90°,根据相似三角形的性质得到/3二。〃.〃，求出OD,根据勾

股定理求出Q4,进而求出4C.

【解答】（1）证明：如图，连接

,:PA,P2是。。的切线，

:.PA=PB,

"：OA=OB,

.".OPLAB,

是。。的直径，

AZABC=90°,

：.ZABC=ZADO,

：.OP//BC-,

(2)解：设。。=无，则。尸=4无，

'：PA是O。的切线，

：.ZOAP=90°,ADLOP,

：.AD1=OD'DP,即22=X-4X,

解得：x=l(负值舍去)，

：.OD^1,

由勾股定理得：。/=〃02刈口2=遥,

:.AC=2爬.

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半

径是解题的关键.

一十一.切线的判定(共3小题)

29.如图，在Rt448C中，ZACB^90°,CD是斜边48上的中线，以CD为直径的。。分别交/C、BC

于点M、N,过点N作NEL4B,垂足为点£.

(1)若。。的半径为旦，AC=5,求8N的长；

4

(2)求证：NE是。)0的切线.

【分析】（1）由直角三角形的性质可求由勾股定理可求2C,由等腰三角形的性质可得3N=6；

（2）欲证明NE为。。的切线，只要证明

【解答】解：（1）连接ON,ON,

;。。的半径为工3，

4

.•.0)=11,

2

,：ZACB=90°,CD是斜边48上的中线,

；.3。=。。=40=里

2

：.AB=13,

:BC=22

-VAB-AC=12,

;CD为直径，

:.NCND=90°,且aO=CD.

：.BN=NC=6.

(2)■.•ZACB=90°,。为斜边的中点，

:.CD=DA=DB=1AB.

2

：.ZBCD=ZB,

•：OC=ON,

：.ZBCD=ZONC.

："ONC=/B.

：.ON//AB,

■:NELAB,

：.ONINE.

为。。的切线.

【点评】本题考查切线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考

题型.

30.如图，以△N8C的边8c的长为直径作交AC于点、D,若NA=/DBC,求证：N8是。。的切

线.

【分析】根据圆周角定理得到/ADC=90°,根据题意得到NBLBC,根据切线的判定定理证明结论.

【解答】证明：为。。的直径，

/.ZBDC=90°,

：.ZA+ZABD^90°,

NA=/DBC,

：.ZDBC+ZABD=90°,

：.AB±BC,

YBC为。。的直径，

是O。的切线.

【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是

圆的切线是解题的关键.

31.如图，A,B,C,。是。。上的四个点，NADB=NBDC=60°,过点/作/£〃2c交CD延长线于点

E.

(1)求N48C的大小；

(2)证明：/£是O。的切线.

【分析】(1)根据圆周角定理得到NC48=/ADC=60°,NACB=NADB=6Q°,根据等边三角形的

性质解答即可；

(2)连接/O并延长交于尸，根据垂径定理的推论得到NFLBC,根据平行线的性质得到

根据切线的判定定理证明结论.

【解答】(1)解：由圆周角定理得：NCAB=/BDC=60°,ZACB=ZADB=60°,

...△/3C为等边三角形，

AZABC^60°；

(2)证明：连接并延长交8C于R

"：AB=AC,

AB=AC-

：.AF±BC,

■:AE//BC,

：.AFLAE,

是。。的半径，

是。。的切线.

【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握经过半径

的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键.

一十二.切线的判定与性质(共2小题)

32.如图，48是半圆。的直径，。为2c的中点，延长。。交介于点E,点尸为。。的延长线上一点且满

足NB=NF.

(1)求证：C户是。。的切线；

(2)若45=4,Z5=30°,连接求40的长.

【分析】(1)欲证明3为。。的切线，只要证明即0CLW即可;

(2)利用圆周角定理和勾股定理求解即可.

・・•。为5C的中点，

：.ODLBC,

•：OB=OC,

：./B=/OCB,

/B=NF,

：.ZOCB=ZFf

'CODLBC,

：.ZDCF+ZF=90°,

AZDCF+ZOCB=90°.

即OCLCF,

・・・。/是。。的切线.

(2)解：,・Z5是半圆。的直径,

AZACB=90°.

•・ZB=4,ZB=30°，

：.AC=2BC=V42-22=2V3'

•*.BD=V3.

在RtZ\/CD中,

/1Z)=V4+3=V7.

【点评】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的基本性质，学会添加常用辅助线，构造直角三角形是

解决问题的关键.

33.如图，四边形ABCD内接于O。，为的直径，过点C作交40的延长线于点E,延长

EC,交于点凡ZECD=ZBCF.

(1)求证：CE为。。的切线;

(2)若。。的半径为5,DE=\,求的长.

连接OC,先根据四边形/BCD内接于OO,得NCDE=N0BC,再根据等量代

换和直角三角形的性质可得NOCE=90°,由切线的判定可得结论;

(2)如图2,过点。作OG_L/E于G,连接OC,OD,则NOGE=90°,先根据三个角是直角的四边

形是矩形得四边形0GEC是矩形，设。。的半径为x,根据勾股定理列方程可得结论.

【解答】(1)证明：如图1,连接OC,

：.ZOCB=ZOBC,

•..四边形48CD内接于O。，

：.ZCDE=ZOBC,

\'CE±AD,

：.ZE=ZCDE+ZECD=90°,

ZECD=ZBCF,

：.ZOCB+ZBCF=90°,

：.ZOCE=90a,BPOCVEF,

；OC是OO的半径，

；.CE为。。的切线；

（2）解：如下图，过点。作OG_L4E于G,连接。C,OD,则NOGE=90°,

•：/E=NOCE=90°,

四边形OGEC是矩形，

：.OC=EG,GD=5-1=4,

EC=OG={52_42=3,

【点评】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，圆的内接四边形的性质，勾股定理等知识，掌握切线

的判定是本题的关键.

一十三.切线长定理（共3小题）

34.如图，。。为△4BC的内切圆，AC^IO,AB=8,BC=9,点D,E分别为2C,NC上的点，且DE为

O。的切线，则△CDE的周长为（）

【分析】设48,AC,BC,DE和圆的切点分别是尸，N,M,0.根据切线长定理得到NC=MC,QE=

DQ.所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形/8C的三边进行求

解即可.

【解答】解：设N8,AC,BC,和圆的切点分别是尸，N,M,Q,CM=x，根据切线长定理，得

CN=CM=x,BM=BP=9-x,AN=AP=W-x.

则有9-x+10-x=8,

解得：x=5.5.

所以的周长=。。+。£+0£+。。=缄=11.

故选：C.

【点评】此题主要是考查了切线长定理.要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题.

35.如图，圆。的圆心在梯形/BCD的底边上，并与其它三边均相切，若/8=10,AD=6,则C8长

()

A.4B.5C.6D.无法确定

【分析】方法1、设圆。的半径是R,圆。与DC、C8相切于点E、F、H,连接。£、OD、OF、

OC.OH,则圆的半径凡可以看作△80C,/\COD,△NOD的高，根据S梯形NBCD=&BOC+SACOD+&

DO4,以及梯形的面积公式即可求解.

方法2、利用切线的性质得出//DO=NODC,进而得出即可得出。4=6,即：OB=

4,同理：2c=02即可得出结论.

【解答】解：方法1、

设圆。的半径是我，圆。与DC、C8相切于点£、F、H,连接OE、OD、OF、OC、OH.

设CD=y,CB=x.

设S梯形RBCQ=S

则5=工(CD+AB)R=L(y+10)R----------(1)

22'

S=SABOESACOD+S30A

=----------(2)

222

联立(1)(2)得x=4；

方法2、连接OD0c

'：AD,CD是。。的切线,

・・・ZADO=ZODC,

9：CD//AB,

：.ZODC=ZAOD,

：.ZADO=ZAOD

：.AD=OA

9：AD=6,

：.OA=6f

V^S=10,

.',05=4,

同理可得

OB=BC=4,

故选：A.

【点评】此题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是求出。/=6.

36.如图，尸4和尸8是。。的两条切线，A,B是切点、.。是弧上任意一点，过点。画。。的切线，分

别交正力和必于。，E两点，已知P/=P8=5。加，求△尸。£的周长.

【分析】根据切线长定理得到。4=必，DA=DC,EB=EC,根据三角形的周长公式计算，得到答案.

【解答】解：・・・尸4和尸8是。。的两条切线，

:・PA=PB,

同理可得：DA=DC,EB=EC,

；・LPDE的周长=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=TO(cm).

【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.

―H四.三角形的内切圆与内心(共2小题)

37.如图，△NBC的内切圆。。与48,BC,C4分别相切于点。，E,F,且AD=BD=2,EC=3,则△/BC

的周长为（）

A.10B.12C.14D.16

【分析】根据切线长定理得出“尸=40=2,BE=BD=2,CF=CE=3,再求出△4BC的周长即可.

【解答】解：:△/Be的内切圆。。与48,BC,C4分别相切于点D,E,F,AD=BD=2,EC=3,

：.AF^AD=2,BE=BD=2,CF=CE=3,

：./\ABC的周长=48+BC+/C

=AD+BD+BE+CE+AF+CF

=2+2+2+3+3+2

=14,

故选：C.

【点评】本题考查了切线的性质，三角形的内切圆与内心，能熟记从圆外一点引圆的两条切线，它们的

切线长相等是解此题的关键.

38.如图，点/为等边△/BC的内心，连接//并延长交△/BC的外接圆于点。，已知外接圆的半径为2,

则线段的长为（）

A.2B.3C.4D.2^3

【分析】连结3/,先由△/3C是等边三角形证明/48C=N区4C=/C=60°,则/D=/C=60°,再

根据三角形的内心的定义证明/〃2=工/氏4c=30°,NIBA=I/4BC=30°,即可证明40是△45C

22

外接圆的直径，再证明△03/是等边三角形，则ZV=B/,即可证明。/=//=1。=2,则8。=。/=

2.

【解答】解：如图，连接8/,

•：AABC是等边三角形，

；./ABC=/B4C=/C=60°,

AZD=ZC=60°,

••,点/为等边△/BC的内心，

.,./"B=L/A4C=3O°,NIB4=L/ABC=30°,

22

.•.//2。=180°-ZD-ZIAB=90°,ZDIB=ZIAB+ZIBA=60°,

.'.AD是△NBC外接圆的直径，

VZZ>5/=180°-ZD-ZDIB=60°,

是等边三角形，

：.DI=BI,

'：ZIAB=ZIBA,

：.DI=AI=^4D=2,

2

：.BD=DI=2,

线段。3的长为2,

故选：A.

【点评】此题重点考查三角形的内心与三角形的外心的性质、等边三角形的判定与性质、90°的圆周角所

对的弦是直径、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线

是解题的关键.

一十五.正多边形和圆（共5小题）

39.如图，有一个直径为4c加的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边

形纸片的边心距是（）

【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出的度数，最后根据等边三角形的

性质求出即可.

【解答】解：如图所示，连接08、OA,过点。作于点〃，

•；OO的直径为4cm,

OB—OA—2cm,

多边形ABCDEF是正六边形，

AZA0B=60°,

・•・△405是等边三角形，

•/六边形ABCDEF是正六边形

AZAOB=360°+6=60°,

•：OB=OA,

•••△/OB是等边三角形，

:・AB=OA=2cm,

9：OHLAB,

.*.5/7=JL45=—X2=1(cm),

22

22=

OH^7OB-BH(cm),

正六边形纸片的边心距是向5，

故选：B.

【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解

答是解答此题的关键.

40.如图，在正六边形/BCD斯中，M,N分别为边CD,2C的中点，/N与2M相交于点尸，则的

【分析】根据正六边形的性质可得/8=8C=CD,