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文档简介
2025届沾益区第一中学高二上学期期末考试
数学
全卷满分150分,考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上
作答;字体工整,笔迹清楚.
4.考试结束后,请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容:必修第一册,必修第二册,选择性必修第一册,选择性必修第二册第
四章.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合“斗尸八{1,2,3,4},则(剃二=()
A.{4}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3}
【答案】B
【解析】
【分析】解出集合A、B,利用补集和交集的定义可求得集合
【详解】因为2=卜卜2-3》<0}={》|0<》<3},则%Z={x|x<0或x23},
因此,(a2)口3={3,4}.
故选:B.
-z
2.已知复数z满足2z—z=l+3i,则一=()
1
A.-1+iB.1-iC.1+iD.-1-i
【答案】B
【解析】
第1页/共17页
【分析】设复数2,由题设条件求得2=l+i,最后代入所求式即得.
【详解】设z=a+bi(QcR/£R),则Q—6i,
由2z—z=a+3bi=l+3i,可得。=6=1,
则二=^=1-i.
ii
故选:B
22
3.若方程上二y1表示焦点在歹轴上的双曲线,则实数冽的取值范围为()
4-m1+m
A.-00,-2)B.(-2,-1)
C.(-2,2)D.(-1,1)
【答案】A
【解析】
22
y-1-m>0
【分析】原方程可变形为根据已知有《一4+苏〉0,解出即在
-m-lm-4
22
【详解】因为方程一J—-=1表示焦点在y轴上的双曲线,
4-m1+m
2222
XX
J=1可变形为y二1.
4-m1+m—m—\m2-4
-1-m>0m+l<0
,即《
所以有<72.c,解得加<—2.
-4+m>0m-4>0
故选:A.
4.两平行直线4:x+y—1=0和右:工+歹―3=0之间的距离为()
A.V2B.2C.272D.3
【答案】A
【解析】
【分析】利用平行线间距离公式计算即得.
【详解】平行直线:x+y—1=0和3x+y—3=0之间的距离d
故选:A
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5.等比数列{4}的前〃项和为S,,若生。=。5,邑=1,贝怯比“=()
1-1
A.3B.-C.3或一D.2
33
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式,化简求出。2,判断qwi,利用前〃项和公式表示邑,联立方程即可
解出心
设首项为力,公比为/根据题意有为
即。1/二1①,所以4=1,若q=1,则有S3=3,与S3=§不符,所以qW1,
z3]
所以封="(一,)=与②,联立①②两式有:<%(1—/)13.艮1
〜3[1-^-3
+[13,整理得的一1凶+3=0,解得q=3或q_£
一十
1-q3
故选:C
6函数小)=2器」的部分图象大致是
人r'一战:厂、
C.
-------z0,X------/O________X
【答案】A
【解析】
TT
【分析】根据函数的奇偶性及0<x<一日寸,/(x)〉0进行排除即可得解.
3
第3页/共17页
【详解】因为/(x)==一,所以/(-x)=-〃x),所以/(X)是奇函数,图象关于原点对称,所以B,
2-2
D错误,
jr
当0<x<H时,/(X)>0,所以C错误.
故选A.
【点睛】本题主要考查了识别函数图像,一般从以下几个方面进行选择即可:奇偶性,定义域,特殊值,
极限值,属于基础题.
7.已知向量应=(1,2,-1),拓=(//,-/),且比上平面巴万,平面6,若平面a与平面月的夹角的余弦值为
迪,则实数/的值为()
3
A.I或一1B.工或1C.—1或2D.一'
252
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面夹角的向量公式求解可得.
【详解】因为应I=2+2//—|=血,|»|=J1+2J,
|2+2/|272解得/=’或1.
所以
V6-71+2/2r5
故选:B.
8.在平面直角坐标系xQy中,已知圆C:(x-a)2+(y-[J=[2(。>o),/(_3,o),若圆C上存在点尸,
使得忸/|=2忸。|,则正数。的取值范围为()
A.(0,1]B.[1,2]
C.[月,2]D.[1,3+26]
【答案】D
【解析】
【分析】设尸(X/),根据条件得到(x-Ip+/=4,从而将问题转化成(x-1)?+/=4与圆。有交点,
再利用两圆的位置关系即可求出结果.
【详解】设尸(xj),则由|24|=2\PO\,得到7(X+3)2+J2=2旧",
整理得到(x—1『+了2=4,又点在圆。上,所以(x—I?+「=4与圆。有交点,
第4页/共17页
又(x—1)2+/=4的圆心为(1,0),半径为井=2,圆。的圆心为伍,。),半径为夫=a,
所以12-1)2+a~W2+a,解得+,
故选:D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符
合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若直线平面且直线。不平行于平面给出下列结论正确的是()
A.&内的所有直线与。异面B.。内存在直线与。相交
C.a内存在唯一的直线与。平行D.&内不存在与。平行的直线
【答案】BD
【解析】
【分析】由题意可判断直线•与平面a相交,即可判断a内的直线与a的位置关系,即得答案.
【详解】由直线a<2平面且直线。不平行于平面a,
可知直线a与平面a相交,设交点为。,
则平面。内必存在过点。的直线,这些直线与。相交,故A错误,B正确;
假设0内存在直线与。平行,由于直线a<2平面则直线。平行于平面
与题意矛盾,则a内不存在与a平行的直线,c错误,D正确,
故选:BD
10.在等差数列{%}中,其前"的和是S",若q=—9,d=3,贝IJ()
A.{%}是递增数列B.其通项公式是%=3〃-12
C.当S“取最小值时,〃的值只能是3D.S“的最小值是-18
【答案】ABD
【解析】
【分析】由公差的正负性判断等差数列的单调性,由首项、公差写出等差数列通项公式,进而可得前〃项
和公式,即可判断各选项的正误.
【详解】由d=3〉0,可知等差数列{%}为递增数列,A正确;
由题设,an=aA+(n-=-9+3(M-1)=3w-12,B正确;
v_72_147
—〃(%+4)_3/—21〃_乂"24,故当〃=3或4时,£,取最小值且为—18,故C错误,D
)———
"222
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正确.
故选:ABD
22___
11.设点片,心分别为椭圆C:、■+(=:!的左、右焦点,点尸是椭圆。上任意一点,若使得丽・丽=加
成立的点恰好是4个,则实数加的取值可以是()
A.1B.3C.5D.4
【答案】BD
【解析】
【分析】首先设点产(七为),得到西=(-2-%,-%),丽=(2-%,-%),结合点尸在椭圆上得到
片=二『,若成立的点有四个,则不在(-3,3)有两实数解,
则有0<j^<9,解出其范围结合选项即得.
4
【详解】设尸(%%),•••爪―2,0),7^(2,0),:.PFl=(-2-x0,-y0),PF\=(2-x0,-y0),由
___22
西•丽=加可得=加+4,又•.•点尸在椭圆C上,即/+=
;.焉=二『,要使得=掰成立的点恰好是4个,则0<\二<9,解得1〈加<5.
故选:BD
12.已知抛物线C:必=12尤,点厂是抛物线c的焦点,点尸是抛物线。上的一点,点M(4,3),则下列说
法正确的是()
A.抛物线C的准线方程为x=-3
B.若|产刊=7,则△PMF的面积为28-g
C.|PF|-的最大值为丽
D.4PMF的周长的最小值为7+
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为x=-3,即可判断A,根据抛物线定义得到x尸=4,故尸点
可能在第一象限也可能在第三象限,分情况计算三角形面积即可判断B,利用三角形任意两边之差小于第
三边结合三点一线的特殊情况即可得到(\PF\-\PM|)max=|F\,计算即可判断c,三角形尸儿田的周
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长=\PM\+\MF\+\PF\=\PM\+\PF\+Vio,再结合抛物线定义即可求出1PMl+I尸/I的最小值,即得
到周长最小值.
【详解】•.•/=12X,,p=6,.•.尸(3,0),准线方程为x=—3,故A正确;
根据抛物线定义得附f+勺/+3=7,%=4,•.•/(4,3),
PA//加轴,当x=4时,y=±4^/3,
若尸点在第一象限时,此时尸(4,4百),
[3
故PM=-3,△尸A/F的IWJ为1,故S4PMF=万乂—3)x1=2«"—丁
若点尸在第四象限,此时尸(4,-46),故9=4百+3,
1o
△PMF的高为1,故S/MF=]X(4百+3卜1=26+丁故B错误;
PF\-\PM\<\MF\,...(|PF|-|PM|)max=\MF\=J(4-3),(3-0)2=而,故C正确;
(连接/M,并延长交于抛物线于点P,此时即为|尸尸ITPMI最大值的情况,
图对应如下)
过点P作尸准线,垂足为点。,
△PA/F的周长=|PA/|+|W[+|P可=|「河|+|尸尸|+丽=\PM\+(P£>|+M,
若周长最小,则1PMi+|尸。|长度和最小,显然当点P,M,。位于同一条直线上时,|尸川|+|〃川的和最小,
此时1PM+|"F|=|P£)|=7,
故周长最小值为7+JiU,故D正确.
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故选:ACD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设点B为单位向量,且团+3|=1,则团―B|=.
【答案】也
【解析】
【分析】整理已知可得:pS|=Jp+S)-.再利用为单位向量即可求得2Z/=-1,对a—6变形
可得:|a-S|=^|a|-2a-S+|S|,问题得解.
【详解】因为Z]为单位向量,所以,=川=1
所以+*屁司=』/+诟;+,=^2+2a-b=1
解得:2a-b=-l
所以B-b\=而叫2=小卜五石+5=也
故答案为:V3
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力,属于中档题.
14.过点幺(3,-1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是•
[答案]x+3y=0或x+y-2=0.
【解析】
【分析】
分截距为0以及截距不为0两种情况分别求解即可.
【详解】当截距为0时,满足在两坐标轴上的截距相等.此时设直线方程为y=履,则-1=3左n左=-1,故
3
y=,化简得x+3y=0.
当截距不为0时,设直线方程为二+上=1,则』+匚=lna=2.故工+上=1,化简可得x+.y—2=0.
aaaa22
故答案为:x+3y=0或x+y—2=0.
【点睛】本题主要考查了根据直线的截距关系式求解直线方程的问题,需要注意分截距为0与不为0两种情
况进行求解.属于基础题.
15.已知四位数4521,任意交换两个位置的数字之后,两个奇数相邻的概率为.
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【答案】f##0.5
【解析】
【分析】利用列举法列出所有可能结果,再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】4521任意交换两个数的位置之后有:5421,2541,1524,4251,4125,4512,共6种,
两个奇数相邻有1524,4251,4512共3种,
所以两个奇数相邻的概率为。.
故答案为:;
16.已知各项均为正数的递增等差数列{《,},其前〃项和为S“,公差为d,若数列{疯}也是等差数列,
Q
则%+——的最小值为
1d+2--------
【答案】3
【解析】
【分析】根据{4}为等差数列,求出邑=弓〃2+[%—1_)〃,又为等差数列,结合等
差数列通项公式的特征,得到%=3,从而利用基本不等式求出答案.
【详解】因为{%}为等差数列,且d>0,
,,d(d\
故o=万"2-+1%-5卜
则n为等差数列,即要能化成一个关于n的一次函数,
r,“dd
则有4-w=0,%=7,
Qd8d+28,cd+28^
贝!1a+-—---—--I----------+---------1>2.---------------
1d+}22d+22d+2\2d+2
当且仅当"工="―,d=2时,等号成立,
2d+2
Q
故外+-----的最小值为3.
1d+2
故答案为:3
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
第9页/共17页
17.已知等差数列{%}的前〃项和为50,邑=15,国2=222.
(1)求{4}的通项公式;
(2)若b“=-----,求数列抄“}的前〃项和7;.
anan+l
【答案】(1)an=3/7-1
(2)T=-———
"n69n+6
【解析】
【分析】(1)根据公式法求解即可;
(2)由于二〕,根据裂项相消求和即可解决.
3(3〃一13«+2)
【小问1详解】
由题知,等差数列{%}的前〃项和为邑,邑=15,Si2=222,
=1I+%+&=15(7C
3123aa—S
所以S」2(q+牝)_222'即2;+11/37'
——m/Q]十1id3/
、2
所以=2+(77-1)-3=372-1,
所以{4}的通项公式为%=3“-1;
【小问2详解】
由(1)得,an=3n-1,
,11=1(1______L_]
所以〃=-----
(3〃-1).(3〃+2)3(3〃-13n+2J
所以北=;,
125)158j1811J1%-1为+2〃312%+2^69n+6
所以数列也}的前〃项和北=工-——.
69〃+6
18.已知圆C:/+/+M+即+1=0,直线4:x—y—l=0,,2:x-2y=0,且直线乙和(均平分圆C.
(1)求圆。的标准方程
第10页/共17页
(2)直线瓜+y+a—2jJ=0与圆C相交于M,N两点,且NMCN=120。,求实数。的值.
【答案】(1)(x-2)2+(v-l)2=4
(2)。=1或。=—3
【解析】
【分析】(1)根据直线4和,2均平分圆c,可知两条直线都过圆心,通过联立求出两条直线的交点坐标,
由此得到圆心坐标即可得到圆的标准方程.
(2)根据NMCN=120。,及△MCN为等腰三角形可得到NCMN=30°,可得圆心到直线的距离
d=rsinZCMN,再根据点到直线的距离公式即可求出实数。的值.
【小问1详解】
因为直线k和/2均平分圆C,所以直线k和右均过圆心。,
x-y-l=0x=2
因为《。’解得I=],所以直线4和的交点坐标为(2,1),
所以圆心。的坐标为(2,1),
因为圆C:/+V+加工+砂+i_Q,所以圆心坐标为[—5
加
2-[m=-4
所以《,解得1c,
nn=-2
——二1i
I2
所以圆。的方程为丁+/一4x—2y+l=0,即(x—2y+(y—I)?=4,
所以圆。的标准方程为(x—2)2+(y—I?=4.
【小问2详解】
由⑴得圆C的标准方程为(x—2『+(y—1『=4,圆心C(2,l),半径尸=2,
因为NMCN=120。,且△〃CN为等腰三角形,所以NCWV=30°,
因为1cM=|CN|=r,
所以圆心。到直线瓜+.v+a-273=0的距离d=rsinZCMN=2sin300=1,
第11页/共17页
+1+a—
根据点到直线的距离公式d=
即=2,解得a=1或a=-3,
所以实数。的值为a=1或a=-3.
A
19.在A45c中,角4,B,C的对边分别为a,b,c,设AA8C的面积为S,且满足S=?(/一°2
(1)求角。的大小;
(2)求sin/sinB的最大值.
【答案】(1)
(2)1
【解析】
【分析】(1)由S=卜利用余弦定理和面积公式化简得tanC=g,可求角。的大小;
^-A,利用三角恒等变换化简得1;sin22-己
(2)由sin/sin3=sin/sin+:,结合角A的范围
24
TTTT
可知,当24—=—,sin4sin3取最大值.
62
【小问1详解】
由5=半(/+入°2)可知,173
—absinC-——x2abcosC•
24
所以tanC=^3-
jr
因为0<。<兀,所以c=—.
3
【小问2详解】
由已知sin/sin3=sin/sin(兀一。一/)
--A]=sinA
二sinAsin---------1cosAH——sinA
3J22
7
6.C,1C,11.C,兀11
——sin2Zcos2/H———sin2Z---+1.
444264
第12页/共17页
因为0</<如,所以—4<2/—巴<?生,
3666
所以当2Z—巴=巴,即N=g时,sin/sin8取最大值一,
6234
3
所以sinZsinB的最大值是一.
4
20.已知双曲线C:—-^-=1(6>0),直线/与双曲线C交于尸,。两点.
2b2
(1)若点(4,0)是双曲线。的一个焦点,求双曲线。的渐近线方程;
(2)若点尸的坐标为卜后,0),直线/的斜率等于1,且|P0|=|,求双曲线。的离心率.
【答案】(1)y=+y/lx
【解析】
【分析】(1)利用双曲线的焦点坐标及标准方程,结合双曲线中。,“C三者的关系及双曲线的渐近线方程即
可求解.
(2)根据已知条件及直线的点斜式方程,将联立双曲线方程与直线方程,利用韦达定理及点在直线上,结
合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解.
【小问1详解】
:点(4,0)是双曲线C的一个焦点,.♦.c=4,
又:+人2且/=2,解得/=14,
...双曲线。的方程为工—匕=1,
214
...双曲线C的渐近线方程为j=+41x;
【小问2详解】
设直线/的方程为y=x+后且。(石,乃),
y=x+V2,
联立22,可得仅2—24—4属—4—262=0
xJ1
匕一乒二L
第13页/共17页
4V2扬2+2行26b2
则-正+X]=即%=X]+V2=
b2-2-b2-2-b--2
22
'2标2',2◎及、b28
+=4
〔一Jb2-23
解得〃=一4,即由°2=/+/可得02=一14
55
V14
故双曲线。的离心率为C
e---
aV2-5
21.如图,在长方体4BCD—中,4B=44=4,AD=2,AE=—AB.
4
(1)证明:/。,平面。2£;
(2)求直线口£与平面DEG所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;
⑵迎.
63
【解析】
【分析】(1)建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,再利用空间位置关系的向量证明推理即得.
(2)利用(1)中坐标系,求出平面DEG的法向量,再利用线面角的向量求法求解即可.
【小问1详解】
在长方体48CD-44GA中,以。为坐标原点,向量五5,皮,的分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
第14页/共17页
有。(0,0,0),Z(2,0,0),8(2,4,0),C(0,4,0),£(2,1,0),£>,(0,0,4),G(0,4,4),
则*=(—2,4,0),瓦=(2,1,0),皿=(0,0,4),^C-D£=(-2)x2+4x1=0,〃•西=0,
因此NC_LD£,ACLDDX,又DE\DD、=D,DE,DQu平面。。也,
所以/CL平面。。也.
【小问2详解】
设平面DE。的法向量为五=(x,y,z),由丽=(2,1,0),DQ=(0,4,4),
JDE•应=2x+y=0
有取x=l,得何=(1,—2,2),
[z>G•成=4y+4z=0
设直线与平面DE。所成的角为。,而£Q]二(—2,—1,4)
----*—►IED,tnI88A/21
则sin0=|cos〈E£>],m)\=I一•
X-
\ED{\\m\VH363
所以直线。E与平面DEG所成角的正弦值为‘包
63
22.已知椭圆C:W+搞=1(。〉/,〉0)的短轴长和焦距相等,长轴长是2万
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线/与椭圆C相交于尸,。两点,原点。到直线/的距离为述.点M在椭圆C上,且满足
10
UULILULUUUIU
OM^OP+OQ,求直线/的方程.
2
【答案】(1)—+/=1
2•
第15页/共17页
3333
(2)天=21+2或歹二2、-5或^=一21+5或^=-2x-—
【解析】
【分析】(1)根据题意求出凡人,即可得解;
(2)分直线斜率存在和不存在两种情况讨论,当斜率存在时,设直线/的方程为>=丘+优,尸(七,%),
/\/\UUULUULUUUIU
。(工2,%),〃(才0,几),联立方程,利用韦达定理求出西+
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