2025届沾益区某中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2025届沾益区第一中学高二上学期期末考试

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答

题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上

作答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第

四章.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合“斗尸八{1,2,3,4},则（剃二=（）

A.{4}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】解出集合A、B,利用补集和交集的定义可求得集合

【详解】因为2=卜卜2-3》＜0}={》|0＜》＜3},则％Z={x|x＜0或x23},

因此，（a2）口3={3,4}.

故选：B.

-z

2.已知复数z满足2z—z=l+3i，则一=（）

1

A.-1+iB.1-iC.1+iD.-1-i

【答案】B

【解析】

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【分析】设复数2,由题设条件求得2=l+i,最后代入所求式即得.

【详解】设z=a+bi（QcR/£R）,则Q—6i，

由2z—z=a+3bi=l+3i，可得。=6=1,

则二=^=1-i.

ii

故选：B

22

3.若方程上二y1表示焦点在歹轴上的双曲线，则实数冽的取值范围为（）

4-m1+m

A.-00,-2)B.(-2,-1)

C.(-2,2)D.(-1,1)

【答案】A

【解析】

22

y-1-m>0

【分析】原方程可变形为根据已知有《一4+苏〉0,解出即在

-m-lm-4

22

【详解】因为方程一J—-=1表示焦点在y轴上的双曲线,

4-m1+m

2222

XX

J=1可变形为y二1.

4-m1+m—m—\m2-4

-1-m>0m+l<0

，即《

所以有<72.c，解得加<—2.

-4+m>0m-4>0

故选：A.

4.两平行直线4：x+y—1=0和右：工+歹―3=0之间的距离为（)

A.V2B.2C.272D.3

【答案】A

【解析】

【分析】利用平行线间距离公式计算即得.

【详解】平行直线：x+y—1=0和3x+y—3=0之间的距离d

故选：A

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5.等比数列｛4｝的前〃项和为S,,若生。=。5，邑=1，贝怯比“=（）

1-1

A.3B.-C.3或一D.2

33

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差数列的通项公式，化简求出。2,判断qwi，利用前〃项和公式表示邑，联立方程即可

解出心

设首项为力,公比为/根据题意有为

即。1/二1①，所以4=1，若q=1,则有S3=3,与S3=§不符，所以qW1，

z3]

所以封="（一，）=与②,联立①②两式有：<%（1—/）13.艮1

〜3[1-^-3

+[13,整理得的一1凶+3=0,解得q=3或q_£

一十

1-q3

故选：C

6函数小）=2器」的部分图象大致是

人r'一战:厂、

C.

-------z0,X------/O________X

【答案】A

【解析】

TT

【分析】根据函数的奇偶性及0<x<一日寸，/（x）〉0进行排除即可得解.

3

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【详解】因为/（x）==一，所以/（-x）=-〃x）,所以/（X）是奇函数，图象关于原点对称，所以B,

2-2

D错误，

jr

当0<x<H时，/（X）>0,所以C错误.

故选A.

【点睛】本题主要考查了识别函数图像，一般从以下几个方面进行选择即可：奇偶性，定义域，特殊值，

极限值，属于基础题.

7.已知向量应=（1,2,-1）,拓=（//,-/）,且比上平面巴万，平面6，若平面a与平面月的夹角的余弦值为

迪，则实数/的值为（）

3

A.I或一1B.工或1C.—1或2D.一'

252

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面夹角的向量公式求解可得.

【详解】因为应I=2+2//—|=血,|»|=J1+2J,

|2+2/|272解得/=’或1.

所以

V6-71+2/2r5

故选：B.

8.在平面直角坐标系xQy中，已知圆C:（x-a）2+（y-[J=[2（。>o）,/（_3,o）,若圆C上存在点尸，

使得忸/|=2忸。|,则正数。的取值范围为（）

A.（0,1]B.[1,2]

C.[月,2]D.[1,3+26]

【答案】D

【解析】

【分析】设尸（X/）,根据条件得到（x-Ip+/=4,从而将问题转化成（x-1）?+/=4与圆。有交点,

再利用两圆的位置关系即可求出结果.

【详解】设尸（xj），则由|24|=2\PO\,得到7（X+3）2+J2=2旧",

整理得到（x—1『+了2=4,又点在圆。上，所以（x—I?+「=4与圆。有交点，

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又(x—1)2+/=4的圆心为(1,0),半径为井=2,圆。的圆心为伍,。)，半径为夫=a,

所以12-1)2+a~W2+a,解得+,

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若直线平面且直线。不平行于平面给出下列结论正确的是()

A.&内的所有直线与。异面B.。内存在直线与。相交

C.a内存在唯一的直线与。平行D.&内不存在与。平行的直线

【答案】BD

【解析】

【分析】由题意可判断直线•与平面a相交，即可判断a内的直线与a的位置关系，即得答案.

【详解】由直线a<2平面且直线。不平行于平面a,

可知直线a与平面a相交，设交点为。，

则平面。内必存在过点。的直线，这些直线与。相交，故A错误，B正确；

假设0内存在直线与。平行，由于直线a<2平面则直线。平行于平面

与题意矛盾，则a内不存在与a平行的直线，c错误，D正确，

故选：BD

10.在等差数列｛%｝中，其前"的和是S",若q=—9,d=3,贝IJ()

A.｛%｝是递增数列B.其通项公式是%=3〃-12

C.当S“取最小值时，〃的值只能是3D.S“的最小值是-18

【答案】ABD

【解析】

【分析】由公差的正负性判断等差数列的单调性，由首项、公差写出等差数列通项公式，进而可得前〃项

和公式，即可判断各选项的正误.

【详解】由d=3〉0,可知等差数列｛%｝为递增数列，A正确；

由题设，an=aA+(n-=-9+3(M-1)=3w-12,B正确；

v_72_147

—〃(%+4)_3/—21〃_乂"24,故当〃=3或4时，£,取最小值且为—18,故C错误，D

)———

"222

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正确.

故选：ABD

22___

11.设点片，心分别为椭圆C：、■+(=：!的左、右焦点，点尸是椭圆。上任意一点，若使得丽・丽=加

成立的点恰好是4个，则实数加的取值可以是()

A.1B.3C.5D.4

【答案】BD

【解析】

【分析】首先设点产(七为)，得到西=(-2-%,-%),丽=(2-%,-%),结合点尸在椭圆上得到

片=二『，若成立的点有四个，则不在(-3,3)有两实数解，

则有0<j^<9,解出其范围结合选项即得.

4

【详解】设尸(%%)，•••爪―2,0),7^(2,0),：.PFl=(-2-x0,-y0),PF\=(2-x0,-y0),由

___22

西•丽=加可得=加+4,又•.•点尸在椭圆C上，即/+=

；.焉=二『，要使得=掰成立的点恰好是4个，则0<\二<9,解得1〈加<5.

故选：BD

12.已知抛物线C：必=12尤，点厂是抛物线c的焦点，点尸是抛物线。上的一点，点M(4,3),则下列说

法正确的是()

A.抛物线C的准线方程为x=-3

B.若|产刊=7,则△PMF的面积为28-g

C.|PF|-的最大值为丽

D.4PMF的周长的最小值为7+

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为x=-3,即可判断A,根据抛物线定义得到x尸=4,故尸点

可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B,利用三角形任意两边之差小于第

三边结合三点一线的特殊情况即可得到(\PF\-\PM|)max=|F\,计算即可判断c,三角形尸儿田的周

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长=\PM\+\MF\+\PF\=\PM\+\PF\+Vio,再结合抛物线定义即可求出1PMl+I尸/I的最小值，即得

到周长最小值.

【详解】•.•/=12X,，p=6,.•.尸（3,0）,准线方程为x=—3,故A正确；

根据抛物线定义得附f+勺/+3=7,%=4,•.•/（4,3）,

PA//加轴，当x=4时，y=±4^/3，

若尸点在第一象限时，此时尸（4,4百），

[3

故PM=-3,△尸A/F的IWJ为1,故S4PMF=万乂—3）x1=2«"—丁

若点尸在第四象限，此时尸（4,-46），故9=4百+3，

1o

△PMF的高为1,故S/MF=]X（4百+3卜1=26+丁故B错误；

PF\-\PM\<\MF\,...（|PF|-|PM|）max=\MF\=J（4-3）,（3-0）2=而，故C正确;

（连接/M,并延长交于抛物线于点P,此时即为|尸尸ITPMI最大值的情况，

图对应如下）

过点P作尸准线，垂足为点。,

△PA/F的周长=|PA/|+|W[+|P可=|「河|+|尸尸|+丽=\PM\+（P£>|+M,

若周长最小，则1PMi+|尸。|长度和最小，显然当点P,M,。位于同一条直线上时，|尸川|+|〃川的和最小,

此时1PM+|"F|=|P£）|=7,

故周长最小值为7+JiU，故D正确.

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故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设点B为单位向量，且团+3|=1,则团―B|=.

【答案】也

【解析】

【分析】整理已知可得：pS|=Jp+S)-.再利用为单位向量即可求得2Z/=-1，对a—6变形

可得：|a-S|=^|a|-2a-S+|S|，问题得解.

【详解】因为Z］为单位向量，所以,=川=1

所以+*屁司=』/+诟;+,=^2+2a-b=1

解得：2a-b=-l

所以B-b\=而叫2=小卜五石+5=也

故答案为：V3

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

14.过点幺(3,-1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是•

［答案］x+3y=0或x+y-2=0.

【解析】

【分析】

分截距为0以及截距不为0两种情况分别求解即可.

【详解】当截距为0时，满足在两坐标轴上的截距相等.此时设直线方程为y=履，则-1=3左n左=-1,故

3

y=，化简得x+3y=0.

当截距不为0时,设直线方程为二+上=1,则』+匚=lna=2.故工+上=1,化简可得x+.y—2=0.

aaaa22

故答案为：x+3y=0或x+y—2=0.

【点睛】本题主要考查了根据直线的截距关系式求解直线方程的问题，需要注意分截距为0与不为0两种情

况进行求解.属于基础题.

15.已知四位数4521,任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为.

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【答案】f##0.5

【解析】

【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.

【详解】4521任意交换两个数的位置之后有：5421,2541,1524,4251,4125,4512,共6种，

两个奇数相邻有1524,4251,4512共3种，

所以两个奇数相邻的概率为。.

故答案为：；

16.已知各项均为正数的递增等差数列｛《,｝,其前〃项和为S“，公差为d,若数列｛疯｝也是等差数列，

Q

则%+——的最小值为

1d+2--------

【答案】3

【解析】

【分析】根据｛4｝为等差数列，求出邑=弓〃2+[%—1_)〃，又为等差数列，结合等

差数列通项公式的特征，得到%=3,从而利用基本不等式求出答案.

【详解】因为｛%｝为等差数列，且d>0,

,,d(d\

故o=万"2-+1%-5卜

则n为等差数列，即要能化成一个关于n的一次函数,

r,“dd

则有4-w=0，%=7，

Qd8d+28,cd+28^

贝!1a+-—---—--I----------+---------1>2.---------------

1d+}22d+22d+2\2d+2

当且仅当"工="―,d=2时，等号成立,

2d+2

Q

故外+-----的最小值为3.

1d+2

故答案为：3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

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17.已知等差数列｛%｝的前〃项和为50,邑=15,国2=222.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）若b“=-----,求数列抄“｝的前〃项和7；.

anan+l

【答案】（1）an=3/7-1

（2）T=-———

"n69n+6

【解析】

【分析】（1）根据公式法求解即可；

（2）由于二〕，根据裂项相消求和即可解决.

3（3〃一13«+2）

【小问1详解】

由题知，等差数列｛%｝的前〃项和为邑,邑=15,Si2=222,

=1I+%+&=15（7C

3123aa—S

所以S」2（q+牝）_222'即2；+11/37'

——m/Q］十1id3/

、2

所以=2+(77-1)-3=372-1,

所以｛4｝的通项公式为%=3“-1；

【小问2详解】

由（1）得，an=3n-1,

,11=1(1______L_]

所以〃=-----

(3〃-1).(3〃+2)3(3〃-13n+2J

所以北=；,

125)158j1811J1%-1为+2〃312%+2^69n+6

所以数列也｝的前〃项和北=工-——.

69〃+6

18.已知圆C:/+/+M+即+1=0,直线4:x—y—l=0,，2：x-2y=0,且直线乙和(均平分圆C.

(1)求圆。的标准方程

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(2)直线瓜+y+a—2jJ=0与圆C相交于M,N两点，且NMCN=120。，求实数。的值.

【答案】(1)(x-2)2+(v-l)2=4

(2)。=1或。=—3

【解析】

【分析】(1)根据直线4和，2均平分圆c，可知两条直线都过圆心，通过联立求出两条直线的交点坐标,

由此得到圆心坐标即可得到圆的标准方程.

(2)根据NMCN=120。，及△MCN为等腰三角形可得到NCMN=30°，可得圆心到直线的距离

d=rsinZCMN，再根据点到直线的距离公式即可求出实数。的值.

【小问1详解】

因为直线k和/2均平分圆C,所以直线k和右均过圆心。，

x-y-l=0x=2

因为《。’解得I=],所以直线4和的交点坐标为(2,1)，

所以圆心。的坐标为(2,1),

因为圆C:/+V+加工+砂+i_Q,所以圆心坐标为[—5

加

2-[m=-4

所以《，解得1c，

nn=-2

——二1i

I2

所以圆。的方程为丁+/一4x—2y+l=0,即(x—2y+(y—I)?=4,

所以圆。的标准方程为(x—2)2+(y—I?=4.

【小问2详解】

由⑴得圆C的标准方程为(x—2『+(y—1『=4,圆心C(2,l),半径尸=2,

因为NMCN=120。，且△〃CN为等腰三角形，所以NCWV=30°，

因为1cM=|CN|=r,

所以圆心。到直线瓜+.v+a-273=0的距离d=rsinZCMN=2sin300=1，

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+1+a—

根据点到直线的距离公式d=

即=2,解得a=1或a=-3,

所以实数。的值为a=1或a=-3.

A

19.在A45c中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,设AA8C的面积为S,且满足S=?（/一°2

（1）求角。的大小;

（2）求sin/sinB的最大值.

【答案】（1）

(2)1

【解析】

【分析】（1）由S=卜利用余弦定理和面积公式化简得tanC=g，可求角。的大小;

^-A,利用三角恒等变换化简得1;sin22-己

(2)由sin/sin3=sin/sin+:，结合角A的范围

24

TTTT

可知，当24—=—，sin4sin3取最大值.

62

【小问1详解】

由5=半（/+入°2）可知,173

—absinC-——x2abcosC•

24

所以tanC=^3-

jr

因为0＜。＜兀，所以c=—.

3

【小问2详解】

由已知sin/sin3=sin/sin(兀一。一/)

--A]=sinA

二sinAsin---------1cosAH——sinA

3J22

7

6.C,1C,11.C,兀11

——sin2Zcos2/H———sin2Z---+1.

444264

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因为0</<如，所以—4<2/—巴<?生，

3666

所以当2Z—巴=巴，即N=g时，sin/sin8取最大值一，

6234

3

所以sinZsinB的最大值是一.

4

20.已知双曲线C：—-^-=1（6>0）,直线/与双曲线C交于尸，。两点.

2b2

（1）若点（4,0）是双曲线。的一个焦点，求双曲线。的渐近线方程；

（2）若点尸的坐标为卜后,0）,直线/的斜率等于1,且|P0|=|,求双曲线。的离心率.

【答案】（1）y=+y/lx

【解析】

【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中。，“C三者的关系及双曲线的渐近线方程即

可求解.

（2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结

合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解.

【小问1详解】

:点（4,0）是双曲线C的一个焦点，.♦.c=4,

又:+人2且/=2,解得/=14，

...双曲线。的方程为工—匕=1,

214

...双曲线C的渐近线方程为j=+41x；

【小问2详解】

设直线/的方程为y=x+后且。（石,乃）,

y=x+V2,

联立22，可得仅2—24—4属—4—262=0

xJ1

匕一乒二L

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4V2扬2+2行26b2

则-正+X]=即%=X]+V2=

b2-2-b2-2-b--2

22

'2标2'，2◎及、b28

+=4

〔一Jb2-23

解得〃=一4，即由°2=/+/可得02=一14

55

V14

故双曲线。的离心率为C

e---

aV2-5

21.如图，在长方体4BCD—中，4B=44=4,AD=2，AE=—AB.

4

(1)证明：/。，平面。2£；

(2)求直线口£与平面DEG所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵迎.

63

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得.

(2)利用(1)中坐标系，求出平面DEG的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可.

【小问1详解】

在长方体48CD-44GA中，以。为坐标原点，向量五5,皮，的分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

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有。(0,0,0),Z(2,0,0),8(2,4,0),C(0,4,0),£(2,1,0),£>,(0,0,4),G(0,4,4),

则*=(—2,4,0),瓦=(2,1,0),皿=(0,0,4),^C-D£=(-2)x2+4x1=0,〃•西=0,

因此NC_LD£,ACLDDX,又DE\DD、=D,DE,DQu平面。。也，

所以/CL平面。。也.

【小问2详解】

设平面DE。的法向量为五=(x,y,z),由丽=(2,1,0),DQ=(0,4,4),

JDE•应=2x+y=0

有取x=l,得何=(1,—2,2),

[z>G•成=4y+4z=0

设直线与平面DE。所成的角为。，而£Q］二(—2,—1,4)

----*—►IED,tnI88A/21

则sin0=|cos〈E£>],m)\=I一•

X-

\ED{\\m\VH363

所以直线。E与平面DEG所成角的正弦值为‘包

63

22.已知椭圆C：W+搞=1(。〉/,〉0)的短轴长和焦距相等，长轴长是2万

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线/与椭圆C相交于尸，。两点，原点。到直线/的距离为述.点M在椭圆C上，且满足

10

UULILULUUUIU

OM^OP+OQ,求直线/的方程.

2

【答案】(1)—+/=1

2•

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3333

(2)天=21+2或歹二2、-5或^=一21+5或^=-2x-—

【解析】

【分析】（1）根据题意求出凡人，即可得解;

（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线/的方程为＞=丘+优，尸（七,%），

/\/\UUULUULUUUIU

。（工2，%），〃（才0，几），联立方程，利用韦达定理求出西+