2024-2025学年高二数学选择性必修一《圆锥曲线的方程》测试卷及答案解析

2024-2025学年高二数学选择性必修一《圆锥曲线的方程》测试卷

（本卷共19道题；总分：150分；考试时间：120分钟）

姓名：成绩:

单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

x2y2

i.椭圆7+T—=i的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围（）

5a4az+l

11V5V5

A.（0,-）B.[-,1）C.（0,—]D.[——，1）

5555

2.抛物线/=8尤的焦点为用设A（xi,yi）,B（尤2,”）是抛物线上的两个动点，若xi+尤2+4=竽|48|,贝iJ/AFB

的最大值为（）

n3n57r27r

A.—B.—C.—D.—

3463

3.已知椭圆C：—+£7=1（a>b>0）的离心率为一，过右焦点厂且斜率为左（Q0）的直线与C相交于A,B

a2b22

—>—>

两点，若4F=3FB,贝殊=（）

A.1B.V2C.V3D.2

x2

4.若点。和点B（-2,0）分别是双曲线丁=1缶>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，

—>—>

贝UOP-FP的取值范围为（）

77

A.[3—2^3/+8）B.[3+2^/3/+°°）C.[―[，+8）D.+8）

5.将离心率为d的双曲线C1的实半轴长Q和虚半轴长b（a7b）同时增加m（m>0）个单位长度，得到离心率

为02的双曲线Q,则（）

A.对任意的“，b,e\>ei

B.当〃时，ei>e2；当4Vb时，e\<ei

C.对任意的a,b,e\<ei

D.当时，ei<e2；当时，ei>e2

6.已知双曲线=一%=1（a>0,b>0）的左，右焦点分别为乃，F2,点尸（2,V3）在双曲线上，且|P尸1|,百为，

azbz

|尸7切成等差数列，则该双曲线的方程为（）

22—y2

A.JC-y2=lB.---=1

23

汽2yN2

7-设八,放分别是椭圆后+短”46>。）的左、右焦点，若在直线x啖（其中02+庐=心上存在点以

使线段P门的垂直平分线经过点尸2,则椭圆离心率的取值范围是（）

/V2,V3V3V2

A.(0,—]B.(0,—]C.[—,1)D.[—，1)

2332

y2—>t

8.已知双曲线C：---=1的左，右焦点分别为乃，F2,A,8是双曲线C上的两点，且=3&B,cosZAF2B=

,则该双曲线的离心率为（）

Vioc,匹

A.VToB.——D.V5

22

二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.下列四个关于圆锥曲线的命题中，为真命题的是（）

222

x7xy,

A.椭圆器+y=1与双曲线弘一3=1有相同的焦点

B.设A,8为两个定点，上为非零常数，若|B4|-|PB|=七则动点P的轨迹为双曲线

C.方程7-3尤+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率

D.动圆尸过定点尸（1,0）且与定直线/：x=-l相切，则圆心尸的轨迹方程是y2=4x

（多选）10.已知抛物线C：/=8尤的焦点为「直线/过点F且与抛物线C交于M（xi,yi）,N（%2,”）两点，

\MF\

其中yi>0,且舄=）1,则（）

\NF\2

A.直线/的斜率为-孚

B.XIX2=4

C.\MN\=9

D.△〃（?可（点O为坐标原点）的面积为6

（多选）11.已知尸1,R是椭圆C：卷+y2=i的左、右焦点，动点%）（%>*）在椭圆上，/乃PR的平分

线与x轴交于点加，0）,则机的可能取值为（）

A.1B.2C.0D.-1

三.填空题（共3小题）

12.已知抛物线y=以的焦点为R过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A、8两点，则弦A8长等于.

x2y202

13.已知尸1,尸2是椭圆Q：—+—=1v（a>b>0）与双曲线Q：/—9=1的公共焦点，C2的一条渐近线与C1

交于一点尸，^PFiLPFi,则/+必=.

14.已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为R准线与x轴交于点过尸且斜率大于。的直线/与C交于A,

B两点，若taMAMB=2vL则1的斜率为

四.解答题(共5小题)

15.已知点A(-1,0),B(1,0),直线AM,3M相交于M,且它们的斜率之积为2.

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)若过点N8,1)的直线/交点M的轨迹于C,。两点，且N为线段C。的中点，求直线/的方程.

16.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长2g.

(1)求双曲线的方程

(2)若直线/：y=fcr+/与双曲线恒有两个不同的交点A,B,且NA08为锐角(其中。为原点)，求左的取值

范围.

17.已知双曲线C：*，=l(a>0,6>0)的右焦点尸(4,0)到渐近线的距离为2®

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点/的直线与双曲线C的右支交于A,8两点，在x轴上是否存在点P,使得点尸到直线抬，P8的距

离相等？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

18.已知抛物线C：y2=4x的焦点为R过尸的直线/交c于A,B两点，M为线段AB的中点，0为坐标原点.A0,

3。的延长线与直线x=-4分别交于P、0两点.

(I)求动点M的轨迹方程；

(II)连接。求△OPQ与的面积比.

19.已知点尸为抛物线C：y1=2px(p>0)的焦点，过点尸的动直线/与抛物线C交于M,N两点，如图.当直

线/与x轴垂直时，\MN\=4.

(I)求抛物线C的方程；

(II)已知点尸(-1,0),设直线的斜率为右，直线PN的斜率为上.请判断依+七是否为定值，若是，

写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由.

2024-2025学年高二数学选择性必修一《圆锥曲线的方程》测试卷

参考答案与试题解析

单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

XV

L椭忆+,0的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围（）

11V5V5

A.(0,—)B.1，1)C.(0,—]D.[―,1)

55

汽2y21

解:,••椭圆—+——=1的焦点在无轴上，.\5a>4a2+l.-.-<a<l

5a4a2+i4

,/椭圆的离心率为J"一”?—1=』—弥4（1+3<jl-|x2J4ax'=*（当且仅当4a=K即a=与寸取等

V5

号）...椭圆的禺心率的取值范围为（0,g］故选：C.

2.抛物线b=8x的焦点为足设A（xi,ji）,B（尤2,”）是抛物线上的两个动点，若无1+尤2+4=竽|48|,贝iJ/AFB

的最大值为（

n3715TT27r

A.-B.C.—D.

3463

解：因为*1+%2+4=学|43],\AF\+\BF\^X1+X2+4,所以|4F|+|BF|=学|48].

在△A冏中，由余弦定理得：CEAFB耦仁产=(网+|吗潟器『FHM=

期一网2=烟

2\AF\-\BF\_一1~2\AFY\BF\~

又时+\BF\=竽|网>2j\AF\'\BF\今\AF\■\BF\<||/1B|2.

所以cosNAFB>311-i=_J,/AFB的最大值为空,

2x||ABr23

故选：D.

x2y2V3

3.已知椭圆C：—+—=1(〃>Z?>0)的离心率为一，过右焦点/且斜率为％(左>0)的直线与。相交于A,B

a2b22

两点，若第=3薪，贝！H=()

A.1B.V2C.V3D.2

解：A(xi,yi),B(x2,»),

—>—>

U：AF=3FB,：.yi=-3y2,

Ve=设a=2ac=y/3t,b=t,

.•・/+4y2-4P=0①，

设直线AB方程为％=sy+遍3代入①中消去x,可得(s?+4)y2+2y/3sty—t2=0,

2cstt乙2/3st

•*•71+丫2=一，，_2y2=--

S2+4y2=—kS2+4

解得$2=£kW

故选：B.

x2

4.若点。和点F(-2,0)分别是双曲线0-y2=l(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,

则心•访的取值范围为()

77

A.[3—2V+oo)B.[3+2V3/+8)C.[—+8)D.00)

解：因为尸(-2,0)是已知双曲线的左焦点，

2

所以〃2+1=4,即“2=3,所以双曲线方程为/%_—y2=1,

设点PGo,yo),

则有十一丫。？=1("。-解得Vo?=乎—1(久。？V3),

—>—>

因为尸产=(%o+2,J/Q),OP=(%o，y0)，

->—>第八24%八2

所以。P,FP=Xg(XQ+2)+y02=xo(无o+2)H——1=―—F2x0—1,

此二次函数对应的抛物线的对称轴为比=-1，

因为Xo>V3,

所以当&=旧时，OP■而取得最小值：x3+2V3-1=3+2«,

故品•厢的取值范围是[3+2百，+8),

—>—>—>—>

另解：取OF的中点A,贝!]OP・FP=PO・PF=(PA+AOXPA+AF)

—>—>―»—>—>—>

=P^+AO^F+PA<AO+AF)=|M|2-(1+V3)2-1=3+2V3,

故选：B.

5.将离心率为即的双曲线Ci的实半轴长a和虚半轴长b(aWb)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率

为62的双曲线Q,则()

A.对任意的。，b,ei>ei

B.当〃时，ei>e2;当时，ei〈e2

C.对任意的a,b,e\<ei

D.当时，ei<e2；当〃VZ?时，e\>ei

222

解：由题意，双曲线Ci：c=a+bf/=泉

双曲线C2：*2=3根)2+3书2,e2=J(a+M)\(b+4,

a+m

2279

・22_b(b+m)_(b—a)(2abm+bmA+am1)

22

12a2(Q+7n)2a(a+m)

「・当〃>Z?时，ei<e2；当〃Vb时，e\>ei,

故选：D.

22

6.已知双曲线二一77=1（a>0,b>0）的左，右焦点分别为A,F2,点、P（2,V3）在双曲线上，且|PFi|,回放|,

azbz

|尸尸2成等差数列，则该双曲线的方程为（）

%2y2

A./_y2=]B.———=1

23

x2y2

D.———=1

164

解：设|PA|=M,|FIF2|=2C,\PF2\=n.

•*.m-n=2a.

V|PFi|,IF1F2I，|/7切成等差数列，・・.4。=加+小

m=a+2c=J(2+c)2+3,n=2c-a=J(2一疗+3,

联立解得a=l,c=V2,.,.b1=c2-a2=\.

...双曲线的标准方程为：

故选：A.

7.设为，尸2分别是椭圆三+三=1（。>6>0）的左、右焦点，若在直线X=2（其中。2+庐=°2）上存在点p,

azbzc

使线段P门的垂直平分线经过点P2,则椭圆离心率的取值范围是（）

D.卢，1)

2

解：由题意得Fi（-c,0）,Fi（c,0）,

、M

设点口（工，m），

口2—021

则由中点公式可得线段尸产1的中点K（二一,-m）,

2c2

・•・线段PFi的斜率与KF2的斜率之积等于-1,

m-0-m-0

，_____

即彳a2-c2=—1,

---------C

C

Ca"a"

/.m2=-(一+(?)•(——3c)NO,

cc

•-242c2-3c4WO,

・，・3e,+2e2-120,e^>或e2a-1(舍去),

V3

T,

又椭圆的离心率0<e<l,

故一<e<l,

3

故选：C.

x2y2-»-»

8.已知双曲线C：---=1的左，右焦点分别为乃，F2,A,B是双曲线C上的两点，且4尻=3%B,cosZAF2B=

I，则该双曲线的离心率为()

V10V5e

A.V10B.-----C.—D.V5

22

解：设|乃川=3方\F\B\-x,则|AB|=4x,\BF2\—1a+x,|AF2|=2a+3x,

在△43放中，由余弦定理得：

(4x)2=(2a+x)2+(2a+3x)2-2(2a+x)(2a+3x)X

解得x=a,.\AF2—5a,AB=4a,BFi=3a,

.••△A8F2是直角三角形，

2

在Rt△尸i而'2中，/+（3。）2=（2c）,代入得10/=中2,gpe2=

则该双曲线的离心率为e=乎.

故选：B.

二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.下列四个关于圆锥曲线的命题中，为真命题的是（）

X2X2V2、

A.椭圆器+y7=1与双曲线石-可=1有相同的焦点

B.设A,B为两个定点，上为非零常数，若|%|-|尸2|=总则动点P的轨迹为双曲线

C.方程％2-3尤+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率

D.动圆P过定点尸（1,0）且与定直线/：x=-l相切，则圆心P的轨迹方程是V=4x

x2y2

解：对于A：二一乙=1的焦点在X轴上，

259

所以c=[25+9=后,

所以焦点为（回，0）,（-V34,0）,

久2

因为盘+y2=l焦点在x轴上，

所以c=V35-1=V34，

所以焦点为（属，0）,（-V34.0）,故A正确；

对于B：根据双曲线的定义,^||M|-\PB\\=k<\AB\,

所以动点尸的轨迹为双曲线，故B错误；

对于C：方程/-3x+2=0的两个根为xi=1或皿=2,

所以2可作为双曲线的离心率，但1不可作为椭圆的离心率，故C错误；

对于。：根据抛物线的定义可得：=1,即p=2,

所以抛物线的方程为俨=4无，故。正确.

故选：AD.

（多选）10.已知抛物线C：/=8尤的焦点为R直线/过点P且与抛物线C交于M（xi,yi）,N（xi,”）两点,

其中N>°,且\M舄F\=）1,则（）

\NF\2

A.直线/的斜率为一?

B.XIX2=4

C.\MN\=9

D.△MON（点。为坐标原点）的面积为6

解：因为yi>0,

所以点M在第一象限，

显然直线/不与x轴垂直，设直线：x=my+2（机W0）,

联立b~Qx,可得y2-8冲-16=0,

由韦达定理可得：yi+y2—8m,yiy2--16.

作MA,垂直于x轴，则

吧=\MA\_yi_1yi=1

侍|NF|-IWBI——-2-y2-2’

则为=2V2,y2=-4V2.

/2

A选项,7i+72=8m=—2V2nm=一彳,

则直线斜率为工=-2迅，故A错误；

B选项，因资=yl=8%2,

则%1%2=*,等=4,故3正确；

。选项，由抛物线定义，\MN\=\MF]-^-\NF]=XI+X2+4,

又x=my-^-2,

则无1+上+4=m(yi+y2)+8=一孝•(―2/)+8=9,故C正确；

11

。选项，由图有义"0'=米。91(1“川+1样|)="2*(%72)=6加,故。错误.

21

(多选)11.已知四，R是椭圆C：卷r+y2=i的左、右焦点，动点PQ1，%)(%>*)在椭圆上，/为尸放的平分

线与x轴交于点M(加，0),则机的可能取值为()

A.1B.2C.0D.-1

解：由椭圆方程可得尸1(-V3,0),Fi(V3,0),

1

由yi>2，可得一百<3：1<、8,

则直线PF1的方程为y-0=r-(%+V3)，即%%-(%i+V3)y+75yl=0,

3

直线PF2的方程为y-0=~~r5(%-A/3)，即y6-(%1-V3)y-75yl=0.

-VD

,：M(m,0)在/乃PF2的平分线，

.必M+加1|_______凶1-—超1|①

Jyi2+(Xi+y/3)2Jyi2+(%1-V3)2

222

,.,y1+(x1+V3)=.xj+24X、+4=(乎久i+2),

72

J/+(久i—V3)='xj-2V3X1+4=(好久i—2产,

—V3<xi<V3,

•・•①式转化为第=津'即”=汪「

又一百<nv®，-孥v^v察

结合选项可得m的可能取值为1,0,-1,

故选：ACD.

三.填空题(共3小题)

12.已知抛物线y2=4x的焦点为R过尸且垂直于x轴的直线交抛物线于4、2两点，则弦48长等于4

解：由题意可知焦点坐标为尸(1,0),则X4=XB=1,

不妨设点A位于第一象限，点B位于第四象限,

代入抛物线方程可得班=2,yB=-2,

故|A8|=2-(-2)=4.

故答案为：4.

工2y22

13.已知尸1,R是椭圆Ci：—+—=1(a>b>0)与双曲线C2：/-手=1的公共焦点，C2的一条渐近线与Ci

交于一点尸，若尸为，尸尸2,则/+必=5+4西.

解：双曲线C2：^=1的焦点(±b，0),：.cr-b2=5.

取C2的一条渐近线y=2x,与椭圆相交于点尸〃)

22

VPFi±PF2,Am,〃满足匚，且-y+£=l.

+nz=5azbz

b2=2V5,

c^+b1=5+2.=5+4V5，

故答案为：5+4V5.

14.已知抛物线Cy2=2px(p>0)的焦点为R准线与x轴交于点M,过尸且斜率大于。的直线/与。交于A,

B两点,若tern乙4MB=2或，则/的斜率为1.

解：设直线/的方程为％=my+刍，A(xi,yi),B(x2fy2),

联立直线与抛物线方程f=叼+之化简整理可得，y2-2s-p2=0,

ly2=2px

由韦达定理可得，yi+y2=2mp,y/z=-口?，

k+k=_2L+_2Z_=当+当=2771yly2+「(力+巧)=2一(—p2)+p(2mp)=Q

AMBM

x1+^-my1+pmy2+p(my1+p)(my2+p)~(my1+p)(my2+p)

・•・ZAMF=ZBMF,

2tanZ.AMF

贝!JtcmzZMB==2-\/2,

l-tan^Z-AMF

・・・NAM/为锐角，

tanZ.AMF=或~，

作轴于点孙如图所示：

根据抛物线得定义可得1MH^\AF\,

贝iJtanZTiMF=3%]==sinZ-AFH=*，

•.,乙49为锐角，，乙4尸”=手，；.直线/的斜率为1211/4万?/=1.故答案为：1.

4

四.解答题(共5小题)

15.已知点A(-1,0),B(1,0),直线AM,相交于M,且它们的斜率之积为2.

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)若过点N8,1)的直线/交点M的轨迹于C,。两点，且N为线段C。的中点，求直线/的方程.

解：(1)设MG,y),：直线AM,相交于V,且它们的斜率之积为2,

―2,则动点M的轨迹方程为2/-『=2(%#±1)；

x+1x-1

(2)由(1)得M的轨迹方程为2?-『=2(%w±i),

设点C(xi,yi),D(X2,”)，则有2%i—尤=2①,2好一%=2②,

①一②得：2(xi-x2)(xi+%2)-(yi-y2)(yi+y2)=0,

1

9：N(-,1)为CD的中点，.,.xi+x2=l,以+竺=2,・••直线/的斜率％=1,

1

.•.直线/的方程为y-1=尤一2，即2x-2y+l=0.

16.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长2g.(1)求双曲线的方程(2)若直线/：>=依+四与双

曲线恒有两个不同的交点A,B,且NA03为锐角(其中。为原点)，求上的取值范围.

解：(1)•..中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长2百，

比2

/.2a=2b，a=V3/c=2,b=1,.,.双曲线的方程为可—y2=1；

(2)将〉=丘+近代入双曲线消去y得(1-3后)x2-6<2kx-9=0.

由直线/与双曲线交于不同的两点得卜笠二0,2、5即合是且F<1.①

(4=36(1—fcz)>0§

设A(x4,ya),B(切，中),则XA+XB=,XAXB=---由NAOB为锐角，得M比5+小中>0,

1-3k1-3k

BPxAXB+yAyB=xAXB+(fcvA+V2)(to+V2)=(Q+l)XAXB+V2k(XA+XB)+2=3有+7X).②

3k—1

V-3^-7<0,1-3lc<Q,fc2>|综上：kG(-1,一字)U(孚，1)

17.已知双曲线C：*，=l(a>0,6>0)的右焦点尸(4,0)到渐近线的距离为2原

(1)求双曲线C的方程；(2)过点尸的直线与双曲线C的右支交于A,8两点，在x轴上是否存在点P,使得

点F到直线阴，尸8的距离相等？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)由右焦点尸(4,0),所以c=4,故“2+62=02=16,

又因为双曲线C；鸟—马=1的渐近线为y=土，，即施土3=0,

所以右焦点F(4,0)到渐近线的距离为亏=2必，解得b=2V3,

y/az+bz

第2丫2

所以庐=12,『=16-廿=4,所以双曲线C的标准方程为——乙=1.

412

(2)假设存在P(n,0),设A(xi,yi),B(必》),

由题意知，直线斜率不为0,设直线AB：x=my+4,

①当初=0时，直线AB：x=4,显然点尸到直线以，尸8的距离相等；

X=my+4

②当加W0时，联立％2y2,消去x,得(39之-1)『+24m,+36=0,

Ef=1

则3m2-IWO,A=(24/77)2-4X36C3m2-1)=144(ZTZ2+1)>0,

且为+%=-乌%7,yiy2=因为点尸到直线B4,PB的距离相等，所以PF是/AP8的角平分线,

3mz—13mz—1

Viy7

贝UkM+kpB=O,即----+-----=0,贝!Jyi(my2+4-〃)+y2(myi+4-n)=0,

xr-nx2-n

+心,,2mx36(4-n)x24m

整理得2myiy2+(4-〃)(yi+y2)=0,故-------------------=0,

OI/LO//L上

即3徵-机(4-n)=0,因为机W0,所以〃=1,故存在P(1,0).