2025年高考数学一轮复习：三角函数与解三角形 专项训练

2025年高考数学一轮复习-2.3三角函数与解三角形-专项训练

一、基本技能练

1.已知sina+2cosa=0,则sin2a=()

-I

B-5

2

C-4D.1

、I毋2cos10°-sin20°“/口心/工m、,

2.计算cos20。所得的结果为()

A.lB市

C.小D.2

3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知。=小5,A—3节则角

c=()

.兀c兀

A-12B6

一兀

琮D.§

4.若3sin2a—2sin2a=0,且sinaWO,贝！Jco（s2la+号等于（）

772

A.B.

102

加也

C.D.

10■2

5.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于

今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留,

故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点。看

楼顶点A的仰角为30°,沿直线前进79m到达点E,此时看点C的仰角为45°,

若3C=2AC,则楼高A3约为（）

A.65mB.74m

C.83mD.92m

6.(多选)已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=60。，b

=2,c=V3+L则下列说法正确的是()

A.C=75。或C=105°

B.B=45°

C.a=\[6

D.该三角形的面积为4岁

7.已知sin(a+1)=坐，则cos停一2，=..

8.若3sina—sin£=V^，a+/3=^,贝！Jsina=,cos2^=.

9.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知人一c=；a,2sinB

=3sinC,△ABC的面积为宫野，则a=.

10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且下=版+庐一访，sin

A+sinB=2V6sinAsinB,若c=3,则a+少的值为.

1L在△ABC中,sin2C=小sinC.

⑴求NC;

(2)若6=6,且△ABC的面积为64，求△ABC的周长.

12.如图，在平面四边形ABCD中，ZBAD=60°,BD=^7,cosZABD=^~.

D

(1)求A3的长；

(2)若NB4D+NBCD=180。，BC=1,求四边形ABC。的面积.

二'创新拓展练

13.(多选)在△ABC中，下列说法正确的是()

A.若A>B,则sinA>sinB

B.存在aABC满足cosA+cosBWO

C.在△ABC中，若acosA=0cos3,则△ABC必是等腰直角三角形

D.在△ABC中，若3=60。，b2=ac,则△ABC必是等边三角形

14.(多选)若AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b~2a+

4asin/^g=0,则下列结论正确的是()

A.角C一定为锐角B./+2/一片=。

C.3tanA+tanC=0D.tanB的最小值为

15.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖

杯的剖面图形如图所示，其中扇形。43的半径为10,ZPBA=ZQAB=6Q°,AQ

=QP=PB,若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，

止匕时ZAOB=.

⑹在①成皿4+0二/^^,一1；②l+2cosCeosB=cos(C—B)—cos(C+B)；

c2tanBb

tanA+tanBc

这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.

问题：在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且＞+c=24，a=\[6,

(1)求角A的大小；

(2)求AABC的面积.

参考答案与解析

一、基本技能练

1.答案A

解析Vsin。+2cosa=0,

即sina=—2cosa,

・・tana=-2,

2sinacosa2tana2X(—2)4

则sin2a=2sinacosa亍故选A.

sin2a+cos2atan2a+1-4+1

2.答案C

2cos10°—sin20°

解析一五市一

2cos(30°-20°)-sin20°

V3C0S20°_r-

cos20°—W

3.答案B

jr

解析因为在△ABC中，A—3=],

所以A=3+9，

所以sinA=sin(B=cosB,

因为a=y/3b,

所以由正弦定理得sinA=^/3sinB,

所以cos3=M§sinB,

所以tanBu等,

7T

因为B©(0,7i),所以3=4，

所以0=兀一］+9一.=不，故选B.

4.答案A

..3

解析由题意可得/sin2a—sin2a=0,

所以3sinacosa—sin2a=0,

艮口sin«(3cosa—sina)=0,

又sinaWO,所以tana=3,

所以cos(2a+^=^

(cos2a—sin2a)

a—sin2a—2sinacosa

sin2ot+cos2a

也］—tan2a—2tana17也

211+tan2«J10，

5.答案B

解析设AC=x(x>0)，则由已知可得AB=3%,BE=BC=2x,

BD="/二门口=3y13x,

tanZADBv

所以DE=BD—BE=34x—2x=79,

79

解得尸而

所以楼高43^3X24.7=74.1^74(111).

6.答案BC

解析由余弦定理得a2=02+c2—2AcosA

=4+4+2V3-2X2X(V3+1)X|=6,

所以a=乖.

.2X亚厂

由正弦定理，得sinB=姆髻=--=*,

ay162

由于0。<8<120。,所以3=45°.

所以C=180。一3—A=75。.

△ABC的面积为TocsinA=；X2X(4+1)X坐=上^^.

7.答案

解析

一cos^+2ctj=一cos2(6+ot.

=2sin2^+aj—l=2x1-1=—y

8.答案噂!

解析因为a+夕三，所以川专一a,

所以3sina—sin^=3sina—sin^—a^=3sina—cosa=\[10sm(a—(p)=y[10,其中

.VTo3V10

sin(p一]0，coscp一J。.

71

所以a—9=1+2攵兀，

71

所以a=1+9+2E,k^Zj,

所以sina=sin，+e+2E)=cosT=4g°,左£Z.

因为sin£=3sina-y[10=一

i4

所以cos2£=1—2sin2^=1一三=弓

9.答案4

解析V2sinB=3sinC,由正弦定理可知2b=3c,

113

得

可T

平

2c-于P-

1

-

2c4

S/\ABC=^bcsinA=^X^aX^aX^--=^--^-9解得〃=4.

10.答案3^2

解析因为c2=a2+b2—ab,

次+/一理]

故cosC=一赤一=T

7T

因为CG(0,71),所以C=y

由正弦定理可得三角形外接圆的半径R满足2尺=方=2小，

2

又sinA+sinB=2%sinAsinB,

所以2，5sinA+Z^/SsinB

=A/2X2^/3sinAX2*\/3sinB,

即a+b=y[2ab.

因为。=3,所以由余弦定理得

9=a2~\~b2—Q6=(Q+Z?)2—3ab=(a-\~b)2—b),

解得a+b=3yfl或a-\-b——■(舍去).

H.解⑴因为sin2C=V3sinC,

所以2sinCeosC=V3sinC.

因为Ce(0,兀)，所以sinCWO,

所以COSC=哮,C=7.

2o

(2)因为AABC的面积S=gabsinC=1,XaX6x1-=6-\/3,所以a=4小.

由余弦定理可得c2=a2+/_2a6cosC=48+36-72=12,所以c=2小,

所以△ABC的周长为a+Z?+c=4小+6+2小=6(小+1).

、历

12.解⑴在△A3。中，由COSNA3D=T-,

得NA3D=45°.

又NR4D=60°,所以NAD3=75°,

所以sinZADB=sm75°=sin(45o+30°)

=sin45°cos30°+cos45°sin30°

\[2+y[6

=~~4-，

由正弦定理得一sinZ艺ADnB6=s一m%ABAnD,

BDsinZADB^42+3^/14

得A3=

sin/BAD—6

（2）由/朋。+/3。。=180。，可知NBCD=120。，

设CD=x,

在△BCD中，由余弦定理得

BD1=BC2+CD2-2BC-CDcosZBCD,

则7=1+%2-2X-COS120°,

化简，得d+x—6=0,

解得x=2或x=—3（舍）.

11、行、行

所以S^BCD=^BCCDsm120°=]X1X2X^=',

S^ABD=^AB-BDsinNABD

」也+3/由迫_7小+21

-2X6X77X2—12-

所以S四边形A3CO=S&43O+SABCZ）

_773+21A/3_13^3+21

-12+2-12—'

二、创新拓展练

13.答案AD

解析对于A,若A>&则a>0,

则27?sinA>27?sinB,

即sinA>sinB,故A正确.

对于B,由A+5〈兀，

得Av兀一5,于是cosA>—cosB,

即cosA+cosAO,故B错误.

对于C在△A5C中，由6/cosA=Z;cosB,利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcos

B,

/.sin2A=sin2B,VA,B^（0,兀），

.\2A=2B或2A=兀-25,

jr

.\A=B或A+B=29

•••△A5C是等腰三角形或直角三角形，C错误；

2222

对于D,由于5=60。，b=ac,由余弦定理可得：b=ac=a+c—ac9

可得(a—c)2=0,

解得〃=c,可得A=C=B=60。，故D正确.故选AD.

14.答案BC

OA+_B

角翠析b~2a+4<7sin2-^-=0,

b~2a+4asin?住一?=0,

C

/.b—2a~\~^cos2y=0,

।1+cosC

.>•b-2a~\~4a・=0,

.\b+2acosC=0,

・・・cosC<0,・•・角C一定为钝角，A错误；

4+〃一/

・222正确；

Z?+2acosC=0=>Z?+2a2ab=0=>a+2b—c=0,B

6+2acosC=0nsinB+2sinAcosC=0n3sinAcosC+cosAsinC=0=>3tanA+tan

C=0,C正确；

tanA+tanC—2tanA27

tan5tan(AC)tanAtanCT-3tan2A—1—,1

3tan"嬴I

经检验“=”取得到，D错误，综上选BC.

15.答案I

解析由题意可知，四边形ABPQ为等腰梯形.

如图，连接。P,过点。作。MLQP,垂足为点交A3于点C,

O

QMP

则。平分NAOB,M为线段PQ的中点.

设NAOC=e,

则AB=20sin6,OC=lOcos6,

设AQ=QP=BP=X,

过点。作QELAB,垂足为点E,

过点尸作PfUAB,垂足为点死

因为/PBA=ZQAB=60°,

1、月

所以AE=3R=1x,CM=PF=x>

EF=QP=x,

所以AB=2x,

所以AB=20sin9=2x,

即x=lOsin0,

所以0A/=OC+CA/=10cos8+坐x=10cos6+5小sin0,

所以OP2=OM2+MP2

=(10cos0+5-\/3sin0)2+(5sin3)2

=lOOcos26>+75sin20+10(h/3sin(9cos0+25sin20=100+5(A/3sin20,

因为sin26G[—1,1],

所以当sin2(9=1,

即时，。尸最大，也就是OP最长，

jr

此时

16.解(1)选①，由正弦定理得

sinAsin5=sinBcosA—7L

因为0<B