2022-2023学年高二物理举一反三系列（人教版选择性必修第二册）专题2.10 电磁感应中的能量、动量问题（原卷版）

专题2.10电磁感应中的能量、动量问题【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1感生过程的能量问题】 【题型2电磁感应与动量定理综合】 【题型3电磁感应与动量守恒定律综合】 【题型4电磁感应过程电荷量的求解】 【题型5动生与感生综合的问题】 【题型1感生过程的能量问题】【例1】用导线绕一圆环，环内有一用同样导线折成的内接正方形线框，圆环与线框绝缘，如图甲所示．圆环的半径R＝2m，导线单位长度的电阻r0＝0.2Ω/m.把它们放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于圆环平面(纸面)向里．磁感应强度B随时间t变化如图乙所示，求：(1)正方形线框产生的感应电动势；(2)在0～2.0s内，圆环产生的焦耳热；(3)若不知道圆环半径数值，在0～2.0s内，圆环中的电流与正方形线框中的电流之比．【变式1-1】某同学学习了电磁感应相关知识之后，做了探究性实验：将闭合线圈按图示方式放在电子秤上，线圈上方有一N极朝下竖直放置的条形磁铁，手握磁铁在线圈的正上方静止，此时电子秤的示数为m0。下列说法正确的是()A．将磁铁加速插向线圈的过程中，电子秤的示数小于m0B．将磁铁匀速远离线圈的过程中，电子秤的示数大于m0C．将磁铁加速插向线圈的过程中，线圈中产生的电流沿逆时针方向(俯视)D．将磁铁匀速插向线圈的过程中，磁铁减少的重力势能等于线圈中产生的焦耳热【变式1-2】(多选)在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1m2，线圈电阻为1Ω.规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图5甲所示，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示．以下说法正确的是()A．在0～2s时间内，I的最大值为0.01AB．在3～5s时间内，I的大小越来越小C．前2s内，通过线圈某截面的总电荷量为0.01CD．第3s内，线圈的发热功率最大【变式1-3】管道高频焊机可以对由钢板卷成的圆管的接缝实施焊接。焊机的原理如图所示，圆管通过一个接有高频交流电源的线圈，线圈所产生的交变磁场使圆管中产生交变电流，电流产生的热量使接缝处的材料熔化并焊接。则下列说法正确的是()A．该焊机也能焊接塑料圆管的接缝B．线圈的电阻越大，焊接效果越好C．线圈的电源换成直流电源也能进行焊接D．圆管的接缝处电阻较大，产生的电热较无接缝处大【题型2电磁感应与动量定理综合】【例2】如图所示，在光滑的水平面上宽度为L的区域内，有竖直向下的匀强磁场．现有一个边长为a(a<L)的正方形闭合线圈以垂直于磁场边界的初速度v0向右滑动，穿过磁场后速度刚好减为0，那么当线圈完全进入磁场时，其速度大小()A．大于eq\f(v0,2) B．等于eq\f(v0,2)C．小于eq\f(v0,2) D．以上均有可能【变式2-1】如图所示，间距为L的水平平行金属导轨上连有一定值电阻，阻值为R，两质量均为m的导体棒ab和cd垂直放置导轨上，两导体棒电阻均为R，棒与导轨间动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个导轨处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B。现用某一水平恒力向右拉导体棒ab使其从静止开始运动，当棒ab匀速运动时，棒cd恰要开始滑动，(重力加速度为g)求：(1)棒ab匀速运动的速度大小；(2)若棒ab从开始运动到匀速的过程中流过的电荷量为q，这一过程经历的时间是多少？【变式2-2】电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C.两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距离为l，电阻不计．炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关S接1，使电容器完全充电．然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动．当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨．问：(1)磁场的方向；(2)MN刚开始运动时加速度a的大小；(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少．【变式2-3】如图为电磁驱动与阻尼模型，在水平面上有两根足够长的平行轨道PQ和MN，左端接有阻值为R的定值电阻，其间有垂直轨道平面的磁感应强度为B的匀强磁场，两轨道间距及磁场宽度均为L.质量为m的金属棒ab静置于导轨上，当磁场沿轨道向右运动的速度为v时，棒ab恰好滑动．棒运动过程始终在磁场范围内，并与轨道垂直且接触良好，轨道和棒电阻均不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．(1)判断棒ab刚要滑动时棒中的感应电流方向，并求此时棒所受的摩擦力Ff大小；(2)若磁场不动，将棒ab以水平初速度2v运动，经过时间t＝eq\f(mR,B2L2)停止运动，求棒ab运动位移x及回路中产生的焦耳热Q.【题型3电磁感应与动量守恒定律综合】【例3】如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，间距为L，电阻不计。AB左侧、CD右侧存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。在AB、CD之间的区域内，垂直两根导轨水平放置了两根质量分别为m、2m、电阻分别为r、R的导体棒a、b。在a、b棒之间用一锁定装置将一轻质弹簧压缩安装在a、b棒之间(弹簧与两棒不拴接)，此时弹簧的弹性势能为Ep。现解除锁定，当弹簧恢复到原长时，a、b棒均恰好同时进入磁场。试求：(1)a、b棒刚进入磁场时的速度大小；(2)a、b棒分别在磁场中滑行的距离。【变式3-1】(多选)如图所示，倾角为θ＝37°的足够长的平行金属导轨固定在水平面上，两导体棒ab、cd垂直于导轨放置，空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现给导体棒ab沿导轨平面向下的初速度v0使其沿导轨向下运动，已知两导体棒质量均为m，电阻相等，两导体棒与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.75，导轨电阻忽略不计，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。从ab开始运动到两棒相对静止的整个运动过程中两导体棒始终与导轨保持良好的接触，下列说法正确的是()A．导体棒cd中产生的焦耳热为eq\f(1,4)mv02B．导体棒cd中产生的焦耳热为eq\f(1,8)mv02C．当导体棒cd的速度为eq\f(1,4)v0时，导体棒ab的速度为eq\f(1,2)v0D．当导体棒ab的速度为eq\f(3,4)v0时，导体棒cd的速度为eq\f(1,4)v0【变式3-2】)(多选)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上，t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动．运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示．下列图像中可能正确的是()【变式3-3】(多选)如图所示，两根水平固定的足够长平行光滑金属导轨上，静止放着两根质量为m、长度为L、电阻为R的相同导体棒ab和cd，构成矩形回路(ab、cd与导轨接触良好)，导轨平面内有竖直向上的匀强磁场B.现给cd一个初速度v0，则()A．ab将向右做匀加速运动B．ab、cd最终具有相同的速度eq\f(v0,2)C．通过ab杆的电荷量为q＝eq\f(mv0,2BL)D．回路产生的焦耳热最多为eq\f(1,2)mv02【题型4电磁感应过程电荷量的求解】【例4】(多选)如图所示，倒U形光滑导轨DABC倾斜放置，MN、QH将导轨长度均分为三等份，AB∥MN∥QH，在MNHQ中存在垂直导轨平面向下的匀强磁场(图中未画出)。一金属棒从MN上方静止释放，金属棒向下运动的过程中始终与导轨接触良好且与AB平行，不计导轨电阻，I为金属棒中的电流，q为通过金属棒的电荷量，U为金属棒两端的电压，P为金属棒中的电功率，若从金属棒刚进入磁场开始计时，它在磁场中运动的过程中，下列图像中不可能正确的是()【变式4-1】如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直。已知线圈的面积S＝0.3m2、电阻R＝0.6Ω，磁场的磁感应强度B＝0.2T。现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在Δt＝0.5s时间内合到一起。求线圈在上述过程中(1)感应电动势的平均值E；(2)感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向；(3)通过导线横截面的电荷量q。【变式4-2】(多选)如图所示，水平面上足够长的光滑平行金属导轨，左侧接定值电阻，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。金属杆MN以某一初速度沿导轨向右滑行，且与导轨接触良好，导轨电阻不计。则金属杆MN在运动过程中，速度大小v、流过的电荷量q与时间t或位移x的关系图像正确的是()【变式4-3】如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则()A．Q1＞Q2，q1＝q2 B．Q1＞Q2，q1＞q2C．Q1＝Q2，q1＝q2 D．Q1＝Q2，q1＞q2【题型5动生、感生综合问题】【例5】(多选)如图所示，两根间距为L的光滑平行金属导轨，OO′左侧向上弯曲，右侧水平，水平导轨处在磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场中。两根金属棒MN、PQ始终垂直导轨，与导轨接触良好，MN、PQ棒的长度均为L、质量均为m、阻值均为R。金属棒MN从竖直高度h处由静止释放沿导轨下滑。导轨电阻不计，整个过程中金属棒MN和PQ未相碰，则()A．释放后金属棒MN最终停在水平轨道上B．金属棒MN刚进入磁场时，金属棒PQ两端电压大小eq\f(BL\r(2gh),2)C．整个过程中流过金属棒PQ的电荷量为eq\f(m\r(2gh),BL)D．整个过程中金属棒MN产生的焦耳热为eq\f(1,4)mgh【变式5-1】如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则eq\f(B′,B)等于()A.eq\f(5,4)B.eq\f(3,2)C.eq\f(7,4)D．2【变式5-2】如图，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随时间t的变化关系为B1＝kt，式中k为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN(虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里．某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速度v0越过MN，此后向右做匀速运动．金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计．求：(1)在t＝0到t＝t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；(2)在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小．【变式5-3】[多选]如图，光滑平行金属导轨固定在水平面上，左端由导线相连，导体棒垂直静置于导轨上构成回路。在外力F作用下，回路上方的条形磁铁竖直向上做匀速运动。在匀速运动过程中外力F做功WF，磁场力对导体棒做功W1，磁铁克服磁场力做功W2，重力对磁铁做功WG，回路中产生的焦耳热为Q，导体棒获得的动能为Ek。则()A．W1＝Q B．W2－W1＝QC．W1＝Ek D．WF＋WG＝Ek＋Q

参考答案【题型1感生过程的能量问题】【例1】用导线绕一圆环，环内有一用同样导线折成的内接正方形线框，圆环与线框绝缘，如图甲所示．圆环的半径R＝2m，导线单位长度的电阻r0＝0.2Ω/m.把它们放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于圆环平面(纸面)向里．磁感应强度B随时间t变化如图乙所示，求：(1)正方形线框产生的感应电动势；(2)在0～2.0s内，圆环产生的焦耳热；(3)若不知道圆环半径数值，在0～2.0s内，圆环中的电流与正方形线框中的电流之比．答案(1)4V(2)31.75J(3)eq\r(2)解析(1)正方形线框的面积为S＝2R2，根据法拉第电磁感应定律得：E＝eq\f(ΔB,Δt)S＝eq\f(1.5－0.5,2.0)×2×22V＝4V.(2)圆环面积为S′＝πR2，圆周长为L＝2πR，圆环的电阻为：r′＝2πRr0＝2×3.14×2×0.2Ω≈2.5Ω根据法拉第电磁感应定律得：E′＝eq\f(ΔB,Δt)S′＝eq\f(1.5－0.5,2.0)×π×22V≈6.3V在0～2.0s内，圆环产生的焦耳热为：Q＝eq\f(E′2,r′)t＝eq\f(6.32,2.5)×2.0J≈31.75J(3)正方形线框中的电流为：I＝eq\f(E,r)＝eq\f(ΔB,Δt)·eq\f(2R2,4\r(2)Rr0)，圆环中的电流为：I′＝eq\f(E′,r′)＝eq\f(ΔB,Δt)·eq\f(πR2,2πRr0)圆环中的电流与正方形线框中的电流之比：eq\f(I′,I)＝eq\r(2).【变式1-1】某同学学习了电磁感应相关知识之后，做了探究性实验：将闭合线圈按图示方式放在电子秤上，线圈上方有一N极朝下竖直放置的条形磁铁，手握磁铁在线圈的正上方静止，此时电子秤的示数为m0。下列说法正确的是()A．将磁铁加速插向线圈的过程中，电子秤的示数小于m0B．将磁铁匀速远离线圈的过程中，电子秤的示数大于m0C．将磁铁加速插向线圈的过程中，线圈中产生的电流沿逆时针方向(俯视)D．将磁铁匀速插向线圈的过程中，磁铁减少的重力势能等于线圈中产生的焦耳热解析：选C根据楞次定律的推论“来拒去留”可知，在将磁铁插向线圈(无论是匀速、加速还是减速)的过程中，线圈与磁铁相互排斥，导致电子秤的示数大于m0，反之则电子秤的示数小于m0，A、B错误；根据楞次定律可判断，将磁铁加速插向线圈时，线圈中产生的感应电流沿逆时针方向(俯视)，C正确；磁铁匀速插向线圈的过程中，磁铁受到重力、拉力、斥力作用，重力和拉力的合力做的功等于线圈中产生的焦耳热，D错误。【变式1-2】(多选)在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1m2，线圈电阻为1Ω.规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图5甲所示，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示．以下说法正确的是()A．在0～2s时间内，I的最大值为0.01AB．在3～5s时间内，I的大小越来越小C．前2s内，通过线圈某截面的总电荷量为0.01CD．第3s内，线圈的发热功率最大答案AC解析0～2s时间内，t＝0时刻磁感应强度变化率最大，感应电流最大，I＝eq\f(E,R)＝eq\f(ΔB·S,Δt·R)＝0.01A，A正确；3～5s时间内电流大小不变，B错误；前2s内通过线圈某截面的电荷量q＝eq\f(ΔΦ,R)＝eq\f(ΔB·S,R)＝0.01C，C正确；第3s内，B没有变化，线圈中没有感应电流产生，则线圈的发热功率最小，D错误．【变式1-3】管道高频焊机可以对由钢板卷成的圆管的接缝实施焊接。焊机的原理如图所示，圆管通过一个接有高频交流电源的线圈，线圈所产生的交变磁场使圆管中产生交变电流，电流产生的热量使接缝处的材料熔化并焊接。则下列说法正确的是()A．该焊机也能焊接塑料圆管的接缝B．线圈的电阻越大，焊接效果越好C．线圈的电源换成直流电源也能进行焊接D．圆管的接缝处电阻较大，产生的电热较无接缝处大解析：选D塑料圆管在焊接时，管内无法产生交变磁场，塑料圆管中无电流，不能焊接，A错误；圆管通过的高频交流电源一定时，产生的感应电动势一定，线圈的电阻越大，则产生的电流越小，焊接时产生的电热越少，焊接效果不好，B错误；将线圈的电源换成直流电源，线圈不能产生交变磁场，圆管中不产生电流，不能进行焊接，C错误；通过圆管的高频交流电源一定，产生的感应电动势一定，电流一定，圆管的接缝处电阻较大，产生的电热较大，D正确。【题型2电磁感应与动量定理综合】【例2】如图所示，在光滑的水平面上宽度为L的区域内，有竖直向下的匀强磁场．现有一个边长为a(a<L)的正方形闭合线圈以垂直于磁场边界的初速度v0向右滑动，穿过磁场后速度刚好减为0，那么当线圈完全进入磁场时，其速度大小()A．大于eq\f(v0,2) B．等于eq\f(v0,2)C．小于eq\f(v0,2) D．以上均有可能答案B解析通过线圈横截面的电荷量：q＝eq\x\to(I)Δt＝eq\f(\x\to(E),R)·Δt＝eq\f(ΔΦ,R)，由于线圈进入和穿出磁场过程，线圈磁通量的变化量相等，则进入和穿出磁场的两个过程通过线圈横截面的电荷量q相等，由动量定理得，线圈进入磁场过程：－Beq\x\to(I)at＝mv－mv0，线圈离开磁场过程：－Beq\x\to(I)at＝0－mv，由于q＝eq\x\to(I)t，则－Baq＝mv－mv0，Baq＝mv，解得v＝eq\f(v0,2)，故选B.【变式2-1】如图所示，间距为L的水平平行金属导轨上连有一定值电阻，阻值为R，两质量均为m的导体棒ab和cd垂直放置导轨上，两导体棒电阻均为R，棒与导轨间动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个导轨处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B。现用某一水平恒力向右拉导体棒ab使其从静止开始运动，当棒ab匀速运动时，棒cd恰要开始滑动，(重力加速度为g)求：(1)棒ab匀速运动的速度大小；(2)若棒ab从开始运动到匀速的过程中流过的电荷量为q，这一过程经历的时间是多少？解析：(1)设棒ab速度为v，则棒ab中的感应电流I＝eq\f(BLv,R＋R/2)＝eq\f(2BLv,3R)棒cd中的感应电流为eq\f(I,2)＝eq\f(BLv,3R)cd受安培力F1＝Beq\f(I,2)L＝eq\f(B2L2v,3R)当棒cd恰要滑动时，F1＝μmg，即eq\f(B2L2v,3R)＝μmg得v＝eq\f(3μmgR,B2L2)。(2)设棒ab受恒定拉力为F，匀速运动时棒ab中的电流为I，棒ab所受安培力F2＝BIL对棒cd:F1＝Beq\f(I,2)L＝μmg棒ab:F＝F2＋μmg＝2F1＋μmg得F＝3μmg对棒ab从开始运动到匀速过程，设运动时间为t；由动量定理：(F－μmg)t－Beq\o(I,\s\up6(－))Lt＝mv而eq\o(I,\s\up6(－))t＝q故2μmgt－BLq＝mv解得t＝eq\f(3mR,2B2L2)＋eq\f(BLq,2μmg)。答案：(1)eq\f(3μmgR,B2L2)(2)eq\f(3mR,2B2L2)＋eq\f(BLq,2μmg)【变式2-2】电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C.两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距离为l，电阻不计．炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关S接1，使电容器完全充电．然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动．当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨．问：(1)磁场的方向；(2)MN刚开始运动时加速度a的大小；(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少．答案(1)垂直于导轨平面向下(2)eq\f(BlE,mR)(3)eq\f(B2l2C2E,m＋B2l2C)解析(1)将S接1时，电容器充电，上极板带正电，下极板带负电，当将S接2时，电容器放电，流经MN的电流由M到N，又知MN向右运动，由左手定则可知磁场方向垂直于导轨平面向下．(2)电容器完全充电后，两极板间电压为E，当开关S接2时，电容器放电，设刚放电时流经MN的电流为I，有I＝eq\f(E,R)①设MN受到的安培力为F，有F＝IlB②由牛顿第二定律，有F＝ma③联立①②③式得a＝eq\f(BlE,mR)④(3)当电容器充电完毕时，设电容器上电荷量为Q0，有Q0＝CE⑤开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值vmax时，设MN上的感应电动势为E′，有E′＝Blvmax⑥依题意有E′＝eq\f(Q,C)⑦设在此过程中流经MN的平均电流为eq\x\to(I)，MN上受到的平均安培力为eq\x\to(F)，有eq\x\to(F)＝eq\x\to(I)lB⑧由动量定理，有eq\x\to(F)Δt＝mvmax－0⑨又eq\x\to(I)Δt＝Q0－Q⑩联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得Q＝eq\f(B2l2C2E,m＋B2l2C).【变式2-3】如图为电磁驱动与阻尼模型，在水平面上有两根足够长的平行轨道PQ和MN，左端接有阻值为R的定值电阻，其间有垂直轨道平面的磁感应强度为B的匀强磁场，两轨道间距及磁场宽度均为L.质量为m的金属棒ab静置于导轨上，当磁场沿轨道向右运动的速度为v时，棒ab恰好滑动．棒运动过程始终在磁场范围内，并与轨道垂直且接触良好，轨道和棒电阻均不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．(1)判断棒ab刚要滑动时棒中的感应电流方向，并求此时棒所受的摩擦力Ff大小；(2)若磁场不动，将棒ab以水平初速度2v运动，经过时间t＝eq\f(mR,B2L2)停止运动，求棒ab运动位移x及回路中产生的焦耳热Q.答案见解析解析(1)磁场沿轨道向右运动，即棒相对于磁场沿轨道向左运动，则根据右手定则，感应电流方向由a至b.依题意得，棒刚要运动时，受到的摩擦力等于安培力：Ff＝F安F安＝BI1LI1＝eq\f(BLv,R)联立解得：Ff＝eq\f(B2L2v,R)(2)设棒的平均速度为eq\x\to(v)，根据动量定理可得：－eq\x\to(F)安t－Fft＝0－2mveq\x\to(F)安＝Beq\x\to(I)L，又eq\x\to(I)＝eq\f(BL\x\to(v),R)，x＝eq\x\to(v)t联立解得：x＝eq\f(mvR,B2L2)根据动能定理有：－Ffx－W安＝0－eq\f(1,2)m(2v)2根据功能关系有Q＝W安得：Q＝mv2.【题型3电磁感应与动量守恒定律综合】【例3】如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，间距为L，电阻不计。AB左侧、CD右侧存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。在AB、CD之间的区域内，垂直两根导轨水平放置了两根质量分别为m、2m、电阻分别为r、R的导体棒a、b。在a、b棒之间用一锁定装置将一轻质弹簧压缩安装在a、b棒之间(弹簧与两棒不拴接)，此时弹簧的弹性势能为Ep。现解除锁定，当弹簧恢复到原长时，a、b棒均恰好同时进入磁场。试求：(1)a、b棒刚进入磁场时的速度大小；(2)a、b棒分别在磁场中滑行的距离。[解析](1)以a、b棒为系统，动量守恒，机械能守恒，以a棒运动的方向为正方向，设a、b棒刚要进入磁场时的速度分别为va、vb，则由能量守恒定律和动量守恒定律可得Ep＝eq\f(1,2)mva2＋eq\f(1,2)×2mvb2mva－2mvb＝0联立解得va＝2eq\r(\f(Ep,3m))，vb＝eq\r(\f(Ep,3m))。(2)a、b棒分别进入磁场后，相互背离切割磁感线，感应电动势为正负串接，且a、b棒流过的电流时刻相等，磁感应强度B相等，L也相等，故a、b棒的安培力等大反向，矢量和为零，其余的力矢量和也为零，系统动量始终守恒，故有mva′－2mvb′＝0则有a、b棒运动中的任意时刻有eq\f(va′,vb′)＝eq\f(2,1)设a、b棒在磁场中的位移分别为xa、xb，故eq\f(xa,xb)＝eq\f(2,1)由法拉第电磁感应定律可得eq\x\to(E)＝eq\f(ΔΦ,Δt)由闭合电路的欧姆定律可得eq\x\to(I)＝eq\f(\x\to(E),R＋r)而两棒在运动过程中ΔΦ＝BL(xa＋xb)对a棒，由动量定理可得－eq\x\to(F)安·Δt＝0－mva，eq\x\to(F)安＝Beq\x\to(I)L联立方程，解得xa＝eq\f(4R＋r\r(3mEp),9B2L2)，xb＝eq\f(2R＋r\r(3mEp),9B2L2)。[答案](1)2eq\r(\f(Ep,3m))eq\r(\f(Ep,3m))(2)eq\f(4R＋r\r(3mEp),9B2L2)eq\f(2R＋r\r(3mEp),9B2L2)【变式3-1】(多选)如图所示，倾角为θ＝37°的足够长的平行金属导轨固定在水平面上，两导体棒ab、cd垂直于导轨放置，空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现给导体棒ab沿导轨平面向下的初速度v0使其沿导轨向下运动，已知两导体棒质量均为m，电阻相等，两导体棒与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.75，导轨电阻忽略不计，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。从ab开始运动到两棒相对静止的整个运动过程中两导体棒始终与导轨保持良好的接触，下列说法正确的是()A．导体棒cd中产生的焦耳热为eq\f(1,4)mv02B．导体棒cd中产生的焦耳热为eq\f(1,8)mv02C．当导体棒cd的速度为eq\f(1,4)v0时，导体棒ab的速度为eq\f(1,2)v0D．当导体棒ab的速度为eq\f(3,4)v0时，导体棒cd的速度为eq\f(1,4)v0解析：选BD由题意可知：mgsin37°＝μmgcos37°，则两棒组成的系统沿轨道方向动量守恒，当最终稳定时：mv0＝2mv，解得v＝0.5v0，则回路产生的焦耳热为Q＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)·2mv2＝eq\f(1,4)mv02，则导体棒cd中产生的焦耳热为Qcd＝eq\f(1,2)Q＝eq\f(1,8)mv02，A错误，B正确；当导体棒cd的速度为eq\f(1,4)v0时，则由动量守恒定律：mv0＝m·eq\f(1,4)v0＋mvab，解得vab＝eq\f(3,4)v0，C错误；当导体棒ab的速度为eq\f(3,4)v0时，则由动量守恒定律：mv0＝m·eq\f(3,4)v0＋mvcd，解得vcd＝eq\f(1,4)v0，D正确。【变式3-2】)(多选)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上，t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动．运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示．下列图像中可能正确的是()答案AC解析棒ab以初速度v0向右滑动，切割磁感线产生感应电动势，使整个回路中产生感应电流，判断可知棒ab受到与v0方向相反的安培力的作用而做变减速运动，棒cd受到与v0方向相同的安培力的作用而做变加速运动，它们之间的速度差Δv＝v1－v2逐渐减小，整个系统产生的感应电动势逐渐减小，回路中感应电流逐渐减小，最后变为零，即最终棒ab和棒cd的速度相同，v1＝v2，这时两相同的光滑导体棒ab、cd组成的系统在足够长的平行金属导轨上运动，水平方向上不受外力作用，由动量守恒定律有mv0＝mv1＋mv2，解得v1＝v2＝eq\f(v0,2)，选项A、C正确，B、D错误．【变式3-3】(多选)如图所示，两根水平固定的足够长平行光滑金属导轨上，静止放着两根质量为m、长度为L、电阻为R的相同导体棒ab和cd，构成矩形回路(ab、cd与导轨接触良好)，导轨平面内有竖直向上的匀强磁场B.现给cd一个初速度v0，则()A．ab将向右做匀加速运动B．ab、cd最终具有相同的速度eq\f(v0,2)C．通过ab杆的电荷量为q＝eq\f(mv0,2BL)D．回路产生的焦耳热最多为eq\f(1,2)mv02答案BC解析根据法拉第电磁感应定律可知，只有在两棒速度不相等时回路中才有感应电流，感应电流使两棒都产生加速度，然后受到的安培力发生变化，有效电动势发生变化，感应电流、安培力、加速度也随之变化，所以ab不可能向右做匀加速运动，故A错误；当两棒速度相等后，穿过回路的磁通量不变，回路中将不再有感应电流，ab、cd最终具有相同的速度，两棒的系统所受合外力为零，则根据动量守恒定律有mv0＝2mv，最终两棒的速度均为v＝eq\f(v0,2)，故B正确；选向右的方向为正，对ab棒根据动量定理有eq\x\to(F)t＝meq\f(v0,2)，eq\x\to(F)＝Beq\x\to(I)L，联立可以得到q＝eq\x\to(I)t＝eq\f(mv0,2BL)，故C正确；根据能量守恒定律，在运动过程中产生的热量为Q＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)·2m(eq\f(v0,2))2＝eq\f(1,4)mv02，故D错误．【题型4电磁感应过程电荷量的求解】【例4】(多选)如图所示，倒U形光滑导轨DABC倾斜放置，MN、QH将导轨长度均分为三等份，AB∥MN∥QH，在MNHQ中存在垂直导轨平面向下的匀强磁场(图中未画出)。一金属棒从MN上方静止释放，金属棒向下运动的过程中始终与导轨接触良好且与AB平行，不计导轨电阻，I为金属棒中的电流，q为通过金属棒的电荷量，U为金属棒两端的电压，P为金属棒中的电功率，若从金属棒刚进入磁场开始计时，它在磁场中运动的过程中，下列图像中不可能正确的是()解析：选AC如果电流减小，则表明金属棒在做减速运动，根据受力分析有BIL－mgsinα＝ma，随着电流减小，加速度减小，根据闭合电路的欧姆定律得I＝eq\f(BLv,R＋r)，则有eq\f(ΔI,Δt)＝eq\f(BLΔv,R＋rΔt)＝eq\f(BLa,R＋r)，随着加速度减小，I­t图像的斜率减小，A错误；如果金属棒进入磁场时，安培力与重力沿导轨方向的分力平衡，则金属棒做匀速直线运动，其电流不变，根据q＝It可知，电荷量与时间成正比，B正确；如果路端电压随时间增大，则表明金属棒在做加速运动，受力分析有mgsinα－BIL＝ma，随着电压增大，电流增大，加速度减小，根据闭合电路的欧姆定律得U＝IR＝eq\f(BLv,R＋r)R，则有eq\f(ΔU,Δt)＝eq\f(BLΔv,R＋rΔt)R＝eq\f(BLRa,R＋r)，随着加速度减小，U­t图像的斜率减小，但是开始计时时，路端电压不为零，C错误；如果金属棒进入磁场时，安培力与重力沿导轨方向的分力平衡，则金属棒做匀速直线运动，其电流不变，根据P＝I2r可知，金属棒的电功率不变，D正确。【变式4-1】如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直。已知线圈的面积S＝0.3m2、电阻R＝0.6Ω，磁场的磁感应强度B＝0.2T。现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在Δt＝0.5s时间内合到一起。求线圈在上述过程中(1)感应电动势的平均值E；(2)感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向；(3)通过导线横截面的电荷量q。解析：(1)感应电动势的平均值E＝eq\f(ΔΦ,Δt)，磁通量的变化ΔΦ＝BΔS，解得E＝eq\f(BΔS,Δt)，代入数据得E＝0.12V。(2)平均电流I＝eq\f(E,R)，代入数据得I＝0.2A(电流方向如图所示)。(3)电荷量q＝IΔt，代入数据得q＝0.1C。答案：(1)0.12V(2)0.2A，电流方向见解析图(3)0.1C【变式4-2】(多选)如图所示，水平面上足够长的光滑平行金属导轨，左侧接定值电阻，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。金属杆MN以某一初速度沿导轨向右滑行，且与导轨接触良好，导轨电阻不计。则金属杆MN在运动过程中，速度大小v、流过的电荷量q与时间t或位移x的关系图像正确的是()解析：选ABD金属杆在前进过程中，所受安培力大小F＝BIL＝eq\f(B2L2v,R)，可知随速度的减小，安培力逐渐减小，加速度逐渐减小，最后停止运动，因此在v­t图像中，斜率的绝对值逐渐减小，A正确；根据动量定理F·Δt＝m·Δv可得－eq\f(B2L2v,R)·Δt＝m·Δv，而Δx＝v·Δt，因此－eq\f(B2L2,R)·Δx＝m·Δv，速度随位移均匀变化，可知v­x图像为一条倾斜的直线，B正确；根据I＝eq\f(BLv,R)＝eq\f(Δq,Δt)，可知随着速度的减小，q­t图像是一条斜率逐渐减小的曲线，C错误；由于I＝eq\f(BLv,R)，两边同时乘以Δt可得I·Δt＝eq\f(BLv,R)·Δt，而Δq＝I·Δt，整理得Δq＝eq\f(BL,R)·Δx，可知q­x图像为一条过坐标原点的倾斜直线，D正确。【变式4-3】如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则()A．Q1＞Q2，q1＝q2 B．Q1＞Q2，q1＞q2C．Q1＝Q2，q1＝q2 D．Q1＝Q2，q1＞q2答案A解析由Q＝I2Rt得，Q1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(E1,R)))2Rt＝eq\f(BLabv2,R)×eq\f(Lbc,v)＝eq\f(B2L\o\al(2,ab)Lbcv,R)，同理，Q2＝eq\f(B2L\o\al(2,bc)Labv,R)，又因为Lab＞Lbc，故Q1＞Q2.由电荷量q＝eq\x\to(I)Δt＝neq\f(ΔΦ,R)＝eq\f(nBLbcLab,R)，故q1＝q2.所以A正确．【题型5动生、感生综合问题】【例5】(多选)如图所示，两根间距为L的光滑平行金属导轨，OO′左侧向上弯曲，右侧水平，水平导轨处在磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场中。两根金属棒MN、PQ始终垂直导轨，与导轨接触良好，MN、PQ棒的长度均为L、质量均为m、阻值均为R。金属棒MN从竖直高度h处由静止释放沿导轨下滑。导轨电阻不计，整个过程中金属棒MN和PQ未相碰，则()A．释放后金属棒MN最终停在水平轨道上B．金属棒MN刚进入磁场时，金属棒PQ两端电压大小eq\f(BL\r(2gh),2)C．整个过程中流过金属棒PQ的电荷量为eq\f(m\r(2gh),BL)D．整个过程中金属棒MN产生的焦耳热为eq\f(1,4)mgh解析：选BD释放后金属棒MN最终与PQ金属棒在水平轨道上，一起做匀速直线运动，A错误；金属棒MN刚进入磁场时，根据机械能守恒定律有mgh＝eq\f(1,2)mv2，根据法拉第电磁感应定律有E＝BLv，解得感应电动势为E＝BLeq\r(2gh)，金属棒PQ两端电压大小为U＝eq\f(1,2)E＝eq\f(BL\r(2gh),2)，B正确；金属棒MN、PQ组成的系统动量守恒，有mv＝2mv′，整个过程中对金属棒PQ分析，由动量定理有Beq\x\to(I)Lt＝mv′，流过金属棒PQ的电荷量为q＝eq\x\to(I)t，联立解得q＝eq\f(m\r(2gh),2BL)，C错误；设整个过程中闭合回路产生的焦耳热为Q，对系统由能量守恒定律得mgh＝eq\f(1,2)·2mv′2＋Q，解得Q＝eq\f(1,2)mgh，则整个过程金属棒MN产生的焦耳热为QMN＝eq\f(1,2)Q＝eq\f(1,4)mgh，D正确。【变式5-1】如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷