2022-2023学年高二物理举一反三系列（人教版选择性必修第二册）专题2.5 电磁感应中的图像问题（原卷版）

专题2.5电磁感应中的图像问题【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1一根导体棒平动切割中的图像问题】 【题型2两根根导体棒平动切割中的图像问题】 【题型3三角形导线框平动切割中的图像问题】 【题型4矩形导线框平动切割中的图像问题】 【题型5感生中的图像问题】 【题型6动生、感生综合的图像问题】 【题型1一根导体棒平动切割中的图像问题】【例1】(多选)如图所示，电阻不计、间距为L的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R.质量为m、电阻为r的金属棒MN置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F的作用由静止开始运动，外力F与金属棒速度v的关系是F＝F0＋kv(F0、k是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好．金属棒中感应电流为i，受到的安培力大小为F安，电阻R两端的电压为UR，感应电流的功率为P，它们随时间t变化图象可能正确的有()【变式1-1】如图所示的匀强磁场中有一根弯成45°的金属线POQ，其所在平面与磁场垂直，长直导线MN与金属线紧密接触，起始时OA＝l0，且MN⊥OQ，所有导线单位长度电阻均为r，MN匀速水平向右运动的速度为v，使MN匀速运动的外力为F，则外力F随时间变化的规律图象正确的是()【变式1-2】如图甲所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距0.8m，导轨平面与水平面夹角为α，导轨电阻不计．有一匀强磁场垂直导轨平面斜向上，长为1m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为0.1kg、与导轨接触端间电阻为1Ω.两金属导轨的上端连接右端电路，电路中R2为一电阻箱．已知灯泡的电阻RL＝4Ω，定值电阻R1＝2Ω，调节电阻箱使R2＝12Ω，重力加速度g取10m/s2.将开关S断开，金属棒由静止释放，1s后闭合开关，如图乙所示为金属棒的速度随时间变化的图象，求：(1)斜面倾角α及磁感应强度B的大小；(2)若金属棒下滑距离为60m时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始下滑100m的过程中，整个电路产生的电热；(3)改变电阻箱R2的阻值，当R2为何值时，金属棒匀速下滑时R2的功率最大，消耗的最大功率为多少？【变式1-3】如图甲所示，两根间距L＝1.0m、电阻不计的足够长平行金属导轨ab、cd水平放置，一端与阻值R＝2.0Ω的电阻相连。质量m＝0.2kg的导体棒ef在恒定外力F作用下由静止开始运动，已知导体棒与两根导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力均为f＝1.0N，导体棒电阻为r＝1.0Ω，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场B中，导体棒运动过程中加速度a与速度v的关系如图乙所示（取g＝10m/s2）。求：（1）当导体棒速度为v时，棒所受安培力F安的大小（用题中字母表示）；（2）磁场的磁感应强度B；（3）若ef棒由静止开始运动距离为s＝6.9m时，速度已达v′＝3m/s，求此过程中产生的焦耳热Q。【题型2两根根导体棒平动切割中的图像问题】【例2】(多选)如图，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为θ，导轨电阻忽略不计．虚线ab、cd均与导轨垂直，在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场．将两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放，两者始终与导轨垂直且接触良好．已知PQ进入磁场时加速度恰好为零．从PQ进入磁场开始计时，到MN离开磁场区域为止，流过PQ的电流随时间变化的图像可能正确的是()【变式2-1】(多选)如图所示，绝缘的水平面上固定有两条平行的光滑金属导轨，导轨电阻不计，两相同金属棒a、b垂直导轨放置，其右侧矩形区域内存在恒定的匀强磁场，磁场方向竖直向上。现两金属棒分别以初速度2v0和v0同时沿导轨自由运动，先后进入磁场区域。已知a棒离开磁场区域时b棒已经进入磁场区域，则a棒从进入到离开磁场区域的过程中，电流i随时间t的变化图像可能正确的有()【变式2-2】如图甲所示，两根与水平面成θ＝30°角的足够长的光滑金属导轨平行放置，导轨间距为L，导轨的电阻忽略不计。整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，现将质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b垂直于导轨放置，不可伸长的绝缘细线一端系在金属棒b的中点。另一端N通过轻质小滑轮与质量为M的物体相连，细线与导轨平面平行。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，不计一切摩擦，物体始终未与地面接触，重力加速度g取10m/s2。（1）若金属棒a固定，M＝m，由静止释放b，求释放瞬间金属棒b的加速度大小；（2）若金属棒a固定，L＝1m，B＝1T，m＝0.2kg，R＝1Ω，改变物体的质量M，使金属棒b沿斜面向上运动，请推导出金属棒b获得的最大速度v与物体质量M的关系式，并在乙图中画出v﹣M图象；（3）若将N端的物体去掉，并对细线的这一端施加竖直向下的恒力F＝mg，同时将金属棒a、b由静止释放。从静止释放到棒a恰好开始匀速运动的过程中，棒a的位移大小为x，求这个过程中棒a产生的焦耳热。【变式2-3】如图所示，间距为L＝0.8m、倾角为θ＝37°的两根平行倾斜光滑导轨与间距相同的两根平行水平光滑导轨在b、e处平滑连接，导轨全部固定，其中MN、PQ两段用绝缘材料制成，其余部分用电阻不计的金属材料制成。cf两点间有一个电容为C=58整个导轨区域存在竖直方向的磁感应强度为B＝0.5T的匀强磁场（图中未标注）将长度比导轨间距略大、质量均为m＝0.4kg、电阻均为R＝0.1Ω的导体棒A和B静止置于导轨上，锁定导体棒B，给导体棒A施加一个在倾斜导轨平面内且垂直于导体棒A的外力F，使其沿倾斜导轨向下做初速度为0的匀加速直线运动。外力作用t0＝2s时间，导体棒A恰好以v0＝3m/s的速度运动至be处并进入水平导轨，此时撤去外力F，同时释放导体棒B。两根导体棒在到达MP前发生弹性相碰，碰撞刚结束，马上移去导体棒A。整个过程中两根导体棒始终与导轨垂直，水平导轨右侧部分足够长。导体棒B初始所在位置离倾斜导轨末端be的距离x＝0.5m，试求：（1）外力F作用期间，其大小随时间t的变化关系式；（2）从释放导体棒B至发生弹性碰撞前，导体棒B上产生的焦耳热QB；（3）最终稳定时，电容器所带电量q。【题型3三角形导线框平动切割中的图像问题】【例3】一个边长为2L的等边三角形磁场区域，一个底边长为L的直角三角形金属线框，线框电阻为R，二者等高，金属线框以速度v水平向右匀速穿过磁场区域的过程中，规定逆时针方向的电流为正，则线框中感应电流i随位移x变化的图像正确的是()【变式3-1】(多选)边长为a的闭合金属正三角轻质框架，左边竖直且与磁场右边界平行，完全处于垂直于框架平面向里的匀强磁场中，现把框架匀速水平向右拉出磁场，如图所示，则下列图象与这一拉出过程相符合的是()【变式3-2】如图所示，直角三角形ADC区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，AD边长为2L，直角三角形导线框abc与直角三角形ADC相似，ab边长为L，∠ACD＝∠acb＝30°，线框在纸面内，且bc边和DC边在同一直线上，bc边为导线，电阻不计，ab边和ac边由粗细均匀的金属杆弯折而成．现用外力使线框以速度v匀速向右运动通过磁场区域，则线框在通过磁场的过程中，Uab随时间变化的关系图象正确的是()【变式3-3】如图所示，一直角三角形金属框，向左匀速地穿过一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，磁场仅限于虚线边界所围的区域，该区域的形状与金属框完全相同，且金属框的下边与磁场区域的下边在一直线上．若取顺时针方向为电流的正方向，则金属框穿过磁场的过程中感应电流i随时间t变化的图象是()【题型4矩形导线框切割中的图像问题】【例4】如图，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下．一边长为eq\f(3,2)l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动．线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是()【变式4-1】(多选)如图所示，在0≤x≤L和2L≤x≤3L的区域内存在着匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面(纸面)向里，具有一定电阻的正方形线框abcd边长为2L，位于xOy平面内，线框的ab边与y轴重合。令线框从t＝0时刻由静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，ab边在t0时刻到达x＝L位置，则线框中的感应电流I(取逆时针方向的电流为正)、bc两端的电势差Ubc与时间t的函数图像大致是下列图中的()【变式4-2】(多选)如图，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框，导线框右侧有两个宽度也为L的有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向分别竖直向下和竖直向上。t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框在外力作用下，以速度v匀速进入并通过磁场区城。规定电流i沿逆时针方向时为正，磁感线竖直向下时磁通量Φ为正，安培力的合力F向左为正。则以下关于Φ、i、F和线框中的电功率P随时间变化的图像正确的是()【变式4-3】如图所示为两个有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于纸面向里和向外，磁场宽度均为L，距磁场区域的左侧L处有一边长为L的正方形导体线框，总电阻为R，且线框平面与磁场方向垂直．现用外力F使线框以速度v匀速穿过磁场区域，以初始位置为计时起点，规定电流沿逆时针方向时的电动势E为正，磁感线垂直纸面向里时磁通量Φ的方向为正，外力F向右为正．线框中的磁通量Φ、感应电动势E、外力F和电功率P随时间变化的图象正确的是()【题型5感生中的图像问题】【例5】将一段导线绕成如图甲所示的闭合回路，并固定在水平面(纸面)内．回路的ab边置于垂直纸面向里为匀强磁场Ⅰ中．回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示．用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反映F随时间t变化的图象是()【变式5-1】(多选)如图甲，固定在光滑水平面上的正三角形金属线框，匝数n＝20，总电阻R＝2.5Ω，边长L＝0.3m，处在两个半径均为r＝eq\f(L,3)的圆形匀强磁场区域中．线框顶点与右侧圆心重合，线框底边中点与左侧圆心重合．磁感应强度B1垂直水平面向上，大小不变；B2垂直水平面向下，大小随时间变化．B1、B2的值如图乙所示，则()A．通过线框的感应电流方向为逆时针方向B．t＝0时刻穿过线框的磁通量为0.1WbC．在0.6s内通过线框中的电荷量约为0.13CD．经过0.6s线框中产生的热量约为0.07J【变式5-2】(多选)如图(a)所示，半径为r的带缺口刚性金属圆环固定在水平面内，缺口两端引出两根导线，与电阻R构成闭合回路．若圆环内加一垂直于纸面的变化的磁场，变化规律如图(b)所示．规定磁场方向垂直纸面向里为正，不计金属圆环的电阻．以下说法正确的是()A．0～1s内，流过电阻R的电流方向为b→R→aB．2～3s内，穿过金属圆环的磁通量在减小C．t＝2s时，流过电阻R的电流方向发生改变D．t＝2s时，Uab＝πr2B0(V)【变式5-3】如图甲所示，在线圈l1中通入电流i1后，在l2上产生的感应电流随时间变化的规律如图乙所示，l1、l2中电流的正方向如图甲中的箭头所示．则通入线圈l1中的电流i1随时间t变化的图象是下列选项图中的()【题型6动生、感生综合的图像问题】【例6】如图甲所示，在光滑绝缘水平面上的0≤x≤1.0m区域内存在方向垂直平面向外的匀强磁场。一电阻值R＝0.5Ω、边长L＝0.5m的正方形金属框abcd，右边界cd恰好位于磁场边界。若以cd边进入磁场时作为计时起点，线框受到一沿x轴正方向的外力F作用下以v＝1.0m/s的速度做匀速运动，直到ab边进入磁场时撤去外力。在0≤t≤1.0s内磁感应强度B的大小与时间t的关系如图乙所示，在0≤t≤1.3s内线框始终做匀速运动。(1)在1.0s≤t≤1.3s内存在连续变化的磁场，求磁感应强度B的大小与时间t的关系式；(2)求在0≤t≤1.3s内流过导线横截面的电荷量q。【变式6-1】(多选)如图(a)所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻，垂直导轨平面存在变化规律如图(b)所示的匀强磁场，t＝0时磁场方向垂直纸面向里。在t＝0到t＝2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；t＝2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则()A．在t＝eq\f(t0,2)时，金属棒受到安培力的大小为eq\f(B02L3,t0R)B．在t＝t0时，金属棒中电流的大小为eq\f(B0L2,t0R)C．在t＝eq\f(3t0,2)时，金属棒受到安培力的方向竖直向上D．在t＝3t0时，金属棒中电流的方向向右【变式6-2】如图甲所示，水平面上的两光滑金属导轨平行固定放置，间距d＝0.5m，电开始到金属棒运动到磁场边界EF处的整个过程中，小灯泡的亮度没有发生变化．求：(1)通过小灯泡的电流；(2)金属棒PQ在磁场区域中运动的速度大小．【变式6-3】如图所示，变化的匀强磁场垂直穿过金属框架MNQP，金属杆ab在恒力F作用下沿框架从静止开始运动，t＝0时磁感应强度大小为B0，为使ab中不产生感应电流，下列能正确反映磁感应强度B随时间t变化的图像是()

参考答案【题型1一根导体棒平动切割中的图像问题】【例1】(多选)如图所示，电阻不计、间距为L的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R.质量为m、电阻为r的金属棒MN置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F的作用由静止开始运动，外力F与金属棒速度v的关系是F＝F0＋kv(F0、k是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好．金属棒中感应电流为i，受到的安培力大小为F安，电阻R两端的电压为UR，感应电流的功率为P，它们随时间t变化图象可能正确的有()答案BC解析设金属棒在某一时刻速度为v，由题意可知，感应电动势E＝BLv，回路电流I＝eq\f(E,R＋r)＝eq\f(BL,R＋r)v，即I∝v；安培力F安＝BIL＝eq\f(B2L2,R＋r)v，方向水平向左，即F安∝v；R两端电压UR＝IR＝eq\f(BLR,R＋r)v，即UR∝v；感应电流功率P＝EI＝eq\f(B2L2,R＋r)v2，即P∝v2.分析金属棒运动情况，由牛顿运动第二定律可得F0＋kv－eq\f(B2L2,R＋r)v＝ma，即F0＋(k－eq\f(B2L2,R＋r))v＝ma.因为金属棒从静止开始运动，所以F0>0.(1)若k＝eq\f(B2L2,R＋r)，金属棒水平向右做匀加速直线运动．所以在此情况下没有选项符合；(2)若k>eq\f(B2L2,R＋r)，F合随v增大而增大，即a随v增大而增大，说明金属棒在做加速度增大的加速运动，根据四个物理量与速度的关系可知B选项符合；(3)若k<eq\f(B2L2,R＋r)，F合随v增大而减小，即a随v增大而减小，说明金属棒在做加速度减小的加速运动，直到加速度减小为0后金属棒做匀速直线运动，根据四个物理量与速度关系可知C选项符合．综上所述，选项B、C符合题意．【变式1-1】如图所示的匀强磁场中有一根弯成45°的金属线POQ，其所在平面与磁场垂直，长直导线MN与金属线紧密接触，起始时OA＝l0，且MN⊥OQ，所有导线单位长度电阻均为r，MN匀速水平向右运动的速度为v，使MN匀速运动的外力为F，则外力F随时间变化的规律图象正确的是()答案C解析设经过时间t，则N点距O点的距离为l0＋vt，直导线在回路中的长度也为l0＋vt，此时直导线产生的感应电动势E＝B(l0＋vt)v；整个回路的电阻为R＝(2＋eq\r(2))(l0＋vt)r，回路的电流I＝eq\f(E,R)＝eq\f(Bl0＋vtv,2＋\r(2)l0＋vtr)＝eq\f(Bv,2＋\r(2)r)；直导线受到的外力F大小等于安培力，即F＝BIL＝Beq\f(Bv,2＋\r(2)r)(l0＋vt)＝eq\f(B2v,2＋\r(2)r)(l0＋vt)，故C正确．【变式1-2】如图甲所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距0.8m，导轨平面与水平面夹角为α，导轨电阻不计．有一匀强磁场垂直导轨平面斜向上，长为1m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为0.1kg、与导轨接触端间电阻为1Ω.两金属导轨的上端连接右端电路，电路中R2为一电阻箱．已知灯泡的电阻RL＝4Ω，定值电阻R1＝2Ω，调节电阻箱使R2＝12Ω，重力加速度g取10m/s2.将开关S断开，金属棒由静止释放，1s后闭合开关，如图乙所示为金属棒的速度随时间变化的图象，求：(1)斜面倾角α及磁感应强度B的大小；(2)若金属棒下滑距离为60m时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始下滑100m的过程中，整个电路产生的电热；(3)改变电阻箱R2的阻值，当R2为何值时，金属棒匀速下滑时R2的功率最大，消耗的最大功率为多少？答案(1)30°0.5T(2)32.42J(3)1.5625W解析(1)开关S断开，由题图甲、乙得a＝gsinα＝eq\f(Δv,Δt)＝5m/s2，则sinα＝eq\f(1,2)，α＝30°.F安＝BIL，I＝eq\f(BLvm,R总)，R总＝Rab＋R1＋eq\f(R2RL,R2＋RL)＝(1＋2＋eq\f(4×12,4＋12))Ω＝6Ω，由图乙得vm＝18.75m/s，当金属棒匀速下滑时速度最大，有mgsinα＝F安，所以mgsinα＝eq\f(B2L2vm,R总)，得B＝eq\r(\f(mgsinα·R总,vm·L2))＝eq\r(\f(0.1×10×\f(1,2)×6,18.75×0.82))T＝0.5T.(2)由动能定理有mg·s·sinα－Q＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,m)－0，得Q＝mg·s·sinα－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,m)≈32.42J.(3)改变电阻箱R2的阻值后，设金属棒匀速下滑时的速度为vm′，则有mgsinα＝BI总L，R并′＝eq\f(R2RL,R2＋RL)＝eq\f(4Ω×R2,4Ω＋R2)，R2消耗的功率P2＝eq\f(U\o\al(2,并),R2)＝eq\f(I总R并′2,R2)＝eq\f(\f(mgsinα,BL)·R并′2,R2)＝(eq\f(mgsinα,BL))2·eq\f(\f(4Ω×R2,4Ω＋R2)2,R2)＝(eq\f(mgsinα,BL))2·eq\f(16R2,16＋8R2＋R\o\al(2,2))＝(eq\f(mgsinα,BL))2·eq\f(16,\f(16,R2)＋8＋R2)，当R2＝4Ω时，R2消耗的功率最大，P2m＝1.5625W.【变式1-3】如图甲所示，两根间距L＝1.0m、电阻不计的足够长平行金属导轨ab、cd水平放置，一端与阻值R＝2.0Ω的电阻相连。质量m＝0.2kg的导体棒ef在恒定外力F作用下由静止开始运动，已知导体棒与两根导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力均为f＝1.0N，导体棒电阻为r＝1.0Ω，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场B中，导体棒运动过程中加速度a与速度v的关系如图乙所示（取g＝10m/s2）。求：（1）当导体棒速度为v时，棒所受安培力F安的大小（用题中字母表示）；（2）磁场的磁感应强度B；（3）若ef棒由静止开始运动距离为s＝6.9m时，速度已达v′＝3m/s，求此过程中产生的焦耳热Q。【解答】（1）当导体棒速度为v时，导体棒上的电动势为E，电路中的电流为I.由法拉第电磁感应定E＝BLv由欧姆定律I=导体棒所受安培力F＝BIL联合解得：F=（2）由图可以知道：导体棒开始运动时加速度a1＝5m/s2，初速度v0＝0，导体棒中无电流.由牛顿第二定律知F﹣f＝ma计算得出：F＝2N由图可以知道：当导体棒的加速度a＝0时，开始以v＝3m/s做匀速运动此时有：F﹣f﹣F安＝0解得：B＝1T（3）设ef棒此过程中，产生的热量为Q，由功能关系知（F﹣f）s＝Q+1代入数据计算得出Q＝6.0J答案：（1）当导体棒速度为v时，棒所受安培力F安的大小为B2（2）磁场的磁感应强度B为1T；（3）产生的焦耳热为6J。【题型2两根根导体棒平动切割中的图像问题】【例2】(多选)如图，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为θ，导轨电阻忽略不计．虚线ab、cd均与导轨垂直，在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场．将两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放，两者始终与导轨垂直且接触良好．已知PQ进入磁场时加速度恰好为零．从PQ进入磁场开始计时，到MN离开磁场区域为止，流过PQ的电流随时间变化的图像可能正确的是()答案AD解析根据题述，PQ进入磁场时加速度恰好为零，两导体棒从同一位置释放，则两导体棒进入磁场时的速度相同，产生的感应电动势大小相等，若释放两导体棒的时间间隔足够长，在PQ通过磁场区域一段时间后MN进入磁场区域，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可知流过PQ的电流随时间变化的图像可能是A；若释放两导体棒的时间间隔较短，在PQ没有出磁场区域时MN就进入磁场区域，则两棒在磁场区域中运动时回路中磁通量不变，两棒不受安培力作用，二者在磁场中做加速运动，PQ出磁场后，MN切割磁感线产生感应电动势和感应电流，且感应电流一定大于I1，受到安培力作用，由于安培力与速度成正比，则MN所受的安培力一定大于MN的重力沿导轨平面方向的分力，所以MN一定做减速运动，回路中感应电流减小，流过PQ的电流随时间变化的图像可能是D.【变式2-1】(多选)如图所示，绝缘的水平面上固定有两条平行的光滑金属导轨，导轨电阻不计，两相同金属棒a、b垂直导轨放置，其右侧矩形区域内存在恒定的匀强磁场，磁场方向竖直向上。现两金属棒分别以初速度2v0和v0同时沿导轨自由运动，先后进入磁场区域。已知a棒离开磁场区域时b棒已经进入磁场区域，则a棒从进入到离开磁场区域的过程中，电流i随时间t的变化图像可能正确的有()[解析]a棒以速度2v0先进入磁场切割磁感线产生的感应电流为i0＝eq\f(Bl·2v0,R)，a棒受安培力做加速度变化的减速直线运动，感应电流也随之减小，即i­t图像的斜率逐渐变小；设当b棒刚进入磁场时a棒的速度为v1，此时a棒产生的感应电动势为E1＝Blv1；若v1＝v0，即E1＝Blv0，此时b棒产生的感应电动势E2＝Blv0，双棒双电源反接，电流为零，不受安培力，a棒匀速运动离开磁场，i­t图像中无电流，故A正确，C错误；若v1＜v0，即a棒产生的感应电动势E1＝Blv1＜Blv0，此时双棒双电源的电动势不相等要抵消一部分，因b棒的速度大，电流方向同b棒产生的感应电流的流向，与原a棒的流向相反即为负，大小为i＝eq\f(Blv0－v1,R)，b棒受安培力要减速，a棒受安培力要加速，则电流逐渐减小，故B正确，D错误。[答案]AB【变式2-2】如图甲所示，两根与水平面成θ＝30°角的足够长的光滑金属导轨平行放置，导轨间距为L，导轨的电阻忽略不计。整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，现将质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b垂直于导轨放置，不可伸长的绝缘细线一端系在金属棒b的中点。另一端N通过轻质小滑轮与质量为M的物体相连，细线与导轨平面平行。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，不计一切摩擦，物体始终未与地面接触，重力加速度g取10m/s2。（1）若金属棒a固定，M＝m，由静止释放b，求释放瞬间金属棒b的加速度大小；（2）若金属棒a固定，L＝1m，B＝1T，m＝0.2kg，R＝1Ω，改变物体的质量M，使金属棒b沿斜面向上运动，请推导出金属棒b获得的最大速度v与物体质量M的关系式，并在乙图中画出v﹣M图象；（3）若将N端的物体去掉，并对细线的这一端施加竖直向下的恒力F＝mg，同时将金属棒a、b由静止释放。从静止释放到棒a恰好开始匀速运动的过程中，棒a的位移大小为x，求这个过程中棒a产生的焦耳热。解析：（1）设释放瞬间金属棒b的加速度大小为a，根据牛顿第二定律得：对物体M：Mg﹣T＝Ma对金属棒b：T﹣mgsinθ＝ma解得：a=代入数据解得a＝2.5m/s2。（2）当金属棒b速度达到最大时，对物块M有：T＝Mg对金属棒b有：mgsinθ+BIL＝T对电路分析有：E＝BLv根据闭合电路欧姆定律有：I解得：v＝20M﹣2v﹣M图象如图所示。（3）对两棒受力分析可知，在任一时刻：对a棒：mgsinθ﹣F安＝ma1对b棒：F﹣mgsinθ﹣F安＝ma2结合F＝mg解得：a1＝a2即任一时刻两棒的速度、加速度、位移总是大小相等、方向相反，同时达到匀速运动状态，此时的速度最大。设此时a、b棒的速度均为v1，则电路中的总电动势：E1＝2BLv1电路中的总电流I对a棒：mgsinθ＝BI1L解得：v从静止释放到a刚开始匀速运动的过程中，a、b的位移大小均为x，产生的焦耳热均为Q，则由功能关系可得Fx﹣mgx•sinθ+mgx•sinθ=解得：Q=答案：（1）若金属棒a固定，M＝m，由静止释放b，释放瞬间金属棒b的加速度大小为2.5m/s2。（2）金属棒b获得的最大速度v与物体质量M的关系式是v＝20M﹣2，v﹣M图象如图所示；（3）这个过程流过金属棒a的电量为12【变式2-3】如图所示，间距为L＝0.8m、倾角为θ＝37°的两根平行倾斜光滑导轨与间距相同的两根平行水平光滑导轨在b、e处平滑连接，导轨全部固定，其中MN、PQ两段用绝缘材料制成，其余部分用电阻不计的金属材料制成。cf两点间有一个电容为C=58F的电容器，整个导轨区域存在竖直方向的磁感应强度为B＝0.5T的匀强磁场（图中未标注）将长度比导轨间距略大、质量均为m＝0.4kg、电阻均为R＝0.1Ω的导体棒A和B静止置于导轨上，锁定导体棒B，给导体棒A施加一个在倾斜导轨平面内且垂直于导体棒A的外力F，使其沿倾斜导轨向下做初速度为0的匀加速直线运动。外力作用t0＝2s时间，导体棒A恰好以v0＝3m/s的速度运动至be处并进入水平导轨，此时撤去外力F，同时释放导体棒B。两根导体棒在到达MP前发生弹性相碰，碰撞刚结束，马上移去导体棒A。整个过程中两根导体棒始终与导轨垂直，水平导轨右侧部分足够长。导体棒B初始所在位置离倾斜导轨末端be的距离x＝（1）外力F作用期间，其大小随时间t的变化关系式；（2）从释放导体棒B至发生弹性碰撞前，导体棒B上产生的焦耳热QB；（3）最终稳定时，电容器所带电量q。【解答】解：（1）由加速度的定义可得：a=v0根据牛顿第二定律得：F+mgsin37°-B解得：F＝0.768t﹣1.8（N）故外力F的大小为F＝1.8﹣0.768t（N），其中0≤t≤2s（2）对A棒有：-∑B⋅BLΔv2而因为：ΣΔv•Δt＝x而：vA＝2m/s对B棒有：-∑B⋅BLΔv而：vB＝1m/s根据能量守恒可得：Q热＝EkB=1又：QB（3）弹性碰撞，两棒质量等，故速度互换，即有vB′＝2m/s最终稳定时，导体棒B向右匀速滑行，则有：BLvm＝Um又因为：﹣ΣBiL•Δt＝mvm﹣mvB′又因为：q＝Σi•Δt＝CUm得到：vm＝1.6m/s，q＝0.4C答案：（1）外力F作用期间，其大小随时间t的变化关系式为F＝1.8﹣0.768t（N），其中0≤t≤2s；（2）从释放导体棒B至发生弹性碰撞前，导体棒B上产生的焦耳热QB为0.4J；（3）最终稳定时，电容器所带电量q为0.4C。【题型3三角形导线框平动切割中的图像问题】【例3】一个边长为2L的等边三角形磁场区域，一个底边长为L的直角三角形金属线框，线框电阻为R，二者等高，金属线框以速度v水平向右匀速穿过磁场区域的过程中，规定逆时针方向的电流为正，则线框中感应电流i随位移x变化的图像正确的是()解析：选B当x＜L时，感应电动势为E＝eq\f(\r(3),2)Bvx，感应电流为I＝eq\f(E,R)＝eq\f(\r(3),2R)Bvx，由楞次定律可知电流为正向且逐渐增大，当L≤x＜2L时，感应电动势为E＝eq\f(\r(3),2)B(2L－x)v，感应电流为I＝eq\f(E,R)＝eq\f(\r(3),R)BvL－eq\f(\r(3),2R)Bvx，由楞次定律可知电流为正向且逐渐减小，当2L≤x＜3L时，感应电动势为E＝eq\r(3)Bv(3L－x)，感应电流为I＝eq\f(E,R)＝eq\f(3\r(3),R)BvL－eq\f(\r(3),R)Bvx，由楞次定律可知电流为负向且逐渐减小，B正确。【变式3-1】(多选)边长为a的闭合金属正三角轻质框架，左边竖直且与磁场右边界平行，完全处于垂直于框架平面向里的匀强磁场中，现把框架匀速水平向右拉出磁场，如图所示，则下列图象与这一拉出过程相符合的是()答案BC解析设正三角形轻质框架开始出磁场的时刻t＝0，则其切割磁感线的有效长度L＝2xtan30°＝eq\f(2\r(3),3)x，则感应电动势E电动势＝BLv＝eq\f(2\r(3),3)Bvx，则C项正确，D项错误；框架匀速运动，故F外力＝F安＝eq\f(B2L2v,R)＝eq\f(4B2x2v,3R)∝x2，A项错误；P外力功率＝F外力v∝F外力∝x2，B项正确．【变式3-2】如图所示，直角三角形ADC区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，AD边长为2L，直角三角形导线框abc与直角三角形ADC相似，ab边长为L，∠ACD＝∠acb＝30°，线框在纸面内，且bc边和DC边在同一直线上，bc边为导线，电阻不计，ab边和ac边由粗细均匀的金属杆弯折而成．现用外力使线框以速度v匀速向右运动通过磁场区域，则线框在通过磁场的过程中，Uab随时间变化的关系图象正确的是()答案B解析本题可以采用排除法，根据右手定则可知，线框进入磁场和出磁场的过程中，a点电势均低于b点电势，Uab均为负值、不为零，由此排除A、C、D选项．【变式3-3】如图所示，一直角三角形金属框，向左匀速地穿过一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，磁场仅限于虚线边界所围的区域，该区域的形状与金属框完全相同，且金属框的下边与磁场区域的下边在一直线上．若取顺时针方向为电流的正方向，则金属框穿过磁场的过程中感应电流i随时间t变化的图象是()答案C解析在金属框进入磁场过程中，感应电流的方向为逆时针，金属框切割磁感线的有效长度线性增大，排除A、B；在金属框出磁场的过程中，感应电流的方向为顺时针方向，金属框切割磁感线的有效长度线性减小，排除D，故C正确．【题型4矩形导线框切割中的图像问题】【例4】如图，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下．一边长为eq\f(3,2)l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动．线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是()答案D解析设线路中只有一边切割磁感线时产生的感应电流为i.线框位移等效电路的连接电流0～eq\f(l,2)I＝2i(顺时针)eq\f(l,2)～lI＝0l～eq\f(3l,2)I＝2i(逆时针)eq\f(3l,2)～2lI＝0分析知，只有选项D符合要求．【变式4-1】(多选)如图所示，在0≤x≤L和2L≤x≤3L的区域内存在着匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面(纸面)向里，具有一定电阻的正方形线框abcd边长为2L，位于xOy平面内，线框的ab边与y轴重合。令线框从t＝0时刻由静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，ab边在t0时刻到达x＝L位置，则线框中的感应电流I(取逆时针方向的电流为正)、bc两端的电势差Ubc与时间t的函数图像大致是下列图中的()[解析]线框ab边从x＝0运动到x＝L的时间为t0，由运动学规律可得L＝eq\f(1,2)at02，解得t0＝eq\r(\f(2L,a))，感应电流I＝eq\f(B·2L·v,R)＝eq\f(2BLat,R)，电流随时间均匀增大，由楞次定律可知，感应电流沿逆时针方向；设线框ab边从x＝L运动到x＝4L的时间为t1，则由运动学公式得t1＝eq\r(\f(2×4L,a))－t0＝2t0－t0＝t0，这段时间内穿过线框的磁通量不变，线框内没有感应电流；设线框ab边从x＝4L运动到x＝5L的时间为t2，则由运动学公式得t2＝eq\r(\f(2×5L,a))－eq\r(\f(2×4L,a))＝eq\r(5)t0－2t0≈0.236t0，根据楞次定律得，感应电流方向沿顺时针方向，为负值，线框做匀加速直线运动，感应电流为I＝－eq\f(4BLv,R)＝－eq\f(4BLat,R)，故A正确，B错误；bc两端电势差Ubc＝IR，bc为外电路，故电势差变化和电流变化相同，故C正确，D错误。[答案]AC【变式4-2】(多选)如图，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框，导线框右侧有两个宽度也为L的有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向分别竖直向下和竖直向上。t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框在外力作用下，以速度v匀速进入并通过磁场区城。规定电流i沿逆时针方向时为正，磁感线竖直向下时磁通量Φ为正，安培力的合力F向左为正。则以下关于Φ、i、F和线框中的电功率P随时间变化的图像正确的是()解析：选BD当线圈进入磁场0～L时，向下的磁通量由0增加到BL2，感应电流I＝eq\f(BLv,R)，沿逆时针方向；安培力F＝eq\f(B2L2v,R)，方向向左；安培力的功率P＝Fv＝eq\f(B2L2v2,R)。当线圈进入磁场L～2L时，向下的磁通量逐渐减小到零，然后向上增加到BL2，感应电流I＝eq\f(2BLv,R)，沿顺时针方向；安培力F＝2B·eq\f(2BLv,R)L＝eq\f(4B2L2v,R)，方向向左；安培力的功率P＝Fv＝eq\f(4B2L2v2,R)。当线圈运动2L～3L时，向上的磁通量由BL2逐渐减小到零，感应电流I＝eq\f(BLv,R)，沿逆时针方向；安培力F＝B·eq\f(BLv,R)L＝eq\f(B2L2v,R)，方向向左；安培力的功率P＝Fv＝eq\f(B2L2v2,R)。综上所述，B、D正确，A、C错误。【变式4-3】如图所示为两个有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于纸面向里和向外，磁场宽度均为L，距磁场区域的左侧L处有一边长为L的正方形导体线框，总电阻为R，且线框平面与磁场方向垂直．现用外力F使线框以速度v匀速穿过磁场区域，以初始位置为计时起点，规定电流沿逆时针方向时的电动势E为正，磁感线垂直纸面向里时磁通量Φ的方向为正，外力F向右为正．线框中的磁通量Φ、感应电动势E、外力F和电功率P随时间变化的图象正确的是()答案D解析线框运动L时开始进入磁场，磁通量开始增大，当线框全部进入时，磁通量达到最大，此后向外的磁通量增大，总磁通量减小，当运动到2.5L时，磁通量最小，故选项A错误；当线框进入第一个磁场时，由E＝BLv可知，E保持不变，而开始进入第二个磁场时，两边同时切割磁感线，电动势应为2BLv，故选项B错误；因安培力总是与运动方向相反，故外力F应一直向右，故选项C错误；外力F的功率P＝Fv，因速度不变，而线框进入第一个磁场时，电流为定值，F也为定值．两边分别在两个磁场中时，电流加倍，回路中总电动势加倍，功率变为原来的4倍，此后线框从第二个磁场中离开时，安培力应等于线框进入第一个磁场时的安培力，所以功率应等于进入第一个磁场时的功率，故选项D正确．【题型5感生中的图像问题】【例5】将一段导线绕成如图甲所示的闭合回路，并固定在水平面(纸面)内．回路的ab边置于垂直纸面向里为匀强磁场Ⅰ中．回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示．用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反映F随时间t变化的图象是()答案B解析根据B－t图象可知，在0～eq\f(T,2)时间内，B－t图线的斜率为负且为定值，根据法拉第电磁感应定律E＝neq\f(ΔB,Δt)S可知，该段时间圆环区域内感应电动势和感应电流是恒定的，由楞次定律可知，ab中电流方向为b→a，再由左手定则可判断ab边受到向左的安培力，且0～eq\f(T,2)时间内安培力恒定不变，方向与规定的正方向相反；在eq\f(T,2)～T时间内，B－t图线的斜率为正且为定值，故ab边所受安培力仍恒定不变，但方向与规定的正方向相同．综上可知，B正确．【变式5-1】(多选)如图甲，固定在光滑水平面上的正三角形金属线框，匝数n＝20，总电阻R＝2.5Ω，边长L＝0.3m，处在两个半径均为r＝eq\f(L,3)的圆形匀强磁场区域中．线框顶点与右侧圆心重合，线框底边中点与左侧圆心重合．磁感应强度B1垂直水平面向上，大小不变；B2垂直水平面向下，大小随时间变化．B1、B2的值如图乙所示，则()A．通过线框的感应电流方向为逆时针方向B．t＝0时刻穿过线框的磁通量为0.1WbC．在0.6s内通过线框中的电荷量约为0.13CD．经过0.6s线框中产生的热量约为0.07J答案ACD解析磁感应强度B1垂直水平面向上，大小不变，B2垂直水平面向下，大小随时间增大，故线框向上的磁通量减小，由楞次定律可得，线框中感应电流方向为逆时针方向，选项A正确．t＝0时刻穿过线框的磁通量Φ＝B1×eq\f(1,2)πr2＋B2×eq\f(1,6)πr2≈－0.0052Wb，选项B错误．在0.6s内通过线框的电荷量q＝neq\f(ΔΦ,R)＝eq\f(20×5－2×\f(1,6)π×0.12,2.5)C≈0.13C，选项C正确．经过0.6s线框中产生的热量Q＝I2RΔt＝eq\f(nΔΦ2,RΔt)≈0.07J，选项D正确．【变式5-2】(多选)如图(a)所示，半径为r的带缺口刚性金属圆环固定在水平面内，缺口两端引出两根导线，与电阻R构成闭合回路．若圆环内加一垂直于纸面的变化的磁场，变化规律如图(b)所示．规定磁场方向垂直纸面向里为正，不计金属圆环的电阻．以下说法正确的是()A．0～1s内，流过电阻R的电流方向为b→R→aB．2～3s内，穿过金属圆环的磁通量在减小C．t＝2s时，流过电阻R的电流方向发生改变D．t＝2s时，Uab＝πr2B0(V)答案AD解析规定磁场方向垂直纸面向里为正，根据楞次定律，在0～1s内，穿过金属圆环向里的磁通量增大，则金属圆环中产生逆时针方向的感应电流，那么流过电阻R的电流方向为b→R→a，故A正确；由题图(b)可知，在2～3s内，穿过金属圆环的磁通量在增大，故B错误；1～2s内，穿过金属圆环的磁通量向里减小，由楞次定律可知，产生的电流方向为a→R→b，2～3s穿过金属圆环的磁通量增大，且磁场反向，由楞次定律可知，产生的电流方向为a→R→b，故C错误；当t＝2s时，根据法拉第电磁感应定律E＝eq\f(ΔB,Δt)S＝πr2B0(V)，因不计金属圆环的电阻，因此Uab＝E＝πr2B0(V)，故D正确．【变式5-3】如图甲所示，在线圈l1中通入电流i1后，在l2上产生的感应电流随时间变化的规律如图乙所示，l1、l2中电流的正方向如图甲中的箭头所示．则通入线圈l1中的电流i1随时间t变化的图象是下列选项图中的()答案D解析因为感应电流大小不变，根据法拉第电磁感应定律得：I＝eq\f(E,R)＝eq\f(n\f(ΔΦ,Δt),R)＝eq\f(n\f(ΔB,Δt)S,R)，而线圈l1中产生的磁场变化是因为电流发生了变化，所以I＝eq\f(n\f(ΔB,Δt)S,R)∝eq\f(n\f(Δi,Δt)S,R)，所以线圈l1中的电流均匀改变，A、C错误；根据题图乙，0～eq\f(T,4)时间内感应电流磁场向左，所以线圈l1产生的磁场向左减小，或向右增大，B错误，D正确．【题型6动生、感生综合的图像问题】【例6】如图甲所示，在光滑绝缘水平面上的0≤x≤1.0m区域内存在方向垂直平面向外的匀强磁场。一电阻值R＝0.5Ω、边长L＝0.5m的正方形金属框abcd，右边界cd恰好位于磁场边界。若以cd边进入磁场时作为计时起点，线框受到一沿x轴正方向的外力F作用下以v＝1.0m/s的速度做匀速运动，直到ab边进入磁场时撤去外力。在0≤t≤1.0s内磁感应强度B的大