2022-2023学年高二物理举一反三系列（人教版选择性必修第二册）专题1.7 带电粒子在连续场中的运动（原卷版）

专题1.7带电粒子在连续场中的运动【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1残缺圆与直线运动综合】 【题型2残缺圆与类平抛综合】 【题型3连续场中的周期性问题】 【题型4交变场问题】 【题型5综合问题】 【题型6联系实际】 【题型1残缺圆与直线运动综合】【例1】[CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点。则()A．M处的电势高于N处的电势B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移【变式1-1】(多选)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋()A．在电场中的加速度之比为1∶1B．在磁场中运动的半径之比为2∶1C．在磁场中转过的角度之比为1∶2D．离开电场区域时的动能之比为1∶3【变式1-2】如图甲所示，质量为m，带电荷量为－q的带电粒子在t＝0时刻由a点以初速度v0垂直进入磁场，Ⅰ区域磁场的磁感应强度大小不变、方向周期性变化，如图乙所示(垂直纸面向里为正方向)；Ⅱ区域为匀强电场，方向向上；Ⅲ区域为匀强磁场，磁感应强度大小与Ⅰ区域相同均为B0。粒子在Ⅰ区域内一定能完成半圆运动且每次经过MN的时刻均为eq\f(T0,2)整数倍，则：(1)粒子在Ⅰ区域运动的轨道半径为多少？(2)若初始位置与第四次经过MN时的位置距离为x，求粒子进入Ⅲ区域时速度的可能值(初始位置记为第一次经过MN)。【变式1-3】如图所示，真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为R＝0.5m，磁场垂直纸面向里。在y>R的区域存在沿－y方向的匀强电场，电场强度为E＝1.0×105V/m。在M点有一正粒子以速率v＝1.0×106m/s沿＋x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，最终又从磁场离开。已知粒子的比荷为eq\f(q,m)＝1.0×107C/kg，粒子重力不计。(1)求圆形磁场区域磁感应强度的大小；(2)求沿＋x方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程。【题型2残缺圆与类平抛综合】【例2】如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h，0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求：(1)电场强度E的大小；(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。【变式2-1】如图所示，在xOy平面直角坐标系的第一象限有射线OA，OA与x轴正方向夹角为30°，OA与y轴所夹区域内有沿y轴负方向的匀强电场，其他区域存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场。有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从y轴上的P点沿着x轴正方向以初速度v0射入电场，运动一段时间后经过Q点垂直于射线OA进入磁场，经磁场偏转，过y轴正半轴上的M点再次垂直进入匀强电场。已知OP＝h，不计粒子重力，求：(1)粒子经过Q点时的速度大小；(2)匀强电场电场强度的大小；(3)粒子从Q点运动到M点所用的时间。【变式2-2】如图所示，直线PQ的左边为磁感应强度为B的匀强磁场，右边为电场强度为E的匀强电场。一带电荷量为q(q＞0)、质量为m的粒子从MN上的C点沿与MN成60°角的方向，以速度v射入匀强磁场，在磁场中发生偏转后从D点(图中未画出)垂直PQ进入匀强电场，最后到达MN上F点(图中未画出)，不计粒子重力，求：(1)从C点到F点所用的时间；(2)到达F点时的动能。【变式2-3】如图所示，在第一象限内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场Ⅰ，第二象限内存在水平向右的匀强电场，第三、四象限内存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为B0的匀强磁场Ⅱ。一质量为m，电荷量为＋q的粒子，从x轴上M点以某一初速度垂直于x轴进入第四象限，在xOy平面内，以原点O为圆心做半径为R0的圆周运动；随后进入电场运动至y轴上的N点，沿与y轴正方向成45°角离开电场；在磁场Ⅰ中运动一段时间后，再次垂直于x轴进入第四象限。不计粒子重力。求：(1)带电粒子从M点进入第四象限时初速度的大小v0；(2)电场强度的大小E；(3)磁场Ⅰ的磁感应强度的大小B1。【题型3连续场中的周期性问题】【例3】(多选)研究表明，蜜蜂是依靠蜂房、采蜜地点和太阳三个点来定位的，蜜蜂飞行时就是根据这三个位置关系呈“8”字形运动来告诉同伴蜜源的方位。某兴趣小组用带电粒子在如图所示的电场和磁场中模拟蜜蜂的“8”字形运动，即在y＞0的空间中和y＜0的空间内同时存在着大小相等，方向相反的匀强电场，上、下电场以x轴为分界线，在y轴左侧和图中竖直虚线MN右侧均无电场，但有方向垂直纸面向里和向外的匀强磁场，MN与y轴的距离为2d。一重力不计的带负电荷的粒子从y轴上的P(0，d)点以沿x轴正方向的初速度v0开始运动，经过一段时间后，粒子又以相同的速度回到P点，则下列说法正确的是()A．电场与磁场的比值为v0B．电场与磁场的比值为2v0C．带电粒子运动一个周期的时间为eq\f(2d,v0)＋eq\f(2πd,v0)D．带电粒子运动一个周期的时间为eq\f(4d,v0)＋eq\f(2πd,v0)【变式3-1】如图所示，在x轴上方有一匀强磁场方向垂直纸面向里。在x轴下方有一匀强电场，方向竖直向上。一个质量为m、电荷量为q、重力不计的带正电粒子从y轴上的a点(0，h)处沿y轴正方向以初速度v＝eq\r(2)v0开始运动，一段时间后，粒子速度方向与x轴正方向成45°角进入电场，经过y轴上b点时速度方向恰好与y轴垂直。求：(1)匀强磁场的磁感应强度大小；(2)匀强电场的电场强度大小；(3)粒子从开始运动到第三次经过x轴的时间。【变式3-2】如图所示，x轴上方存在电场强度E＝1000V/m、方向沿－y轴方向的匀强电场，x轴与PQ(平行于x轴)之间存在着磁感应强度B＝2T、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一个质量m＝2×10－8kg、带电荷量q＝＋1.0×10－5C的粒子，从y轴上(0，0.04m)的位置分别以不同的初速度v0沿＋x轴方向射入匀强电场，不计粒子的重力。(1)若v0＝200m/s，求粒子第一次进入磁场时速度v的大小和方向；(2)若粒子射入电场后都能经磁场返回，求磁场的最小宽度d；(3)若粒子恰能经过x轴上x＝100m的点，求粒子入射的初速度v0。【变式3-3】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第一、二象限存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，第四象限存在着沿y轴正方向的匀强电场，场强大小未知。一带正电的粒子从y轴上的M点以速度v0沿x轴正方向开始运动，从x轴上的N点进入磁场后恰好经O点再次进入电场，已知MN两点的连线与x轴的夹角为θ，且tanθ＝eq\f(1,2)，带电粒子的质量为m，电荷量为q，不计带电粒子的重力。求：(1)粒子第一次经过N点的速度v；(2)粒子从N点运动到O点的过程中，洛伦兹力的冲量I；(3)电场强度E的大小；(4)粒子连续两次通过x轴上同一点的时间间隔Δt。【题型4交变场问题】【例4】(多选)某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图甲所示)，规定垂直纸面向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a→b→c→d→e→f的顺序做“∞”形运动(即如图乙所示的轨迹)，下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用，其他力不计)()A．若粒子的初始位置在a处，在t＝eq\f(3,8)T时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度B．若粒子的初始位置在f处，在t＝eq\f(T,2)时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度C．若粒子的初始位置在e处，在t＝eq\f(11,8)T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度D．若粒子的初始位置在b处，在t＝eq\f(T,2)时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度【变式4-1】如图甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上。t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点。Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g。上述d、E0、m、v、g为已知量。(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；(2)求电场变化的周期T；(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值。【变式4-2】如图甲所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场(平行于纸面)，在同一水平线上的两位置以相同速率同时喷出质量均为m的油滴a和b，带电荷量为＋q的a水平向右，不带电的b竖直向上。b上升高度为h时，到达最高点，此时a恰好与它相碰，瞬间结合成油滴p。忽略空气阻力，重力加速度为g。求：(1)油滴b竖直上升的时间及两油滴喷出位置的距离；(2)匀强电场的场强大小及油滴a、b结合为p后瞬间的速度；(3)若油滴p形成时恰位于某矩形区域边界，取此时为t＝0时刻，同时在该矩形区域加一个垂直于纸面周期性变化的磁场，磁场变化规律如图乙所示，磁场变化周期为T0(垂直纸面向外为正)，已知p始终在矩形区域内运动，求矩形区域的最小面积。(忽略磁场突变的影响)【变式4-3】如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B的变化周期为4t0，E的变化周期为2t0，变化规律分别如图乙和图丙所示。在t＝0时刻从O点发射一带负电的粒子(不计重力)，初速度大小为v0，方向沿y轴正方向，在x轴上有一点A(图中未标出)，坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48v0t0,π)，0))。若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足：eq\f(E0,B0)＝eq\f(v0,π)；粒子的比荷满足：eq\f(q,m)＝eq\f(π,B0t0)。求：(1)在t＝eq\f(t0,2)时，粒子的位置坐标；(2)粒子偏离x轴的最大距离；(3)粒子运动至A点的时间。【题型5综合问题】【例5】如图，第一象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E；第二、三、四象限存在方向垂直xOy平面向外的匀强磁场，其中第二象限的磁感应强度大小为B，第三、四象限磁感应强度大小相等。一带正电的粒子，从x轴负方向上的P点沿与x轴正方向成α＝60°角平行xOy平面入射，经过第二象限后恰好由y轴上的Q点(0，d)垂直y轴进入第一象限，然后又从x轴上的N点进入第四象限，之后经第四、三象限重新回到P点，回到P点的速度方向与入射时相同。不计粒子重力。求：(1)粒子从P点入射时的速度v0；(2)粒子进入第四象限时在x轴上的N点到坐标原点O距离；(3)粒子在第三、四象限内做圆周运动的半径(用已知量d表示结果)。【变式5-1】如图所示，在真空中xOy平面内，有四个边界垂直于x轴的条状区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，区域Ⅰ、Ⅲ宽度均为d，内有沿y轴负方向的匀强电场，大小均为E；区域Ⅱ、Ⅳ宽度均为2d，内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场B1和B2。M是区域Ⅲ右边界与x轴交点。质量为m，电荷量为＋q的粒子甲以速度v0从O点沿x轴正方向射入电场E，经过一段时间后，沿x轴正方向与自由静止在M点的粒子乙粘合在一起，成为粒子丙进入区域Ⅳ，之后直接从右边界上Q点(图中未标出)离开区域Ⅳ。粒子乙不带电，质量为2m，粘合前后无电荷损失，粘合时间很短，E＝eq\f(\r(3)mv02,qd)，粒子重力不计。(1)求粒子甲离开区域Ⅰ时速度v1大小和与x轴正方向夹角θ；(2)求匀强磁场B1的磁感应强度大小；(3)若匀强磁场B2磁感应强度大小不同，则粒子丙在磁场B2中运动时间不同。求粒子甲从O点到M点运动时间与粒子丙从M点到Q点运动时间之和的最大值。【变式5-2】如图所示，在xOy坐标系内存在一个以(A,0)为圆心、半径为a的圆形磁场区域，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。另在y轴右侧有一方向向左的匀强电场，电场强度大小为E，分布于y≥a的范围内。O点为质子源，其射出质子的速度大小相等、方向各异，但质子的运动轨迹均在纸面内。已知质子在磁场中的偏转半径也为a，设质子的质量为m、电荷量为e，重力及阻力忽略不计。求：(1)射出速度沿x轴正方向的质子，到达y轴所用的时间；(2)射出速度与x轴正方向成30°角(如图中所示)的质子，到达y轴时的位置与O点的距离；(3)质子到达y轴的位置坐标的范围。【变式5-3】如图，空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场。在x≥0区域，磁感应强度的大小为B0；x＜0区域，磁感应强度的大小为λB0(常数λ＞1)。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求(不计重力)(1)粒子运动的时间；(2)粒子与O点间的距离。【题型6联系实际】【例6】(多选)质谱仪是用来分析同位素的装置，如图为质谱仪的示意图，其由竖直放置的速度选择器、偏转磁场构成。由三种不同粒子组成的粒子束以某速度沿竖直向下的方向射入速度选择器，该粒子束沿直线穿过底板上的小孔O进入偏转磁场，最终三种粒子分别打在底板MN上的P1、P2、P3三点，已知底板MN上下两侧的匀强磁场方向均垂直纸面向外，且磁感应强度的大小分别为B1、B2，速度选择器中匀强电场的电场强度的大小为E。不计粒子的重力以及它们之间的相互作用，则()A.速度选择器中的电场方向向右，且三种粒子均带正电B.三种粒子的速度大小均为eq\f(E,B2)C.如果三种粒子的电荷量相等，则打在P3点的粒子质量最大D.如果三种粒子电荷量均为q，且P1、P3的间距为Δx，则打在P1、P3两点的粒子质量差为eq\f(qB1B2Δx,2E)【变式6-1】(多选)如图所示为一种质谱仪的示意图，由加速电场、静电分析器和磁分析器组成．若静电分析器通道中心线的半径为R，通道内均匀辐射电场，在中心线处的电场强度大小为E，磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一质量为m、电荷量为q的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器，由P点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q点．不计粒子重力．下列说法正确的是()A．极板M比极板N的电势高B．加速电场的电压U＝ERC．直径PQ＝2Beq\r(qmER)D．若一群粒子从静止开始经过题述过程都落在胶片上的同一点，则该群粒子具有相同的比荷【变式6-2】如图所示为水平放置的小型粒子加速器的原理示意图，区域Ⅰ和Ⅱ存在方向垂直纸面向里的匀强磁场B1和B2，长L＝1.0m的区域Ⅲ存在场强大小E＝5.0×104V/m、方向水平向右的匀强电场。区域Ⅲ中间上方有一离子源S，水平向左发射动能Ek0＝4.0×104eV的氘核，氘核最终从区域Ⅱ下方的P点水平射出。S、P两点间的高度差h＝0.10m。(氘核质量m＝2×1.67×10－27kg，电荷量q＝1.60×10－19C，1eV＝1.60×10－19J，eq\r(\f(1.67×10－27,1.60×10－19))≈1×10－4)(1)求氘核经过两次加速后从P点射出时的动能Ek2；(2)若B1＝1.0T，要使氘核经过两次加速后从P点射出，求区域Ⅰ的最小宽度d；(3)若B1＝1.0T，要使氘核经过两次加速后从P点射出，求区域Ⅱ的磁感应强度B2。【变式6-3】如图所示，静止于A处的离子，经电压为U的加速电场加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器，从P点垂直CN进入矩形区域的有界匀强电场，电场方向水平向左。静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，已知圆弧所在处场强为E0，方向如图所示；离子质量为m、电荷量为q；QN＝2d、PN＝3d，离子重力不计。(1)求圆弧虚线对应的半径R的大小；(2)若离子恰好能打在NQ的中点上，求矩形区域QNCD内匀强电场场强E的值；(3)若撤去矩形区域QNCD内的匀强电场，换为垂直纸面向里的匀强磁场，要求离子能最终打在QN上，求磁场磁感应强度B的取值范围。

参考答案【题型1残缺圆与直线运动综合】【例1】[CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点。则()A．M处的电势高于N处的电势B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移[解析]电子在电场中加速运动，电场力的方向和运动方向相同，而电子所受电场力的方向与电场的方向相反，所以M处的电势低于N处的电势，A错误；增大M、N之间的电压，根据动能定理可知，电子进入磁场时的初速度变大，根据r＝eq\f(mv,eB)知其在磁场中的轨迹半径增大，P点将右移，B错误；根据左手定则可知，磁场的方向应该垂直于纸面向里，C错误；结合B分析，可知增大磁场的磁感应强度，轨迹半径将减小，P点将左移，D正确。[答案]D【变式1-1】(多选)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋()A．在电场中的加速度之比为1∶1B．在磁场中运动的半径之比为2∶1C．在磁场中转过的角度之比为1∶2D．离开电场区域时的动能之比为1∶3[解析]两个离子的质量相同，其带电荷量之比是1∶3的关系，所以由a＝eq\f(qU,md)可知，其在电场中的加速度之比是1∶3，故A错误。要想知道半径必须先知道进入磁场的速度，而速度的决定因素是加速电场，所以在离开电场时其速度表达式为v＝eq\r(\f(2qU,m))，可知其速度之比为1∶eq\r(3)。又由qvB＝meq\f(v2,r)知r＝eq\f(mv,qB)，所以其半径之比为eq\r(3)∶1，故B错误。由B项分析知道，离子在磁场中运动的半径之比为eq\r(3)∶1，设磁场宽度为L，离子通过磁场转过的角度等于其圆心角，所以sinθ＝eq\f(L,r)，则可知角度的正弦值之比为1∶eq\r(3)，又P＋的偏转角度为30°，可知P3＋的偏转角度为60°，即在磁场中转过的角度之比为1∶2，故C正确。由电场加速后：qU＝eq\f(1,2)mv2可知，两离子离开电场的动能之比为1∶3，故D正确。[答案]CD【变式1-2】如图甲所示，质量为m，带电荷量为－q的带电粒子在t＝0时刻由a点以初速度v0垂直进入磁场，Ⅰ区域磁场的磁感应强度大小不变、方向周期性变化，如图乙所示(垂直纸面向里为正方向)；Ⅱ区域为匀强电场，方向向上；Ⅲ区域为匀强磁场，磁感应强度大小与Ⅰ区域相同均为B0。粒子在Ⅰ区域内一定能完成半圆运动且每次经过MN的时刻均为eq\f(T0,2)整数倍，则：(1)粒子在Ⅰ区域运动的轨道半径为多少？(2)若初始位置与第四次经过MN时的位置距离为x，求粒子进入Ⅲ区域时速度的可能值(初始位置记为第一次经过MN)。解析：(1)带电粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qv0B0＝meq\f(v02,r)解得r＝eq\f(mv0,qB0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或T0＝\f(2πr,v0)，r＝\f(v0T0,2π)))。(2)画出带电粒子的两种运动轨迹示意图。第一种情况：粒子在Ⅲ区域运动半径R＝eq\f(x,2)qv2B0＝meq\f(v22,R)解得粒子在Ⅲ区域速度大小：v2＝eq\f(qB0x,2m)第二种情况：粒子在Ⅲ区域运动半径R＝eq\f(x－4r,2)解得粒子在Ⅲ区域速度大小：v2＝eq\f(qB0x,2m)－2v0。答案：(1)eq\f(mv0,qB0)或eq\f(v0T0,2π)(2)eq\f(qB0x,2m)或eq\f(qB0x,2m)－2v0【变式1-3】如图所示，真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为R＝0.5m，磁场垂直纸面向里。在y>R的区域存在沿－y方向的匀强电场，电场强度为E＝1.0×105V/m。在M点有一正粒子以速率v＝1.0×106m/s沿＋x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，最终又从磁场离开。已知粒子的比荷为eq\f(q,m)＝1.0×107C/kg，粒子重力不计。(1)求圆形磁场区域磁感应强度的大小；(2)求沿＋x方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程。[解析](1)沿＋x方向射入磁场的粒子进入电场后，速度减小到0，粒子一定是从如图的P点射出磁场，逆着电场线运动，所以粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝R＝0.5m根据Bqv＝eq\f(mv2,r)，得r＝eq\f(mv,Bq)，得B＝eq\f(mv,qR)，代入数据得B＝0.2T。(2)粒子返回磁场后，经磁场偏转后从N点射出磁场，MN为直径，粒子在磁场中的路程为二分之一圆周长s1＝πR设在电场中的路程为s2，根据动能定理得Eqeq\f(s2,2)＝eq\f(1,2)mv2，s2＝eq\f(mv2,Eq)总路程s＝πR＋eq\f(mv2,Eq)，代入数据得s＝(0.5π＋1)m[答案](1)0.2T(2)(0.5π＋1)m【题型2残缺圆与类平抛综合】【例2】如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h，0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求：(1)电场强度E的大小；(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。解析(1)设粒子在电场中运动的时间为t，则有x＝v0t＝2h，y＝eq\f(1,2)at2＝h，qE＝ma，联立以上各式可得E＝eq\f(mveq\o\al(2,0),2qh)。(2)粒子到达a点时沿负y方向的分速度为vy＝at＝v0，所以va＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,y))＝eq\r(2)v0，方向指向第Ⅳ象限且与x轴正方向成45°角。(3)粒子在磁场中运动时，有qvaB＝meq\f(veq\o\al(2,a),r)，当粒子从b点射出时，磁场的磁感应强度为最小值，此时有r＝eq\f(\r(2),2)L，所以B＝eq\f(2mv0,qL)。答案(1)eq\f(mveq\o\al(2,0),2qh)(2)eq\r(2)v0指向第Ⅳ象限且与x轴正方向成45°角(3)eq\f(2mv0,qL)【变式2-1】如图所示，在xOy平面直角坐标系的第一象限有射线OA，OA与x轴正方向夹角为30°，OA与y轴所夹区域内有沿y轴负方向的匀强电场，其他区域存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场。有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从y轴上的P点沿着x轴正方向以初速度v0射入电场，运动一段时间后经过Q点垂直于射线OA进入磁场，经磁场偏转，过y轴正半轴上的M点再次垂直进入匀强电场。已知OP＝h，不计粒子重力，求：(1)粒子经过Q点时的速度大小；(2)匀强电场电场强度的大小；(3)粒子从Q点运动到M点所用的时间。解析(1)粒子做类平抛运动到Q点时将速度分解如图，可得vQ＝eq\f(v0,sin30°)＝2v0(2)vy＝vQcos30°＝eq\r(3)v0P到Q，带电粒子做类平抛运动，设OQ＝L，则x轴方向：Lcos30°＝v0ty轴方向：h－Lsin30°＝eq\f(1,2)vytvy＝at，qE＝ma联立解得：t＝eq\f(2\r(3)h,5v0)，L＝eq\f(4h,5)，E＝eq\f(5mveq\o\al(2,0),2qh)(3)由题意得，粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝L＝eq\f(4,5)h粒子从Q运动到M点，圆心角θ＝eq\f(5π,3)则运动时间t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(5T,6)＝eq\f(5,6)×eq\f(2πr,vQ)＝eq\f(2πh,3v0)。答案(1)2v0(2)eq\f(5mveq\o\al(2,0),2qh)(3)eq\f(2πh,3v0)【变式2-2】如图所示，直线PQ的左边为磁感应强度为B的匀强磁场，右边为电场强度为E的匀强电场。一带电荷量为q(q＞0)、质量为m的粒子从MN上的C点沿与MN成60°角的方向，以速度v射入匀强磁场，在磁场中发生偏转后从D点(图中未画出)垂直PQ进入匀强电场，最后到达MN上F点(图中未画出)，不计粒子重力，求：(1)从C点到F点所用的时间；(2)到达F点时的动能。答案(1)eq\f(m,q)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3B)＋\r(\f(3v,BE))))(2)eq\f(1,2)mv2＋eq\f(3Emv,2B)解析(1)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，则qvB＝meq\f(v2,r)r＝eq\f(mv,qB)粒子在磁场中运动的周期为T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,qB)根据轨迹知粒子在磁场中做圆周运动的时间为t1＝eq\f(120°,360°)T＝eq\f(2πm,3qB)粒子从D运动到F做类平抛运动，竖直方向做初速为零的匀加速直线运动，则r＋rsin30°＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,2)a＝eq\f(qE,m)解得t2＝eq\f(m,q)eq\r(\f(3v,BE))故粒子从C点到F点所用的时间为t＝t1＋t2＝eq\f(m,q)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3B)＋\r(\f(3v,BE))))。(2)对粒子在电场中的运动过程，由动能定理有qEreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋sin30°))＝EkF－eq\f(1,2)mv2解得EkF＝eq\f(1,2)mv2＋eq\f(3Emv,2B)。【变式2-3】如图所示，在第一象限内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场Ⅰ，第二象限内存在水平向右的匀强电场，第三、四象限内存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为B0的匀强磁场Ⅱ。一质量为m，电荷量为＋q的粒子，从x轴上M点以某一初速度垂直于x轴进入第四象限，在xOy平面内，以原点O为圆心做半径为R0的圆周运动；随后进入电场运动至y轴上的N点，沿与y轴正方向成45°角离开电场；在磁场Ⅰ中运动一段时间后，再次垂直于x轴进入第四象限。不计粒子重力。求：(1)带电粒子从M点进入第四象限时初速度的大小v0；(2)电场强度的大小E；(3)磁场Ⅰ的磁感应强度的大小B1。答案(1)eq\f(qB0R0,m)(2)eq\f(qBeq\o\al(2,0)R0,2m)(3)eq\f(1,2)B0解析(1)粒子从x轴上M点进入第四象限，在xOy平面内，以原点O为圆心做半径为R0的圆周运动，由洛伦兹力提供向心力qv0B0＝meq\f(veq\o\al(2,0),R0)解得v0＝eq\f(qB0R0,m)。(2)粒子在第二象限内做类平抛运动，沿着x轴方向qE＝ma，veq\o\al(2,x)－0＝2aR0沿与y轴正方向成45°角离开电场，所以vx＝vy＝v0解得电场强度E＝eq\f(qBeq\o\al(2,0)R0,2m)。(3)粒子的运动轨迹如图所示：第二象限，沿着x轴方向R0＝eq\f(vx＋0,2)t沿着y轴方向ON＝v0t所以ON＝2R0由几何关系知，三角形OO′N为等腰直角三角形。带电粒子在磁场Ⅰ中运动的轨道半径R＝eq\r(2)ON＝2eq\r(2)R0由洛伦兹力提供向心力qvB1＝meq\f(v2,R)粒子在N点离开电场时的速度v＝eq\r(2)v0所以磁场Ⅰ的磁感应强度的大小B1＝eq\f(1,2)B0。【题型3连续场中的周期性问题】【例3】(多选)研究表明，蜜蜂是依靠蜂房、采蜜地点和太阳三个点来定位的，蜜蜂飞行时就是根据这三个位置关系呈“8”字形运动来告诉同伴蜜源的方位。某兴趣小组用带电粒子在如图所示的电场和磁场中模拟蜜蜂的“8”字形运动，即在y＞0的空间中和y＜0的空间内同时存在着大小相等，方向相反的匀强电场，上、下电场以x轴为分界线，在y轴左侧和图中竖直虚线MN右侧均无电场，但有方向垂直纸面向里和向外的匀强磁场，MN与y轴的距离为2d。一重力不计的带负电荷的粒子从y轴上的P(0，d)点以沿x轴正方向的初速度v0开始运动，经过一段时间后，粒子又以相同的速度回到P点，则下列说法正确的是()A．电场与磁场的比值为v0B．电场与磁场的比值为2v0C．带电粒子运动一个周期的时间为eq\f(2d,v0)＋eq\f(2πd,v0)D．带电粒子运动一个周期的时间为eq\f(4d,v0)＋eq\f(2πd,v0)解析：选BD粒子在电场中做类平抛运动，有：d＝v0t1，d＝eq\f(1,2)·eq\f(qE,m)·t12，粒子在磁场中做匀速圆周运动，有：R＝eq\f(mv0,qB)。结合几何关系，有：R＝d，联立解得：eq\f(E,B)＝2v0，A错误，B正确；带电粒子在电场中运动的总时间为4t1＝eq\f(4d,v0)，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹是两个半圆，故运动时间为t2＝eq\f(2πd,v0)，带电粒子运动一个周期的时间为t＝4t1＋t2＝eq\f(4d,v0)＋eq\f(2πd,v0)，故C错误，D正确。【变式3-1】如图所示，在x轴上方有一匀强磁场方向垂直纸面向里。在x轴下方有一匀强电场，方向竖直向上。一个质量为m、电荷量为q、重力不计的带正电粒子从y轴上的a点(0，h)处沿y轴正方向以初速度v＝eq\r(2)v0开始运动，一段时间后，粒子速度方向与x轴正方向成45°角进入电场，经过y轴上b点时速度方向恰好与y轴垂直。求：(1)匀强磁场的磁感应强度大小；(2)匀强电场的电场强度大小；(3)粒子从开始运动到第三次经过x轴的时间。解析：(1)粒子运动轨迹如图由图可得rcos45°＝h粒子在磁场中做圆周运动qvB＝meq\f(v2,r)联立可得r＝eq\r(2)h，B＝eq\f(mv0,qh)。(2)粒子在x轴下方运动到b点过程中，易知vb＝vcos45°，水平方向r＋rsin45°＝vcos45°·t2竖直方向yb＝eq\f(1,2)(vsin45°＋0)t2由动能定理得－Eqyb＝eq\f(1,2)mvb2－eq\f(1,2)mv2联立可得t2＝eq\f(\r(2)＋1,v0)h，yb＝eq\f(\r(2)＋1,2)h，E＝eq\f(\r(2)－1mv02,qh)。(3)粒子在磁场中运动总的圆心角θ＝eq\f(5π,4)＋eq\f(3π,2)rad＝eq\f(11π,4)rad粒子在磁场中运动总的运动时间t1＝eq\f(θ·r,v)＝eq\f(11πh,4v0)粒子从开始运动到第三次经过x轴t＝t1＋2t2联立可得t＝eq\f(11π,4)＋2eq\r(2)＋2eq\f(h,v0)。答案：(1)eq\f(mv0,qh)(2)eq\f(\r(2)－1mv02,qh)(3)eq\f(11π,4)＋2eq\r(2)＋2eq\f(h,v0)【变式3-2】如图所示，x轴上方存在电场强度E＝1000V/m、方向沿－y轴方向的匀强电场，x轴与PQ(平行于x轴)之间存在着磁感应强度B＝2T、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一个质量m＝2×10－8kg、带电荷量q＝＋1.0×10－5C的粒子，从y轴上(0，0.04m)的位置分别以不同的初速度v0沿＋x轴方向射入匀强电场，不计粒子的重力。(1)若v0＝200m/s，求粒子第一次进入磁场时速度v的大小和方向；(2)若粒子射入电场后都能经磁场返回，求磁场的最小宽度d；(3)若粒子恰能经过x轴上x＝100m的点，求粒子入射的初速度v0。答案(1)200eq\r(2)m/s方向与x轴成45°角(2)0.2m(3)见解析解析(1)设粒子第一次在电场中的运动时间为t，根据牛顿第二定律得qE＝ma粒子做类平抛运动，在竖直方向y＝eq\f(1,2)at2vy＝at末速度为v2＝veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,y)tanα＝eq\f(vy,v0)解得v＝200eq\r(2)m/s方向与x轴成45°角。(2)初速度为0的粒子最容易穿过磁场，qvyB＝meq\f(veq\o\al(2,y),r)得r＝0.2m要使所有带电粒子都返回电场，磁场的最小宽度d＝0.2m。(3)对于不同初速度的粒子通过磁场的轨迹在x轴上的弦长不变，x1＝2rsinα＝2eq\f(mvsinα,qB)＝2eq\f(mvy,qB)＝0.4m设粒子第n次过x轴经过x＝100m处，满足eq\f(n－1,2)x1＋nv0t＝x其中n＝2k＋1(k＝0，1，2，3，…)，则初速度v0＝eq\f(104×（50.1－0.1n）,2n)m/s，其中n＝2k＋1(k＝0，1，2，3，…)或满足eq\f(n,2)x1＋(n－1)v0t＝x，其中n＝2k(k＝1，2，3，…)，则初速度v0＝eq\f(104×（50－0.1n）,2（n－1）)m/s，其中n＝2k(k＝1，2，3，…)。【变式3-3】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第一、二象限存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，第四象限存在着沿y轴正方向的匀强电场，场强大小未知。一带正电的粒子从y轴上的M点以速度v0沿x轴正方向开始运动，从x轴上的N点进入磁场后恰好经O点再次进入电场，已知MN两点的连线与x轴的夹角为θ，且tanθ＝eq\f(1,2)，带电粒子的质量为m，电荷量为q，不计带电粒子的重力。求：(1)粒子第一次经过N点的速度v；(2)粒子从N点运动到O点的过程中，洛伦兹力的冲量I；(3)电场强度E的大小；(4)粒子连续两次通过x轴上同一点的时间间隔Δt。答案(1)eq\r(2)v0，速度方向与x轴正方向成45°角(2)2mv0，方向沿y轴负方向(3)eq\f(v0B,2)(4)eq\f(（3π＋4）m,qB)解析(1)设带电粒子从M运动到N的过程中，水平位移为x，竖直位移为y，则有tanθ＝eq\f(y,x)x＝v0ty＝eq\f(vy,2)t粒子第一次经过N点的速度v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,y))解得v＝eq\r(2)v0设粒子第一次经过N点的速度与x轴夹角为α，则tanα＝eq\f(vy,v0)解得α＝45°即速度方向与x轴正方向成45°角。(2)粒子从N点运动到O点的过程中，利用动量定理有I＝mΔv＝2mv0，方向沿y轴负方向。(3)由向心力公式和牛顿第二定律得qvB＝eq\f(mv2,R)由几何知识得x＝eq\r(2)Ry＝eq\f(\r(2),2)R由运动学公式得veq\o\al(2,y)＝2ay由牛顿第二定律得qE＝ma解得E＝eq\f(v0B,2)。(4)带电粒子在复合场中的运动轨迹如图所示。由周期公式得T＝eq\f(2πR,v)带电粒子在磁场中的运动时间t1＝eq\f(3,2)T带电粒子在电场中的运动时间t2＝2eq\f(x,v0)所以Δt＝t1＋t2＝eq\f(（3π＋4）m,qB)。【题型4交变场问题】【例4】(多选)某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图甲所示)，规定垂直纸面向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a→b→c→d→e→f的顺序做“∞”形运动(即如图乙所示的轨迹)，下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用，其他力不计)()A．若粒子的初始位置在a处，在t＝eq\f(3,8)T时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度B．若粒子的初始位置在f处，在t＝eq\f(T,2)时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度C．若粒子的初始位置在e处，在t＝eq\f(11,8)T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度D．若粒子的初始位置在b处，在t＝eq\f(T,2)时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度解析：选AD要使粒子的运动轨迹如题图乙所示，由左手定则知粒子做圆周运动的周期应为T0＝eq\f(T,2)，若粒子的初始位置在a处时，对应时刻应为t＝eq\f(3,4)T0＝eq\f(3,8)T，同理判断可得A、D正确，B、C错误。【变式4-1】如图甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上。t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点。Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g。上述d、E0、m、v、g为已知量。(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；(2)求电场变化的周期T；(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值。[解析](1)微粒做直线运动时有：mg＋qE0＝qvB ①微粒做圆周运动时有：mg＝qE0 ②联立①②得q＝eq\f(mg,E0)， ③B＝eq\f(2E0,v)。 ④(2)设微粒从N1点沿直线运动到Q点的时间为t1，做圆周运动的周期为t2，则eq\f(d,2)＝vt1⑤qvB＝meq\f(v2,R) ⑥2πR＝vt2 ⑦联立③④⑤⑥⑦得t1＝eq\f(d,2v)，t2＝eq\f(πv,g) ⑧电场变化的周期T＝t1＋t2＝eq\f(d,2v)＋eq\f(πv,g)。 ⑨(3)若微粒能完成题述的运动过程，要求d≥2R⑩联立③④⑥得R＝eq\f(v2,2g) ⑪设在N1Q段直线运动的最短时间为t1min，由⑤⑩⑪得t1min＝eq\f(v,2g)因t2不变，T的最小值Tmin＝t1min＋t2＝eq\f(2π＋1v,2g)。[答案](1)eq\f(mg,E0)eq\f(2E0,v)(2)eq\f(d,2v)＋eq\f(πv,g)(3)eq\f(2π＋1v,2g)【变式4-2】如图甲所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场(平行于纸面)，在同一水平线上的两位置以相同速率同时喷出质量均为m的油滴a和b，带电荷量为＋q的a水平向右，不带电的b竖直向上。b上升高度为h时，到达最高点，此时a恰好与它相碰，瞬间结合成油滴p。忽略空气阻力，重力加速度为g。求：(1)油滴b竖直上升的时间及两油滴喷出位置的距离；(2)匀强电场的场强大小及油滴a、b结合为p后瞬间的速度；(3)若油滴p形成时恰位于某矩形区域边界，取此时为t＝0时刻，同时在该矩形区域加一个垂直于纸面周期性变化的磁场，磁场变化规律如图乙所示，磁场变化周期为T0(垂直纸面向外为正)，已知p始终在矩形区域内运动，求矩形区域的最小面积。(忽略磁场突变的影响)[解析](1)设油滴喷出时的速度为v0，油滴b做竖直上抛运动，有0＝v02－2gh，解得v0＝eq\r(2gh)，由运动学规律可得0＝v0－gt0，解得t0＝eq\r(\f(2h,g))，对油滴a的水平分运动，有x0＝v0t0，解得x0＝2h。(2)两油滴结合之前，油滴a做类平抛运动，设加速度为a，有qE－mg＝ma，h＝eq\f(1,2)at02，解得a＝g，E＝eq\f(2mg,q)，设结合前瞬间油滴a的速度大小为va，方向向右上且与水平方向成θ角，则v0＝vacosθ，v0tanθ＝at0，解得va＝2eq\r(gh)，θ＝45°，两油滴的结合过程动量守恒，有mva＝2mvp，联立解得vp＝eq\r(gh)，方向向右上且与水平方向成45°角。(3)因qE＝2mg，油滴p在磁场中做匀速圆周运动，设半径为r，周期为T，则qvpB＝2meq\f(vp2,r)，B＝eq\f(8πm,qT0)，解得r＝eq\f(T0\r(gh),4π)，由T＝eq\f(2πr,vp)可得T＝eq\f(T0,2)，即油滴p在磁场中的运动轨迹是两个外切圆组成的“8”字形，轨迹如图所示，最小矩形的两条边长分别为2r、4r，则矩形区域的最小面积为Smin＝2r×4r＝eq\f(ghT02,2π2)。[答案](1)eq\r(\f(2h,g))2h(2)eq\f(2mg,q)eq\r(gh)，方向向右上且与水平方向成45°角(3)eq\f(ghT02,2π2)【变式4-3】如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B的变化周期为4t0，E的变化周期为2t0，变化规律分别如图乙和图丙所示。在t＝0时刻从O点发射一带负电的粒子(不计重力)，初速度大小为v0，方向沿y轴正方向，在x轴上有一点A(图中未标出)，坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48v0t0,π)，0))。若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足：eq\f(E0,B0)＝eq\f(v0,π)；粒子的比荷满足：eq\f(q,m)＝eq\f(π,B0t0)。求：(1)在t＝eq\f(t0,2)时，粒子的位置坐标；(2)粒子偏离x轴的最大距离；(3)粒子运动至A点的时间。[解析](1)在0～t0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qB0v0＝meq\f(4π2,T2)r1＝meq\f(v02,r1)解得T＝2t0，r1＝eq\f(mv0,qB0)＝eq\f(v0t0,π)则粒子在eq\f(t0,2)时间内转过的圆心角α＝eq\f(π,2)所以在t＝eq\f(t0,2)时，粒子的位置坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v0t0,π)，\f(v0t0,π)))。(2)粒子的运动轨迹如图所示在t0～2t0时间内，设粒子经电场加速后的速度为v，则v＝v0＋eq\f(E0q,m)t0＝2v0运动的位移x＝eq\f(v0＋v,2)t0＝1.5v0t0在2t0～3t0时间内粒子做匀速圆周运动，半径r2＝2r1＝eq\f(2v0t0,π)故粒子偏离x轴的最大距离h＝x＋r2＝1.5v0t0＋eq\f(2v0t0,π)。(3)粒子在xOy平面内做周期性运动的运动周期为4t0，故粒子在一个周期内向右运动的距离d＝2r1＋2r2＝eq\f(6v0t0,π)AO间的距离为eq\f(48v0t0,π)＝8d所以，粒子运动至A点的时间t＝32t0。[答案](1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v0t0,π)，\f(v0t0,π)))(2)1.5v0t0＋eq\f(2v0t0,π)(3)32t0【题型5综合问题】【例5】如图，第一象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E；第二、三、四象限存在方向垂直xOy平面向外的匀强磁场，其中第二象限的磁感应强度大小为B，第三、四象限磁感应强度大小相等。一带正电的粒子，从x轴负方向上的P点沿与x轴正方向成α＝60°角平行xOy平面入射，经过第二象限后恰好由y轴上的Q点(0，d)垂直y轴进入第一象限，然后又从x轴上的N点进入第四象限，之后经第四、三象限重新回到P点，回到P点的速度方向与入射时相同。不计粒子重力。求：(1)粒子从P点入射时的速度v0；(2)粒子进入第四象限时在x轴上的N点到坐标原点O距离；(3)粒子在第三、四象限内做圆周运动的半径(用已知量d表示结果)。答案(1)eq\f(E,3B)(2)eq\f(2\r(3),3)d(3)eq\f(5,3)d解析(1)粒子在第二象限做圆周运动的半径为r1，圆心为O1，有qv0B＝meq\f(veq\o\al(2,0),r1)r1－r1sin30°＝d由上两式解得B＝eq\f(mv0,2dq)粒子在第四、三象限中做圆周运动，由几何关系可知β＝α＝60°设粒子在x轴上N点的速度为v，有v＝eq\f(v0,cosβ)＝2v0又qEd＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得E＝eq\f(3mveq\o\al(2,0),2dq)所以v0＝eq\f(E,3B)(2)设P点的纵坐标为(－xP，0)，由几何关系得xP＝eq\r(3)d设粒子在电场中运动的时间为t，N点横坐标为xN，则有d＝eq\f(v0tanβ,2)txN＝v0t解得xN＝eq\f(2\r(3),3)d(3)粒子在第四、三象限中运动半径为r2，圆心为O2，则2r2cos30°＝eq\r(3)d＋eq\f(2\r(3),3)d解得r2＝eq\f(5,3)d【变式5-1】如图所示，在真空中xOy平面内，有四个边界垂直于x轴的条状区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，区域Ⅰ、Ⅲ宽度均为d，内有沿y轴负方向的匀强电场，大小均为E；区域Ⅱ、Ⅳ宽度均为2d，内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场B1和B2。M是区域Ⅲ右边界与x轴交点。质量为m，电荷量为＋q的粒子甲以速度v0从O点沿x轴正方向射入电场E，经过一段时间后，沿x轴正方向与自由静止在M点的粒子乙粘合在一起，成为粒子丙进入区域Ⅳ，之后直接从右边界上Q点(图中未标出)离开区域Ⅳ。粒子乙不带电，质量为2m，粘合前后无电荷损失，粘合时间很短，E＝eq\f(\r(3)mv02,qd)，粒子重力不计。(1)求粒子甲离开区域Ⅰ时速度v1大小和与x轴正方向夹角θ；(2)求匀强磁场B1的磁感应强度大小；(3)若匀强磁场B2磁感应强度大小不同，则粒子丙在磁场B2中运动时间不同。求粒子甲从O点到M点运动时间与粒子丙从M点到Q点运动时间之和的最大值。[解析](1)设粒子甲在电场中的加速度为a1，运动时间为t1，离开区域Ⅰ时速度大小为v1，与x轴正方向夹角为θ，v1沿y轴负方向的大小为vy，则qE＝ma1，d＝v0t1，vy＝a1t1，vy＝v0tanθ，v1＝eq\f(v0,cosθ)解得v1＝2v0，θ＝60°。(2)粒子甲运动到M点时速度沿x轴正方向，由运动的对称性，粒子甲在匀强磁场B1中做匀速圆周运动轨迹关于区域Ⅱ垂直于x轴的中线对称，设轨道半径为r1，则d＝r1sinθ，qv1B1＝eq\f(mv12,r1)解得B1＝eq\f(\r(3)mv0,qd)。(3)设粒子甲在磁场B1中做匀速圆周运动的周期为T1，运动时间为t2，则t2＝eq\f(2θ,2π)T1，T1＝eq\f(2πm,qB1)解得t2＝eq\f(2\r(3)πd,9v0)设粒子甲在从O点到M点运动时间为t3，则t3＝2t1＋t2解得t3＝eq\f(2d,v0)＋eq\f(2\r(3)πd,9v0)设粒子甲在M点与粒子乙粘合前速度大小为v2，粒子丙在M点速度大小为v3，则v2＝v0mv2＝3mv3粒子丙在磁场B2中以速度v3做匀速圆周运动，且从右边界上Q点离开，则当匀速圆周运动的半径r2＝2d时，粒子丙在磁场B2中运动时间最长，设为t4，则t4＝eq\f(2πr2,4v3)＝eq\f(3πd,v0)设粒子甲在从O点到M点运动时间与粒子丙从M点到Q点运动时间之和的最大值为tm，则Tm＝t3＋t4解得tm＝eq\f(2d,v0)＋eq\f(2\r(3)πd,9v0)＋eq\f(3πd,v0)＝(18＋2eq\r(3)π＋27π)eq\f(d,9v0)。[答案](1)2v060°(2)eq\f(\r(3)mv0,qd)(3)(18＋2eq\r(3)π＋27π)eq\f(d,9v0)【变式5-2】如图所示，在xOy坐标系内存在一个以(A,0)为圆心、半径为a的圆形磁场区域，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。另在y轴右侧有一方向向左的匀强电场，电场强度大小为E，分布于y≥a的范围内。O点为质子源，其射出质子的速度大小相等、方向各异，但质子的运动轨迹均在纸面内。已知质子在磁场中的偏转半径也为a，设质子的质量为m、电荷量为e，重力及阻力忽略不计。求：(1)射出速度沿x轴正方向的质子，到达y轴所用的时间；(2)射出速度与x轴正方向成30°角(如图中所示)的质子，到达y轴时的位置与O点的距离；(3)质子到达y轴的位置坐标的范围。解析：(1)质子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得：evB＝meq\f(v2,a)即：v＝eq\f(Bea,m)射出速度沿x轴正方向的质子，经eq\f(1,4)圆弧后以速度v垂直于电场方向进入电场，在磁场中运动的时间为：t1＝eq\f(T,4)＝eq\f(πa,2v)＝eq\f(πm,2eB)质子进入电场后做类平抛运动，沿电场方向运动a后到达y轴，由匀变速直线运动规律有：a＝eq\f(eEt22,2m)即：t2＝eq\r(\f(2ma,eE))故所求时间为：t＝t1＋t2＝eq\f(πm,2eB)＋eq\r(\f(2ma,eE))。(2)质子转过120°角后离开磁场，再沿直线到达图中P点，最后垂直电场方向进入电场，做类平抛运动，并到达y轴，运动轨迹如图中所示。由几何关系可得P点距y轴的距离为：x1＝a＋asin30°＝1.5a设在电场中运动的时间为t3，由匀变速直线运动规律有：x1＝eq\f(eEt32,2m)即t3＝eq\r(\f(3ma,eE))质子在y轴方向做匀速直线运动，到达y轴时有：y1＝vt3＝Baeq\r(\f(3ea,mE))所以质子在y轴上的位置为：y＝a＋y1＝a＋Baeq\r(\f(3ea,mE))。(3)若质子在y轴上运动最远，应是质子在磁场中沿右边界向上直行，垂直进入电场中做类平抛运动，此时x′＝2a质子在电场中在y方向运动的距离为：y2＝2Baeq\r(\f(ea,mE))质子离坐标原点的距离为：ym＝a＋y2＝a＋2Baeq\r(\f(ea,mE))由几何关系可证得，此题中凡进入磁场中的粒子，从磁场穿出时速度方向均与y轴平行，且只有进入电场中的粒子才能打到y轴上，因此质子到达y轴的位置坐标的范围应是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a＋2Ba\r(\f(ea,mE))))。答案：(1)eq\f(πm,2eB)＋eq\r(\f(2ma,eE))(2)a＋Baeq\r(\f(3ea,mE))(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a＋2Ba\r(\f(ea,mE))))【变式5-3】如图，空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场。在x≥0区域，磁感应强度的大小为B0；x＜0区域，磁感应强度的大小为λB0(常数λ＞1)。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求(不计重力)(1)粒子运动的时间；(2)粒子与O点间的距离。答案(1)eq\f(πm,qB0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,λ)))(2)eq\f(2mv0,qB0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,λ)))解析(1)在匀强磁场中，带电粒子做圆周运动。设在x≥0区域，轨道半径为R1；在x＜0区域，轨道半径为R2。由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得qv0B0＝meq\f(veq\o\al(2,0),R1)①qv0λB0＝meq\f(veq\o\al(2,0),R2)②粒子速度方向转过180°时，所需时间t1为t1＝eq\f(πR1,v0)③粒子再转过180°时，所需时间t2为t2＝eq\f(πR2,v0)④联立①②③④式得，所求时间为t0＝t1＋t2＝eq\f(πm,qB0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,λ)))⑤(2)由几何关系及①②式得，所求距离为d0＝2(R1－R2)＝eq\f(2mv0,qB0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,λ)))⑥【题型6联系实际】【例6】(多选)质谱仪是用来分析同位素的装置，如图为质谱仪的示意图，其由竖直放置的速度选择器、偏转磁场构成。由三种不同粒子组成的粒子束以某速度沿竖直向下的方向射入速度选择器，该粒子束沿直线穿过底板上的小孔O进入偏转磁场，最终三种粒子分别打在底板MN上的P1、P2、P3三点，已知底板MN上下两侧的匀强磁场方向均垂直纸面向外，且磁感应强