2024-2025学年广东省高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省高三（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知M=则MCN=（）

/TC、/TC、/TC77"、TTTT、

A.{-%,。}B.{-不0}C.{-%,。,§}D.{-用一%,0}

2.某公司购入了400根钢管拟切割打磨为其他产品，统计钢管口径后得以下频数分布表：

钢管口径（cm）11.012.514.016.518.520.521.022.0

频数26741004046523824

则这批钢管口径的中位数为（）

A.14.00cmB.15.25cmC.16.25cmD.16.50cm

3.已知直线k-m2x+y-l=0,直线以（2m-3）x+y-3=0,则租=-3是11〃，2的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4.已知向量。=（2,1）%=（zn-2师）,若五〃刃,则而+刷=（）

A.5B.3C.A/5D."

5.在平面直角坐标系中，将圆C：久2+y=1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短为原来的

则得到的新曲线的曲线方程为（）

A.77+4y2=1B.9/+吟=1C.4%2+4=1D.苧+9y2=1

6.在△&BC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且2b（s讥24—sinBcosC）=csin2B,若点。在BC边

上，且力。平分ABAC,贝U4D=（）

A.审B.缶C,吃D.已

7bcb+cb+cb2+c2

7.在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是且三人通关与否相互独立，则在甲，乙，丙中恰

有两人通关的条件下，甲通关的概率为（）

A.B./C.D.看

8.当时，方程+%+仇%在［1,+8）上根的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

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9.若z在复平面内对应的点为4,z+2z=3+4，，贝|()

A.z的实部为1B.z的虚部为-8

C.|z|=4D,直线。4的倾斜角为警

10.已知。为坐标原点，点F(1,O)是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交C于M,N两点,P为

C上的动点(与M,N均不重合)，且点P位于第一象限，过点P向y轴作垂线，垂足记为点Q,点4(2,5),贝U

()

A.C：y2=4xB,乙OPQ+乙FON<180°

C.\PA\+|PQ|的最小值为佟D.△OMN面积的最小值为2

11.已知函数/(x)的定义域为R,贝ij()

A.若f(2)则f。)是R上的单调递增函数

B.若/(/)=—/(—/),则/(x)是奇函数

C.若f(l一久)=/(1+%),且f(2-久)=/(2+%),则/。+2)=/(%)

D.若|/(比)|=1/(—吗|,则外乃是奇函数或/(x)是偶函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若2m+5n=p贝!]1og2(4机x32")=.

13.函数f(x)=cos((i)x+0)(3>0^<(p<^),若/(%)的一个单调递增区间为I-轴,且/(0)=-1»则

/(I)=.

14.已知圆台的上、下底半径分别为r和R,若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是

若R=2r=2,圆台的高为伍且14无《戏，则圆台外接球表面积的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在△4BC中，已知内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c依次为等比数列｛an｝的前3项，设其

公比为q,且a>l,q>l.

(1)若a=2,qe｛|,2],求｛an｝的前n项和又；

(2)证明：当§="时，长度为Ega,Igb,国c的三条线段可以构成三角形.

16.(本小题15分)

已知函数/'(久)=^x3+^x2+2x+bsinx^a.bGR).

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(1)当b=0时，若/(%)存在极大值，且存在极小值，求a的取值范围;

(2)证明：当a=2b=2时，V久eR,f'(x)>0.

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P—ABC。中，PA1平面48CD,AB//CD,CD=2AB=2也，PA=BC=AD=1.

(1)求证：平面PBC1平面PAD；

(2)若前=3而，求平面PAE与平面PBC的夹角.

18.(本小题17分)

已知双曲线「g-g=l(a>O,b>0)的离心率为乎，焦距为2©

(1)求「的标准方程；

(2)若过点(0,-b)作直线/分别交厂的左、右两支于4B两点，交厂的渐近线于C,D两点，求器的取值范

围.

19.(本小题17分)

将4个面上分别写有数字1,2,3,4的一个正四面体在桌面上连续独立地抛几次("为正整数)，设X为与桌

面接触的数字为偶数的次数，P为抛正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率.

(1)当n=5时，若正四面体的质地是均匀的，求X的数学期望和方差；

(2)若正四面体有瑕疵，即p吟

①设Pn是抛掷正四面体几次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：Pn=P+(1-2p)Pn-L

(n>2)；

②求抛掷正四面体几次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率.

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参考答案

1.A

2.B

3.4

4.C

5.D

6.C

7.0

8.B

9.AB

10.ABD

n.Bc

12.1

13.-岑

14.(0j/?2-r2)207r

15.解：(1)因为q>l,所以0VQ《b<c,

由题意可知，Q+b>c,

所以a+aq>aq2,

所以q2_q_i<0,Q>1,

解得，〈匕亚，

因为”{|,2},

所以q=|,

所以％=牛券=2a[(|r-l],

n

当a=2时，Sn=4x[(|)-l]:

(2)因为a>1,q>l,

所以0<lga<lgb&lgc,

因为]="，

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所以(Zga+lgb)-lgc=lg?=lg翳=1啬=lg">0,

所以仞a+Igb>Ige,

所以长度为Zga,仞b,[gc的三条线段可以构成三角形.

16.解：⑴当b=0时，/(%)=1x3+fx2+2%,定义域为R,

所以/'(%)=x2+ax+2,

因为/(%)存在极大值，且存在极小值，

所以/'(%)必须有两个不同的零点,

所以4=a2-4x2>0,

所以a>2业或a<-2”，

即a的取值范围是(一8,-2")U(2也,+co).

(2)证明：当a=2b=2时，/(%)=^x3+x2+2%+sinx,定义域为R,

所以/'(%)=x2+2%+2+cosx=(%+I)2+(1+cos%),

当久ER时，(％+l)2>0,1+cosx>0,

所以f'Q)>0,

当且仅当｛：；/2+兀(462)时,取等号,

因为｛7=2/OT+TT(/C£Z)无解，

所以(。)>0.

17.解：(1)证明：如图，取CD的中点为G,连结4G,

因为CD=248=2也，所以AB=CG,因为

所以四边形4BCG为平行四边形，

所以4G〃BC,

在三角形4G。中，因为4G=BC=1,AD=1,GD=芋=”,

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所以心+4。2=DG2,所以AG1AD,

所以8c1AD,因为P21平面2BCD,BCu平面48CD,

所以PA1BC,因为PAC4D=A,PAu平面R4D,ADu平面PAD,

所以BC1平面PAD,因为BCu平面PBC,

所以平面PBC_L平面PAD.

(2)由AG1AD,PA1平面ABC。，得力G,AD,4P两两垂直，

分别以4G,AD,AP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则G(1,O,O),£)(0,1,0),P(0,0,l),

C(2,-1,0),B(l,-l,0),

因为正=3方,CD=2或，所以DE=#，又DG=避，所以E为DG的中点,

因为力。=4G,所以GO1AE,又241平面ABC。，GDu平面力BCD,

所以PA1GD,因为P4CiAE=A,PA,AEu平面P4E,

所以GD_L平面PAE,

所以平面P4E的法向量为而=(-1,1,0),

又而=(2,-l,-l),PB=(1-1-1),

设平面PBC的一个法向量为元=(x,y,z),

所以b•方=久-y-z=0，取"=(0，LT)，

所以平面PAE与平面PBC夹角的余弦值为：

]1

|cos<n,

A/2x722f

所以平面/ME与平面PBC的夹角为宗

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18.解:⑴因为A,=l(a>0/>0)的离心率为承焦距为2避,

所以G一三‘后

12c=2信

解得Q=也，C—避，所以b=y/c2—a2=1,

所以r的标准方程为$y2=1.

比

(2)由题意可设直线/的斜率存在，设直线I的方程为y=依-1,双曲线「的渐近线方程为y=±也，

不妨设C,D分别在左、右位置，

f_X

联立,y=滔,得几二人，

{y=kx—1,«〃一1

联立〔(尸y=-3^-f得吁看F5，

所以|CD|=yjl+k2\Xc-XD\=Ji+MXI屋广式力=2厘#,

(虫-2=1

联立27V'得(1一2卜2)久2+4依-4=0,

\y=kx—1,

设4(x〔yD，B(X2，V2)，

则久i+x2=-昌/冷=

fl-2fc2W0,

由,4=16k2-4x(l-2fc2)X(-4)=16(l-fc2)>0,

Xi%2=--L<0,

1z1-2/c2

m2<1.

22

所以|28|=+k\X1-x2\=yjl+kxy(%i+%2)2-4%62

,

_7X|1_2/C2|-|l-2/C2|

2

所以”=产1-科=J2(l-/c),

”"CD\xc-xD\N')'

又0/2.力2(1—e(1,72],

所以普的取值范围为(1,避].

19.解：(1)因为正四面体的质地是均匀的，p为抛掷正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率,

所以P=^=p