2025年高考数学一轮复习：圆锥曲线的综合问题（定值 最值 范围 ）-专项训练【含解析】

2025年高考数学一轮复习-圆锥曲线的综合问题（定值最值范围）-专项训练（原卷版）

【练基础】

一、单选题

1.（2024广东广州.统考一模）已知抛物线C的顶点为坐标原点。，焦点尸任x铀上，过点（2,0）的且线交C于P,Q

两点，且。尸，OQ,线段PQ的中点为V,则直线板的斜率的取大值为（）

A.迈B.4C.立D.1

2.（2024.河南郑州.统考一模）过抛物线/=4x的焦点b作直线交抛物线于A。,％）、3（%,%）两点，若不+巧=4,

则的值为（）

A.4B.6C.8D.10

3.（2024.全国•高三专题练习）已知％B分别为椭圆二+上=1的左、右焦点，P为椭圆上一动点，B关于直线所;

一42

的对称点为片关于直线P&的对称点为N,当最大时，则△耳尸耳的面积为（）

A.73B.76C.巫D.独

33

4.（2024・江西上饶.统考一模）双曲线C：/一,2=4的左，右焦点分别为6，F2,过F2作垂直于无轴的直线交双

曲线于A,8两点，贝U4AB的内切圆半径等于（）

A.JB.走C.72D.2

22

22

5.（2024・全国•模拟预测）已知双曲线C：十-3=1（°>0,6>。）的离心率为百，耳，尸2分别是C的左、右焦点,

经过点「2且垂直于C的一条渐近线的直线/与C交于A,B两点，若耳的面积为64,则C的实轴长为（）

A.6B.8C.12D.16

6.（2024.陕西安康.统考二模）设抛物线C炉=2py（p>0）的焦点是R直线/与抛物线C相交于A,3两点，且

3兀

ZAFB=过弦的中点尸作>的垂线，垂足为Q,则的最小值为（

T

2+0

A.2+72B.3D.2-42

4

22

7.（2024.辽宁阜新•校考模拟预测）若椭圆上+乙=1的左右焦点为片、F2,过月和点（0,1）的直线交椭圆于M、N

32

两点，若尸（0,m）满足PATPNwg优+g,则"Z的取值范围为（）

A.[-2,3]B.[0,4]C.（0,3）D.[-2,4]

8.（2024•内蒙古・校联考模拟预测）己知抛物线C:y2=8x的焦点为尸，过点尸作两条互相垂直的直线乙4,且直线

分别与抛物线C交于48和。E,则|钻|+4]。入的最小值是（）

A.64B.72C.144D.128

二、多选题

9.（2024.安徽.统考一模）已知。为坐标原点，点4（24,0）,8（2。,2/）6#0）,线段AB的中点M在抛物线

C:x2=2py（p>0）上，连接OB并延长，与C交于点N,则（）

A.C的准线方程为>B.点B为线段ON的中点

C.直线AN与C相切D.C在点”处的切线与直线0V平行

22

10.（2024・全国.模拟预测）已知椭圆C：—+4=1,6e（o,2）,点P为椭圆C外一点，过点P作椭圆C的两条不

4b~

同的切线上4,PB,切点分别为A,8.已知当点尸在圆Y+y2=7上运动时，恒有.则（）

A.b=l

B.若矩形OEFG的四条边均与椭圆C相切，则矩形DEFG的面积的最小值为14

22

C.若点尸的运动轨迹为土+乙=1,则原点。到直线A2的距离恒为1

169

D.若直线R4,尸3的斜率存在且其斜率之积为且，则点尸在椭圆《+!=1上运动

286

尤2V21

11.（2024•全国•模拟预测）已知椭圆C:=+3=l（a>6>0）的禺心率为:，椭圆上一点尸与焦点片,且所形

a"z

成的三角形面积最大值为石，下列说法正确的是（）

22

A.椭圆方程为c：±+匕=1

43

B.直线八3元+4y-7=0与椭圆C无公共点

C.若A,B为椭圆C上的动点，且Q4LOB,过。作8为垂足，则点”所在轨迹为圆，且圆的半径,

满足,=]

D.若过点。（3,2）作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,则矶=-代

12.（2024.安徽淮北.统考一模）已知曲线「：y2=16x,直线/过点尸（4,0）交「于A,8两点，下列命题正确的有（）

A.若A点横坐标为8,则|AB|=24

B.若尸（2,3）,则的最小值为6

C.原点。在AB上的投影的轨迹与直线工+也丁-6=0有且只有一个公共点

D.若AF=2FB，则以线段AB为直径的圆的面积是81兀

三、填空题

13.（2024・福建福州.统考二模）己知椭圆C：匕+二=1,直线/与C在第二象限交于A,8两点（A在B的左下方），

126

与x轴，y轴分别交于点N,且|MA|：|AB|：|BN|=1：2：3,贝心的方程为.

14.（2024.贵州贵阳.统考一模）抛物线氏/二八，圆M:/+丁-4x-2y+4=0,直线/过圆心M且与抛物线E

交于A,2与圆M交于C,D若|AC|=|BD|,则=.

II

15.（2024.内蒙古赤峰.统考模拟预测）抛物线C:y2=2x的焦点为R过C上一点P作C的准线/的垂线，垂足为4

若直线AF的斜率为-3,则△上铲的面积为.

16.（2024・陕西・西安市西光中学校联考一模）点A,B是抛物线C：/=2px（p>。）上的两点，P是抛物线C的焦

点，若NAFB=120。，48中点。到抛物线C的准线的距离为d,则网的最小值为.

d

四、解答题

17.（2024・广东广州•统考一模）已知椭圆C:[+《=l（a>6>0）的离心率为正，以C的短轴为直径的圆与直线

ab2

y=依+6相切.

⑴求C的方程；

⑵直线/：y=G（x-l）（左20）与c相交于A,B两点，过C上的点尸作x轴的平行线交线段A3于点。，直线。尸的

斜率为《（。为坐标原点），AAPQ的面积为K.VBPQ的面积为邑,若[A为•邑=|8尸卜耳,判断为M是否为定值?

并说明理由.

22

18.（2024•山东泰安・统考一模）已知椭圆C：*•+方=1（a>6>0）的左，右焦点分别为片（-1,0）,耳（1,。），离心

率为e,A3是椭圆C上不同的两点，且点A在x轴上方，耳4=483（%>。），直线后4,耳B交于点尸.已知当与

轴时，归&=e.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求证：点尸在以6，F?为焦点的定椭圆上.

【提能力】

一、单选题

19.（2024・全国•高三专题练习）已知抛物线耳：/=4尤的焦点为尸，过尸且斜率大于零的直线/与用相交于A,B两

点，若直线/与抛物线物：》z=-4x相切,则|明=（）

A.4B.6C.8D.10

20.（2024•全国•模拟预测）已知抛物线C：丁=4无，。为坐标原点，A,B是抛物线C上两点，记直线的

斜率分别为&，勾，且左&=-：，直线AB与x轴的交点为P,直线OB与抛物线C的准线分别交于点M,N,

则APAW的面积的最小值为（）

A夜RV2R9A/2n972

8442

22

21.（2024•广西梧州・统考一模）已知双曲线=的左、右焦点分别为耳，工，尸为双曲线C右支上

的动点，过尸作两渐近线的垂线，垂足分别为A,B.若圆（x-2『+y2=l与双曲线C的渐近线相切，则下列结论

正确的有（）个.

①。=4；

②心卜忸同为定值;

③双曲线C的离心率e=2叵；

3

④当点尸异于顶点时，△P4耳的内切圆的圆心总在直线彳=2力上.

A.1B.2C.3D.4

2

22.（2024.江西景德镇•统考模拟预测）已知双曲线C：V一（=1的左、右顶点为「、。，点。在双曲线上且位于

第一象限，若|「必="8|且NDQP=2ZDP。，则〃=（）

A.6B.侦C.四D.独

323

22

23.（2022・全国・高三专题练习）已知0为坐标原点,焦点在了轴上的曲线0土+邑=1的离心率0满足6/-5«+1<0,

3m2

A,B是x轴与曲线C的交点,P是曲线C上异于48的一点，延长尸。交曲线C于另一点。，则tanNQBPtanNOBQ

的取值范围是（）

-38]「35]「15]「1/

l_49j\_22j149j|_4J

24.（2022.广东广州.统考一模）双曲线C:/—V=4的左，右焦点分别为用耳，过F?作垂直于x轴的直线交双曲

线于A,3两点，A百6/3耳鸟，&呼43的内切圆圆心分别为贝U。。2。3的面积是（）

A.6A/2-8B.6A/2-4C.8-4A/2D.6-4后

22

25.（2024春・甘肃张掖•高三高台县第一中学统考期末）椭圆C:上+匕=1的左、右顶点分别为4,4，点尸在C上,

43

且直线尸&斜率取值范围是-i,-1,那么直线2A斜率取值范围是（）

'131「33一

A.—B.—

l_24j|_42J

「3-

C.[1,2]D.-,2

26.（2022•青海西宁・涅川中学校考一模）已知抛物线。》2=2/（。>0）的焦点为孔过点尸的直线/与抛物线C在

（1A2Q（AFI

第一、四象限分别交于点A,B,与圆卜-+'2=前_2）29相切，则扁的值等于（）

213

B.C.D.

I34

、多选题

27.（2024.山东临沂.统考一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对

称轴的方向射出.反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C：V=2冗，

。为坐标原点，一束平行于X轴的光线《从点尸（加,2）射入，经过C上的点4（%,M）反射后，再经过C上另一点

*尤2，力）反射后，沿直线4射出，经过点Q,则（）

A.工科2=；

B.延长AO交直线x=-g于点。，则。，B,。三点共线

C.\AB\=—

'14

9

D.若尸3平分NAB。，则爪==

28.（2024・浙江•模拟预测）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为R准线与x轴的交点为M,过点厂的直线/与

抛物线C相交于A,B两点（点A在第一象限），过A,B点作准线的垂线，垂足分别为A，片.设直线/的倾斜角为

0,当时，|AB|=16.则下列说法正确的是（）

6

A.有可能为直角

B.IMFII441=1RII*I

C.。为抛物线C上一个动点，E（3,D为定点，IIQEITQBI的最小值为近

D.过/点作倾斜角的角平分线“交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在6,使"钙+"有=1

IAFI|PF\

22

29.（2024.全国.开滦第二中学校考模拟预测）设耳，B分别为椭圆^a=1的左、右焦点，尸为椭圆上第一象限

内任意一点，kPFi,后由表示直线P%,的斜率，则下列说法正确的是（）

A.存在点P,使得归£|=7成立B.存在点P,使得/耳尸玛=90。成立

C.存在点P,使得左%=7左咫成立D.存在点P,使得尸耳/月=7成立

2222

30.（2024・山东济宁・统考一模）已知F[,尸2是椭圆G:—r+'rf>4>。）与双曲线G:一五—■==1（。2>。也〉。）

的公共焦点，e-e?分别是C1与G的离心率，且尸是C1与G的一个公共点，满足尸耳•尸玛=0,则下列结论中正确

的是（）

A.a：+b]2=一b；

D.1叵+'的最大值为2A

C.--+的最大值为2^2

e\,2e\4

三、填空题

31.（2024.陕西咸阳.陕西咸阳中学校考模拟预测）已知抛物线C:y2=2p%5>0）,过焦点的直线/与抛物线。交于

A3两点，P（-1,-1）在抛物线。的准线上，且满足如,依，则直线/的方程为.

22

32.（2024秋糊南湘潭•高三校联考期末）已知双曲线C:土-匕=1的右焦点为尸，直线/：元=啊+2（租>0）与双曲线。

22

相交于A3两点，点2（6,0）,以尸尸为直径的圆与/相交于尸,M两点，若“为线段A3的中点，则M9卜.

33.（2024.湖北武汉・统考模拟预测）设厂为双曲线-♦=1（。>0,6>0）的右焦点，A,8分别为双曲线E的左

右顶点，点尸为双曲线E上异于A,2的动点，直线/：x=r使得过/作直线AP的垂线交直线/于点Q时总有2,

P,。三点共线，则上的最大值为.

a

34.（2024・全国•模拟预测）已知椭圆C:工+《=1,斜率为-3的直线/分别交x轴负半轴、y轴负半轴于A、B两

432

点，交C于T、P两点，点T在x轴上方，过点B作x轴的平行线交C于Z、J两点，则AZ77面积的最大值为.

四、解答题

35.（2024・陕西咸阳・陕西咸阳中学校考模拟预测）已知椭圆（？:/+；■=1（〃>6>0）的离心率为当，过椭圆的焦

点且与长轴垂直的弦长为1.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵过椭圆C的右焦点尸作直线/交椭圆C于A3两点，交直线x=2月于点若M4=4AEMB=43/，求证:

4+4为定值.

36.(2024春•湖北武汉•高三华中师大一附中校考阶段练习)已知双曲线E,y-/=l与直线I：丫=区-3相交于A、

8两点，M为线段A8的中点.

⑴当上变化时，求点M的轨迹方程；

(2)若/与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、。两点，问：是否存在实数左，使得A、2是线段C。的两个三等分

点？若存在，求出左的值；若不存在，说明理由.

37.(2024•全国•高三专题练习)如图，已知尸。,0),直线/：x=-l,尸为平面上的动点，过点尸作/的垂线，垂足

为点。，§LQPQF=FPFQ.

⑴求动点尸的轨迹C的方程;

(2)过点尸的直线与轨迹C交于A,8两点，与直线/交于点设=MB=A2BF,证明4+4定值，并

求同4|的取值范围.

(2024・全国•高三专题练习)已知椭圆C：5+/=l(a>b>0)经过点A,且椭圆的长轴长为4.

38.

(1)求椭圆C的方程;

⑵设经过点B(-l,0)的直线/与椭圆C相交于。、E两点，点E关于x轴的对称点为F,直线。尸与x轴相交于点G,

求4DEG的面积S的取值范围.

2025年高考数学一轮复习-圆锥曲线的综合问题（定值最值范围）-专项训练（原卷版）

【练基础】

一、单选题

1.（2024・广东广州・统考一模）已知抛物线C的顶点为坐标原点。，焦点厂任x铀上，过

点（2,0）的且线交C于P,Q两点，且OPLOQ,线段尸2的中点为加，则直线M尸的斜率的

取大值为（）

A.渔B.；C.立D.1

622

【答案】A

【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线尸。的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及

点M的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.

【详解】依题意，抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，设C的方程为：y2=2px,p>0,

显然直线PQ不垂直于y轴，设直线的方程为：x=如+2,点尸（或,％）,。（反,巴）,

由Q2；消去尤得：y2-2pty-4p2=0,则有=

U=2px

由OPLOQ得：。尸.OQ=2.二+%%=4-40=0,解得p=l,

2P2p

于是抛物线C：/=2x的焦点F（1,0）,弦PQ的中点M的纵坐标为等=r,则点M（r+2,t）,

k=」=工—力

显然直线M召的斜率最大，必有/>0,则直线板的斜率，2工3-I—36，

‘+22?+726：

当且仅当27=3,即/=逅时取等号，

t2

所以直线MR的斜率的取大值为好.

6

故选：A

2.（2024.河南郑州.统考一模）过抛物线y?=4x的焦点P作直线交抛物线于4（占,%）、

3（/，%）两点，若不+巧=4,则|明的值为（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】利用抛物线的定义结合已知计算即可.

【详解】抛物线产=4x的焦点为“1,0）,准线方程为x=-l

由抛物线的定义可得，|AB|=|AF|+|BF|=玉+々+2=6

故选:B

3.（2024.全国•高三专题练习）已知耳，B分别为椭圆。+[=1的左、右焦点，P为椭圆

上一动点，工关于直线PE的对称点为耳关于直线尸此的对称点为M当|M?V|最大时,

则△用的面积为（）

A.若B.76C.捶D.28

33

【答案】D

【分析】确定耳卜形,0）,/S（V2,O）,\PM\+\PN\=A,当M,N,尸三点共线时|AW|的值

Q

最大，计算4P4=60。，根据余弦定理得到|尸耳||尸用=,计算面积即可.

【详解】由椭圆的方程可得片「0,0）,乙（应,0）,连接PM,PN,

则归明+|川闫尸耳|+归用=20=4,所以当M,N,尸三点共线时|ACV|的值最大，

此时NMPF\=2RPF]=ZNPF2,/MP"++ZF2PN=180°,

所以«赧=60。，

在△月尸居中，由余弦定理可得（2j=忸片「+忸耳「一2忸/日Pg|cos47”，

即8=（同|+|尸现2-3|明|尸闾,可得附|附|=|,

所以S出弓=J尸周|尸耳卜inN尸建8=gx|x曰=孚,

故选：D

4.（2024.江西上饶.统考一模）双曲线C：/-丁=4的左，右焦点分别为《，F2,过外作

垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点,则与的内切圆半径等于（）

A.！B.—C..JlD.2

22

【答案】C

【分析】由已知求出c的值，找出的坐标，即可求出卜耳|,怛耳|AB|,由等面积法即

可求出内切圆的半径.

【详解】由双曲线C:尤2-丁=4,知"=〃=4,

所以。2=4+82=8,

所以&（2在0）,闺q=2c=4历

所以过Fz作垂直于工轴的直线为x=2后，

代入C中，解出A仅在2）,2（2也-2）,f；（-275,0）,

所以|4周=|他|=J（40『+22=6,|AB|=4,

设.耳AB的内切圆半径为r,在AAK工中，由等面积法得：

3倍司+忸制+|AB|）"=；|A加阳闾

所以g（6+6+4）/=；x4x4正，

解得：r=8。=0•

8

故选：C.

22

5.（2024•全国•模拟预测）已知双曲线C：二-2=l（a>0,b>0）的离心率为百，百，B分

ab

别是C的左、右焦点，经过点尸2且垂直于C的一条渐近线的直线/与C交于A,B两点,若

ABF,的面积为64,则C的实轴长为（）

A.6B.8C.12D.16

【答案】B

【分析】由离心率得到双曲线的渐近线方程，联立方程由韦达定理得M+%、%%，代入

5行班=|S△孙「工时/=；闺阊•|%一%|=64中计算可得结果.

【详解】e=—=.l+^r=y/3=A/2,即：b=6a，c=6a，

a\a2a

渐近线方程为>=±缶.

由题意知，不妨设直线/的方程为x=-0y+c,

x=-y/2y+c

<炉y,消去x得3y2—4痴y+4/=0,贝UA=（-4益『-4x3x4/=48/>0,

设A（X，M），A"?，%），则%+%=，a,X%=4"""，

所以

s△小=|s△班「=；山玛.IX-y?|=JEB卜J（y+%）2-4yj2=-=4a2=64，

解得。=4,即：2a=8,故双曲线C的实轴长为8.

故选：B.

6.（2024•陕西安康•统考二模）设抛物线C：d=2py（p>0）的焦点是R直线/与抛物线C

相交于48两点，且/A歹8=号，过弦AB的中点P作./的垂线，垂足为。，则［篇］

的最小值为（）

A.2+72B.3C.D.2-72

【答案】A

【分析】设|4刊=加，忸刊=〃，过点A,B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为44.

由抛物线定义及梯形中位线定理可得忸。|=竺芸，又由余弦定理可得

则可得〔格2

|AS|2=m2+n2+\l2mn,I=4,后利用基本不等式可得答案.

(m+n)2

【详解】设|/回=巴忸刊=〃，过点42分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A，耳

则|A4j=〃z,怛4|=”.因为点P为弦的中点，根据梯形中位线定理可得，P到抛物线C

的准线0=/的距离为俨。|」国］；忸叫=岁,因为乙4所=与，所以在中，由

余弦定理得=m2+n2—2mncos—=m2+n2+yflmn,所以

4(m2+n2+（2-V2）mn

=41-

(m+n)2(m+n)2(m+n)2

二412+&,当且仅当

机”时取等号.所以［塔］241-号^=2+6,

最小值为2+0.

故选：A.

22

7.（2024•辽宁阜新•校考模拟预测）若椭圆土+匕=1的左右焦点为耳、F2,过耳和点（0,1）

32

的直线交椭圆于M、N两点，若P（0,W满足PM/NW•1%+,，则机的取值范围为（）

A.[-2,3]B.[0,4]C.（0,3）D.[-2,4]

【答案】D

【分析】写出直线的方程，与椭圆方程联立，写出PM.PN,解不等式.

【详解】设N®,%），过耳（-1,。）和（o,1）的直线为y=%+i,

反-1

联立，32,消去y,得5尤2+6元-3=0,

y=x+l

63

所以七+42=-1，XlX2=-~^

E6c436I4

则J1+%=_1+2=彳，=%%2+$+%2+1=__^_二+1=_二，

7n

PM-PN=（玉，X-机）•（%2,%一哨=%%2+X%~m（yi+%）+2,

所以加.9=机2一1加一（工_|相+司，解得一24根44.

故选：D.

【点睛】方法点睛：将坐标的数量积，用坐标表示，即将直线方程与椭圆方程联立得到韦达

定理式，再将其整体代入即可得到关于根的不等式.

8.（2024•内蒙古•校联考模拟预测）已知抛物线C：V=8x的焦点为尸，过点尸作两条互相

垂直的直线44,且直线4,分别与抛物线。交于A3和贝lj|AB|+4|O目的最小值是

（）

A.64B.72C.144D.128

【答案】B

【分析】设4：尤=72+2（7*工0）,与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，结合抛物线焦点

....111

弦长公式可求得|回|,同理可得因同，从而得到两+西=§，由

网+4皿=8（1岗+4]呵[画+西利用基本不等式可取得最小值.

【详解】由抛物线方程得：尸（2,0）；

由题意知：直线4,4的斜率存在且不为0,设/]:彳=阳+2（加工0）,4（%,M）,B（X2,^2）,

Ix=my+2.

由《2:得：ySmy-16=0,.I%+%=8”?,此时A〉。，

[»=8x

.'.xl+x2=〃?(％+%)+4=8〃，+4,/.\AB\=xt+x2+4=8(/〃2+1),

同理可得：|£）回=8二+1]=8（"?,+1）111

----1----=一

）m|AB|\DE\8'

.•.|AB|+4|DE|=8(|AB|+4|D£|

I+2IAB4|D£||72\AB\4\DE\「

"t^-iWr（当且仅当扁=扁，即吁土夜时取等号），

的最小值为72.

故选：B.

二、多选题

9.（2024・安徽•统考一模）已知。为坐标原点，点A（2a,0）,B（2a,2a2）（aw0）,线段包?的中

点”在抛物线C:x2=2py（p>0）上,连接。8并延长，与C交于点N,贝|（）

A.C的准线方程为B.点B为线段ON的中点

C.直线AN与C相切D.C在点M处的切线与直线QV平行

【答案】BCD

【分析】将“（2。,〃）代入抛物线得p=2,则得到其准线方程，则可判断A,联立直线。8

的方程与抛物线方程即可得到N（4a,4〃），即可判断B,利用导数求出抛物线C在点N处的

切线方程，令>=0,则可判断C,再次利用导数求出抛物线在“（2。,标）处的切线斜率，则

可判断D.

【详解】对A,根据中点公式得知（2。,/）,将其代入C:Y=2py得4〃=2/0，则p=2,

所以抛物线C:无2=分的准线方程为y=-l,故A错误，

对B,3（2a,2a2）（。20）,则直线OB的斜率为。，则直线08的方程为丫=冰，

将其代入C:x?=4y得/=4ox,解得x=4a或0（舍去），此时y=44,

则N（4a,4〃），所以B为。N中点，故B正确；

对C,C:x2=4y,即y=工x,,则/=工x,

--42

故抛物线C在点N处的切线的斜率为gx4a=2a,

故切线方程为y-4a2=2a(x-4a),

令y=0得尤=2。，所以直线AN为C的切线，故C正确；

对D,抛物线C:V=4y在M(2a,〃)处的切线方程的斜率为:x2a=a,

而直线ON的斜率为。，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，

所以C在点〃处的切线与直线ON平行.

故选：BCD.

22

10.(2024•全国•模拟预测)已知椭圆C：士+与=1,be(O,2),点尸为椭圆C外一点，过

4b

点尸作椭圆C的两条不同的切线上4,PB,切点分别为A,反已知当点尸在圆/+y2=7上

运动时，恒有24±尸3.则()

A.b=l

B.若矩形。EFG的四条边均与椭圆C相切，则矩形DEFG的面积的最小值为14

22

C.若点尸的运动轨迹为L+匕=1,则原点。到直线AB的距离恒为1

169

D.若直线上4,PB的斜率存在且其斜率之积为也，则点尸在椭圆鸟+[=1上运动

286

【答案】BC

【分析】根据点尸在圆/+>2=7上运动时，恒有PA±PB,设过尸的直线为1=人(》-无0)+%,

代入椭圆方程后利用4=。，得到关于七的一元二次方程，确定方程的两根为心A，MB，由

kpA.kpB=-l，即可得匕的值，从而判断A；讨论直线OE的斜率求得各情况下I。©,IEBI,

即可得矩形。所G,结合不等式求得最值来判断B；根据椭圆上一点的切线方程结论，确定

22

切线R4,FB的方程，结合点尸的运动轨迹为土+匕=1,可得切点弦所在直线方程，

169

即可求得原点。到直线的距离来判断C；设尸(马,孙)，过P的直线为、=勺5-辱)+治，

代入椭圆方程后利用4,=。，得到关于治的一元二次方程，确定方程的两根为由

kpA-kpB=与,可得与，上所满足的方程，即可判断口，

【详解】当上4平行于，轴时，PB恰好平行于x轴,A(0,6),3(2,0),尸(2,力，满足上4±PB,

将尸(2,6)代入圆f7有2?+〃=7,得》=布；

当Bl不平行于y轴时，设P（x。，%）,贝l]x：+y：=7,过户的直线为y=K（x-Xo）+%,

联立得（46+b~）x?+8,_%Xo）x+4[（%_自/）2—£>2]=0,

y=^（x-x0）+y0

令4=0得一64年（%=左尤。）2—16（46+取）[（招—<％）2-2]=0,整理得

（X；—4）6—ax。%%+%~—b?=0,

y2-b-

且此方程的两根为kPA,kPB,则kPA-kPB=?“，又PA_LPB,焉+y：=7

V~4

所以勺屋号>8=亭"=-1,得〃=3,所以b=

%-4

综上，b=A/3,故A不正确;

22

椭圆C的方程为—+^=1,若矩形DEFG的四条边均与椭圆C相切,

43

①当DE的斜率为0时，或=2。=4,但同=2匕=2/，

此时SDEFG=跖|=2a•2人=84，

②当DE的斜率不存在时，|。目=»=2括，|砂|=2<7=4,

止匕时SDEFG=\DE\-\EF\=2b-2a=8y/3,

③当OE的斜率存在且不为0时，设直线。E：〉=&x+4,直线GF:y=&x+G,t、手G,

联立卜y；网无,消去y得（3+4%）/+8修科+小：_]2=0,

3/+4/=12

4=64片片_16（彳-3）（4片+3）=0,化简得4代+3=片，同理可得4片+3=改,

2,4代+3

所以两平行线DE和GF的距离4

1..\[k.）2JV4+3公

以一二代替心，可得两平行线DG和EF的距离d2=\DE\=』-/

所以矩形DEFG的对角线口目=|G£|=^DE|2+|EF|2=2J溶?+=2币,

根据基本不等式%£改=口斗|所归匡与也=旦"=14,当且仅当|。国=区同，即

七=±1时等号成立，因为14>84，

所以矩形DERG面积的最大值为14,故B正确;

下证：任一椭圆w+A=1在其上面的点（%，无）处的切线方程均可写为华+学=1

abab

设椭圆在点（%,、2）处的切线方程为，=%了+1,则

y=k3x+d

+2ksda?x+Q2d?—Q%?=0,

22

CCC2匕而2kab

令A=0得/片+〃=/，所以&=-2年卜+阴=一丁尸。=3°+苔=方,所以

心=一存互,〃=生，则切线方程为整理得半+当=1.

ayQyQa-b-

22

对于椭圆C:'+乙=1,设切点坐标为A（x,y）,B（x2,y2）,则切线以，依的方程分别为

43

I-1,I-1，

4343

若点P的运动轨迹为L+匕=1,设点P（〃7,〃），则M+g=l，

169v7169

又两切线均过点尸，可得手+第=1，¥+罟=1,点A,5的坐标都适合方程詈+9=1,

故直线A3的方程是詈+与=1,即7+夕-1=°，所以原点。到直线A2的距离为

设尸（修，力），过户得直线为＞=&（》-%）+%,

fx2y21

联立v43得（44：+3）