2025年高考数学二轮复习：点共线、线共点、点共圆问题 学案讲义

第9章点共线.线共点.点共圆问题

乞1解法概述

一、证明三点共线的常用方法

(1)取三点中的一点,与另外两点分别连两条直线，证明它们都平行于或都垂直于某一条直线.

(2)证明连接两点的直线通过第三点.

(3)以三点中居中的点为顶点，过另外两点作两条射线，证明形成平角.

(4)居中的点与另外两点分别相连,形成两条直线，若与过中间点的一条直线组成对顶角，则三

点共线.

(5)连接三点的三条线段中,有一条等于另外两条之和.

(6)以三点为顶点的三角形的面积为0.

(7)同一法，反证法.

二、证明三线共点的常用方法

(1)设两直线的交点，再证明此点在第三条直线上.

(2)证明各直线都过同一个特殊点.

(3)设两直线的交点，过此交点作出某一条直线，证明这条直线与第三条直线重合.

(4)证明以三直线两两相交的三个交点为顶点的三角形的面积为0.

(5)利用已知的线共点的结论.

(6)同一法、反证法.

三、证明四点共圆的常用方法

(1)四边形对角互补或者某一外角等于内对角.

(2)线段同侧的两点对于线段的张角相等.

(3)各点到某一定点的距离相等.

(4)利用相交弦定理的逆定理.

(5)把四边形分成两个有公共边的三角形,证明这两个三角形的外接圆重合.

(6)利用四点共圆的有关判定定理.

q.2范例分析

[范例1]

三角形一边上的高线的垂足在另外两边及另外两高线上的射影四点共线.

分析1对于四点共线问题，先证其中三点共线，再证第四点也在该直线上，如图F9.1.1所

示,我们先证尸、。、M三点共线，这只要证.容易看出氏p、

°、。共圆,D、0、H、M共圆，所以N®+/PQD=180，ZDQM-ZDHM,

于是只要证=，这可由8、D、H、尸的共圆证出.

证明1因为田=N8QD=90所以仄P,。、。共圆所以“QD+，8=180.

图F9.1.1

因为ZDQH+ZDMH^+90=180，所以。、。、〃、M共圆，所以

ZDQM=ZDHM

因为ZHDB+ZHFB=90+90=180所以5、。、〃、厂共圆，所以

NDHM=ZB.

所以/FOD+/Cgw=180，即尸、0、M三点共线.同理N、M、。共线.因为

M、。为两直线上的公共点，所以P,Q,M,N四点共线.

A

图F9.1.2

分析2也可以采用同一法，连PN,再证明Q,M在直线PN上.

设PN与BE,。尸各交于Q，M，如图F9.1.2所示.因为=180，所

以/、P、D、N共圆，所以/1=/2.又由4E、D、8共圆，/1=/3,所以

N2=N3,所以ADQ、.共圆，所以/BQD=/BPD=90,即IBE.^B

过砧外的点。只能作一条垂线与砧垂直，由QQ上BE,DQ1BE，可见。与Q重

合.同理M与重合.这就证出了P,Q,M、N共线.（证明略.）

分析3如图F9.1.3所示，连PN、PQ.若能证出PN、PQ都与同一条直线平行，则P、

N、Q共线.从图上观察，容易发现EF是所说的直线，连EF.

因为CFJ.AB,DPLAB,所以CFUDP,同理BE//DN.设H为ABC的垂心.由

AF_AHAH_AE知AF苗,所以PNUEF.只要再证PQI/EF,也就是要

FP-HD'HD-ENFP

BPBQ

证明一=—

PFQE

图F9.1.3

和证明PN//E厂的方法类似，我们也尝试找一媒介比值，这只要取殷即可，很容易由平

DC

BPBQ

行截比定理证出西=近，所以尸—.

这表明从P发出的两直线P0、PN都与£尸平行，所以尸，。、N共线.同理可证RM、

N共线.（证明略.）

［范例2J

Q和。外离，44是一条外公切线，4外是一条内公切线，4,4是Q上的切点，

4、片是Q上的切点，则QQ、44、4用三线共点.

分析1证明三线共点，可先设两条直线交于一点，再证另一直线也过此点或两直线与第三

条直线的交点都与之重合.设44和4外交于p，容易证明P、4、Q、与共圆，利用圆

的内接四边形的外角等于内对角的定理，可证E44s用，从而推出44//股.

同理有O\PHB艮，这样分析后可以看出有可能通过比例证出44、4片和QQ的交点

重合.

图F9.2.1

证明i连Q4«4、。2片、。耳,延长为4,交44于P,连万q、PO2,设月q交

44于4,世交44于。.如图F921所示.

因为1B\P,OBIB2P,所以R4、Q、与共圆，所以4/弭=24Q片.

O2BX22

因为以=现，O2B1=O2B2,所以等腰4%s用，所以/B24a=N%4.

因为«4，4旦，即/4绰2+/与4〃=9。，所以为4+44。=90，所以

44纥

因为股与，所以世〃44.

因为POX144，所以PQ〃3线.

设44的延长线交aa于",设44和°\°2交于N.由平行截比定理，

PD[_02MO2D2_02N

DQ—MO；D2P一市

因为以4s0?咯,PKB2sQAA,所以黑=[＜，盥=普，所以

生=型,所以PD\—。4

O2D2D2P'以D2P

OM__ONO?M+MO\_QN+NO]

所以22.由合比定理,即空L_9,所以

M0「NO、MO,—NO1MOXNO1

Aq=NO\,所以M、N重合.

所以44、4与、qq三线共点.

分析2。14和Q4同垂直于W4，则Q4和Q4可看作以44为直径的圆的两条切线•同

理Q4、q用都垂直于4与，则Q4、q用又可看作以4名为直径的圆的切线.因为

Q4=Q4,Q4=Q用，可见Q、Q是到两个圆的切线长相等的点，即直线QQ是

此二圆的根轴.

由分析1知44上咯,设垂足为因为NAMB、=/&呵=90,所以“是此两圆

的公共点.故QQ应在两圆的公共弦线上.这样，只要连QM证出Q、弘g共

线，问题就解决了.证明这样的三点共线可采取分别证出Q、Q都在过河的某一条直线上的

方法.

证明2设44的延长线和44交于"如证明1所证，4M片•如图F9.2.2所示，以

44、4用为直径各作一个圆.因为N&MB：=/4g=90,所以M在此两圆上.设两

圆另外一交点为N.

连Q4,Q4,Q用Q区.因为Q4,44,，所以如和Q4是

F9.2.2

44的两条切线•同理Q4和Q与是4片的两条切线.

连,设QM与44和4与各交于可、可,由切割线定理，

Of=oM-ONi,。考=(W-Q%.因为。展=0g，所以OfQV,=OMON2,所

以。风=。％.所以耳、“重合,即可是44和4片•的公共点.因为两圆相交只有

两个公共点，所以N、”都与N点重合.可见Q在1w上,即Q在44和4用的公

共弦上.同理可证q在初乂上，所以Q、M、q三点共线.

所以QQ、44、片用三线共点.

分析3这个公共点是否能预先确定它的性质?也即是说，M点是怎样的特殊点?作出另一条

内公切线斯，E、厂各是Q、q上的切点.设防的延长线与4^交于“，过《作

明，qa，M为垂足，则这个垂足M即是所说的点.这样，我们可以先作出M,然后证

出44、/片也过此点.这只要在连4M即/后证出/a［物=/与此,则可推知

4、M、与三点共线.同理，4、M、4三点共线.可见44、4片都过QQ上的这个特

殊点

4

图F9.2.3

证明3作另一条内公切线所,在Q上的切点为£.在Q上的切点为尸.延长£尸，交

W4于片，过《作q02的垂线晶，交4员于月，交°\°2于M.连

响、MB2、MF、QK、«4、02F，如图F9.2.3所示.

由整个图形关于OXO2轴对称知/R鸣=用蟠.因为甲,明都是切线,所以

QFl^F,Q4上鹤，可见片、F、M.Q、4五点都在以。耳为直径的圆上，所

以NFM^=NFO2A,又NFQK=NB101K,N4a4=/8；物,所以

q物=/与此,可见4、M、反共线，即44与QQ也交于M点.

同理，利用《、片,M、E、Q（以Q4为直径）五点共圆及关于QQ的轴对称性，又可证

出4/=4必、可见4、4、M共线，即44的延长线也过M点.

综上，44,4与，QQ三线共点于M.

[范例3]

P为等腰的底边上的任一点，PQUAB,PRIIAC，分别交ZC、4B于

Q、R设D为P点关于直线RQ的对称点,则/、D、B、C四点共圆.

分析1通过对角互补可证四点共圆.从条件知

RB=RP=RD,/ABC=/ACB,°。=0P=QC,又由/RP0是平行四边形，可进

一步得到==QD=AR，可见ADQ=DAR，所以/RON=NQZD这

时把四边形的两组对角分别加起来，很容易发现对角之和相等.

BPC

图F9.3.1

证明1如图F9.3.1所示，连R。、.由对称性，尸，RD=RP.

易证/RP0是平行四边形，所以。P=/尺，RP=AQ，所以NE=。。，AQ=RD，所以

ADQ=DAR，故=

①易证RP=RB,所以RB=RD,NRDB=NRBD

②因为AB=AC,所以ZABC=ZACB

③式①+式②+式③得

ZQAD+ZABC+ZRBDZRDA+ZRDB+ZACB

即ZDAC+NDBC=ZADB+ZACB.

因为/。/。+/。3。+//。8+//<?8=360，所以/ZUC+/D8C=180，所以

/、D、B、C共圆.

分析2要证四点共圆，还可通过证明NBDC=NA4c由于=ZPQC=ZBRP,

只要证出NBDC和其中任一角相等即可.但是直接证NBDC和ZBAC.ZPQC、

心中的任何一个相等都有困难，这时可试着把/ADC分成几部分，若每部分都和要

证的角有一定的关系，则。整体也容易建立与要证的角的联系.

注意到RD=RB=RP,QD=QP=QC的事实,可以想到BDP的外心是凡PDC的外

心是。，引用圆周角和同弧对的圆心角关系的定理，可很快证出结论.

证明2连。°,DP、DR、DC，如图F9.3.2所示.

易证RD=PB=PR,°。=°尸=°C可见人是。皮3的外心，。是PQC的外心.由

圆周角和同弧上的圆心角关系的定理，NBDP=g/BRP,NPDC=；/PQC

易证/BRP=/PQC=/B4C,

所以43。「+/「。。='/87?尸+工/尸℃=工/84。+,/8月。=/3/。,即

2222

NBDC=NBAC，所以/、D、B、C共圆.

图F9.3.2

分析3要证四点共圆，可以通过证/、D、B、。到一个定点等距离.这个定点如果存在，

那么显然是48。的外心。.利用BRO=AQO，可得07?=。。，即。点在火。的中

垂线上.只要证出ADRQ是等腰梯形，尺0、是底，则可知0也在40的中垂线上.这

样，。到4D、B、。距离相等.

要证明ADRQ是等腰梯形，只要证出ADR=ADQ即可.

证明3设。为48c的外心.连。/、OB、OR、OQ、DR、DQ、OD、OC，如图

Y9.3.3所示.

因为OA=OB,所以NOAB=NOBA.又NOAB=ZOAC,所以ZOAC=ZOBA.

易证/RPQ是平行四边形，所以Z0=R尸，又RP=RD=RB,所以AQ=RB=RD,

所以OBR三OAQ，所以。火=。。，即。在火。的中垂线上.

因为。0=QP=ZR,RD=AQ,ND为公共边，所以ADR=ADQ，所以R、。到40

等距离，所以/。火。是等腰梯形.由等腰梯形的轴对称性知，0点又在40的中垂线上，

即0A=0D.

所以。4=。。=。5=。。，可见/、D、B、C共圆.

图F9.3.3

q.3研究题

[例1]

三角形的三条中线共点.

证明i（三角形中位线定理、平行四边形的性质）

设中线8£、C厂交于G,连4G并延长，交于。，延长40到〃，使朋=/G,

连BH、CH,如图Y9.1.1所示，则GF、G£各是血/和/7/C的中位线，所以

GF//BH,GE//HC，所以GBHC是平行四边形，BC、GH是其对角线.

因为平行四边形的对角线互相平分，所以5。=。。，所以，。是边的中线，所以

AD,BE,CF三中线共点.

图Y9.1.1

A

图Y9.1.2

证明2（三角形的中位线、平行四边形的性质）

设中线5£、。少交于G点，。为的中点，连G4GD，作CHHGD,交6£的

延长线于〃,作EM7/CF,交AF于M,如图¥9.1.2所示

在BCH和ACF中，由中位线定理知GB=GH,AM=MF=-AF=-BF.

22

在BEM中,由平行截比定理，型=”，，所以EG=LGB,所以，

GBBF222

所以EG=EH.

因为/£=£GEG=EH,所以4G、C、〃是平行四边形的四个顶点，所以

GAHCH.

因为G4//S,GDHCH，所以4G、。共线，即40是中线，所以BE、CF=

中线共点.

A

图Y9.1.3

证明3（中位线定理、相似三角形）

设中线交于G，中线CF交于G.连DE，如图

所示，则。£是45c的中位线，所以DE,。石=匕3,由DEGs4SG知

2

AGAB

~GD~1DE~,

同理,连加后有器端=2,所以挤AG'，所以

笠产=/了’即卷'所以侬=G'DG与G'必定重合.

所以三中线BE、CF共点.

证明4（三角形的中位线、平行四边形的性质）

设中线5£、W交于G，中线跖、/。交于G'.设尸，0分别是GB、GC的中点，连所、

PQ,如图Y9.1.4所示，则叱、尸0分别是45。和GBC的中位线，所以

EF-BC,PQ-BC,所以£厂PQ,所以£、F、尸、Q是平行四边形的四顶点，所

=2=2=

以GE=GP=PB.

同理，若连。£,又可证G'E=G'P=PB,所以GE=G'E=必，所以G、G重合.

所以三中线40、BE、CF共点.

图Y9.1.4

图Y9.1.5

证明5（引用第5章例2的结果）

设中线40、BE交于G,AD、CF交于G'.如图Y9.1.5所示.

由第5章例2的结果，捺2普2,券=2若=2，所以挤薪可见G、G

内分，。成等比值.由分点的唯一性知G、G'重合，即三中线BE、CF共点.

证明6（Ceva定理）

设BD=DC,CE=EA,AF=FB.

因为士L.叱.匕=1,由三线共点的Ceva定理知AD、BE、CF共点

FBDCEA

证明7（面积法、反证法）

设三中线两两相交于P、。、R，如图¥9.1.6所示若P、Q、R共线，表明40、BE、CF

各有两公共点，所以BE、CF共线，与三角形的假设违背，所以P、0、R不共线.

若P、Q、R实际上只是两点,设P、。重合而与人不重合，则，。与CF有两个公共点,

所以40、。厂应重合，与已知矛盾，所以P、0、火不能仅有两点重合.

若P、Q、R是不共线的三点，则SPQRW0.连阳，如图79.1.6所示.FD是中位线，所

以阳///C所以所以s皿_S^c=S.—S欢C所以S,=S力.

同理,SAg=SBQD'Scpe=SBpF.

连/P、BR、C0.因为。、E、F各是BC、CA.45的中点，所

=

以SBRD=SCRD，SAQE=SCQE，S=SBPF•故SSD~ARF^AQPF~^~^PQR

C—C—CIVV—C—CIV

°AQE-uBQD一°BPRD丁心PQR，BPF~CPE~^CRQE丁2PQR

因为S^QPF—APF+SAPQ=SBPF+SAPQ9^BPRD=SBBD+SBPR=S即+SBPR，

ScRQE=Sc°ECQR~+S,把它们代人式、式、式再把三式相加，

+sSAQECQR(1)(2)(3),

就得到s40P+S"依+SCO&+3S&R=0,此式表明=0,这与假设矛盾.

所以尸、。、R是一个点，即三中线40、BE、CF共点.

证明8(引用第6章例5的结论)

设三中线40、BE、CF两两相交于P、Q、凡由第6章例5的结论，色必=,?一？一

S/BC川+2+i

这里人黑CE_AF，所以弓至=o，所以s噂=0.

)ABC

但由证明7的分析知，尸、Q,7?不可能共线或仅有两点重合，所以P、Q、R实为一个点，

即三中线BE、CF共点.

图Y9.1.7

证明9(面积法、三角形全等)

设中线8£、C厂交于G，连4G并延长，交5C于。，作曲人CN，均与力。垂直，

垂足分别是M、N,如图Y9.1.7所示

因为区厂分别是4G秒的中点，所以SA.ihB=SAar.=-5A.tCc■所以

AEB~^AEGFAFC~^AEGF，即5跖产3收.又因为sEGC~^EGA9'KS=S隰,

所以sAGCACS-

因为AGC./GB有公共底4G,CN、是对应高，所以QV=

因为NCDN=NBDM,所以RtCNDvRtBMD,所以，即，D是5C边

上的中线，所以三中线3、BE、CF共点

证明10(解析法)

如图Y9.1.8所示，建立直角坐标系.

C\/1\/i\

设。(c,0),/(a,b)，则。—»0,E—-—■

J\22J122J

内分AD成比值2=2的点的坐标为

Q

1Q+2•一

_北+AXD_2_a+。

yA+XyD_6+2.0_b

1+4—1+2—5

I33)

内分BE成比值2=2的点的坐标为

-0+2-------।

xB+AXE_2_〃+。

1+21+23

」0+2-5,

v_yB+^yE_2_b

1+21+23

（a+cb\

同法还可求出内分庭为4=2的分点也是这个点，即是AD、BE、CF的公共

I33y

点，所以三中线4。、BE、CF共点.

[例2]

三角形的三高共点.

证明1（相似三角形、共圆）

设两高5£、C厂的交点为8,连M并延长，交BC于D,连EF,如图¥921所示

由/、F、H、£共圆知/1=/2.

由B、C、E、F共圆知22=/3,所以/1=/3.因为NC为公共角，所以

BECooADC，所以//OC=/5EC=90，所以40也是高线,即三高40、BE、CF

共点

A

A

证明2（共圆、证三点共线）

设两高5£、CF交于H,连4H,作HD上BC,垂足为。，连尸£,如图Y9.2.2所示

因为4F、H、£共圆，所以/1=/2.

因为8、C、E、尸共圆，所以N1=N/CS.

因为TAD、C、£共圆，所以N3=N/CB.

所以N3=/2,所以4H、。共线，即,所以三高40、BE、CF共点.

证明3（利用三角形三边的中垂线共点的性质）

分别过4B、。作对边的平行线，三条直线两两相交,交点为《、&、。,如图Y9.2.3

所示易证4/G各边的中点分别是/、B、c，所以BE、CF是44G各边的

中垂线.因为三角形各边的中垂线共点，所以3、BE、CF共点，即N5C的三高共点.

A,

图Y9.2.3

证明4（Ceva定理）

如图Y9.2.4所示.

由Rt/OCsRt5£C知2£=生.

ACBC

由RtBE4sRtCK4知0£=坦二

ABAC

由RtBFC-Rt80/知竺=处.

BCAB

A

图Y9.2.4

以上三式连乘，得到0c.9.空ECAFBDr-r-isi

-------------,所以

ACABBCBCACAB

吗=i.由Ceva定理知40、BE、CF共点

DCEAFB

证明5（解析法）

图Y9.2.5

如图Y9.2.5所示，建立直角坐标系.

设。(a,0),A(b,c).

40的方程为x=6.

因为kAC=,所以左BE=—，所以BE的方

b-ac

a-b

程为y=----x.

c

两方程联立可得H[b,

、C,

b(a-b).

Qb

所以％=7,kCH=—4------=—,所以=-1,所以。/,可见CH

bb-ac

也是高，所以三高40、BE、CF共点.

[例3]

两直线4、4交于。点，在4上有4B、C，满足04=45=5。在4上有工、M、N,

满足L0=0M=MN，则/1、BN、CW三直线共点.

证明1(三角形中位线定理、同一法)

设4LBN交手K.连必并延长，交0B的延长线于。，连4W,如图Y9.3.1所示，则

AM是0BN的中位线，所以AM=-BN.

2

因为LAMsLKN,所以2竺=里=3,所以NK=^AM=>BN,所以

AMLM224

11C[BKB1AT)

KB」BN=LAM-KBUAM,所以^=—=7,所以

42CXAAM2

因为45=5。，所以8C=qs,即。与q重合.

所以/】、BN、CM三线共点.

l-l

CC\/)

图Y9.3.1

图Y9.3.2

证明2（平行截比定理、三角形的中位线）

作MP!IAL,交（于P，连4W,设/小CM交于K,连BN,如图Y9.3.2所示.

易证AOL=POM，所以/。=PO,AP=/C.在CMP中，由中位线逆定理知AK是

CW的中位线，所以X=KM.

因为_24=9丝，而以AM//BN.

ABMN

在CMA中，由中位线逆定理知BN与CM的交点是CM的中点，即也过K.

所以/】、BN、CM三线共点.

证明3（中位线定理、重心的性质）

连K4、CL，如图¥9.3.3所示.

在OBN中,■是中位线，所以W//5M在⑷/。中，由中位线逆定理知5N必过

的中点K,即CK=KM.

在MLC中，C。是,边上的中线，/点分。。成2:1的两部分，所以/是MLC的

重心，所以£/必是CM上的中线，即L4过K.

所以/】、BN、CM三线共点.

证明4（同一法）

设也、BN交于K，作册〃4，分别交CW、LK于P、。，设CM、BN交于K,如图

Y9.3.4所示.

易证OAL=BAQ,所以8。=OL=OM=MN.

KNLM30L\

由LKNSQKB^—=-=—=3.

由MNK'sPBK，知理=%.

BPK'B

在「E/r+nOMOCc心IMNc心IK'NcKNK'N〜一^

在CW中，----=——=3,所以----=3,所以-----=3,即Rn——=----=3.可见

BPBCBPK'BKBK'B

K、K'都是内分线段NB成比值3的点，由定比分点的唯一性知K、K'重合，即

AL、BN、CM共点.

N.M

图Y9.3.3

图Y9.3.4

证明5（解析法）

如图Y935所示,建立直角坐标系.

设CU=4B=BC=a,LO=OM=MN=b,NAOM=a，贝(]

/(a,0),B(2a,0),C(3a,0),L(-ZJCOSa,-Z?sin«),M^bcosa,bsina),N(2Z?cosa,2Z?sin«)

”的方程为y=/ina

•(x-a),即

-bcosa-a

图Y9.3.5

xbsina-(bcosa+a)y-absina=0①

5N的方程为y=_2加ine/_2fl),即

26cosa-2a

xbsina-(bcosa-a)y-2absina=0②

CW的方程为》=・加诂°—.(x-3a),即

bcosa-3a

xbsina-(bcosa-3a)y-3absina=0③

bsina-a-bcosa-absina

方程⑴、（2）、⑶的系数行列式为bsinaa-bcosa-2absina

bsina3a-bcosa-3absma

1-a-bcosa-1

=a/sin2]1a-bcosa-2

13a—bcosa-3

（

1-1-1111

二加sin2a•a11-2+Z7cosa•112二0

13-3113

7

所以4£、BN、CM三线共点.

[例4]

在梯形48co中，40//5GAD+BC=AB,厂为CD的中点，则//、的平分线

必交于尸.

证明1（梯形的中位线、等腰三角形）

图Y9.4.1

作FEUAD，交4B于E,如图¥9.4.1所示,则EF是梯形的中位线,所以

EF=^（AD+BC）=^AB=AE=EB所以/I=N3.因为N2=N3，所以/1=/2,

即2%的平分线为

同理可证的平分线是BF.

证明2（三角形全等、等腰三角形）

延长/尸，交5。的延长线于G，如图Y9.4.2所示易证ADF=GCF，所以4D=CG.

因为，所以5C+CG=/5,gpAB=BG，所以/I=N3.又N2=N3,

所以/1=/2,即//的平分线过F点.

同理可证NB的平分线也过F点.

图Y9.4.2

图Y943

证明3（梯形的中位线、三角形全等、菱形的性质）

作FEIIAD,交AB于E，则所是梯形的中位线.过F作AB的平行线'交BC于H,

交AD的延长线于G,如图Y9.4.3所示

易证FDG=FHC，所以OG=CH，所以4D+BC=4G+BH=4B.

易证ABHG是平行四边形，所以ZG=相，所以/G=工=/E=,所以AEFG、

2

跳旌都是菱形，AF,8尸分别是它们的对角线.由菱形的对角线的性质知/凡BF6

别是N4的角平分线.

证明4（三角形全等、内角和定理）

在48上取G，使=.因为/B=/r>+5C=NG+G5，所以BG=5C.连G。、

GC、GF,AF,斯，如图Y9.4.4所示，则Nl=N2,N3=N4.

因为/1+/2+//=180,/3+/4+/B=180,//+/8=180,所以

/1+/2+/3+N4=180,即Nl+N3=90,所以

/DGC=180-/1-/3=180-90=90.所以G尸是RtOGC斜边上的中线，所以

FD=FC=FG.

由ADF=AGF,BCF=5G9知N5=/6,N7=N8，所以N4的平分线交

于厂点.

图Y9.4.5

证明5（面积法）

过产作，交AD于M,交BC于N作FEL4B,垂足为E.侔4F、BF.

如图Y945所示.

易证RtFMDvRiFNC,所以FM=FN.

因为

)

SADF+SBCF=^AD-FM+^BC-FN=^AD+BC-FM=^-AB-FM=^AD+BCy^=^-SABCDl

,所以MF=EF,所以MF=EF=FN.

可见厂点到N4的两边等距离，所以4F、AF分别是2的平分线.

证明6（解析法）

如图Y9.4.6所示，建立直角坐标系.

设AD=b,BC-a,NABC=a，贝U

C(Q,O),A((a+b)

a+b、a+b

cos圆(q+b)sina),Z)9+(q+b)cos。,(6z+/7)sin6Z)F(]+COSOCj9sina

、22/

连BF、AF.

a+b.

------sma

m

因为kAB=tana,kBF=-------------=s"=tan-,所以BF是的平分线.

"『i+cos0"cos。2

同理/厂是的平分线.

图Y9.4.6

[例5]

在48C中，NB=2NC,ADVBC,M在48的延长线上，BD=BM,N为4c的

中点，则D,N共线.

M

图Y951

证明1（同一法）

连池并延长，交ZC于N,如图Y951所示.

在BMD中，Nl=N2+NM=2/2,/2=/3,所

以/1=2/3.因为/1=2/。，所以N3=/C,所以

DN】=N。易证DN1=AN].

所以N]是RtADC的斜边的中点，所以N与N重合.

所以M,D、N共线.

证明2（直角三角形斜边中线定理）

如图Y9.5.2所示，连DM、DN.

在Rt4DC中，QN是斜边上的中线，所以=因为二。二,/月台。，所以

2

ZNDC=-ZABC

2

因为二"C是等腰8W的外角，所以NABC=NM+NBDM=2NBDM,所以

NBDM=-ZABC

2

所以NBDM=/NDC，所以M、D、N共线.

M

图Y953

证明3（角平分线、平行公理）

连DM、DN,作NABC的平分线BP，交4c于P，如图Y9.5.3所示.因为

ZABC=2/C=2/2，所以/2=NC.

因为DN是Rt4DC斜边上的中线，所以N4=NC,所以/2=/4,所以BP//DN.

因为/4SC是等腰BMD的外角，所以NABC=2/3,2/2=2/3,所以/2=N3,

所以BPHMD.可见MD、DN都与BP平行，所以M、D、N共线.

证明4（Menelaus定理）

在。。上取4，使@=DB，连,如图Y9.5.4所示，则/班是等腰三角形，所

以奶=皿/网=/邺

图Y954

因为N/BC=2NC,所以N%43=2/C,所以期。也是等腰三角形.所以

/=4。因为BM=BD,AN=NC,所以

DC=DB\+BQ=BD+AB=BM+AB=AM所以处.处.经=1

BMDCNA

由Menelaus定理知加、D、N三点共线.

证明5（解析法）

如图Y955所示，建立直角坐标系.

图Y955

连。MDN,MN.

设4(0,a),C(c,0),8(50),则N.

7

作,垂足为£,由三线合一定理知ME=£D设N8A®=a,则

NBDM=a,ZABC=2a.因为ZABC=2ZC,所以ZC=a所以

M(2bcos%,2bcosasinfz).

2bcos2a2bcosasina

£ca

所以SMND

222

00

12bcos2a2bcosasma

bcosa/

=——-——(acosa-csina

2-a

22

在RtADC中，由正弦定理,'二=一—=—泠—,所以

sinasmZDACsin190-a]cosa

fitcoscr=c-sincr，所以S=0,所以河、N、。三点共线.

[例6]

在45C中，E、尸分别是45,NC的中点，延长C£到P，使EP=EC,延长BF到

Q，使尸Q=FB，则P,/、0共线.

证明1（证明平角）

如图Y9.6.1所示"车/P,AQ.

易证AEP=BEC,AFQ=CFB，所以=,N3=NACB

图Y9.6.1

因为N2+//8C+N/C8=180，所以N2+/1+/3=180，即/尸为平角，所

以P、4、0共线.

证明2（利用平行公理）

如图Y9.6.2所示，连工尸、AQ,PB、QC.

因为四边形4PBe和四边形ABCQ的对角线互相平分，所以4PBe和ABCQ都是平行四

边形，所以AP/IBC,//3C.由平行公理知P、/、Q共线.

证明3（中位线定理、乎行截比定理、同一法）

连0/并延长，交CE的延长线于《，连EF,如图¥9.6.3所示.

因为£尸是8/。的中位线，所以“。//£/，所以超//即.

在C4片中.由平