2025年高考数学一轮复习：课时作业五十二 圆的方程

五十二圆的方程

(时间：45分钟分值:90分)

【基础落实练】

1.(5分X2024•南京模拟)方程/+俨+m+丹+b=0表示的曲线是以(-2,3)为圆心,4

为半径的圆，则D,E,F的值分别为()

A.4,-6,3B.-4,6,3

C-4,6,-3D.4,-6,-3

【解析】选D.以(-2,3)为圆心,4为半径的圆的标准方程为(x+2)2+63)2=16,

即x2+_y2+4x-6y-3=0,

所以D=4,E=-6,F=-3.

2.(5分)(2024•青岛模拟)点P(a,10)与圆C(x-l)2+(y-l)2=2的位置关系是()

A.在圆外B.在圆上

C.在圆内D.与。的值有关

【解析】选A.圆C(x-l)2+(y-l)2=2的圆心半径片"，

因为|PC|=J(a-+(10-球=J(a-+81＞痣所以点P(a,T0)在圆外.

3.(5分)圆心坐标为(-2,1),并经过点42广2),则圆的标准方程为()

A.(x-2)2+(y-l)2=5

B.(x+2)2+(y-l)2=5

C.(x+2)2+(y+1)2=25

D.(x+2)2+&-1)2=25

【解析】选D.由题意可设圆的标准方程为：

(%+2)2+伊1)2=户，因为点4(2,-2)在圆上,

所以户=(2+2)2+(一2-1)2=25,所以圆的标准方程为(%+2)2+伊1)2=25.

4.(5分)若直线/:ax+如l=0(a>0,b>0)平分圆C:x2+y2-2x-4y^0的周长，则ab的取值

范围是()

A.g+8)B.(0,j]

C.(0。'D.g+8)

【解析】选B.由题意得，直线ax+by-l^Q过圆心(1,2),所以a+2b=1,

所以仍=1*2/芸(2732](当且仅当q=2b,即4=|乃=1时,取"=”)，

乙乙乙。乙1,

1

又4>0乃>0,所以abe(0,-].

【加练备选】

_____12—

若直线办+2步2=05>0,6>0)始终平分圆炉+产以-2产8=0的周长，则方石的最

小值为________

【解析】由圆的性质可知，直线办+2如-2=0是圆的直径所在的直线方程.

因为圆x2+y2-4x-2y-S^0的标准方程为(%-2)2+(>1)2=13,

所以圆心(2,1)在直线。%+2勿-2=0上，

所以2tz+2Z?-2=0,BPa+b=\,

因为*=(*)伍+圻3年金3+2的,当且仅当a=m八,6=2时等号成立，

所以常的最小值为3+2也

答案:3+2避

5.(5分)侈选题)(2024・南昌模拟)已知ZU5C的三个顶点为4(-1,2)乃(2,1),。(3,4),

则下列关于A45C的外接圆圆M的说法正确的是()

A.圆M的圆心坐标为(1,3)

B.圆M的半径为小

C.圆M关于直线x+y=0对称

D•点(2,3)在圆M内

【解析】选ABD股&45C的外接圆圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F^

0(£>2+£2_4Q0),

l+4-D+2E+F=0(D=-2

则4+1+2D+E+F=0，解得E=-6,

9+16+30+4E+F=0[F=5

所以ZU5C的外接圆圆M的方程为N+产2%_6y+5=0,即01)2+8-3)2=5.

故圆M的圆心坐标为(1,3),圆M的半径为《，故A,B正确；

因为直线x+y=O不经过圆M的圆心(1,3),所以圆M不关于直线x+y=O对称，故C

错误；

因为(2-1)2+(3-3)2=1<5,故点(2,3)在圆M内，故D正确.

6.(5分)侈选题)设圆的方程是(x-a)2+e+b)2=q2+62,其中q>0,b>0,下列说法正确的

是()

A.该圆的圆心为(凡份

B.该圆过原点

C.该圆与x轴相交于两个不同点

D.该圆的半径为a2+b2

【解析】选BC.因为圆的方程是

(x-a)2+(y+b)2^a2+b2(^a>0,b>0),

所以圆心坐标为(风力),半径R+『，故A,D错误；

把原点坐标(0,0)代入圆的方程得方程左边=(0-。)2+(0+与2=42+/=方程右边，所以

该圆过原点，故B正确；

令产0得(x-a)2+z?2=X2_2ax+q2+62=q2+62,即/_2办=0,解得％]=0m=2d所以该圆与

X轴有两个交点，故C正确.

7.(5分)(2024・唐山模拟)若圆CN+俨+m+2尸0的圆心在直线％-2丁+1=0上，则C

的半径为.

【解析】由圆的一般方程得圆心。的坐标为(冬-1),

代入直线x-2y+l=0中得(-%2x(-l)+l=0,解得D=6,

则半径后后+225.

答案:卢。

8.(5分)(2024揭阳模拟)在某数学活动课上，数学教师把一块三边长分别为6,8,10

的三角板ABC放在直角坐标系中，则ZU5C外接圆的方程可以为.(写

出其中一个符合条件的即可)

【解析】边长分别为6,8,10的A45C为直角三角形，且外接圆的半径为5,若将斜

边的中点与坐标原点重合时，则圆心为(0,0),所以其外接圆方程可以为炉+y=25;

若将直角顶点与坐标原点重合,边长为6的直角边落在％轴的正半轴时，则圆心

为(3,±4),所以其外接圆方程可以为03)2+收4户25;

若将直角顶点与坐标原点重合,边长为6的直角边落在x轴的负半轴时，则圆心

为(-3,±4),所以其外接圆方程可以为(%+3)2+收4)2=25;

若将直角顶点与坐标原点重合,边长为8的直角边落在x轴的正半轴时，则圆心

为(4,±3),所以其外接圆方程可以为(>4)2+收3)2=25;

若将直角顶点与坐标原点重合,边长为8的直角边落在％轴的负半轴时，则圆心

为(-4,±3),所以其外接圆方程可以为(%+4)2+什±3)2=25.

答案:/+y=25(答案不唯一)

9.(10分)已知圆心为C的圆经过点4(1,1)和点5(2,-2),且圆心C在直线/:x-y+l=0

上线段PQ的端点P的坐标是(5,0),端点。在圆C上运动，求线段PQ的中点M

的轨迹方程.

Q1

【解析】设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则。(工介

又左45=-3,所以左加,,

所以直线m的方程为x-3y-3=0.

由仁言之腿圆心。(-3，-2)，

则半径尸|G4|=J(_3_球+(_2_1,=5,

所以圆C的方程为(%+3)2+什+2)2=25.

设点MXJ),。。。,外),

因为点。的坐标为(5,0),

1%0+5

比=―,'%。=2%-5,

所以小。即

.y()=2y.

又点0aoM)在圆C:(x+3)2+(y+2)2=25上运动，所以(劭+3)2+仇+2)2=25,

即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25.

整理得(+1)2+行1)2〉.

即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(%-1)2+8+1)2咛.

【能力提升练】

10.(5分)(2024•海淀模拟)设三角形/5C是位于平面直角坐标系xOy的第一象限

中的一个不等边三角形，该平面上的动点P满足:即2+|尸CH

。4|2+0引2+0CF，已知动点P的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形的

()

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【解析】选C.设。(%/)4%1曲乃(%2y2),。(%3,为)，

由17Ml2+|尸引2+|尸。|2=04|2+|。叫2+℃|2得:

(x-XiF+O为)2+(%-%2)2+6歹2)2+(%_%3)2+Oy3)2=%j+yj+%j+y"+y：,

展开整理得3炉+3俨-2(11+%2+%3)%-2&1+乃+为)产o.

111

所以|>#：1+%2+%3)]2+|>§&1+乃+乃)]2^[(%1+x2+%3)2+81+刀2口3)2].

-11

所以圆的圆心坐标为(§(%1+%2+%3)百&1+72+为)),为三角形ABC的重心.

11.(5分)(多选题)已知圆M与直线％+7+2=0相切于点4(0,-2),圆M被X轴所截得

的弦长为2,则下列结论正确的是()

A.圆M的圆心在定直线％子2=0上

B.圆M的面积的最大值为50TI

C.圆M的半径的最小值为1

D.满足条件的所有圆M的半径之积为8

【解析】选AB.因为圆M与直线x+y+2=0相切于4(0,-2),

所以直线AM与直线x+y+2=0垂直，所以直线AM的斜率为1,则点M在直线

y=x-2上，即x-y-2^0上，故A正确；

设M(%-2),所以圆M的半径『0%=出+(a-2+2)2="|仇

因为圆M被x轴截得的弦长为2,

所以2J/_(a_2)2=」J「2+4a_4=2,

解得a=-5或a=l.

当a=-5时，圆M的面积最大，为口2=50瓦，故B正确；

当。=1时，圆〃的半径最小，为他，故C错误；

满足条件的所有圆M的半径之积为5"x"=10,故D错误.

12.(5分)(2024•郑州模拟)如果圆(%-加)2+&_2加产产关于直线x+y-3=0对称，则圆的

圆心坐标为.

【解析】由题意知圆的圆心坐标为(加,2加),圆心在直线x+y-3=0上，将圆心坐标

(冽,2加)代入即得加+2加-3=0,解得加=1,

所以圆心坐标为(1,2).

答案：(1,2)

13.(5分)(2024•昆明模拟)已知点4(-3,0)乃(3,0),。(-1,0),点。满足闷|=2仍8],则点

P到点C距离的最大值为.

【解析】设尸(%少),

因为|P4|=2|PB|,

所以(%+3)2+俨=4[(%-3/+y2],

化简得(%-5)2+产=16.

则点P的轨迹是以。(5,0)为圆心，半径等于4的圆，

因为|CD|=6,故|PC|的最大值为|CD|+4=10.

答案：10

14.(10分)(2024•哈尔滨模拟)已知圆E经过点4(0,0),5(1,1),且圆E与y轴相切.

⑴求圆E的一般方程；

【解析】(D设圆的方程为炉+产+m+政+4。，

因为圆E过点4(0,0)乃(1,1),又跟丁轴相切,

所以圆E必在v轴右侧，且跟y轴的切点为4(0,0),所以圆心的纵坐标为0,

FO

-,

1+1+D+F+FO-

以

日

所-Z

E1-

-力-

-O

2、

所以圆E的方程为炉+产2x=0.

⑵设。是圆E上的动点，点C的坐标为(4,0),求线段CP的中点M的轨迹方程.

【解析】⑵设M(w),则尸(2%-4,2顼

将P(2x-4,2y)代入x2+y2-2x=0得

(2x-4)2+(2y)2-2(2x-4)=0,

,521

整理得(％-2)+y2q

521

即线段CP的中点M的轨迹方程为(久-1)+俨4

15.(10分)(2024•郴州模拟)已