数字信号处理3 dft

第三章离散傅里叶变换(DFT)11、有限长序列的傅立叶表示；DFT--DiscreteFourierTransform2、FFT的理论基础。

本质上，DFT是周期序列的DFS（离散傅立叶级数）在一个周期内的特例。3.2、傅里叶变换的几种形式3.3、离散傅里叶级数(DFS)3.4、离散傅里叶变换(DFT)

——有限长序列的离散频域表示3.5、离散傅里叶变换的性质3.6、频域取样3.7、用DFT对连续时间信号逼近的问题3.8、加权技术与窗函数2第三章离散傅里叶变换(DFT)33.2傅里叶变换的几种形式

傅里叶变换是建立以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频率函数”之间的某种变换关系。“时间”或“频率”取连续还是离散值，就形成各种不同形式的傅里叶变换对。

41非周期连续时间信号的傅里叶变换(FT)正变换反变换

时域连续<－>频域非周期时域非周期<－>频域连续条件：图1.连续的非周期信号及其非周期,连续的频谱密度51非周期连续时间信号的傅里叶变换(FT)62周期连续时间信号的傅里叶变换正变换反变换设x(t)代表一个周期为TP的周期性连续时间函数,x(t)可展成傅里叶级数,其傅里叶级数的系数为,是离散频率的非周期函数,x(t)和组成变换对:7

时域连续<－>频域非周期 时域周期<－>频域离散其中：为离散频谱相邻频谱线的角频率间隔，k为谐波序号.2周期连续时间信号的傅里叶变换

图2.连续的周期信号及其非周期的离散谱线82周期连续时间信号的傅里叶变换93非周期离散时间信号的傅里叶变换正变换反变换是数字频率，它和模拟角频率的关系为：10如果把序列看成模拟信号的抽样,抽样时间间隔为T,抽样频率为：则这一变换对可写成：[代入]

3非周期离散时间信号的傅里叶变换11这一变换对的示意图见下,图中都注了两种自变量坐标,在时域是t和n,在频域是模拟频率和数字频率.时域离散<－>频率周期时域非周期<－>频率连续3非周期离散时间信号的傅里叶变换

图3.离散非周期信号及其周期性的连续谱密度123离散非周期序列—序列的傅里叶变换（DTFT）4周期离散时间信号的傅里叶变换13上面讨论的三种傅里叶变换对,都不适用在计算机上运算,因为至少在一个域(时域或频域)中,函数是连续的.

从数字计算角度,我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况,这就是我们这里要谈到的离散傅里叶变换.14正变换反变换为一个周期内（时域及频域）抽样点数。其中：4周期离散时间信号的傅里叶变换15变换对的示意图如下所示.时域和频域都是离散的和周期的.时域离散<－>频率周期时域周期<－>频率离散4周期离散时间信号的傅里叶变换图4.离散周期的时间函数及其周期离散的频谱函数164周期离散时间信号的傅里叶变换17若在时域和频域都只取一个周期组成变换对，则就是离散傅立叶变换（DFT）正变换反变换4周期离散时间信号的傅里叶变换18连续非周期周期离散结论：A域B域（间隔）×（大小）＝4周期离散时间信号的傅里叶变换194周期离散时间信号的傅里叶变换203.3离散傅里叶级数(DFS)21设是周期为N的一个周期序列,即r为任意整数。周期序列不是绝对可和的，不满足条件：不能用z变换表示，即：1离散傅里叶级数变换的推导22DFS正变换的推导：1离散傅里叶级数变换的推导23DFS反变换的推导：1离散傅里叶级数变换的推导241离散傅里叶级数变换的推导25因此为与其他变换的书写形式统一，常写成以上就是离散傅立叶级数（DFS）变换对1离散傅里叶级数变换的推导26引入符号：则DFS可表示为：1离散傅里叶级数变换的推导27周期序列可以看成是对一个周期作z变换，然后将z变换面单位圆上按等间隔角抽样而得到的。2离散傅里叶级数的主要性质的在z平图5.为了得到周期序列,把X(z)在S平面单位圆上抽样的各抽样点282离散傅里叶级数的主要性质291、线性特性2、序列移位2离散傅里叶级数的主要性质303、频域移位（调制特性）4、周期卷积特性2离散傅里叶级数的主要性质31若则：2离散傅里叶级数的主要性质32图6.两个周期序列(N=6)的周期卷积过程3334为什么要从DFS过渡到DFT？1.从原理上，一个周期即可表示完整的序列；的各自和2.从实际上，在计算机上实现信号的频谱分析时，要求：3.4离散傅里叶变换(DFT)（1）时域、频域都是离散的；（2）时域、频域都是有限长；353.FT、FS、DTFT、DFS都不符合要求。3.4离散傅里叶变换(DFT)有限长序列的离散频域表示36通常把的第一个周期n=0到n=N-1定义为“主值区间”。3.4离散傅里叶变换(DFT)37同理把的第一个周期k=0到k=N-1定义为“主值区间”。，主值区间内的有限长序列,即为主值序列。3.4离散傅里叶变换(DFT)38

利用DFS的时域、频域的周期性，各取一个周期，就形成新的变换对：3.4离散傅里叶变换(DFT)39也可写成：3.4离散傅里叶变换(DFT)40DFT左、右两边都是离散的，有限长，可方便地用来实现频谱分析。

注意：DFT并不是“第五种”傅立叶变换！使用时，一定要想到，它们均来自DFS,即

和都是周期的！3.4离散傅里叶变换(DFT)413.5离散傅里叶变换的性质42

在由DFS引出DFT的过程中我们知道,DFT本质上是和周期序列的DFS概念紧密相关的,因而它们在性质上有着极大的相似,并由DFT隐含周期性(对应于DFS的显式周期性)所保证.431线性设：3.5离散傅里叶变换的性质则：

442

IDFT的正变换表示

453对称和反转定理

464序列总和和初值

475填零延长序列的DFT若把序列x(n)填充零值而人为的加长以后再进行DFT，就可使得到的频谱更加细致。但分辨率不变！

48线性移位：序列沿坐标轴的平移.圆周移位：将有限长序列x(n)以长度N为周期,延拓为周期序列,并加以线性移位后,再取它的主值区间上的序列值,m点圆周移位记作:其中((...))N表示N点周期延拓.6圆周移位及变换图7.序列的圆周移位(N=6)49

506圆周移位及变换圆周移位序列的变换51频域圆周移位的反变换（时域调制特性）6圆周移位及变换52的有限长序列称为圆周奇对称序列,记为满足满足的有限长序列称为圆周偶对称序列,记为7离散傅里叶变换的奇偶性及对称性

圆周奇、偶对称：x(n)是一长度为N的有限长序列(实或复序列),则x(n)总能表示成一个圆周奇对称序列和一个圆周偶对称序列之和.7离散傅里叶变换的奇偶性及对称性7离散傅里叶变换的奇偶性及对称性55的序列称为圆周共轭对称序列记为，它的实部圆周偶对称,虚部圆周奇对称.满足

圆周共轭对称、反对称7离散傅里叶变换的奇偶性及对称性56的序列称为圆周共轭反对称序列。记为，它的实部圆周奇对称，虚部圆周偶对称。

即满足

圆周共轭对称、反对称7离散傅里叶变换的奇偶性及对称性57x(n)为任一N点有限长序列,则x(n)总能表示成一个圆周共轭反对称序列和一个圆周共轭对称序列之和。

7离散傅里叶变换的奇偶性及对称性587离散傅里叶变换的奇偶性及对称性圆周共轭对称分量满足：且实部偶对称，虚部奇对称同样：模偶对称，相角奇对称7离散傅里叶变换的奇偶性及对称性且实部奇对称，虚部偶对称圆周共轭反对称序列满足：7离散傅里叶变换的奇偶性及对称性7离散傅里叶变换的奇偶性及对称性62（1）奇偶序列的DFT（2）共轭复序列的DFT圆周线性7离散傅里叶变换的奇偶性及对称性63（3）复数序列的DFT7离散傅里叶变换的奇偶性及对称性64（4）虚实序列的DFT7离散傅里叶变换的奇偶性及对称性序列及其DFT的实、虚、偶、奇关系x(n)或X(k)X(k)或x(n)偶对称偶对称奇对称奇对称实数共轭对称(实部偶对称/虚部奇对称)虚数共轭反对称(实部奇对称/虚部偶对称)实数偶对称实数偶对称实数奇对称虚数奇对称虚数偶对称虚数偶对称虚数奇对称实数奇对称7离散傅里叶变换的奇偶性及对称性66线性卷积定义：线性卷积结果长度变为N1+N2-1。6圆周卷积定理设任意有限长序列67圆周卷积定义：设有限长序列,6圆周卷积定理68圆周卷积定义：则x1(n)，x2(n)的N点圆周卷积为圆周卷积的结果长度不变为：N。6圆周卷积定理N696圆周卷积定理圆周卷积定理：70即：N其中N表示所作的是N点圆周卷积。若则：6圆周卷积定理71同样若则：N即：6圆周卷积定理72

相关：指两个确定信号或两个随机信号之间的相互关系。相关是研究两个信号之间（互相关），或一个信号和其移位后的信号的（自相关）相关性，是信号分析、检测与处理的重要工具；在随机信号的理论中起到了中心的作用。7圆周相关定理73线性相关定义：与卷积相比，没有“翻褶”，只包括移位、相乘和相加三个步骤。线性相关的结果长度变为N1+N2-17圆周相关定理设任意有限长序列74线性相关不满足交换律：

也即x1(m)，x2(m-n)的相似程度不等于x1(m)，x2(m+n)的相似程度。7圆周相关定理75相关函数的z变换为：则x(n)的线性自相关为：若：7圆周相关定理76代入，可得其频谱为：相关函数只包含两个信号所共有的频率成分7圆周相关定理77设有限长序列7圆周相关定理圆周相关定义：78圆周相关定义：且圆周相关的结果长度不变为：N。7圆周相关定理79若则：7圆周相关定理80序列在时域计算的能量与

在频域计算的能量相等。8

DFT形式下的帕塞瓦定理81

圆周卷积定理

：时域圆周卷积，对应频域是两序列的DFT简单相乘；

时频两域的转换：

DFT及IDFT卷积计算：通过频域计算，计算圆周卷积比线性卷积快得多。

8有限长序列的线性卷积与圆周卷积82

一般实际问题都是线性卷积，例如求信号x(n)通过线性移不变系统h(n)后的系统响应y(n)。

如果系统的单位冲激响应是有限长序列，那么能否用圆周卷积运算代替线性卷积运算？

8有限长序列的线性卷积与圆周卷积83设任意或有限长序列则x1(n)，x2(n)的线性卷积为线性卷积结果长度为N1+N2-1。即：由得：

8有限长序列的线性卷积与圆周卷积84x1(n)，x2(n)的L点圆周卷积，首先

8有限长序列的线性卷积与圆周卷积85L

8有限长序列的线性卷积与圆周卷积86有下列结论：1、L点圆周卷积y(n)是线性卷积yL(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列；，则L点圆周卷积能代表线性卷积。2、若

8有限长序列的线性卷积与圆周卷积图9.有限长序列的线性卷积和圆周卷积8788用DFT计算线性卷积：（L=N+M-1）

8有限长序列的线性卷积与圆周卷积89同样，当时，也可用圆周相关代替线性相关。

8有限长序列的线性卷积与圆周卷积在某些应用中，会遇到一个无限长的输入信号与一个有限长的冲激相应求卷积的问题。在这种情况下，若直接用DFT求线性卷积，不仅存储容量大，而且实时处理难，可采用如下两种方法处理：（a）Overlap-addmethod（重叠相加法）（b）Overlap-savemethod（重叠保留法）90

9圆周卷积在信号处理中的应用91设h(n)列长为M，N=L+M-1

9圆周卷积在信号处理中的应用92（a）Overlap-addmethod（重叠相加法）93（b）Overlap-savemethod（重叠保留法）94（b）Overlap-savemethod（重叠保留法）10离散傅里叶变换可看作一组滤波器95对如图所示的LTI系统：所示系统的系统函数：9610离散傅里叶变换可看作一组滤波器9710离散傅里叶变换可看作一组滤波器98主瓣移到：频率分辨能力：10离散傅里叶变换可看作一组滤波器3.6频域取样991阐明Z变换与DFT的关系

2引出抽样Z变换的概念3讨论频域抽样不失真条件100当在Z平面上的单位圆进行Z变换时,则取代入定义式,得到单位圆上Z变换为:Z变换的定义式(正变换)

:1

Z变换与DFT的关系(抽样Z变换)101

是单位圆上各点的数字角频率。再对单位圆进行抽样---N等分：1

Z变换与DFT的关系(抽样Z变换)102考虑到x(n)是N点有限长序列,因而求和n只需即可。将代入并将求和上下限改动，得周期序列若，这就是DFT正变换定义式1

Z变换与DFT的关系(抽样Z变换)103结论：1）有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)序列的各点值等于对x(n)进行Z变换后在单位圆上N等分抽样的各点处所得的Z变换值,即这就是Z变换与DFT的关系.1

Z变换与DFT的关系(抽样Z变换)1042）有限长序列补上零值点后，序列长度N增加，对其DFT后频谱包络未变,只是抽样点更密。原因：增加零值点等于未改变有限长序列本身，因而其Z变换不变，

而只是增加了N值1

Z变换与DFT的关系(抽样Z变换)2频域抽样理论(频域抽样不失真条件)105将时域x(n)所对应的频域函数，按每周期N点抽样后得到的周期序列，再反变换回时域,得到,与原序列x(n)有如下关系：1062频域抽样理论(频域抽样不失真条件)107所得周期序列是原序列的周期延拓（频域抽样，时域周期延拓）。1）如果x(n)不是有限长序列，则周期延拓后，必然造成混叠现象。n增加时信号衰减越快，频域抽样越密，则误差越小。2频域抽样理论(频域抽样不失真条件)1082）如果x(n)是有限长序列，点数为M，当N<M时，以N为周期延拓就会造成混叠；从中不能失真地恢复出原信号。2频域抽样理论(频域抽样不失真条件)1092频域抽样理论(频域抽样不失真条件)3）如果x(n)是有限长序列，点数为M，当N＞M时，以N为周期延拓，可以从中不能失真地恢复出原信号。3频域内插公式110N个频域抽样X(k)能不失真地还原出长度为N的有限长序列x(n),那么用N个X(k)也一定能完整地表示出X(z)以及频率响应[即单位圆上的X(z)]。111

过程：先把N个X(k)作IDFT得到x(n),再把x(n)作Z变换便得到X(z).此时,应该得到一个用X(k)表示的X(z)表达式,这就是所谓内插公式。3频域内插公式1123频域内插公式113称为插值函数。3频域内插公式114令分子为零，有：令分母为零，有：即N个零点。只有一个极点。当r=k时，零极点抵消，插值函数不等于零，在其他（N-1）个抽样点上插值函数为零。3频域内插公式

图10.内插函数的零点极点（z＝0处为N－1阶极点）1153频域内插公式频率响应的内插公式：1163频域内插公式117令则3频域内插公式图11.内插函数的幅度特性和相位特性（N＝5）1181193频域内插公式120内插函数在采样点nT上，函数值为1，其余采样点上值为零。3频域内插公式频域内插与时域内插的比较：3.7用DFT对时间信号逼近的问题121在用DFT逼近周期信号的傅里叶级数过程中,曾设频域的截断长度为其周期的整数倍。

否则会造成离散和连续傅里叶变换之间出现显著差异。另外时域表现为有间断点的周期函数,频域表现为频谱泄漏成分增大。122

用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换和周期信号傅里叶级数过程中,由于用到了抽样与截断的方法,会带来一些可能产生的问题(如:混叠效应,频谱泄漏,栅栏效应等).3.7用DFT对时间信号逼近的问题1利用DFT对连续时间非周期信号逼近过程1233.7用DFT对时间信号逼近的问题傅立叶变换对逼近的全过程图解124

1）频率响应的混叠失真125一般在利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换时,为避免混叠失真,要求的条件是2利用DFT计算连续时间信号时可能出现的几个问题126

但此条件只规定出抽样频率的下限；其上限则要受频域抽样间隔F的约束，频域抽样间隔F即所能得到的频率分辨力,是记录时间长度Tp的倒数，即2利用DFT计算连续时间信号时可能出现的几个问题127若抽样点数为N,则频率抽样间隔F与时域采样率的关系为

在N给定时,为避免混叠失真而一味提高抽样频率,必然导致F增加,即频率分辨力下降。2利用DFT计算连续时间信号时可能出现的几个问题128在高频容量与频率分辨力F参数中,保持其中一个不变而使另一个性能得以提高的唯一办法，就是增加记录长度内的点数N,即和F都给定时,则N必须满足:2利用DFT计算连续时间信号时可能出现的几个问题如何确定信号的最高频率？129a）令变化最快的两相邻的峰谷之间的间隔t0为半个周期，即：2利用DFT计算连续时间信号时可能出现的几个问题130b）若信号频谱为无限宽，则选取占信号总能量98%左右的频带宽度（范围内的能量）的作为信号的最高频率。2利用DFT计算连续时间信号时可能出现的几个问题2)频谱泄漏131图12.信号截断时产生的频谱泄漏现象2利用DFT计算连续时间信号时可能出现的几个问题132在用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换时,因为无法取无限个数据,所以时域的截断是必然的。

时域截断，相当于原连续时间信号乘上窗函数,导致频域卷积，造成所得到的频谱与原来的频谱相比较，有“扩散”（拖尾、变宽）现象，这就是“频谱泄漏”。2利用DFT计算连续时间信号时可能出现的几个问题133

频谱泄漏会导致频谱的扩展，从而使最高频率有可能超过折叠频率，造成频率响应的混叠失真。2利用DFT计算连续时间信号时可能出现的几个问题减小频谱泄漏的方法：1341）增加数据长度，即加宽截断窗；2）降低窗函数的旁瓣，以减小卷积后造成的泄漏能量，即采用缓慢截断的窗函数，如汉宁窗、海明窗、凯泽窗等等。2利用DFT计算连续时间信号时可能出现的几个问题3）栅栏效应135DFT计算频谱只限制为基频F的整数倍处的谱，只能在离散点的地方看到输出，这种现象称为“栅栏效应”。2利用DFT计算连续时间信号时可能出现的几个问题减小栅拦效应的方法：136

增加频域抽样点数N（同时，在不改变时域数据的情况下，在时域数据末端添加一些零值点。），使谱线更密，这样就有可能看到原来看不到的频谱分量了。注意：补零后不改变频率的分辨率。2利用D