数学4自主训练：二倍角的三角函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.若sin2α=,且α∈(，），则cosα=sinα的值是(）A.B.C。D。思路解析：要求cosα-sinα的值，可以先求(cosα-sinα）2，其展开式中的2sinαcosα就是已知的sin2α，应当注意的是在（，）上，cosα<sinα，所以开方时应取负号。答案:C2。如果|cosθ|=，＜θ＜3π，则sin的值为(）A。B.C.D。思路解析：根据〈θ<3π知,角θ是第二象限角，其余弦值为负,即cosθ=,而<<，为第三象限角，正弦值为负,于是利用半角公式即得结果.答案：C3。若＜α＜2π，则等于（)A.cosB.-sinC。—cosD。sin思路解析：根据本题结构特点，连续两次使用公式1+cos2α=2cos2α,达到脱去根号的目的,同时要注意角的范围及其函数值的正负,这是解这类问题的常规思路.答案：C4.化简的值为()A.tan2αB。cot2αC。tanαD。cotα思路解析:本题是分式化简题，可将分子、分母均化为积的形式且分子、分母有公因式，通过约分把式子化简，于是有原式==cot2α.答案：B5.若f(α）=cotα-，那么f（)的值为___________.思路解析：将函数f（α）化简变形可得简单形式，即f(α）=cotα+=cotα+tanα=,所以f（)==2。答案：26.已知sin+cos=,且＜α3π，则cot的值为_______.思路解析:由sin+cos=，得2sin·cos=,（sin—cos)2=1—2sin·cos=1-=。∵＜α＜3π,∴＜＜，＜＜∴sin＜cos，∴sin-cos=.∴cos=,∴cot=。答案：7。已知α为钝角、β为锐角且sinα=，sinβ=，则cos的值为____________。思路解析：∵α为钝角,β为锐角，且sinα=，sinβ=，∴cosα=-，cosβ=。∴cos(α—β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ=。∵＜α＜π，0＜β＜，又∵0＜α-β＜π,0＜＜，∴cos＞0。∴cos=.答案：8.化简:.思路解析：灵活运用数字1，此处将1看成sin25°+cos25°,然后将根号下面的代数式化成完全平方式，后面的运算就容易了.答案：原式==|sin5°+cos5°｜+|sin5°-cos5°｜=sin5°+cos5°+cos5°-sin5°=2cos5°.9.求证：。思路解析:将等号左边分子的“1"换成“sin2α+cos2α”,即可对分子进行因式分解,分母运用平方差公式也可分解，产生可以约分的式子,再分子、分母同除以cosα即得右边.答案：左边===右边。原题得证。我综合我发展10.已知0＜α＜β＜，sinα与sinβ是方程x2—(cos40°）x+cos240°—=0的两个根，求cos(2α-β）的值。思路解析：本题是一元二次方程与三角的综合题，利用求根公式可得两根,把两根利用三角公式变形即得α与β的数值，产生较为特殊的角75°，再用公式求其值.解：由求根公式可得x=cos40°±sin40°=sin45°cos40°±cos45°sin40°=sin(45°±40°），∴x1=sin85°,x2=sin5°。∵0°＜α＜β＜90°，∴β=85°，α=5°.∴cos(2α—β)=cos（-75°)=cos75°=.11.在△ABC中，已知cosA=,求证:.思路解析：要求证的等式右边是a+b与a—b的商，而1-cosA与1+cosA不仅可以产生a+b与a—b，而且还会制造出1-cosB与1+cosB，再用倍角公式（或万能公式)就可以变形为所求结果.解:∵cosA=,∴1-cosA=,1+cosA=.∴。而=tan2，=tan2，∴tan2=·tan2，即.12。如图3-2-2所示，地面上两塔相距120m，一人分别在两塔的底部测得一塔顶的仰角为另一塔顶仰角的二倍，又在两塔底的连线中点测得两塔顶的仰角互余，求两塔的高。图3-2—2思路解析:设出两塔的高分别为xm、ym，其中的两个仰角分别为∠ADB=α，∠AMB=θ,利用图中的直角三角形建立x,y,α,θ的关系，再通过α,θ的三角函数关系产生x，y的方程,然后解方程可得x，y的值，这当中α,θ为辅助未知数,属于设而不求的角色.解：设两塔的高分别为xm、ym，且∠ADB=α,∠AMB=θ.由题意，得∠CBD=2α,∠AMC=90°,∠AMB=∠MCD=θ。所以x=60tanθ，y=60cotθ。x=120tanα,y=120tan2α，所以解得x=40，y=90。答：两塔高分别是90m和40m.13.如图3—2-3，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103m至D点处测得顶端仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE的高。图3-2—3思路解析：这是一个三角函数在测量方面的应用问题.在解决过程中运用了初中几何解直角三角形的知识和方程的思想，但三角式的化简起到了关键作用，特别是切化弦，使得式子的分子、分母产生可以约分的项,这种转化方法应当引起重视.解:由已知，BC=30m,CD=m.在Rt△ABE中，BE=AEcotθ；在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ。∴B