声学原理- 07讲弹性体振动

1§4.1

弦的振动§4.2膜的振动第四章弹性体振动学分布参数系统——振动系统的质量在空间有一连续分布，并且空间中某一部分的质量本身包含着弹性和阻尼性质。2§4.2.1

膜的振动方程

假设张力T=常数，设η为膜上一点离开平衡位置的垂直方向位移，与x轴成α角，则：在该面元的x与x+dx边缘上垂直方向的合力为：§4.2

膜的振动3（1）

同理另外两边的垂直合力为：（2）则整个面元上的总垂直力为：（3）设σ为单位面积膜的质量，称为面密度，σdxdy为面元的质量，由牛顿第二定律有：§4.2.1

膜的振动方程4即：（5）（4）§4.2.1

膜的振动方程5§4.2.2

圆膜对称振动的一般解（6）

在极坐标系中膜振动方程为：（7）设则方程（7）可简化为：（8）6

采用分离变量法，令η(t,r)=R(r)T(t),并考虑简谐振动情况令代入（8）有：（9）其中：k=ω/c，而令kr=z，则（9）可化为：（10）此为零阶柱Bessel方程的标准形式，它有两个特解J0(z)——零阶柱Bessel函数，N0(z)——零阶柱Neumann函数§4.2.2圆膜对称振动的一般解7§4.2.2圆膜对称振动的一般解Bessel函数Neumann函数8则一般解为：（11）由于z=0时，N0(0)—>∞，则B=0，故：（12）膜的位移可表示为：（13）§4.2.2圆膜对称振动的一般解9圆形膜的边界条件为:

η(r=a)=0(a为膜的周界半径)（14）由（13）可知:J0(ka)=0（15）§4.2.3

圆膜对称自由振动的一般规律（16）其中：设ka=μ，满足J0(μ)=0的μ值有n个，即只能取些特定的数值，用kna表示，由kna=μn得简正频率：，称为基频（17）10显然，圆膜振动的基频与半径a成反比，半径a越大，相应的基频越低。对应于这些简正频率的振动方式为：（18）取其实部为：（19）令可得:其中μ1=2.405,μ2=5.520,……，则节线的位置为：（20）§4.2.3

圆膜对称自由振动的一般规律11§4.2.3

圆膜对称自由振动的一般规律12m代表周向模态,n代表径向模态

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►§4.2.3

圆膜对称自由振动的一般规律13设膜片表面受到一声压为的声波作用，pa为振幅（N/m2），ω为声波的圆频率，则在面元dxdy上的作用力为：Ff=pdxdy；与（3）合并后可得膜的强迫振动方程为：（21）对于对称振动的圆形膜，用极坐标表示有：（22）其中：令：（23）§4.2.4

圆膜的强迫振动14代入（22）可得：（24）其一般解为：R=R1+R2，注意到R1若取为一常数，可满足方程（24），故得到特解这样一般解为：（25）相应地：（26）利用边界条件在r=a处有η（r=a）=0故：故得：其中，（27）§4.2.4

圆膜的强迫振动15对于非对称振动，必须采用方程（7），假定振动取简谐方式，则可设其试探解为：则由（7）可得出下面两个方程：

§4.2.5圆膜的非对称振动（28）其中m2是由分离变量而引入的常数。16考虑到（28）中第一个方程是m阶的柱贝塞尔方程，其解由m阶的柱贝塞尔函数Jm(kr)和柱诺依曼函数Nm(kr)组成，而第二个方程的解则由正弦函数和余弦函数所组成，且m为正整数，则（28）式的解可写为：（29）或表示为：（30）其中：§4.2.5

圆膜的非对称振动17现考虑圆周固定的膜，即r=a时，则：（31）其中第一式代表一般圆膜振动的频率方程，m=0为圆对称振动，m>0为非圆对称（m代表周向模态，n代表径向模态）。令，则m阶柱贝塞尔函数的部分根值如下：§4.2.5

圆膜的非对称振动18不同的对应着不同的膜振动固有频率及振动模式：§4-2-5圆膜的非对称振动

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►19§4-3矩形膜的振动（1,1）（1,2）(2,1)(2,2)20§4-4guitar的振动模态分析CoronetAcousticFolkGuitar21Thankyouverymuchforyourattention!22圆膜非对称振动(1,1)模态返回23圆膜非对称振动(0,1)模态返回24返回圆膜非对称振动(1,2)模态25返回圆膜非对称振动(2,1)模态26返回圆膜非对称振动(2,2)模态27返回圆膜对称振动(0,2)模态28返回29频域响应函数30Mode#1at55.3Hz31Mode#2at160.1Hz32Mode#3at189.4Hz33Mode#4at300.5Hz34Mode#5at369.74Hz返回35ModalAnalysisofanAcousticFolkGuitarGibsonEarly1960'sHummingbirdTheLowFrequencyModesTheMiddleFrequencyModesTheHighFrequencyModesMode#1Mode#2Mode#3Mode#4Mode#5Mode#6Mode#7Mode#8Mode#9Mode#10Mode#11返回36the"bendingmode"-(59Hz)返回37the"breathingmode"-(103Hz)返回38188Hz返回39202Hz返回40thesecondbendingmode(223Hz)返回41231Hz返回42the(0,1)mode(262Hz)返回43the(1,0)mode(315Hz)返回44t