湖北省云学部分重高中联盟2025届高三上学期10月联考（一模）数学试卷

2024年湖北云学部分重点高中联盟高三年级10月联考数学试卷命题学校：孝感高中命题人：柴全中王燕霞张翔李丽审题人：褚卫战考试时间：2024年10月8日15：00-17：00时长：120分钟满分：150分一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.2.若，则（）A.B.C.D.3.数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，若且成等比数列，则（）A.B.C.D.24.已知函数，对任意的，都有成立，则的可能取值是（）A.B.C.D.5.对于平面凸四边形，若，则四边形的面积为（）A.B.C.D.大小不确定6.已知函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7.在平面直角坐标系中，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，连接交轴于点，若，且，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.8.已知函数有两个极值点，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）A.若与互斥，则B.若与相互独立，则C.若，则与相互独立D.若发生时一定发生，则10.已知，且，则（）A.B.C.D.11.设是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的有（）A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数满足，则__________.13.若是偶函数，则实数的值为__________.14.在如图所示的直角梯形中，为梯形内一动点，且，若，则的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列的前项和为且.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为.求.16.（15分）在中，三个内角所对的边分别为.设向量，且.（1）求角的大小；（2）设是边上的一点，使得的面积是面积的2倍，且，求线段的长.17.（15分）已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的佰成立，求的最小值.18.（17分）如图，在四棱锥中，底面，，平面与平面的交线为.（1）求证：平面；（2）设为内一动点，且，求线段长度的最小值；（3）在（2）的条件下，当线段的长最小时，求直线与平面所成角的正弦值.19.（17分）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量的所有取值为，定义信息熵：（1）若，且，求随机变量的信息熵；（2）若，求随机变量的信息熵；（3）设和是两个独立的随机变量，求证：.参考答案：题号1234567891011答案CADADABBABABDAD12.13.314.96.解析：面且是外心，7.解析：四边形面积，，单增，又，8.解析：，则，所以有9.解析：函数的定义域为，有，即函数是偶函数，又，则是函数的一个周期，也是最小正周期，A正确当时，，显然函数在上递增，在上递减，时，由偶函数的性质知，函数在上递增，在上递减，即当时，即函数在的取值集合为，从而函数在的取值集合为，即在上的值域为，因此函数在上的值域为，B正确；如图：不关于直线对称，所以不关于直线对称，故C错在上单调性同，所以递减，故D对.11.解析：对两边求导得即，故A对，即恒成立，（舍），故B错.是奇函数，是偶函数，为增函数，为增函数，又，故C错.，，为增函数，，故D对.14.解析：如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度.设，则.过作垂直内侧墙壁于，作BD垂直内侧墙壁于，则.在直角三角形中，，所以.同理：.所以.因为（当且仅当且时等号成立）.所以.因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为15.解析：（1）在中，，由余弦定理得，则，有，又平面平面，平面平面，平面，则平面，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，由，得，解得，即，所以当时，点为线段的中点.（2）由（1）可得，设平面的法向量为，则，取，得，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.16.解析：（1）易知函数的定义域为.所以，当时，由，得，由，得.所以的单调增区间为，单调减区间为；当时，由，得，由，得.所以的单调增区间为，单调减区间为.（2）即在上恒成立，令，易知函数的定义域为.所以当时，，故；（11分）当时，，故.（13分）所以在上单调递增，在上单调递减，所以时，在上取得最大值.所以，所以实数的取值范围是.17.解析：（1）由可得，，由正弦定理该式化为，整理得：，即：，即，因为为三角形的内角，所以.（2）令，由题意：，平方得：，由正弦定理，则：，代入上式得：因为三角形是锐角三角形，所以，，即，，因此，的取值范围为.18.解析：（1）由题意，有，解得即椭圆标准方程为：（2）设过点的切线方程为联立，有由于想切，令，即求得（3）设延长线交轴于点，两点处切线斜率分别是和，有，设椭圆上或两点切线方程为联立有，要证明，需证明即要证，其中，显然，即证（17分）19.（1）①②处于位置时，得3分，，处于位置时，得1分，，处于位置时，得分1分，，所以最终得分的分布列为：得分的期望.13（2）将棋盘按如图所示编号：12345678913456789将棋子可以去的区域用箭头连接起来，如从3可以连接4或8，记做：；从8可以连接3或1，记做：；然后将他们串联起来：.依次类推，可以串联出环状回路：，如下图所示：则棋子等价于在这个环状回路中运动，问题（2）可以转化为将两个棋子放在环形回路中的3号､7号位置，每回合3号､7号棋子有四种运动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率各为为了转化问题，现规定“两棋子之间的最短节点数”，例如：特别规定两棋子重合时，